\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les suites}
\newcommand{\Cl}{TST2S}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

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\setcounter{NumLecon}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


\setcounter{NumLecon}{1}
\debutCha{larmes.eps}{Larmes}{Man Ray}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{
Man Ray, né Emmanuel Rudzitsky en 1890, à Philadelphie, est un peintre, 
photographe et réalisateur de films, acteur du dadaïsme à New York, puis du surréalisme à Paris. \\
Sa carrière commence à New York, avec son ami proche Marcel Duchamp. Ils forment la branche américaine du mouvement 
Dada. Après quelques expériences artistiques infructueuses, Man Ray conclut que « Dada ne peut pas vivre à New York ».\\
En 1921 Man Ray arrive à Paris où il rencontre divers surréalistes. 
Il s'installe dans le quartier du Montparnasse, rencontre 
et tombe amoureux de la chanteuse française et modèle Kiki de Montparnasse. Man Ray révolutionne l'art photographique. \\
Avec notamment Max Ernst, Joan Miró et Pablo Picasso, il présente ses oeuvres à la première exposition surréaliste 
de la galerie Pierre à Paris en 1925.
En 1928, il tourne son troisième film Les Mystères du château de Dé.\\
En 1940, après la défaite de la France, Man Ray s'embarque pour les États-Unis 
en compagnie du couple Dalí et du cinéaste René Clair.  
A Hollywood, il reçoit des propositions d'exposition, rencontre une femme, Juliet, et décide de se remettre 
à peindre.\\
Man Ray est mort le 18 novembre 1976, à Paris. 
Inhumé au cimetière du Montparnasse), on peut lire sur sa tombe son épitaphe : « Unconcerned, but not indifferent » (« Détaché, mais pas indifférent »).
  }{0.7}{0.8}

\TITRE{violon_Ingres.eps}{1}


\begin{abstract}
Dans ce chapitre vous allez étudier les suites, en particulier, les suites arithmétiques et géométriques. Vous saurez comment étudier
leur sens de variation et calculer les sommes de termes consécutifs. Mais commençons d'abord par revoir certaines bases, notions
et vocabulaire.
\end{abstract}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{D\'efinition et g\'en\'eration d'une suite}
\subsection{Introduction}

\Act{
Il arrive que l'on demande, lors de tests psychotechniques par exemple, de compl\'eter "logiquement" une suite de nombres, comme par exemple:
$$1  ,  2  ,  4 ,  8  ,  16  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots$$
$$1  ,  4  ,  9  ,  16  ,  25  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots$$
$$-3  ,  1  ,  5  ,  9  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots$$
Trouver les prochaines valeurs et tenter d'établir une définition générale pour chaque de ces listes ordonnées de nombres.
}
En math\'ematiques, une \textbf{suite} $u$ est une \textbf{liste ordonn\'ee de nombres}: les \'el\'ements de cette liste :
\begin{itemize}
 \item Sont appel\'es \textbf{termes}
 \item Sont rep\'er\'es par leur position dans la liste, appelé \textbf{rang}
\end{itemize}

\begin{center}
Le $1^{er}$ terme de la suite $u$ est souvent not\'e $u_0$ (ou $u_1$), et appelé terme initial\\
Le $2^{\`eme}$ terme de la suite $u$ est souvent not\'e $u_1$ (ou $u_2$)\\ 
\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots \dots\dots\dots\dots\dots \\
\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots \dots\dots\dots\dots\dots \\
Le $n^{\`eme}$ terme de la suite $u$ est souvent not\'e $u_{n-1}$ (ou $u_{n}$)\\ 
\end{center}

Le terme pr\'ec\`edent $u_n$ est $u_{n-1}$, le suivant $u_{n+1}$.\\

On note $u=(u_n)$  pour signifier que le rang d'un terme de la suite $u$ est un entier naturel (ie positif et il n'y a pas de
 "fin" de liste). On précisera toujours dans les énoncés si l'on commence à compter à partir de 0 ou de 1.\\


On a donc:

\begin{center}
$\overbrace{u}^{\text{nom de la suite}}=\quad\left\{\overbrace{u_0}^{\text{1\up{er} terme}};
\overbrace{u_1}^{\text{2\up{nd} terme}};\hspace{.5cm}u_2\hspace{.5cm};\hspace{.5cm}\dots\hspace{.5cm};
\hspace{.5cm}u_{n-1}\hspace{.5cm};\overbrace{u_n}^{\text{terme de rang $n$}};\hspace{.5cm}u_{n+1}\hspace{.5cm};\hspace{.5cm}\dots\hspace{.5cm}\right\}$
\end{center}

\subsection{D\'efinition}

\Defc{
Une \textbf{suite} num\'erique $u$ ou encore $(u_n)$ est une fonction qui à un entier positif (ou nul) $n$ fait correspondre un nombre $u_n$.\\
Il s'agit en fait d'une \textit{liste ordonnée infinie} de valeurs appelées \textbf{termes} de la suite (ce sont les $u_0 \, , \,u_1 \, ,\, u_2 \, , \,\ldots  \, ,\, u_{n-1} \, ,\, u_n \, , \,u_{n+1} \, , \,\ldots $ ).\\
La position d'une valeur dans cette liste est appelé \textbf{rang} (c'est le nombre positif ou  nul $n$ ).\\
Le premier terme d'une suite est appelé \textbf{terme initial} (il s'agit en général de $u_0$ ou de $u_1$).\\
}

\Expls{
\begin{enumerate}
 \item Soit la suite $u$ d\'efinie sur les entiers positifs ou nul par $u_{n}=-2n^{2}+3n+1$. Calculer les 5 premiers termes de cette suite.
 \item Soit la suite $v$ d\'efinie par $v_1=3$ et  $v_{n}=3v_{n-1}+4$. Donner les 5 premiers termes de cette suite.
\end{enumerate}
}

\subsection{Mode de g\'en\'eration : calcul des termes d'une suite}

Une suite peut \^etre engendr\'ee de deux mani\`eres:

\Cadre[D\'efinition "par r\'ecurrence" d'une suite $(u_n)$]{
On nous donne : 
$\left\{ \begin{array}{l} \text{le terme initial } u_0 \text{ ou } u_1 \\ 
\text{la relation qui permet de calculer un terme $u_n$ à partir du précédent $u_{n-1}$}   \end{array} \right.$}
%\end{center} 

%Cette relation, dite de r\'ecurrence, permet de calculer un terme de la suite \textbf{\`a partir du terme pr\'ec\`edent}. \\
\Expl{Soit la suite $(u_n)$ définie par  $\left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \\ u_{n+1}=-2u_n+1 \end{array} \right.$ \\

$ \begin{array}{ll}\text{ On a alors : } & u_1=-2u_0+1=-2\times\dots+1=\dots\\ &u_2=-2u_1+1=-2\times\dots+1=\dots\\ 
& u_3=-2u_2+1=-2\times\dots+1=\dots\text{ etc }\\ \end{array}$
}
%\end{minipage}
%&&&
%\begin{minipage}[t]{7.5cm}

\Rqs{
\item \textit{Avantage} : On visualise ainsi facilement comment l'on passe d'un terme au suivant (le lien logique qui lie les termes entre eux)
\item \textit{Inconvénient} : Dans l'exemple pr\'ec\'edent, pour calculer $u_{100}$, il faut conna\^itre $u_{99}$, 
et pour calculer $u_{99}$, il faut conna\^itre $u_{98}$, etc \dots Il est alors pr\'ef\'erable d'exprimer $u_n$ 
\item \textbf{\textit{Avec une calculatrice} :}\\
Tapez la valeur du premier terme, puis tapez sur 
\fbox{EXE} (ou \fbox{ENTER} )\\
On utilise la touche \fbox{Ans} de la calculatrice, qui est un rappel du r\'esultat du calcul pr\'ec\`edent:\\
Dans notre exemple $-2\times\textrm{\fbox{SHIFT} \fbox{Ans}
} +1$, puis \fbox{EXE} (ou \fbox{ENTER} )\\
Vous voyez appara\^itre la valeur de $u_1$; \`a chaque fois que vous appuyez sur \fbox{EXE} , le terme suivant de la suite appara\^it...
}


\Cadre[D\'efinition "explicite" d'une suite $(u_n)$]{
On nous donne : 
$\left\{ \begin{array}{l} \text{le rang initial } 0 \text{ ou } 1 \\ 
\text{la relation qui permet d'obtenir un terme $u_n$ à partir de son rang $n$}   \end{array} \right.$
}

\Expl{ Soit $(u_n)$ définie par $u_n=-5+7n$ pour $n \geqslant0$.\\
On a alors  $u_0=\dots$, $u_2=\dots$, $u_3=\dots$, $u_7=\dots$, $u_{100}=\dots $ etc
}

\Rq{
\textbf{\textit{Avec une calculatrice} :}
\begin{itemize}
 \item Entrer la suite comme une fonction dans le menu \fbox{f(x)}, en remplaçant le $n$ par $X$ dans l'expression donnée.\\
Par exemple : \qquad\qquad\qquad Y1=-5+7X
\item Régler les param\`etres du tableau de valeurs dans le menu \fbox{Tblset}.\\
Par exemple :\qquad \qquad\qquad \textit{Casio} : Start=0, End=20, Pitch=1 \qquad\qquad \qquad\qquad 
\textit{TI} : TblStart=0, $\Delta$Tbl=1
\item Afficher ce tableau de valeurs dans le menu \fbox{table}.\\
Vous avez, dans l'ordre, les termes de cette suite \`a partir de $u_0$. 
\end{itemize}
}


\subsection{Sens de variation}


\Defc{
\begin{itemize}
 \item La suite $\left( u_{n}\right) $ est une suite \textbf{croissante} si et seulement si, pour tout entier $n, u_{n+1}\geq u_{n}$.\\
Autrement dit, les termes de la suite sont de plus en plus grands.
 \item La suite $\left( u_{n}\right) $ est une suite \textbf{d\'ecroissante} si et seulement si, pour tout entier $n, u_{n+1}\leq u_{n}$\\
Autrement dit, les termes de la suite sont de plus en plus petits.
 \item La suite $\left( u_{n}\right) $ est une suite \textbf{constante} si et seulement si, pour tout entier $n, u_{n+1}= u_{n}$.\\
Autrement dit, les termes de la suite sont tous égaux.
\end{itemize}
}
 
\Cadre[M\'ethodes pour étudier le sens de variation d'une suite $(u_n)$ :]{
\begin{itemize}
\item[$\blacktriangleright$] \textbf{On \'etudie g\'en\'eralement le signe de $u_{n+1}-u_n$ :}
\begin{enumerate}
 \item On exprime le terme général $u_{n+1}$, s'il n'est pas donné dans l'énoncé.
 \item On simplifie $u_{n+1}-u_n$. 
 \item On regarde si la valeur obtenue est positive ou négative.
 \item On conclue sur l'ordre de $u_{n+1}$ et de $u_n$, et donc sur le sens de variation de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}
\end{itemize}
}

\Expl{
Soit la suite $(u_n)$ définie par $\left\{ \begin{array}{l} u_0=4 \\ 
u_{n+1}=u_n+5  \end{array} \right.$\\
Alors on a 
\begin{eqnarray*}
u_{n+1}-u_n & = & u_n+5 -u_n \\
&=& 5 
\end{eqnarray*}
On voit que $u_{n+1}-u_n > 0$, et donc que $u_{n+1} > u_n$ pour tout $n$: la suite est donc croissante.\\
Mais ceci se voyait très bien dès le départ ... Ce cas est donc rarement rencontré.
}

\Expl{Soit la suite $(u_n)$ d\'efinie pour $n\geq 0$ par $u_n=-5n+9$, alors on a : 
\begin{eqnarray*}
u_{n+1} & = & -5(n+1)+9 \qquad\qquad \text{(penser aux parenthèses autour de $n+1$ !!)}\\
& = & -5n - 5 + 9 \\
& = & -5n+4 
\end{eqnarray*}
Ainsi pour tout $n$ on a :
\begin{eqnarray*}
u_{n+1}-u_n & = & -5n+4-(-5n+9) \qquad\qquad \text{(penser aux parenthèses autour de l'expression de $u_n$ !!)}\\
& = & -5n+4+5n-9 \\
& = & -5 
\end{eqnarray*}
On voit que $u_{n+1}-u_n < 0$, et donc que $u_{n+1} < u_n$ pour tout $n$: la suite est donc décroissante.
}

\Cadre[M\'ethodes pour étudier le sens de variation d'une suite $(u_n)$ : (suite) ]{
\begin{itemize}
\item[$\blacktriangleright$] \textbf{Lorsque tous les termes de la suite $u$ sont \underline{strictement positifs}, 
on regarde si le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ est plus grand ou plus petit que 1:}
\begin{enumerate}
 \item On s'assure que tous les termes de la suites sont positifs
 \item On exprime le terme général $u_{n+1}$, s'il n'est pas donné dans l'énoncé.
 \item On simplifie $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$. 
 \item On regarde si la valeur obtenue est supérieure ou inférieure à 1 (elle sera forcément positive !!)
 \item On conclue sur l'ordre de $u_{n+1}$ et de $u_n$, et donc sur le sens de variation de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}
\end{itemize}
}





\Expl{Soit $(u_n)$ d\'efinie pour $n \geq 1$ par $u_n=2\times5^n$.\\
Il est clair que $u_n >0$ pour tout entier positif $n$.\\
On a  $u_{n+1}=2 \times 5^{n+1}$.\\
Ainsi pour tout $n$ on a : 
$
\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{2 \times 5^{n+1}}{2 \times 5^{n}}=\dfrac{5^{n+1}}{5^n}=5
$\\
On voit que $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}> 1$, et donc que $u_{n+1}> u_n$ pour tout $n$: la suite est donc croissante.
}

\Att{
Comparer deux termes consécutifs particuliers de la suite (comme $u_0$ et $u_1$ ) ne permet de conclure sur son sens de variation général !! 
}

\Rq{Toutes les suites ne sont pas monotones: par exemple, la suite $u$ d\'efinie pour $n \geq 0$ par $u_n=(-1)^n$  ne l'est pas: $u_0=\dots$, $u_1=\dots$, $u_2=\dots$, $u_3=\dots$, $u_4=\dots$, etc}


\Exop{Soit $(u_{n})$ la suite définie pour $n\geq 0$ par : $u_{n}=4n+3$
\begin{enumerate}
 \item Calculer $u_{n+1}-u_{n}$
\item En d\'eduire le sens de variation de  $(u_{n})$.
\end{enumerate}
}

\Exop{Soient $(v_{n})$ la suite d\'efinie pour $n\geq 1$ par : $v_{n}=-2n+1$ et 
$(w_{n})$ la suite d\'efinie pour $n> 0$ par : $\left\{ \begin{array}{l} w_1=3 \\ w_{n+1}=w_{n}+2  \end{array} \right.$\\
Trouver le sens de variation des suites  $(v_{n})$ et  $(w_{n})$.
}

\section{Suites arithm\'etiques}
\subsection{D\'efinition}


\Defc{Une suite \textbf{arithm\'etique} est une suite de nombres telle que chacun de ses termes s'obtient en ajoutant 
au pr\'ec\'edent un m\^eme nombre appel\'e \textbf{raison}.\\
Autrement dit, une suite $(u_n)$ de premier terme $u_0$ et de raison $r$ est \textbf{arithm\'etique} 
lorsque pour tout entier $n$, on a $u_{n+1}=u_{n}+r$
}

\Expl{
Soit la suite $(u_n)$ arithm\`etique, de premier terme $u_0=5$ et de raison $r=2$.\newline 
La d\'efinition de $(u_n)$ par r\'ecurrence est $\left\{ \begin{array}{l} u_0=5 \\ u_{n+1}=u_n+2  \end{array} \right.$\newline 
Les premiers termes de cette suite sont $u_1=7$, $u_2=9$, $u_3=11$, $u_4=13$, $u_5=15$, $u_6=17$ ...\\
On constate que pour avoir $u_6=17$ on a en fait ajouter $6$ fois la raison $r=2$ au terme initial $u_0=5$.\\
En effet $u_6 = 5 + 6 \times 2 $ ou encore $u_6 = u_0 + 6 \times r$.
}

\subsection{Relation entre deux termes non consécutifs}


\Act{
Soit $(u_n)$ la suite arithm\'etique de premier terme $u_0=2$ et de raison $r=3$
\begin{enumerate}
 \item Donner la d\'efinition par r\'ecurrence de la suite $(u_n)$.
\item Calculer les $6$ premiers termes de $(u_n)$.
\item Prouver que $u_n$ est croissante.
\item Combien de fois a-t-on ajouter la raison $r$ au terme initial $u_0$ pour obtenir $u_1$ ? $u_2$ ? 
Même question jusqu'à $u_6$.
\item Conjecturer alors $u_{n}$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
}

\Ptec{
Soit une suite arithm\'etique $(u_n)$, de premier terme $u_{0}$ et de raison $r$.
\begin{itemize}
 \item \textbf{Relation entre $u_n$ et $u_{0}$:}
Pour tout $n \in \N$, on a $u_{n}=u_{0}+nr$
\item \textbf{Relation entre $u_{n}$ et $u_{p}$:}
Pour tous $n,p \in \N$, on a $u_{n}=u_{p}+(n-p)r$
\item \textbf{Relation entre $u_{n}$ et $u_{1}$:}
Pour tous $n \in \N$, on a $u_{n}=u_{1}+(n-1)r$
\end{itemize}
}

\Exos{$ 2 + 4 + 5 + 7 + 9 + 13 $ p 20 (calcul de termes)}

Les suites arithmétiques ne sont pas toujours données dans les énoncés par leur relation de récurrence, 
mais par une relation explicite liée à la propriété précédente. Dans ca cas, il faut savoir les reconnaître, pour pouvoir utiliser leurs propriétés.\\


\Cadre[M\'ethodes pour reconna\^itre une suite arithm\'etique :]{
On calcule $u_{n+1}-u_n$. Si cette valeur est une constante $r$ (indépendante de $n$), alors la suite est arithmétique (car dans ce cas
on a bien $u_{n+1}=u_n+r$ pour tout $n$), sinon non.
}

\Expl{Soit $(u_n)$ la suite d\'efinie pour $n\geq 0$  par $u_n=5-3n$.  
\begin{eqnarray*}
\text{Pour tout $n\geq 0$, on a : }\qquad  u_{n+1}-u_n & = & 5-3(n+1)-(5-3n) \qquad  \text{ 'penser aux parenthèses pour le $n+1$ et le $u_n$ !!)}\\ 
& = & 5 - 3n-3-5+3n \\
& = &  -3 
\end{eqnarray*}
Donc la suite $(u_n)$ est arithm\'etique, et sa raison est $r=-3$. \newline
De plus $u_{n+1}-u_n=-3$ donc la suite est décroissante.
}

\Exos{$ 11 $ à $13 $ p 20 (pbs)}

\subsection{Sens de variation}

\Act{1 p12}

\Thc{Soit $(u_n)$ est une suite arithm\'etique de raison $r$ et de terme initial $u_0$.\\
Puisque pour tout $n$ on a $u_{n+1}=u_n+r$ on a  : 
\begin{itemize}
 \item Si $r<0$, la suite est d\'ecroissante.
\item Si $r>0$, la suite est croissante.
\item Si $r=0$, la suite est constante.
\end{itemize}
}

\Exos{$27 - 28 - 29 - 30 - 32$ p 22}


\subsection{Somme de termes cons\'ecutifs}


\Act{(p 14)\\
Lors d'un stage de remise en forme de $14$ jours, un coureur cycliste effectue $60$ km le premier jour, puis augmente son parcours de $10$ km chaque jour suivant.\\
On note $u_{n}$ le nombre de kilom\`etres parcourus par le cycliste ou cours du $n-\`eme$ jour (ou a donc $u_{1}=60$.
\begin{enumerate}
 \item Expliquer pourquoi la suite $u$ est arithm\'etique ; pr\'eciser sa raison. \\
Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$
\item \begin{enumerate}
       \item Calculer la somme des sept premiers termes de la suite ; en d\'eduire le nombre de kilom\`etres parcourus par le cycliste durant le premi\`ere semaine. 
\item Calculer $S_{1}=7\times\dfrac{u_1+u_7}{2}$. Que constate-t-on ?
 \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item Calculer le nombre de kilom\`etres parcourus par le cycliste durant la deuxi\`eme semaine.
\item Calculer $S_{2}=7\times\dfrac{u_8+u_{14}}{2}$. Que constate-t-on ?
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Thc{On consid\`ere 
$\left ( u_{n}\right) $ une suite arithm\'etique. \newline
Si $S=\underbrace{u_{k}+u_{k+1}+...+u_{p}}_{\text{termes cons\'ecutifs}}$ est une somme de termes cons\'ecutifs de cette suite, alors :
\[
 S=(\text{nombre de terme de S})\times\dfrac{(\text{premier terme de S})+(\text{dernier terme de S})}{2}=(p-k+1)\times \dfrac{u_k+u_p}{2}
\]
}

\Cadre[Cas particuliers importants :]{\begin{itemize}
      \item Si le terme initial est $u_{1}$, alors $\underbrace{u_1+u_2+..+u_n}_{n \text{ termes}}=n\times \dfrac{u_1+u_n}{2}$
\item Si le terme initial est $u_{0}$, alors $\underbrace{u_0+u_1+u_2+..+u_n}_{(n+1) \text{ termes}}=(n+1)\times \dfrac{u_0+u_n}{2}$
     \end{itemize}
}

\Att{
  Il y a un \og décallage \fg\, dans le nombre de termes !
}



\Expl{Soit $(u_{n})$ la suite arithm\'etique de raison $-5$ et de terme initial $u_0=1$. \newline
Montrer que $\underbrace{u_{7}+u_8+...+u_{17}}_{11 \text{ termes}}=-649$}

\Exos{$38$ \`a $58$ p 23}

\Exop{Monsieur X. se constitue un capital retraite en versant chaque ann\'ee une somme sur un compte \'epargne. 
Les versements sont les termes cons\'ecutifs d'une suite arithm\'etique de raison $100 \euro$, le premier versement \'etant d'un montant de $1000 \euro$. Si on note $V_{n}$ le versement de la $n-\`eme$ ann\'ee, la suite $(V_{n})$ ne commence qu'\`a partir de $n=1$. 
\begin{enumerate}
 \item Donner $V_{1}$ ; $V_{2}$ ; $V_{3}$ ; $V_{4}$
\item Exprimer la suite $V$ par r\'ecurrence
\item Exprimer $V_{n}$ en fonction de $n$
\item Au bout de $20$ ans, quel sera la capital de monsieur X. ?
\end{enumerate}
}


\Exop{Pour un pr\^et de $1 500\euro$, un organisme de cr\'edit propose \`a un client un remboursement en sept annuit\'es, qui sont les sept premiers termes de la suite arithm\'etique $(u_n)$ de raison $50$ et de terme initial $u_1=100$ \\
Calculer le montant total du remboursement.}
\Exop{En $1998$, un pays consommait $20$ tonnes d'un produit. On note $u_n$ le nombre de tonnes consomm\'ees en $1998+n$ (par exemple, $u_3$ est le nombre de tonnes consomm\'ees en $1998+3$, soit en $2001$). La suite $(u_n)$ est arithm\'etique, de raison $3$ et de terme initial $u_0=20$.\\
Calculer le nombre total de tonnes de produit consomm\'ees par le pays de $1998$ \`a $2004$}

\Exop{Un fabricant produit $200$ objects la premi\`ere ann\'ee, puis augmente sa production de $25$ objets par an. \\
On note $u_n$ le nombre d'objets fabriqu\'es la $n-\text{i\`eme}$ ann\'ee. La suite $(u_n)$ est arithm\'etique, de raison $25$ et de terme initial $u_1=200$. \\ 
Calculer le nombre d'objets fabirqu\'es en dix ans.}
\Exop{Marion verse $40\euro$ sur son livret d'\'epargne \`a l'ouverture de celui-ci, puis augmente son versement de $5\euro $ tous les mois. \\
On note $u_n$ le $n-\text{i\`eme}$ versement effectu\'e apr\`es l'ouverture. La suite $(u_n)$ est arithm\'etique, de raison $5$ et de terme initial $u_0=40$. \\
Calculer la somme totale vers\'ee la premi\`ere ann\'ee.}

\section{Suites G\'eom\'etriques}
\subsection{D\'efinition}


\Defc{Une suite g\'em\'etrique est une suite de nombres telle que chacun de ses termes s'obtient en multipliant 
le pr\'ec\'edent par un m\^eme nombre appel\'e raison.\\
Autrement dit, une suite $(u_n)$ de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est \textbf{g\'eom\'etrique} 
lorsque, pour tout entier $n$, on a $u_{n+1}=u_{n}\times q$ 
}

\Expl{
Soit la suite $(u_n)$ g\'eom\'etrique, de premier terme $u_0=5$ et de raison $q=-2$.\newline
 La d\'efinition de $(u_n)$ par r\'ecurrence est $\left\{ \begin{array}{l} u_0=5 \newline
 u_{n+1}=-2 \times u_n  \end{array} \right.$\newline
Les premiers termes de cette suite sont $u_1=-10$, $u_2=20$, $u_3=-40$, $u_4=80$, $u_5=-160$, $u_6=320$.}

\subsection{Relation entre deux termes non consécutifs}

\Act{Soit $(u_n)$ la suite g\'eom\'etrique de premier terme $u_0=10$ et de raison $q=1,25$
\begin{enumerate}
 \item Donner la d\'efinition par r\'ecurrence de la suite $(u_n)$
\item Calculer les $6$ premiers termes de $(u_n)$
\item Prouver que $(u_n)$ est croissante
\item Combien de fois a-t-on multiplier le terme initial par la raison pour obtenir $u_1$ ? $u_2$ ? Même question 
jusqu'à $u_6$.
\item Conjecturer $u_{n}$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
}

\Ptec{
Soit une suite g\'eom\'etrique $(u_n)$, de premier terme $u_{0}$ et de raison $q$.
\begin{itemize}
 \item \textbf{Relation entre $u_n$ et $u_{0}$:}
Pour tout $n\in\N$, on a $u_n=u_0\times q^n$
\item \textbf{Relation entre $u_{n}$ et $u_{p}$:}
Pour tous $n,p\in\N$, on a $u_n=u_p\times q^{n-p}$
\item \textbf{Relation entre $u_{n}$ et $u_{1}$:}
Pour tous $n \in \N$, on a $u_{n}=u_{1}\times q^{n-1}$
\end{itemize}
}

\Exos{$15 + 17 + 18 + 20 + 21 + 24$ p 20}

Les suites géométriques ne sont pas toujours données dans les énoncés par leur relation de récurrence, mais par une relation 
explicite liée à la propriété précédente. Dans ce cas, il faut savoir les reconnaître, pour pouvoir utiliser leurs
propriétés.

\Cadre[M\'ethodes pour reconnaître une suite géométrique :]{
On calcule $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$. Si cette valeur est une constante $q$ (indépendante de $n$), alors la suite est géométrique
(car dans ce cas on a bien $u_{n+1}=q \times u_n$ pour tout $n$), sinon non.
}

\Expl{Soit $(u_n)$ d\'efinie pour $n\geq 0$ par $u_n=2\times3^n$.\\
Pour tout $n \geq 0$, on a :  \qquad  $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}  =  \dfrac{2 \times 3^{n+1}}{2 \times 3^n}
 =  \dfrac{3^{n+1}}{3^n} = 3$.\\
Donc la suite $(u_n)$ est g\'eom\'etrique, et sa raison est $q=3$.\\
De plus $\displaystyle{\frac{u_{n+1}}{u_n}}=3 >1$ donc la suite est croissante.
}


\Exop{Soit $(u_n)_{n\geqslant1}$ une suite g\'eom\'etrique de raison $2$ et de premier terme $25$. 
\begin{enumerate}
 \item Donner $u_{1}$ ; $u_{2}$ ; $u_{3}$ ; $u_{4}$
\item Exprimer la suite $(u_n)$ par r\'ecurrence
\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$
\item Calculer $u_{999}$
\end{enumerate}
}

\Exos{22 à 25 p 21}

\subsection{Sens de variation}

\Act{2 p 12}

\Thc{Soit $(u_n)$ est une suite g\'eom\'etrique de raison $\mathbf{q>0}$ et de terme initial $\mathbf{u_0>0}$.\\
Puisque, pour tout $n$ on a $u_{n+1}=q \times u_n$ on a :
\begin{itemize}
 \item Si $0<q<1$, la suite est d\'ecroissante : on dit que les termes de la suite sont en d\'ecroissance g\'eom\'etrique ou exponentielle.
\item Si $q>1$, la suite est croissante : on dit que les termes de la suite sont en croissance g\'eom\'etrique ou exponentielle.
\item Si $q=1$, la suite est constante
\end{itemize}
}

\Rq{Si $q$ est négatif, la suite n'est ni croissante, ni décroissante.}

\Exop{Un article dont le prix initial \'etait de $250\euro$, voit son prix baisser tous les mois de $10\%$. La suite $u$ des prix mensuels de cet article est donc g\'eom\'etrique
\begin{enumerate}
 \item Pr\'eciser sa raison et son premier terme
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$
\item Donner le sens de variation de la suite $(u_n)$
\end{enumerate}
}

				\subsection{Somme de termes cons\'ecutifs}


\Act{p16\\
Avant les f\^etes de fin d'ann\'ee, sur une p\'eriode de six jours, un chocolatier voit sa vente de ballotins doubler chaque jour. Il en vend $20$ le premier jour.\newline
On note $u_n$ le nombre de ballotins vendus le $n-\text{i\`eme}$ jour (on a donc $u_1=20$).
\begin{enumerate}
 \item Expliquer pourquoi la suite $(u_n)$ est g\'eom\'etrique ; pr\'eciser sa raison.\newline
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$
\item \begin{enumerate}
       \item Calculer la somme des six termes de cette suite ; en d\'eduire le nombre total de ballotins vendus au cours de cette p\'eriode.
\item Calculer $S_1=20 \times \dfrac{1-2^{6}}{1-2}$. Que constate-t-on ?
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item Calculer le nombre de ballotins vendus durant les trois dernier jours de cette p\'eriode
\item Calculer $S_2=u_4 \times \dfrac{1-2^{3}}{1-2}$. Que constate-t-on ?
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Thc{
On consid\`ere $\left ( u_{n}\right) $ une suite g\'eom\'etrique, de raison $q\neq 1$. \newline
Si $S=\underbrace{u_{k}+u_{k+1}+...+u_{p}}_{\text{termes cons\'ecutifs}}$ est une somme de termes cons\'ecutifs de cette suite, alors :
\[
 S=(\text{premier terme de S})\times\dfrac{1-(\text{raison})^{(\text{nombre de terme de S})}}{1-(\text{raison})}
 = u_k \times \dfrac{1-q^{p-k+1}}{1-q}
\]
}

\Cadre[Cas particuliers importants :]{
\begin{itemize}
      \item Si le terme initial est $u_{1}$, alors $\underbrace{u_1+u_2+..+u_n}_{n \text{ termes}}=u_1\dfrac{1-q^{n}}{1-q}$
\item Si le terme initial est $u_{0}$, alors $\underbrace{u_0+u_1+u_2+..+u_n}_{(n+1) \text{ termes}}=u_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
     \end{itemize}
}

\Att{
Il y a toujours un décallage dans le nombre de termes !!
}

\Expl{Soit $(u_n)$ la suite g\'eom\'etrique de raison $3$ et de terme initial $u_1=1$ \\
Montrer que $u_7+u_8+...+u_{17}= 64 569 717$}

\Exos{$59$ \`a $78$ p 25 + TP info}

\Exop{Pour limiter ses stocks, un fabricant est amen\'e \`a diminuer son activit\'e : il d\'ecide que d\'esormais, sa production mensuelle doit correspondre \`a une suite g\'eom\'etrique de raison $0,95$ et de terme initial $200$. \\
On note $u_n$ le nombre d'objets fabriqu\'es le $n-\text{i\`eme}$ mois apr\`es cette d\'ecision (ainsi, $u_1=200$)\\
Calculer le nombre total d'objets fabriqu\'es au cours des sept premiers mois apr\`es la d\'ecision, arrondi \`a l'unit\'e.}

\Exop{Un propri\'etaire loue un appartement \`a partir du $1^{er}$ janvier $2000$, pour $9$ ans et pour montant annuel de $6000 \euro$ en $2000$, \`a condition que le locataire accepte une augmentation annuelle de $2\%$. \\
On note $u_n$ le loyer pay\'e en $2000+n$. La suite $(u_n)$ est donc g\'eom\'etrique, de raison $1,02$ et de terme initial $u_0=2000$ \\
Calculer le montant total des loyers vers\'es pendant les neuf ann\'ees, arrondi \`a l'unit\'e.
}

\Exop{Il est pr\'evu que le salaire d'un employ\'e augmente de $0,4\%$ chaque mois, pendant $2$ ans. Le premier mois, son salaire est de $1500 \euro$. On note $u_n$ le salaire per\c cu le $n-\text{i\`eme}$ mois. La suite $(u_n)$ est donc g\'eom\'etrique, de raison $1,004$ et de terme initial $u_1=1500$ \\
Calculer le montant total des salaires per\c cus sur les deux ans.}
\Exop{En $2000$, un automobiliste a eu une d\'epense annuelle d'essence de $1200 \euro$. Il consid\`ere que depuis, elle augmente de $3\%$ par an. On note $u_n$ le montant de la facture en $2000+n$. La suite $(u_n)$ est donc g\'eom\'etrique de raison $1,03$ et de terme initial $u_0=1200$.\\
Calculer le montant total de sa d\'epenser d'essence, pour les six ann\'ees de $2000$ \`a $2005$}


			


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 		Les Annexes
\newpage

\vspace*{10cm}

					\part*{Les Annexes}
\newpage 
\Cj{TP informatique : Un emprunt \`a annuit\'es constantes}
\subsection*{Observons un tableau d'amortissement}
\noindent Nathanael a emprunt\'e $50 000\euro$ pour acheter un studio. La banque lui a pr\^et\'e cette somme au taux annuel de $5\%$ sur une p\'eriode de 10 ans. Nathanael a choisi un remboursement \`a annuit\'es constantes. \newline
Le remboursement d'un pr\^et est \`a annuit\'es constantes lorsque tous les montants annuels de remboursements sont identiques.\newline
On appelle amortissements du capital les parts du capital rembours\'ees chaque ann\'ee.\newline
Le montant des \'ech\'eances correspond au montant de l'annuit\'e. Chaque annuit\'e est la somme des intérêts
dus sur le capital restant à rembourser et d'une part 
 de remboursement du capital. La banque lui a 
envoy\'e le tableau d'amortissement de son emprunt sur 10 ans.
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
& A & B & C & D & E & F & G \\
\hline
& Montant  & & & & & &  \\
1 & du pr\^et & $50000\euro$ & & & & &  \\
\hline
 & Dur\'ee  &  & & & & &  \\
2 &  du pr\^et & $10$ ans & & & & &  \\
\hline
 & Taux  & & & & & &  \\
3 & du pr\^et & $5\%$ & & & & &  \\
\hline
 & Montant  &  & & & & & \\
4 & des annuit\'es & $6475,23\euro$ & & & & & \\
\hline
5 & & & & & & & \\
\hline
 & & & Capital restant  & Amortissement &  &  & Capital restant  \\
6 & &  Ech\'eance & d\^u avant & du capital & Int\'er\^ets & Annuit\'e & d\^u apr\`es  \\
 & &  & l'\'ech\'eance & & & & \'ech\'eance \\
\hline
7 & & 1 & 50000\euro & 3975,23\euro & 2500,00\euro & 6475,23 \euro & 46 024,77 \euro  \\
\hline
8 & & 2 & 46024,77\euro & 4173,99\euro & 2301,24\euro & 6475,23 \euro & 41 850,78 \euro \\
\hline
9 & & 3 & 41 850,78 \euro & 4382,69\euro & 2092,54\euro & 6475,23 \euro & 37468,09 \euro  \\
\hline
10 & & 4 & 37468,09 \euro & 4601,82\euro & 1873,40\euro & 6475,23 \euro & 32866,27 \euro  \\
\hline
11 & & 5 & 32866,27 \euro & 4831,92\euro & 1643,31\euro & 6475,23 \euro & 28034,35 \euro  \\
\hline
12 & & 6 & 28034,35 \euro & 5073,51\euro & 1401,72\euro & 6475,23 \euro & 22960,84 \euro  \\
\hline
13 & & 7 & 22960,84 \euro & 5327,19\euro & 1148,04\euro & 6475,23 \euro & 17633,65 \euro  \\
\hline
14 & & 8 & 17633,65 \euro & 5593,55\euro & 881,68\euro & 6475,23 \euro & 12040,11 \euro  \\
\hline
15 & & 9 & 12040,11 \euro & 5873,22\euro & 602,01\euro & 6475,23 \euro & 6166,88 \euro  \\
\hline
16 & & 10 & 6166,88 \euro & 6166,88\euro & 308,34\euro & 6475,23 \euro & 0,00 \euro  \\
\hline
 \end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
               \item V\'erifier que, pour chaque ann\'ee, le montant des \'ech\'eances correspond \`a la somme des int\'er\^ets et de l'amortissement du capital
\item V\'erifier que, pour chaque \'ech\'eance, les int\'er\^ets repr\'esentent bien $5\%$ des montants du capital restant d\^u
\item On appelle $A$ la suite des amortissements du capital. Montrer que $A$ est une suite g\'eom\'etrique dont on pr\'ecisera la raison.
              \end{enumerate}
\subsection*{Construisons un tableau d'amortissement}
\noindent Magalie a emprunt\'e $10000\euro$ au taux annuel de $4,5\%$. Elle a choisi un remboursement \`a annuit\'es constantes de $1800\euro$ pendant 6 ans et le solde \`a la fin de la septi\`eme ann\'ee. Reproduire un tableau, similaire \`a celui de la premi\`ere partie, adapt\'e au cas de Magalie.
\begin{enumerate}
 \item Calculer le montant des int\'er\^ets dus \`a la fin de la premi\`ere ann\'ee et en d\'eduire l'amortissement de l'ann\'ee. En d\'eduire les formules qu'il faut entrer dans les cellules C7, E7 et F7.
\item Compl\'eter ensuite le tableau pour les six premi\`eres ann\'ees.
\item En d\'eduire le montant restant \`a rembourser \`a la fin de la septi\`eme ann\'ee.
\end{enumerate}

\subsection*{Reconstituons un tableau d'amortissement}
\noindent Le tableau d'amortissement de l'emprunt de Sofiane a \'et\'e partiellement effac\'e. Voici ce qu'il en reste. Recomposons ce tableau d'amortissement en utilisant les r\'esultats obtenus dans les parties 1 et 2.
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
& A & B & C & D & E & F & G \\
\hline
& Montant  & & & & & &  \\
1 & du pr\^et & & & & & &  \\
\hline
 & Dur\'ee  &  & & & & &  \\
2 &  du pr\^et & $5$ ans & & & & &  \\
\hline
 & Taux  & & & & & &  \\
3 & du pr\^et & = & & & & &  \\
\hline
 & Montant  &  & & & & & \\
4 & des annuit\'es & & & & & & \\
\hline
5 & & & & & & & \\
\hline
 & & & Capital restant  & Amortissement &  &  & Capital restant  \\
6 & &  Ech\'eance & d\^u avant & du capital & Int\'er\^ets & Annuit\'e & d\^u apr\`es  \\
 & &  & l'\'ech\'eance & & & & \'ech\'eance \\
\hline
7 & & 1 &  &  & &  &   \\
\hline
8 & & 2 &  &  & &  &  \\
\hline
9 & & 3 &  &  & & &   \\
\hline
10 & & 4 &  & & & &   \\
\hline
11 & & 5 &   & 3389,22\euro & 220,30\euro &  &   \\
\hline
 \end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item En utilisant les deux donn\'ees restantes, d\'eterminer le taux annuel du pr\^et.
\item Calculer ensuite le montant de l\'ech\'eance. Expliquer pourquoi la formule tap\'ee dans la cellule G11 est : \og =\$E\$11+\$F\$11 \fg 
\item Quel est le nombre qui devrait figurer en H11 ?
\item Comment calcule-t-on le capital avant \'ech\'eance ? En d\'eduire la formule de la cellule D13 ?
\item Compl\'eter le tableau
\item Pr\'eciser le montant de la somme emprunt\'ee par Sofiane.
\end{enumerate}

 

\end{document}
