\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 4}
\newcommand{\Ch}{Annales de probabilit\'es}
\newcommand{\Cl}{TST2S}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,vmargin=1.9cm,hmargin=1.5cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutExoCha


\textbf{\textsc{ Exercice 1}\hfill 6 points}

\medskip

Le tableau suivant, extrait d'une feuille d'un tableur, donne la répartition du nombre d'élèves de terminale à la 
rentrée 2008, suivant la filière choisie :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|} \hline
	&A					&B		&C		&D		&E		&F		&G		&H\\ \hline%
1	&					&ST2S	&ES		&S		&L		&STG	&Autres	&TOTAL\\ \hline
2	&Nombre de filles	&\np{23107}&\np{62714}&\np{74595}&\np{42392}&\np{47020}&\np{9603}&\np{259431}\\ \hline
3	&Nombre de gar\c{c}ons&\np{1538}&\np{38148}&\np{87682}&\np{11541}&\np{35326}&\np{39738}&\np{213973}\\ \hline
4	&Total				&\np{24645}	&\np{100862}&\np{162277}&\np{53933}&\np{82346}&\np{49341}&\np{473404}\\ \hline
5	&R\'epartition en pourcentage&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\multicolumn{9}{r}{\small Champ : France-Enseignement et priv\'e, minist\`ere de l'éducation Nationale}\\
\multicolumn{9}{r}{\small Source : Minist\`ere de l'éducation Nationale, Depp}\\
\end{tabularx}


\begin{center}\textbf{Partie A} \end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Quelle formule a été entrée en B4 et recopiée vers la droite pour obtenir les résultats de la ligne 4 ? 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la proportion d'élèves de ST2S parmi les élèves de terminale (on donnera le résultat à 0,1\,\% près) ? 
		\item La ligne 5 est au format pourcentage. Quelle formule peut-on entrer en B5 et recopier vers la droite pour compléter la ligne 5 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\begin{center}\textbf{Partie B} \end{center}

\noindent On rencontre au hasard un élève en terminale à la rentrée 2008. \\
Soit G l'événement \og L'élève rencontré est un garçon \fg{} et  
A l'événement \og L'élève rencontré est un élève de ST2S \fg{} \\
Dans la suite les probabilités demandées seront arrondies au millième.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $p$(G) la probabilité de l'événement G , puis $p$(A) celle de l'événement A. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Décrire par une phrase l'événement G~$\cap$~A. 
		\item Calculer la probabilité de cet événement.
	\end{enumerate} 
\item Sachant qu'on a rencontré un garçon, quelle est la probabilité qu'il prépare le baccalauréat ST2S ? 
\item Calculer la probabilité conditionnelle $p_{\text{A}}\left(\overline{\text{G}}\right)$, o\`u $\overline{\text{G}}$ désigne l'événement contraire de G. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}


\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points}

\medskip

\noindent Un laboratoire propose un test de dépistage d'une certaine maladie. Ce test présente les caractéristiques suivantes : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la probabilité qu'une personne atteinte de cette maladie ait un test positif est de $0,97$ ; 
\item[$\bullet~~$] la probabilité qu'une personne non atteinte de cette maladie ait un test négatif est de $0,99$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On souhaite procéder à un dépistage systématique dans une population donnée, au sein de laquelle s'est déclenchée une épidémie.
On admet que la proportion de personnes atteintes de la maladie dans cette population est 4\,\%. On choisit une personne au hasard et on note :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $M$ l'événement : \og la personne choisie est atteinte de la maladie \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $T$ l'événement : \og la personne choisie a un test positif \fg{} ;  
\item[$\bullet~~$] $\overline{M}$ et $\overline{T}$ les événements contraires respectifs des événements $M$ et $T$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, aucune justification n'est demandée.}
 
Donner les valeurs respectives des probabilités $P(M),\: P_{M}(T)$ et $P_{\overline{M}}\left(\overline{T}\right)$, puis recopier sur la copie et compléter l'arbre de probabilités 
ci-dessous.

\medskip

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$M$}}
	  { 
		  \TR{$T$}
		  \TR{$\overline{T}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{M}$}}
	  {
		  \TR{$T$}
		  \TR{$\overline{T}$}	  
	  }
	
}
\end{center}

\medskip

\item Définir par une phrase l'événement $M \cap T$, puis calculer sa probabilité. 
\item On admet que le résultat du test est correct s'il est conforme à l'état de santé de la personne soumise au dépistage. 
Justifier soigneusement l'affirmation suivante : \og la probabilité que le résultat du test soit correct est égale à \np{0,9892} \fg. 
\item \emph{Dans cette question, on arrondira le résultat à $10^{-4}$ près.} 

On appelle valeur prédictive d'un test de dépistage la probabilité qu'une personne présentant un test positif soit atteinte de la maladie. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $p(T)$. 
		\item En déduire la valeur prédictive de ce test.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}



\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 7 points}

\medskip

Pendant leur année de terminale, des élèves de ST2S d'un lycée ont passé des concours d'entrée dans différentes écoles spécialisées. Chacun de ces élèves n'a présenté qu'un seul concours.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] La moitié d'entre eux ont passé le concours d'entrée dans un institut de formation en soins infirmiers (I. F. S. I.)
\item[$\bullet~~$] Un cinquième d'entre eux ont passé le concours d'entrée dans une école de préparation au diplôme d'éducateur de jeunes enfants (D. E. E. J. E). 
\item[$\bullet~~$] Le reste des élèves a passé le concours d'entrée dans une école de préparation au diplôme d'éducateur spécialisé (D. E. E. S.).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Voici les résultats à l'issue de ces concours :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] I. F. S. I. : trois cinquièmes des candidats ont été admis. 
\item[$\bullet~~$] D. E. E. J. E. : un quart des candidats ont été admis. 
\item[$\bullet~~$] D. E. E. S. : un tiers des candidats ont été admis.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On choisit au hasard un élève qui a passé l'un des trois concours. On considère les événements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]  $A$ : \og l'élève a passé le concours d'entrée dans un I. F. S. I. \fg 
\item[$\bullet~~$]  $B$ : \og l'élève a passé le concours d'entrée dans une école préparant le D. E. E. J. E.\fg 
\item[$\bullet~~$]  $C$ : \og l'élève a passé le concours d'entrée dans une école préparant le D. E. E. S. \fg 
\item[$\bullet~~$]  $R$ : \og l'élève a été reçu à un concours \fg 
\item[$\bullet~~$]  $\overline{R}$ est l'événement contraire de $R$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Pour toutes les questions, les probabilités demandées seront données sous forme d'une fraction irréductible. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Les deux événements $A$ et $B$ sont-ils incompatibles ? Justifier. 
		\item Déterminer la probabilité de l'événement : \og l'élève a passé le concours d'entrée dans un I. F. S. I. ou dans une école préparant le D. E. E. J. E. \fg
	\end{enumerate} 
\item Recopier et compléter sur la copie, sans justifier, l'arbre de probabilités ci-dessous.

\medskip

\begin{center}

\pstree[treemode=R,treesep=1cm,levelsep=3cm,treenodesize=5pt,nodesep=5pt]{\TR{}}{
\pstree{\TR{$A$}\taput{$\dfrac{1}{2}$}}
	{
	\TR{$R$}\taput{$\dfrac{3}{5}$}
	\TR{$\overline{R}$}
	}
\pstree{\TR{$B$}\taput{$\dfrac{1}{5}$}}
	{\TR{$R$}
	\TR{$\overline{R}$}
	}
\pstree{\TR{$C$}}
	{\TR{$R$}
	\TR{$\overline{R}$}
	}	
}
\end{center} 

\item Déterminer la probabilité de l'événement: \og l'élève a passé le concours d'entrée dans une école préparant le D. E. E. S. et a été reçu \fg. 
\item Montrer que la probabilité de l'événement $R$ est égale à $\dfrac{9}{20}$. 
\item On rencontre un élève qui n'a pas été admis. Déterminer la probabilité qu'il ait passé le concours d'entrée dans une école préparant le D. E. E. J. E. 
\end{enumerate}


\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 7 points}

\medskip

Avant de lancer une nouvelle campagne de sensibilisation, une association humanitaire a étudié comment se sont répartis, en fonction de leur âge, les 400 donneurs de la campagne précédente, ceux-ci étant soit des donneurs occasionnels, soit des donneurs réguliers.

%\bigskip

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item On compte 70\,\% de donneurs occasionnels. 
\item Parmi les donneurs occasionnels, 30\,\% ont entre 20 et 34 ans. 
\item Un tiers des donneurs réguliers a entre 35 et 60 ans. 
\item Parmi les 198 donneurs agés de plus de 60 ans, 26,3\,\% sont des donneurs réguliers.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau ci-dessous. On arrondira les résultats à l'entier le plus proche. 
\begin{center}
%\textbf{Annexe \emph{à rendre avec la copie}}
\renewcommand\arraystretch{2.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Donneurs occasionnels& Donneurs réguliers& Total\\ \hline 
De 20 à 34 ans	&	&	&\\ \hline
De 35 à 59 ans	&	&	&\\ \hline
60 ans et plus	&	&	&\\ \hline  
Total			&	&	&400\\ \hline 
\end{tabularx}


\end{center}
\item  L'association a établi un fichier de ses donneurs.
 On prélève au hasard une de ces fiches. 
On notera : 
\begin{description}
\item[ ] R l'événement : \og la fiche choisie est celle d'un donneur régulier \fg{} et $\overline{\text{R}}$ l'événement contraire. 
\item[ ] A l'événement : \og la fiche choisie est celle d'un donneur agé de 20 à 34 ans \fg 
\item[ ] B l'événement : \og la fiche choisie est celle d'un donneur agé de 35 à 59 ans \fg 
\item[ ] C l'événement : \og la fiche choisie est celle d'un donneur agé de plus de 60 ans\fg.
\end{description} 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P$(B). 
		\item On choisit au hasard une fiche parmi celles de tous les donneurs. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse de la fiche d'un donneur régulier agé de plus de 60 ans ?
	\end{enumerate} 
\item On considère $P_{\text{C}}\left(\overline{\text{R}}\right)$ . 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer cette probabilité par une phrase. 
		\item La calculer, au millième près. 
		\item Les événements C et R sont-ils indépendants ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 5}\hfill 7 points}

%\medskip

%\emph{Dans cet exercice, les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.}

%\bigskip
 
\textbf{Partie A :} L'indice de masse corporelle d'un individu (IMC) s'obtient par la formule :
 $\text{IMC} = \dfrac{m}{t^2}$

où $m$ est la masse de l'individu en kilogrammes et $t$ sa taille en mètres. 

On dit qu'une personne souffre d'obésité lorsque son indice de masse corporelle est supérieur ou égal à 30.

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer (à $10^{-1}$ près) l'indice de masse corporelle d'un individu mesurant 1,75~m et pesant 72~kg.

Cet individu sera-t-il considéré comme obèse ? 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Un individu pèse 90~kg. Sachant qu'il est atteint d'obésité, que peut-on en déduire en ce qui concerne sa taille ?
\end{enumerate}

%\vspace{0.5cm}
 
\textbf{Partie B :} Une étude statistique a porté sur \np{1250}~personnes agées de 18 à 65 ans. On a dénombré combien d'entre elles souffraient d'obésité et combien étaient 
atteintes d'une maladie cardio-vasculaire. On a obtenu les résultats suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 150 d'entre elles souffrent d'obésité, 
\item Parmi ces 150 personnes souffrant d'obésité, 27 sont atteintes d'une maladie cardiovasculaire, 
\item Parmi les personnes ne souffrant pas d'obésité, 7\,\% sont atteintes d'une maladie cardiovasculaire.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On interroge une personne prise au hasard parmi les \np{1250} sur lesquelles a porté l'étude.

On note O l'événement : \og la personne interrogée souffre d'obésité \fg{} et C l'événement : \og la personne interrogée est atteinte d'une maladie cardio-vasculaire \fg.
 
On rappelle les notations usuelles : A et B étant deux événements non vides, on note

\medskip

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $\overline{\text{A}}$ l'événement contraire de l'événement A. 
\item[] $p$(A) la probabilité d'un événement A. 
\item[] $p_{\text{B}}(\text{A})$ la probabilité de l'événement A sachant que l'événement B est réalisé.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\emph{Pour cette partie, les probabilités seront données sous forme décimale.}

\medskip
 
\parbox{0.5\linewidth}{\textbf{1.} Recopier et compléter l'arbre de probabilités suivant :}\hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{arrows=->}\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{O}\taput{\ldots}}
	{\TR{C}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{\text{C}}$}\tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{\text{O}}$}\tbput{\ldots}}
	{\TR{C}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{\text{C}}$}\tbput{\ldots}
	}

}}

\begin{enumerate}
\item[\textbf{2.}]
	\begin{enumerate}
		\item Donner $p$(O) et $p_{\text{O}}$(C).
		\item Calculer $p(\text{O} \cap \text{C})$.
		\item Calculer la probabilité que la personne interrogée soit atteinte d'une maladie cardiovasculaire sans souffrir d'obésité.
	\end{enumerate}
\item[\textbf{3.}] Calculer la probabilité que la personne interrogée soit atteinte d'une maladie cardiovasculaire. 
\item[\textbf{4.}] Sachant que la personne interrogée est atteinte d'une maladie cardio-vasculaire, quelle est la probabilité qu'elle souffre d'obésité? Donner un arrondi à $10^{-4}$ près. 
\end{enumerate}

\end{document}