\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 8}
\newcommand{\Ch}{Les droites}
\newcommand{\Cl}{Seconde}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2cm}

\setcounter{NumLecon}{8}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\debutCha{Degas_Toilette2.eps}{Autoportrait (1863) \fg \, et \og Le Tub (1885)}{Edgar Degas}   					% Image + titre + Auteur
{Quand quelqu'un paye un tableau $3\,000$ francs, c'est qu'il lui plaît. \linebreak[4]
 Quand il le paye $300\,000$ francs, c'est qu'il plaît aux autres. }{Edgar Degas} 		% Citation + Auteur
 {Edgar Degas (1834-1917) est un peintre français, en général rattaché au mouvement impressionniste, 
formé à la fin du XIXe siècle, en réaction à la peinture académique de l’époque. \\
Sa carrière fut dès le départ influencée par les danseuses.  
En 1874, il commence à se faire connaître, les critiques louant ou dénigrant le réalisme de son travail. 
Il explore des thèmes comme les repasseuses ou les femmes à leur toilette, 
multipliant les points de vue audacieux, recherchant des effets lumineux et colorés.
Il dit d’ailleurs à propos de ses nus : \og Jusqu’à présent, le nu avait toujours été représenté dans des poses qui 
supposent un public. Mais mes femmes sont des gens simples... Je les montre sans coquetterie, à l’état de bêtes qui se nettoient.
 \fg \\
A partir des années 1880, Degas va aussi poser la question d'une sculpture « impressionniste », 
réalisant des modèles en cire peints au naturel, qu'il accessoirise ensuite. 
Seule \textit{La Grande Danseuse} (cf première page) fut présenté de son vivant, 
les autres modèles l'aidant surtout dans ses peintures. 
Cette incarnation de la grâce et de l'innocence trahit en réalité la fascination de Degas pour la criminalité. 
En effet, avec son visage est sculpté sur le modèle des physionomies de criminels définies à l'époque, et
la danseuse était un parfait \og petit rat \fg , transmettant la syphilis aux bourgeois venant la voir ... 
} 						% Présentation auteur
{1.1}		% Ratio portrait
{0.31}		% Ratio Image


\TITRE{Degas_Petite_Danseuse_de_14_ans(1881).eps}{0.4} 						% Image 1ere page + ratio
%\begin{abstract}
 

\begin{Intro}{Introduction}{
On sait déjà que l'on peut décrire une droite par la donnée de deux points. \\
On peut également la décrire à partir d'un point et d'un vecteur directeur donnés.\\
Enfin, on peut parfois la décrire comme la représentation graphique d'une fonction affine donnée.\\
Nous allons voir les avantages de chacune de ses méthodes et en découvrir une nouvelle.
}
\end{Intro}

Dans tout le chapitre, on se place dans un repère orthonormé du plan.

\section{D'un point de vue géométrique}
\subsection{Vecteurs colinéaires}
\Act{Soit $(O; \vec i; \vec j)$ un repère du plan..\\
Soient cinq points $A(2;5)$, $B(-1,4)$, $C(8;7)$, $D(0;-4)$ et $E(4.5;-0.5)$
\begin{enumerate}
 \item Faire un schéma.
\item \begin{enumerate}
       \item Trouver les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{ED}$.
     \item Exprimer les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{ED}$.
      \item Que peut-on en déduire sur la direction de ces deux vecteurs ? sur les droites $(AB)$ et $(ED)$ ?
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
        \item  Trouver les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
     \item Exprimer les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{AC}$.
      \item Que peut-on en déduire sur la direction de ces deux vecteurs ? sur les droites $(AB)$ et $(AC)$ ?
	\item Que peut-on alors en déduire pour les points $A$, $B$ et $C$ ?\\
       \end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\Defc{
Deux vecteurs non nuls $\vec u$ et $\vec v$ sont dits \textbf{colinéaires} lorsqu'ils ont la même direction.
}

\Att{On n'emploiera jamais le mot \og parallèles \fg pour des vecteurs !! En effet, les vecteurs n'ont pas de 
position fixe dans le plan, contrairement aux droites ...\\
Lorsque l'on aura deux vecteurs colinéaires, on pourra cependant dire que deux droites portées par ses vecteurs
sont parallèles.
}

\Thc{
Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colin\'eaires ssi il existe un r\'eel $k$ tel que $\vec u =k \vec v$.\\
Autrement dit, les vecteurs $\vec u \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ et 
$\vec v \left(\begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right)$ sont colin\'eaires ssi  leurs coordonnées sont proportionnelles.
}

\begin{multicols}{2}
 \Expl{
Citer des vecteurs colin\'eaires de la figure ci-dessous et traduire par une relation vectorielle :} %\vspace{-1cm}
\begin{center}
 \psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-3.2)(9.2,6.2)
\def\xmin{-1} \def\xmax{9} \def\ymin{-3} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.2,-3.2)(9.2,6.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-1,-3)(9,6)
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[90.0000](1.0000,4.0000){A}
\uput{0.3000}[90.0000](6.0000,4.0000){B}
\uput{0.3000}[-90.0000](0.0000,0.0000){C}
\uput{0.3000}[110.0000](5.0000,0.0000){D}
\uput{0.3000}[0.0000](8.0000,0.0000){E}
\uput{0.3000}[-90.0000](4.5000,-2.0000){F}
\psline{->}(1.0000,4.0000)(0.0000,0.0000)
\psline{->}(0.0000,0.0000)(8.0000,0.0000)
\psline{->}(0.0000,0.0000)(6.0000,4.0000)
\psline{->}(6.0000,4.0000)(4.5000,-2.0000)
\psline{->}(4.5000,-2.0000)(8.0000,0.0000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
 

\Expls{
$\vec u \left(\begin{array}{c} 3 \\ 4  \end{array} \right)$ et $\vec v \left(\begin{array}{c} 4.5 \\ 6  \end{array} \right)$ sont-ils colin\'eaires ? 
\quad M\^eme question pour $\vec s \left(\begin{array}{c} 3 \\ 4  \end{array} \right)$ et $\vec g \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2  \end{array} \right)$
}

\Exos[Hyperbole]{
n$^{\circ}$ 46-47-48 p 207
}

\subsection{Application à la géométrie}

\Ptec{Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan  deux à deux distincts.\\
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles ssi  les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
}

\Corc{Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan deux à deux distincts.\\
Les points $A$, $B$ et $C$  sont alignés ssi  les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
}

\Cadre[M\'ethode]{Pour d\'emontrer que trois points sont align\'es, il suffit de d\'emontrer que deux des vecteurs form\'es par les trois points sont colin\'eaires.
}

\Rq{La relation de Chasles \og à l'envers \fg s'avèrera souvent utile pour démontrer que deux vecteurs sont colénaires.}

\Expl{
Dans un repère $(O; \vec i ; \vec j )$ du plan, on donne $A(-4;-1)$, $B(-1;1)$, $C(3;3)$, $D(-1;-3)$ et $E(5;1)$.
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DE}$ sont colinéaires.
\item En déduire la nature du quadrilatère $ABED$
\item Les points $A$, $B$, $C$ sont-ils alignés ?
\end{enumerate}

}

\Expl{
Soit $ABC$ un triangle, $M$ et $N$ tels que $\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ et
 $\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$. \\
Montrer que $A$, $M$ et $N$ sont align\'es.
}


\Exos[Hyperbole]{
n$^{\circ}$ \textbf{49}-50-\textbf{51} p 207 + \textbf{62-63-64-73} p 209
}

\section{D'un point de vue analytique}

\subsection{Equation de courbe}

\Cadre[Une condition nécessaire et suffisante]{Chaque courbe est un ensemble de points du plan, 
repérés par un couple de coordonnées.\\
On \textbf{caractérise} alors une courbe par \textbf{une condition nécessaire et suffisante} 
sur les coordonnées des points qui appartiennent à cette courbe. \\
Il s'agit d'une \textbf{équation} que doivent vérifier les coordonnées des points pour être
sur la courbe (condition nécessaire), et que les points de la courbe sont les seuls à vérifier (condition suffisante).
}

\Expl{Le cercle $\mathcal C$ de centre $O$ et de rayon 1 est caractérisé par la relation $x^2+y^2=1 \quad (R)$.\\
Cela signifie que : 
\begin{itemize}
 \item Si un point $A(x_A;y_A)$ appartient à $\mathcal{C}$ alors ses coordonnées vérifient la relation $(R)$, \\
c'est-à-dire que $x_A^2+y_A^2=1$
 \item Réciproquement, si les coordonnées d'un point $B(x_B;y_B)$ vérifient $(R)$,  \\ c'est-à-dire si l'on a $x_B^2+y_B^2=1$ 
alors $B$ appartient à $\mathcal{C}$.
\end{itemize}
Autrement dit, tous les points qui sont sur $\mathcal{C}$ ont des coordonnées $(x;y)$ qui vérifient $(R)$, et ce sont les seuls points du plan
comme cela. On appelle cette relation l'\textbf{équation de la courbe}. \\

Ici, le cercle $\mathcal{C}(O;1)$ est la courbe d'équation $x^2+y^2=1$.
\begin{enumerate}
 \item Vérifier que $I$ et $J$ appartiennent à $\mathcal C$
 \item Le point $M\left(\dfrac{3}{4}; \dfrac{1}{4} \right)$ appartient-il à $\mathcal C$ ? 
Et le point $N\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ ?
 \item Sur un schéma, on voit clairement qu'il y a deux points de $\mathcal C$ ayant pour abscisse $\dfrac{1}{3}$. \\
Trouver ces deux points.
 \item Le cercle $\mathcal{C}$ est-il la courbe représentative d'une fonction ? Pourquoi ?\\
\end{enumerate}
}

\Cadre[Courbe représentative d'une fonction]{
On sait déjà que la courbe $\mathcal C_f$ représentative d'une fonction $f$, définie sur $\mathcal D_f$, 
est l'ensemble des points $M \left(x;f(x)\right)$ avec $x\in\mathcal D_f$.\\
Par conséquent, on connait une condition nécessaire et suffisante sur les coordonnées de points 
de la courbe : $y=f(x)$ pour $x\in\mathcal{D}_f$. Il s'agit donc de l'équation de $\mathcal C_f$.
}

\Expl{Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = -2x^2+3x+2$. Une équation de sa courbe représentative
est $y=-2x^2+3x+2$.
}


\subsection{Equations de droite}


Intéressons nous désormais au cas particulier des droites. On sait déjà que la courbe représentative d'une fonction
affine est une droite. Donc certaines d'entre elles ont une équation du type $y=mx+p$.\\
Mais toutes les droites représentent-elles une fonction affine ? Sinon, de quelle forme est leur équation ??\\
De plus, y a-t-il une forme générale pour les équations de droites, et si oui, laquelle ??

\Act{}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-5.1,-3.1)(7.1,4.1)
\def\xmin{-5} \def\xmax{7} \def\ymin{-3} \def\ymax{4}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-5,-3)(7,4)
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0 2 x mul 3 div sub 1 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-5}{7}{\F}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\uput[ur](4,-3){$d$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
 \item Soit la droite $d$ représentée ci-dessus. 
\begin{enumerate}
 \item Déterminer graphiquement la fonction affine qu'elle représente.
 \item Dire si les points suivants appartiennent à $d$ ou non.
$$A\left(-1 ; \dfrac{5}{3} \right) \qquad B\left(100 ; -\dfrac{197}{3} \right) \qquad  C\left(0;\dfrac{1}{3} \right)  \qquad D(-3;3) $$
 \item Calculer l'ordonnée du point $E$ d'abscisse $0$ appartenant à $d$.
 \item Calculer l'abscisse du point $F$ d'ordonnée $1$ appartenant à $d$.
 %\item Calculer les coordonnées des points $G$ et $H$ d'intersection de $d$ avec les axes du repère.
\end{enumerate}
 \item Soit la fonction affine $f$ telle que $f(4)=1$ et $f(0)=5$.  
\begin{enumerate}
 \item Déterminer  l'expression algébrique de $f$.
 \item Quelle est sa courbe représentative (géométriquement ) ?
 \item La tracer dans le repère ci-dessus.
  \item Quelle son équation ?
\end{enumerate}
 \item Soit $d'$  la droite passant par $K(3;2)$ et de coefficient directeur $\dfrac{1}{2}$. 
\begin{enumerate}
 \item Tracer $d'$ dans le repère ci-dessus.
 \item Trouver par le calcul les coordonnées du point d'intersection de $d'$ avec l'axe des ordonnées.
 \item En déduire la fonction affine que $d'$ représente, puis l'équation de $d'$.
\end{enumerate}
 \item Toutes les droites du plan sont-elles représentatives de fonction affine ?
\item Soient $A(2;0)$, $B(2;-15)$ et $E(2;2010)$.  \begin{enumerate}
 \item Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?
 \item La droite $(AB)$ est-elle représentative d'une fonction affine ?
 \item Soit $M(x;y)$ un point du plan. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur ses coordonnées pour que $M \in(AB)$.
 \item Construire dans le repère les droites d'équation $x=0$, $x=-3$ et $x=\frac{7}{2}$.
 \item Soit $c\in\R$ et $C(c;0)$. Donner une équation de la droite parallèle à l'axe des ordonnées et passant par $C$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\Cadre[Rappel]{
Dans le plan muni d'un repère, une droite peut être :
\begin{itemize}
 \item Soit parallèle à l'axe des ordonnées
 \item Soit sécante à l'axe des ordonnées : c'est alors la courbe représentative d'une fonction affine.
\end{itemize}
}

\Ptec{\begin{itemize}
       \item Une droite $d$, parallèle à l'axe des ordonnées a une équation du type $x=c$, où $c\in\R$.
      \item Une droite $d$ sécante à l'axe des ordonnées a une équation de la forme $y=mx+p$, où $m$ et $p$ sont des nombres réels.
      \end{itemize}
Finalement, on peut toujours écrire l'équation d'une droite sous la forme $ax+by=c$, où $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels.
}

\Rq{Cela signifie qu'un point $M(x;y)$ appartient à $d$ si et seulement si $y=mx+p$ (ou si et seulement si $ax+by=c$).
}

\Defc{Une équation de la droite $d$, de la forme $y=mx+p$ est appelée \textbf{équation réduite} de $d$, $m$ son \textbf{coefficient directeur}
 et $p$ son \textbf{ordonnée à l'origine}.\\
Une équation de la droite $d$, de la forme $ax+by=c$ est appelée \textbf{équation généralisée} de $d$.
}

\Rq{
L'équation réduite d'une droite, lorsqu'elle existe, est unique. \\
Par contre, il existe toujours une infinité 
d'équations généralisées d'une droite.
}

\Expl{
La droite d'équation réduite $y=3x+2$ est également caractérisée par l'équation généralisée $3x-y=-2$,
ou encore par $6x-2y=-4$ ou encore $-3x+y=2$ etc.
}\\

\Ptec{
Dans un repère, on donne les points $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ avec $x_A \neq x_B$.\\
Le vecteur $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c}
                         x_B -x_A \\ y_B-y_A
                        \end{array}\right)$ est un vecteur directeur de $(AB)$. \\
Le coefficient directeur de $(AB)$ est alors donné par :
$$m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$}

\Rq{Voir illustration p 176}

\Expl{Trouver l'équation réduite de la droite passant par $A(3;-1)$ et $B(-5;2)$.\\
Donner ensuite quatre équations généralisées de cette droite.}

\subsection{Intersection de droites}


\Ptec{Deux droites d'équation $y=mx+p$ et $y=m'x+p'$ sont parallèles ssi $m=m'$.}

\Expl{Les droites d'équation $y=36.5x-54$ et $y=36.5x+\pi$ sont parallèles.
}

\Cadre[Point d'intersection]{
Si deux droites $d:y=mx+p$ et $d':y=m'x+p'$ ne sont pas parallèles (ie si $m\neq m'$), alors elles se coupent
en un unique point. Ce point appartenant aux deux droites, ses coordonnées vérifient simultanément les deux équations
des droites $d$ et $d'$. Il s'agit donc de l'unique couple solution du système :
$$\left\{\begin{array}{l}
   y=mx+p \\ y=m'x+p
  \end{array} \right.$$}

\Rqs{
\item Si $d//d'$ strictement alors le système n'admet pas de solution. En effet, s'il en admettait une, cela signifierait qu'il existe
un couple de coordonnées qui vérifie les deux équations des droites simultanément, donc que le point 
correspondant appartient au deux droites, ce qui est impossible.
\item Si $d$ et $d'$ sont parallèles confondues, alors elles ont la même équation réduite, donc il existe une infinité
de solutions au système. En effet, tous les points de $d'$ appartiennent à $d$ et réciproquement.
\item Il est clair que le principe énoncé est le même, peu importe la forme des équations des droites.}

\Expl{
Trouver les coordonnées de l'éventuel point d'intersection de $d_1:y=3x+5$ et $d_2:y=-2x+1$.\\
Même question pour $d_1$ et $d_3 : 4x+2y-1=0$, puis pour $d_2$ et $d_3$. 
}

%%%%% Exo DS : 57 p 197 + 66 p 198 + 78-82-83 p 200 + 93 p 201
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 		Les Annexes


\flushright{
\og \textit{Il faut avoir une haute idée, non pas de ce qu'on fait, mais de ce qu'on pourra faire un jour ; 
sans quoi ce n'est pas la peine de travailler.} \fg EDGAR DEGAS.
}

\end{document}
