\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 7}
\newcommand{\Ch}{Fonctions de R\'ef\'erence}
\newcommand{\Cl}{Seconde}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2cm}

\setcounter{NumLecon}{7}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\debutCha{Degas_Toilette2.eps}{Autoportrait (1863) \fg \, et \og Le Tub (1885)}{Edgar Degas}   					% Image + titre + Auteur
{Quand quelqu'un paye un tableau $3\,000$ francs, c'est qu'il lui plaît. \linebreak[4]
 Quand il le paye $300\,000$ francs, c'est qu'il plaît aux autres. }{Edgar Degas} 		% Citation + Auteur
 {Edgar Degas (1834-1917) est un peintre français, en général rattaché au mouvement impressionniste, 
formé à la fin du XIXe siècle, en réaction à la peinture académique de l’époque. \\
Sa carrière fut dès le départ influencée par les danseuses.  
En 1874, il commence à se faire connaître, les critiques louant ou dénigrant le réalisme de son travail. 
Il explore des thèmes comme les repasseuses ou les femmes à leur toilette, 
multipliant les points de vue audacieux, recherchant des effets lumineux et colorés.
Il dit d’ailleurs à propos de ses nus : \og Jusqu’à présent, le nu avait toujours été représenté dans des poses qui 
supposent un public. Mais mes femmes sont des gens simples... Je les montre sans coquetterie, à l’état de bêtes qui se nettoient.
 \fg \\
A partir des années 1880, Degas va aussi poser la question d'une sculpture « impressionniste », 
réalisant des modèles en cire peints au naturel, qu'il accessoirise ensuite. 
Seule \textit{La Grande Danseuse} (cf première page) fut présenté de son vivant, 
les autres modèles l'aidant surtout dans ses peintures. 
Cette incarnation de la grâce et de l'innocence trahit en réalité la fascination de Degas pour la criminalité. 
En effet, avec son visage est sculpté sur le modèle des physionomies de criminels définies à l'époque, et
la danseuse était un parfait \og petit rat \fg , transmettant la syphilis aux bourgeois venant la voir ... 
} 						% Présentation auteur
{1.1}		% Ratio portrait
{0.31}		% Ratio Image


\TITRE{Degas_Petite_Danseuse_de_14_ans(1881).eps}{0.4} 						% Image 1ere page + ratio
%\begin{abstract}
 

\begin{Intro}{Au fil du temps}{
Nous avons déjà entrevu ce que sont les fonctions dans un cadre général, ainsi que le vocabulaire associé à 
cette notion et utile pour décrire les comportements des fonctions.\\
Dans ce chapitre, nous allons revoir tout cela (ensemble de définition, variations, signe, courbe représentative)
mais en nous concentrant sur certaines fonctions dites \og de référence \fg \,. 
Ces fonctions portent ce nom car leur expression algébrique est simple, ce qui les rend simples à étudier, 
et car grâce à elles et leurs propriétés, nous pourrons étudier par la suite des fonctions bien plus 
complexes, construites à partir de celles-ci.
}
\end{Intro}

Dans tout le chapitre, on se place dans un repère orthonormé du plan.

\section{Les fonctions affines}
Dans toutes cette partie, $m$ et $p$ désignent deux r\'eels fixés. \\
Les définitions et résultats de cette partie ne sont que des rappels.
Les démonstrations de cette partie ont déjà été traitées également.
\subsection{D\'efinition}
\Defc{
On appelle \textbf{fonction affine} toute fonction dont l'expression alg\'ebrique est de la forme 
$f(x)=mx+p$. }

\Rqs{
\item L'expression alg\'ebrique d'une fonction affine ne comporte ni quotient, ni racine.\\
Son ensemble de d\'efinition est donc $\R$.
\item Les fonctions affines pour lesquelles $p=0$, donc du type $f(x)=mx$ sont appelées fonctions linéaires.
 \item Les fonctions affines pour lesquelles $m=0$, donc du type $f(x)=p$ sont appelées fonctions constantes.}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{fct_affine.eps}
\end{center}

\Expls{
Les fonctions $ f : x \mapsto -\pi x+\dfrac{2}{3}$,\quad  $g:x\mapsto 3$, \quad 
$h : x \mapsto x$ \quad et \quad $k:x\mapsto -3 (x-1)^2+3x^2$ sont affines. \newline
En effet, pour les trois premières, c'est évident et pour la dernière, on a 
$$k(x)=-3(x^2-2x+1)+3x^2=-3x^2+6x-3+3x^2=6x-3$$
Ce qui est bien une expression du type affine.\\
Les fonctions $ l : x \mapsto 3x^2+2$ \quad et \quad $ n : x \mapsto \dfrac{3}{x}+2$ ne le sont pas, car elles 
ne peuvent pas s'écrire sous la forme $mx+p$.\\
}


\Expl{Trouver la fonction affine telle que $f(1)=3$ et $f(-2)=-1$.\newline
$f$ est une fonction affine ce qui \'equivaut \`a dire qu'il existe deux r\'eels $m$ et $p$ tels que 
pour tout $x$ de $\R$, $f(x)=mx+p$. On a : 
$$\left\{\begin{array}{l}
          f(1)=5 \\ f(-2)=-1
         \end{array}\right. \iff
 \left\{\begin{array}{l}
          m\times 1 + p = 5 \\ m \times (-2) +p=-1
         \end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l}
          p=5-m \\ -2m+(5-m) =-1
         \end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l}
          p=5-m \\ -3m=-6
         \end{array}\right.
\iff
\left\{\begin{array}{l}
          m=2 \\ p=3
         \end{array}\right.
$$
La fonction affine $f$ v\'erifiant $f(1)=5$ et $f(-2)=-1$ est $f:x\mapsto 2x +3$.\\
\textit{\textbf{Vérification}} : L'image de $-2$ par $f$ est $f(-2)=2 \times (-2) + 3 = -1$ et l'image de $1$ est 
$f(1)=2 \times 1 + 3 = 5$. 
}

\Exop{
D\'eterminer la fonction affine $f$ telle que $f(-2)=9$ et $f(3)=-11$.\\
Déterminer la fonction linéaire $g$ telle que $g(3)=7$.
}

\subsection{Sens de variation et Signe}

\Ptec{Soit $f$ une fonction affine d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=mx+p$.
\begin{itemize}
 \item Si $m<0$, alors $f$ inverse l'ordre $\R$, ie $f$ est strictement décroissante sur $\R$
\item Si $m=0$, alors $f$ est constante sur $\R$
\item Si $m>0$, alors $f$ est conserve l'ordre sur $\R$, ie $f$ est strictement croissante sur $\R$
\end{itemize}
}


\Expl{
On donne les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x)=-3x-\dfrac{5}{8}$, $g(x)=87\,968x-\sqrt{5\,468}$.
\begin{enumerate}
 \item Donner, sans calculatrice, l'ordre des images des nombres :
\begin{multicols}{3}
 \begin{enumerate}
  \item 1 et 5
  \item $\sqrt{10}$ et $-\pi$
  \item $2\sqrt{5}$ et $\sqrt{15}$
 \end{enumerate}
\end{multicols}
 \item Donner, sans calculatrice, l'ordre des antécédents des nombres :
\begin{multicols}{3}
 \begin{enumerate}
  \item $-\dfrac{45}{987}$ et $-\dfrac{45}{65498}$
  \item $\sqrt{180}$ et $2\sqrt{98}$
  \item $\dfrac{3^4\times 5^{13}}{15^7}$ et $\dfrac{5^3\times 3^{10}}{15^{10}}$
 \end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
}

\Exos{14 à 16 p 69}


\Ptec{
Soit $f$ la fonction affine d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=mx+p$ avec $m \neq 0$. 
Alors :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=4]{$x$/1,Signe de $mx+p$/1.5}{$-\infty$,$-\dfrac{p}{m}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,\text{Signe Opposé de } m,z,\text{Signe de } m }
\end{tikzpicture}
\end{center}
}


On peut alors résumer les variations et le signe d'une fonction affine en fonction du signe de $m$.
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
$m<0$\\  \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=1.7]{$x$/1,Variations de $f$/2, Signe de $f(x)$/1}{$-\infty$,$-\dfrac{p}{m}$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+/,R,-/}
\tkzTabIma{1}{3}{2}{$0$}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\end{tikzpicture}\\

$m>0$\\
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=1.7]{$x$/1,Variations de $f$/2, Signe de $f(x)$/1}{$-\infty$,$-\dfrac{p}{m}$,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/,R,+/}
\tkzTabIma{1}{3}{2}{$0$}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}
  
\end{multicols}


\Expl{Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-\dfrac{3}{4}x+3$. 
Donner son tableau de variation et son tableau de signe.\\
$f$ est unne fonction affine et on a $m=-\dfrac34$ donc $f$ est strictement décroissante sur $\R$.\\
Pour établir son tableau de signe, nous devons résoudre :
 $$f(x)=0 \iff -\dfrac34x+3=0 \iff -\dfrac34x=-3 \iff x=-3\times \left(- \dfrac43 \right) = 4$$
Nous pouvons désormais donner le tableau de variation et de signe de $f$
}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/0.5,Variation de $f$/1.8,Signe de $-\frac{3}{4}x+3$/1}{$-\infty$,$4$,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/,R,+/}
\tkzTabIma{1}{3}{2}{$0$}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\Exos{17-18 p 67}
\end{multicols}


\subsection{Repr\'esentation graphique}

\Ptec[Définition]{La repr\'esentation graphique d'une fonction affine est une droite. 
Son \'equation r\'eduite est $y=mx+p$. \newline
$m$ est appel\'e le \textbf{coefficient directeur} et $p$ l'\textbf{ordonn\'ee \`a l'origine}.}


\begin{center}
 \psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-4,-2)(8,5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4,-2)(8,5)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-4,-2)(8,5)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{-4}{8}{(--18-3*x)/6}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red]{-4}{8}{(--4-7*x)/-4}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=green]{-4}{8}{(--24-0*x)/8}
\rput[bl](-3,4.5){\blue{$m<0$}}
\rput[bl](3,4){\red{$m>0$}}
\rput[bl](-3,2.68){\green{$m=0$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Cadre[Interpr\'etation graphique]{
Comme le dit son nom, le coefficient directeur donne la direction de la droite. Ainsi, il s'agit
de la valeur du \og déplacement \fg en ordonnée correspondant à un \og déplacement \fg 
en abscisse de $+1$ unité.\\
L'ordonnée à l'origine correspond à l'ordonnée du point d'intersection de la droite 
et de l'axe des ordonnées.}
\begin{center}
\begin{multicols}{2}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-3,-2)(4,6)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-3,-2)(4,6)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-3,-2)(4,6)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](2,3)(3,3)(3,5)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,-1)(1,-1)(1,1)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red]{-3}{4}{(--2-4*x)/-2}
\rput[bl](2.5,2.5){\zzttqq{1}}
\rput[bl](3.09,4){\zzttqq{$m = 2$}}
\rput[bl](1.09,0.4){\zzttqq{$m = 2$}}
\rput[bl](0.5,-1.5){\zzttqq{1}}
\rput[bl](-1.5,-1.5){\zzttqq{$p=-1$}}
\end{pspicture*}
\begin{pspicture*}(-4,-2)(6,6)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4,-2)(4,6)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-4,-2)(4,6)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-3,4)(-2,4)(-2,3.5)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1,2)(3,2)(3,1)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{-4}{4}{(--15-3*x)/6}
\rput[bl](-2.5,4.25){\zzttqq{1}}
\rput[bl](-1.91,3.5){\zzttqq{$m = -0.5$}}
\rput[bl](2.1,2.25){\zzttqq{2}}
\rput[bl](3.1,1.5){\zzttqq{$2m = -1 $}}
\rput[bl](3,1){\zzttqq{$\iff  m=-0.5$}}
\rput[bl](-1.5,2.2){\zzttqq{$p=2.5$}}
\end{pspicture*}
\end{multicols}
\end{center}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
 \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(7,5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-1)(6,5)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-1,-1)(6,5)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](2,2)(5,2)(5,4)
\psplot{-1}{6}{(--2--2*x)/3}
\rput[bl](0.2,0.2){\zzttqq{$p=\dfrac23$}}
\rput[bl](3.5,1.5){\zzttqq{3}}
\rput[bl](5.1,3){\zzttqq{$3m = 2$}}
\rput[bl](5,2){\zzttqq{$\iff m = \dfrac23$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Rq{
Notons que les déplacements en abscisse et en ordonnée sont proportionnels. Ainsi, si l'on se déplace 
de $+2$ unités en abscisse, on se déplacera de deux fois le coefficient directeur en ordonnée, et ce, 
peu importe l'endroit d'où l'on part.\\
On peut également constater que si l'on choisit un vecteur directeur $\overrightarrow{u}$
 de la droite (n'importe lequel) et que l'on 
lit ses coordonées $x_{\overrightarrow{u}}$ et $y_{\overrightarrow{u}}$, alors 
$$m=\dfrac{y_{\overrightarrow{u}}}{x_{\overrightarrow{u}}}$$
}
\end{multicols}
En particulier, si l'on a deux points $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ de la droite, alors 
$\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de la droite. Ses coordonnées sont 
$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c}
        x_B-x_A \\ y_B-y_A
       \end{array}\right)$ et l'on a donc \fbox{$m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$}.\\

\Cadre[Méthode pour tracer la représentation graphique d'une fonction affine]{
On a donc deux méthodes :
\begin{itemize}
 \item Choisir deux nombres $x_1$ et $x_2$, calculer leurs images $f(x_1)$ et $f(x_2)$, 
placer les points de  coordonnées $(x_1;f(x_1))$ et $(x_2;f(x_2))$ dans un repère, puis les relier à la règle.
 \item Placer le point sur l'axe des ordonnées par lequel passe la droite grâce à l'ordonnée à l'origine $p$, 
puis tracer la droite en utilisant l'interprétation graphique du coefficient directeur $m$.
\end{itemize}
}

\begin{multicols}{2}
\Expl{
Reprenons la fonction $f$ de l'exemple précédent, définie par $f(x)=-\dfrac34x+3$.
Elle a pour représentation graphique }
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(6,4)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-2)(5,4)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-2)(5,4)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,3)(4,3)(4,0)
\psplot{-2}{5}{(--12-3*x)/4}
\rput[bl](2.1,3.25){\zzttqq{4}}
\rput[bl](4.09,2.53){\zzttqq{$4m = -3$}}
\end{pspicture*}
  \end{center}
\end{multicols}


\Exop{
\begin{enumerate}
 \item Trouver le coefficient directeur puis l'ordonnée à l'origine de la droite passant par $A(2;-1)$ et $B(3;5)$. 
En déduire l'expression de la fonction affine représentée par cette droite.
 \item Même question pour les points $C(-1,2)$ et $D(3;-1)$.
\item Trouver les coordonnées du point d'intersection des droites $(AB)$ et $(CD)$.
\end{enumerate}
}



\Exop{Sur le site internet de la maaf, on peut étudier la courbe de notre taux d'alcoolémie, en fonction de divers
paramètres (sexe, âge, taille, poids, consommation d'alcool, repas, heure).
\begin{enumerate}
 \item Trouver ce site internet et faire divers tests en changeant les paramètres.
 \item Rentrer ensuite les paramètres suivants :
\begin{itemize}
 \begin{multicols}{4}
\item Sexe : Homme
 \item Age : 16 ans
 \item Poids : 65 kg
 \item Taille : 170 cm
 \end{multicols}
\item Consommations :
\begin{itemize}
 \begin{multicols}{2}
\item[$\bullet$] A 19h00, 19h30 et 20h00 : 1 Pastis (43°)
\item[$\bullet$] A 20h15 : 1 Casse-croute
\item[$\bullet$] A 20h30, 20h45 et 21h00 : 1 Bière (5°)
\item[$\bullet$] A 21h30 et 22h00 : 1 verre de Vin (12°)
\end{multicols}
\end{itemize}
 \end{itemize}
\item Décrire l'allure de la courbe obtenue.
\item Déterminer graphiquement l'expression affine de chacun des morceaux de droites composant la courbe obtenue, 
reproduite ci-dessous, en précisant pour quelles valeurs de $t$ ils sont valables.
\end{enumerate}
}
\begin{center}
\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1)(12.5,13)
\psgrid[xunit=0.7cm,yunit=0.35cm,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=4](0,0)(0,0)(25,26)
\psset{xunit=1.4cm,yunit=7cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=1pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=0.1,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(0,0)(12.5,1.3)
\psline(0,0)(0.75,0.34)
\psline(0.75,0.34)(1.5,0.52)
\psline(1.5,0.52)(1.8,0.55)
\psline(1.8,0.55)(2.1,0.62)
\psline(2.1,0.62)(2.7,0.97)
\psline(2.7,0.97)(3.36,1.15)
\psline(3.36,1.15)(4,1.18)
\psline(4,1.18)(11.91,0)
\psplot{0}{13}{(--0.25-0*x)/0.5}
\psline[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt](4,1.18)(4,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt](8.56,0.5)(8.56,0)
\end{pspicture*}
\end{center}


\Exos{5-6-7 p 60}

\Exos{33 p 71 + 26 p 69 + 20 p 68 (Algorithme de trac\'e à faire en module)}




\section{Fonction carré et associées}

\subsection{La fonction $x\mapsto x^2$}

\Act{
Soient $a$ et $b$ deux r\'eels tels que $a<b$.
\begin{enumerate}
 \item Soient $a$ et $b$ deux nombres positifs. 
 \begin{enumerate}
\item Etudier le signe de $b^2-a^2$.
\item En déduire l'ordre de $a^2$ et $b^2$. 
\item Que pouvez-vous en déduire sur le sens de variation de la fonction $x \mapsto x^2$ sur les positifs ?
\end{enumerate}
 \item Soient $a$ et $b$ deux nombres négatifs. 
 \begin{enumerate}
\item Etudier le signe de $b^2-a^2$.
\item En déduire l'ordre de $a^2$ et $b^2$. 
\item Que pouvez-vous en déduire sur le sens de variation de la fonction $x \mapsto x^2$ sur les négatifs ?
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Trouver un exemple pour $a<0$ et $0<b$ tels que $a^2 < b^2 $.
\item Trouver un exemple pour $a<0$ et $0<b$ tels que $a^2 > b^2 $.
\item Que pouvez-vous en déduire sur la comparaison des carrés de deux nombres de signe différent ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Defc{On appelle fonction carr\'e la fonction d\'efinie par $f(x)=x^2$.
}

\Rq{La fonction carr\'ee ne poss\`ede ni quotient, ni racine, elle est d\'efinie sur $\R$.}

\Exos{2-3-4-5-6 p 84 (images) + 8-10 p 84 (antécédents)}

\Ptec{La fonction carr\'ee est strictement d\'ecroissante sur $]-\infty; 0]$ et strictement croissante sur $[0;+\infty[$.}

On sait également qu'un carré est toujours positif. On peut alors dresser le tableau de variations 
et de signes de la fonction carr\'ee :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/0.5,Variations de $f$/2, Signe de $x^2$/1}{$-\infty$,$0$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+/,-/$0$,+/}
\tkzTabLine{,+,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}

D'apr\`es le tableau de variations, la fonction carr\'ee admet 0 comme minumum sur $\R$, atteint en 0.\newline

\Expl{Dans chaque cas, comparer les nombres suivants sans les calculer : 
\begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}
 \item $(2.3)^2$ et $(2.15)^2$
 \item $(-1.002)^2$ et $(-0.999)^2$
 \item $\pi^2$ et $(\pi-1)^2$
 \item $(2-\sqrt{7})^2$ et $(2-\sqrt{5})^2$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Exop{
\begin{enumerate}
 \item Soit $x$ un r\'eel tels que $2\leq x \leq 4$. Donner un encadrement de $-3x^2$.
 \item Soit $y$ un r\'eel tels que $-9\leq y \leq -2$. Donner un encadrement de de $\dfrac{y^2}{5}$.
  \item Soit $z$ un r\'eel tels que $-9\leq z \leq 1$. Donner un encadrement de de $z^2$.
 \item Soit $t$ un r\'eel tels que $0\leq \sqrt{-5t-1} \leq 2$. Donner un encadrement de $t$.
\end{enumerate}
}


\Exos{16-17-18-19-20-21 p 84-85}


\Defc{La courbe repr\'esentative de la fonction carr\'ee 
est appel\'ee \textbf{parabole} de sommet l'origine du rep\`ere.}

\begin{multicols}{2}
 On esquisse la courbe repr\'esentative $\mathcal C_f$ de la fonction carr\'ee sur $\R^+$ en s'appuyant 
sur un tableau de valeurs.
\begin{center}
 \begin{tabular}{*{10}{|c}|}\hline
  $x$ & 0 & $\frac{1}{2}$ & 1 & $\frac{3}{2}$ & 2 & $\frac{5}{2}$ &  $-\frac{1}{2}$ & -1 & $\dots$ \\\hline
 $f(x)$ & 0 & $\frac{1}{4}$ & 1 & $\frac{9}{4}$ & 4 & $\frac{25}{4}$ & $\frac{1}{4}$ & 1 & $\dots$\\\hline
 \end{tabular}
\end{center}
\Rq{On sait qu'un carré est toujours positif. 
La courbe représentative de la fonction carré est donc toujours au-dessus de l'axe des abscisses.}
\begin{center}
 \psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-1.1)(3,8)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-1} \def\ymax{8}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-1)(3,8.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-4.5,-1)(4.5,10)
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 2 exp}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
 \uput[ur](1.5,7){$y=x^2$}
\psdot(2.3,5.29) \uput[ur](2.3,5.29){$M$} \uput[d](2.3,0){$x$} \uput[dr](0.2,5.29){$x^2$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green](2.3,0)(2.3,5.29)(0,5.29)
\psdot(-2.3,5.29) \uput[ur](-2.3,5.29){$M'$} \uput[d](-2.3,0){$-x$} 
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green](-2.3,0)(-2.3,5.29)(0,5.29)
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline[linecolor=green](1.0300,5.1500)(1.2300,5.4500)
\psline[linecolor=green](0.9700,5.1500)(1.1700,5.4500)
\psline[linecolor=green](-1.2300,5.1500)(-1.0300,5.4500)
\psline[linecolor=green](-1.1700,5.1500)(-0.9700,5.4500)
\psline[linecolor=green](0.0000,5.6000)(0.3000,5.6000)(0.3000,5.3000)

\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}

\end{pspicture*}
\end{center}

\end{multicols}

\Exop{Tracer sur l'écran d'une calculatrice graphique les courbes de la fonction carré et de la fonction affine 
définie par $f(x)=x$.\\
Comparer alors un réel et son carré. Justifier les réponses.}


\Exop{
\begin{enumerate}
 \item Dans un repère orthogonal, tracer la courbe représentative de la fonction carré sur l'intervalle $[-3;3]$, 
puis celle de la fonction affine $x \mapsto -x+2$.
\item Par lecture graphique, déterminer les coordonnées des points d'intersection de ces deux courbes.
\item Développer $(x+2)(x-1)$.
\item Retrouver les solutions de la première question par le calcul.\\
\end{enumerate}
}

\Exos{7 p 84 + 11 à 14 + 23 à 25 p 85}


\Ptec{La courbe de la fonction carré est \textit{symétrique} par rapport à l'axe des ordonnées. \\
On dit que la fonction est \textbf{paire}. Cela se traduit par les condtions :
\begin{itemize}
 \item L'ensemble de définition $\mathscr D$ est symétrique par rapport à $0$.
 \item Pour tout $x \in\mathscr D$ on a $f(-x)=f(x)$.
\end{itemize}
 }

\Dem{
Pour tout nombre réel $x$ le point $M(x;x^2)$ est sur la parabole $\mathscr P $ représentative de la fonction carré.\\
Son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées est $M'(-x;x^2)$.\\
Or ce point $M'$ est lui aussi sur $\mathscr P$ car $(-x)^2=x^2$.
}




\subsection{Fonctions polynômes de degré 2}

\subsubsection{Problème d'introduction}

\Pbl{On connait l'aire  $\mathscr A=10 $ cm$^2$ et le périmètre $\mathscr P=16$ cm d'un rectangle. Peut-on déterminer les longueurs des côtés de ce rectangle. }

\Sol{Si on note $x$ et $y$ les longueurs des deux côtés cherchés alors :
$$ xy=10\qquad \text{et}\qquad x+y=8\Longleftrightarrow y=8-x$$
Ainsi $x(8-x)=10\Longleftrightarrow 8x-x^2=10\Longleftrightarrow x^2-8x+10=0$.\\
En posant $P(x)=x^2-8x+10$. On est amené à rechercher les éventuels antécédents de $0$. A l'aide de la calculatrice et de la représentation graphique de la fonction $P$ on peut déjà avoir une idée de la réponse :
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqzz}{0 0 0.6}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.83,-6.37)(10.04,8.08)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.83,-6.37)(10.04,8.08)
\psplot[linecolor=qqqqzz,plotpoints=200]{-3.825000000000001}{10.035000000000002}{x^2-8*x+10}
\rput[tl](1.08,7.45){$\qqqqzz{\mathscr C_p : y=x^2-8x+10}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
$0$ a deux antécédents par $P$, qui sont approximativement $1,5$ et $6,5$.\\
Si $x=1,5$ et $y=6,5$, on obtient $xy=9,75$ et $x+y=8$, ce qui semble être une bonne approximation.\\
Mais ne pourrait-on pas trouver les solutions exactes par le calcul ??
}

\subsubsection{Forme développée}
\Act{\\
\textbf{Partie A :} 
A l'aide de Géogébra, on crée trois curseurs $a$, $b$ et $c$ vairant entre $-5$ et $5$ avec un pas de $0.05$.\\
Dans la ligne de saisie, on tape l'expression $f(x)=a*x^2+b*x+c$
\begin{enumerate}
 \item Reproduire cette construction.
 \item Faire varier successivement les trois curseurs.
 %\item Quelles conjectures peut-on faire sur l'image de $0$ ?
\item Quelles conjectures peut-on faire quant à l'influence de chacun des coefficients $a$, $b$ et $c$ sur la représentation graphique 
 de $f$ ?
 \item Conjecturer, à l'aide du logiciel, le tableau de variations et le tableau de signes des fonctions $f$ et $g$ suivantes :
%\begin{enumerate}
 $$f(x)=1.5x^2-3x-4.5 \qquad \qquad \qquad g(x)=-0.25x^2-0.5x+0.75$$
%\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie B : }
 A l'aide de Géogébra, on crée trois curseurs $a$, $\alpha$ et $\beta$ variant entre $-5$ et $5$ avec un pas de $0.1$.\\
Dans la ligne de saisie, on tape l'expression $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$. \\
%\textit{Une expression de ce type peut s'écrire en développant $ax^2+bx+c$. L'expression $a(x-\alpha)^2+\beta$
%s'appelle la \textbf{forme canonique}.}
\begin{enumerate}
 \item Reproduire cette construction.
 \item Faire varier successivement les trois curseurs.
\item Quelles conjectures peut-on faire quant à l'influence de chacun des coefficients $a$, $\alpha$ et $\beta$ sur la 
représentation graphique de $f$ ?
 \item Vérifier par le calcul que $f(x)=1.5(x-1)^2-6$ et que $g(x)=-0.25(x+1)^2+1$
 \item Justifier alors les extremums des fonctions $f$ et $g$, établis graphiquement dans la partie A.
\end{enumerate}
\textbf{Partie C :}
\begin{enumerate}
       \item Vérifier par le calcul que $f(x)=1.5(x-3)(x+1)$ et que $g(x)=-0.25(x-1)(x-5)$
 \item Justifier alors les tableaux de signes des fonctions $f$ et $g$ établis à la partie A.
\item \textbf{Application} : on définit la fonction $h$ sur $\R$ par  $h(x) = -3x^2+12x+36$.\begin{enumerate}
       \item Vérifier par le calcul que $h(x)=-3(x-2)^2+48$ et $h(x)=-3(x-6)(x+2)$.
 \item En utilisant la forme la plus appropriée, établir le tableau de variations et de signes de la fonction $h$,
sans regarder sa courbe représentative.
      \end{enumerate}
 \end{enumerate}
}

Dans toute cette partie, $a$, $b$ et $c$ désignent des réels fixés avec $a\neq 0$.

\Defc{On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction de la forme $x\mapsto ax^2+bx+c$.\\
On appelle cette écriture la \textbf{forme développée} de $f$.}

\Rq{Ces fonctions n'ont ni racine ni quotient, elles sont définies sur $\R$.}

\Expl{La fonction $P$ définie par $P(x)=x^2-8x+10$ est une fonction polynôme de degré $2$.\\
Les fonctions affines ne sont pas des fonctions polynômes. Elles sont obtenues pour $a=0$, on parle de fonction polynôme de degré $1$.}

\Rq{$f(x)=ax^2+bx+c$ est la forme développée de la fonction polynôme $f$. Elle est pratique pour :
\begin{itemize}
\item déterminer l'image de $0$ : $f(0)=c$.
\item déterminer les antécédents éventuels de $c$ : 
$$f(x)=c\Longleftrightarrow ax^2+bx=0\Longleftrightarrow x(ax+b)=0\Longleftrightarrow x=0\quad \text{ou}\quad x=-\dfrac{b}{a}$$
\end{itemize}}

\Exop{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(2x-1)(x+2)$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f$ est une fonction polynôme de degré $2$.
\item Calculer l'image de $0$ par $f$.
\item Déterminer les antécédents éventuels de $-2$ et de $0$ par $f$.
\end{enumerate}}

 
\Exos{27 p 107}


\subsubsection{Forme canonique et extremum}

\Ptec[Définition]{
Pour toute fonction polynôme de degré 2 $f: x\mapsto ax^2+bx+c$, il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ uniques 
tels que pour tout réel $x$ on a $f(x)=a(x-\alpha)^2 + \beta$.\\
On appelle cette écriture la \textbf{forme canonique} de $f$.
}

\Dem{Si $f$ est une fonction polynôme de degré $2$ alors il existe $a\neq 0$ et deux réels $b$ et $c$ tels que :
$$ \forall x\in\R\qquad f(x)=ax^2+bx+c=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x\right)+c$$
Remarquons que $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=x^2+2\times \dfrac{b}{2a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}=x^2+\dfrac{b}{a}x
+\dfrac{b^2}{4a^2}\Longleftrightarrow \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}=x^2+\dfrac{b}{a}x$
\\
Ainsi, $\forall x\in\R$ on a :
$$ f(x)=a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}\right)+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a}+c$$
En posant $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=-\dfrac{b^2}{4a}+c$, on obtient le résultat désiré.
}

\Expls{
$3x^2-12x+5=3(x-2)^2-7$ \quad et \quad $-2x^2-2x = -2\left( x+\dfrac{1}{2} \right)^2 + \dfrac{1}{2}$
}

\Rq{Le premier intérêt de la forme canonique est de déduire un extremum de la fonction $f$.\\
En effet, si $a>0$ alors :
$$ \left(x-\alpha\right)^2\geq 0\Longleftrightarrow a\left(x-\alpha\right)^2\geq 0\Longleftrightarrow 
a\left(x-\alpha\right)^2+\beta\geq \beta$$
De pus $f(\alpha)=a(\alpha-\alpha)+\beta=\beta$. Ce qui prouve que $\beta$ est le minimum de $f$ atteint pour $x=\alpha$.\\
Si $a<0$ alors :
$$ \left(x-\alpha\right)^2\geq 0\Longleftrightarrow a\left(x-\alpha\right)^2\leq 0\Longleftrightarrow 
a\left(x-\alpha\right)^2+\beta\leq \beta$$
De pus $f(\beta)=a(\alpha-\alpha)+\beta=\beta$. Ce qui prouve que $\beta$ est le maximum de $f$ atteint pour $x=\alpha$.}

\Exop{Dans chacun des cas suivants, déterminer l'extremum de $f$, on précisera s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum et pour quelle valeur de $x$ il est atteint.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=-3(x-1)^2+2$
\item $f(x)=4(x+2)^2-5$
\item $f(x)=-2x^2+1$
\item $f(x)=7\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2$
\item $f(x)=-(x+1-\sqrt{2})^2+1$.
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Ptec{
Les variations sur $\R$ de la fonction $x\mapsto a(x-\alpha)^2 + \beta$ sont de deux types, suivant le signe de $a$.
\begin{multicols}{2}
 \begin{itemize}
  \item Si $a>0$ :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=1.5]{$x$/1,$f(x)$/2}{$-\infty$,$\alpha$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+/,-/$\beta$,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item Si $a<0$ :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=1.5]{$x$/1,$f(x)$/2}{$-\infty$,$\alpha$,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/,+/$\beta$,-/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
 \end{itemize}
\end{multicols}
}

\Dem{
La fonction $f$ est définie par l'enchaînement :
$$x \longmapsto x-\alpha \longmapsto (x-\alpha)^2 \longmapsto a(x-\alpha)^2 \longmapsto a(x-\alpha)^2 + \beta $$
Considérons le cas $a<0$. Soient $x_1<x_2<\alpha$. Regardons l'ordre de leurs images par $f$.
\begin{eqnarray*}
 x_1<x_2<\alpha & \iff & x_1-\alpha < x_2-\alpha < 0 \\
& \iff & (x_1-\alpha)^2 > (x_2-\alpha)^2 >0 \qquad \text{(la fonction carré est décroissante sur les négatifs)}\\
& \iff & a(x_1-\alpha)^2  < a(x_2-\alpha)^2  <0 \qquad \text{(multiplier par un nombre négatif change l'ordre)}\\
& \iff & a(x_1-\alpha)^2  + \beta < a(x_2-\alpha)^2 + \beta  < \beta\\
& \iff & f(x_1) < f(x_2) < \beta
\end{eqnarray*}
L'ordre est inchangé, donc la fonction $f$ est croissante sur $]-\infty ; \alpha[$.\\
On peut faire de même pour $x_1 > x_2 > \alpha$. 
\begin{eqnarray*}
 x_1>x_2>\alpha & \iff & x_1-\alpha > x_2-\alpha > 0 \\
& \iff & (x_1-\alpha)^2 > (x_2-\alpha)^2 >0 \qquad \text{(la fonction carré est croissante sur les positifs)}\\
& \iff & a(x_1-\alpha)^2  < a(x_2-\alpha)^2  <0 \qquad \text{(multiplier par un nombre négatif change l'ordre)}\\
& \iff & a(x_1-\alpha)^2  + \beta < a(x_2-\alpha)^2 + \beta  < \beta\\
& \iff & f(x_1) < f(x_2) < \beta
\end{eqnarray*}
L'ordre est inversé. Donc la fonction $f$ est décroissante sur $]\alpha ; + \infty[$.
}

\Expls{
Les fonctions $f$ et $g$ sont définies sur $\R$ par $f(x)=2x^2+28x+87$ et $g(x)=-x^2-2x$
\begin{itemize}
 \item Vérifier que pour tout réel $x$ on a $f(x)=2(x+7)^2-11$ et $g(x)=-(x+1)^2+1$.
 \item En déduire les tableaux de variations de $f$ et $g$.
 \item Contrôler les résultats à la calculatrice.
\end{itemize}
}

\Expl{
Justifier que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $h(x)=-3x^2+6x+2$ admet le tableau de variations ci-dessous :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=1.5]{$x$/1,$h(x)$/2}{$-\infty$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/,+/$5$,-/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
}


\Propc[Définition]{La représentation graphique de la fonction $x\mapsto a(x-\alpha)^2 + \beta$ est une parabole 
de sommet $S(\alpha ; \beta)$.
\begin{itemize}
 \item Si $a>0$, la parabole est tournée vers le haut.
 \item Si $a<0$, la parabole est tournée vers le bas.
\end{itemize}
La parabole a pour axe de symétrie la droite passant par $S$ et parallèle à l'axe des ordonnées.
}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{courbe.eps}
\end{center}

\Rq{Si deux points de la parabole $M_1$ et $M_2$ d'abscisse $x_1$ et $x_2$ ont la même ordonnée, alors le sommet $S$ a 
pour abscisse $\alpha=\dfrac{x_1+x_2}{2}$.
}

\Expl{
On note $\mathscr P$ la parabole représentant la fonction $f:x\mapsto ax^2 +3x-4$ dans un repère orthogonal.
\begin{enumerate}
 \item Calculer le réel $a$ sachant que la parabole $\mathscr P$ passe par le point $A(3;-4)$
\item Déterminer un autre point de $\mathscr P$ d'ordonnée $-4$.
 \item En déduire les coordonnées du sommet de la parabole $\mathscr P$ puis la forme canonique de $f$.
 \item Etablir le tableau de variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
}

 
\Exos{2-3-4-8-10 p 104 + 26 p 107}


\subsubsection{Forme factorisée et signe}

\Ptec[Définition]{
Lorsque la parabole représentative d'une fonction polynôme de degré 2 $f: x\mapsto ax^2+bx+c$, coupe l'axe des abscisses
en $(x_1;0)$ et $(x_2;0)$, alors $f(x)$ peut se factoriser et on a :
$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$
}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{courbe2.eps}
\end{center}

\Rq{Cette troisième écriture est utile pour résoudre l'équation produit nul $f(x)=0$ ou étudier le 
signe de $f(x)$, ce que l'on a déjà vu dans un chapitre précédent.\\
Grâce à l'orientation de la parabole, on peut même déduire le tableau de signe général suivant :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/1,$f(x)$/2}{$-\infty$,$x_1$,$x_2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,\text{Signe de } a,z, \text{Opposé de } a,z, \text{Signe de } a}
\end{tikzpicture}
\end{center}
}


\Expl{Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = -2\left(x-\dfrac34 \right) +\dfrac{25}8$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $f(x)=-2x^2 +3x+2 $  pour tout $x\in\R$.
 \item Montrer que $f(x)=(2x+1)(-x+2)$ pour tout $x\in\R$.
 \item En utilisant la forme la plus adéquate, répondre aux questions suivantes :
\begin{enumerate}
 \item Dresser le tableau de variation de $f$.
 \item Dresser le tableau de signe de $f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\Exos{
15 à 18 p 105 (études fonctions, choix de forme)\\
50-52-53 p 111 (corrigés)\\
15-19 p 120 + 34-35 p 123 (inéquations)
}
 

\subsection{Retrouver la forme canonique et l'éventuelle forme factorisée d'une fonction polynôme de degré 2}
\Expl{On reprend la fonction du problème d'introduction $f(x)=x^2-8x+10$. Retrouvons la forme canonique de $f$.\\
Déterminons les antécédents éventuels de $10$ :
$$ x^2-8x+10=10\Longleftrightarrow x^2-8x=0\Longleftrightarrow x(x-8)=0\Longleftrightarrow x=0\qquad \text{ou}\qquad x-8=0\Leftrightarrow x=8$$
Ainsi on a $f\left(8\right)=10=f(0)$. 
Graphiquement on a une situation du type :
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqzz}{0 0 0.6}
\newrgbcolor{qqzzqq}{0 0.6 0}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-7)(9,12)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-4,-7)(9,12)
\psplot[linecolor=qqqqzz,plotpoints=200]{-4}{9}{x^2-8*x+10}
\rput[tl](5.5,-4){$\qqqqzz{\mathscr C_{f} : y=x^2-8x+10}$}
\psplot[linecolor=qqzzqq]{-4}{9}{(10-0*x)/1}
\psline[linecolor=zzqqqq](4,-7)(4,12)
\end{pspicture*}
\end{center}
Clairement $\alpha=\dfrac{8+0}{2}=4$, $a=2$ et $\beta$ est le minimum de $f$ atteint lorsque $x=4$.\\
Calculons $f(4)=4^2-8\times 4+10=16-32+10=-6$.
\\
En conclusion on obtient :
$$ f(x)=(x-4)^2-6$$
A partir de là, nous pouvons donc écrire que $f(x)=(x-4)^6-(\sqrt{6})^2=\left(x-4-\sqrt{6}\right)\left(x-4+\sqrt{6}\right)$.\\
Donc $f(x)=0 \iff x-4-\sqrt{6} = 0 \qquad \text{ ou } x-4+\sqrt{6}=0 \iff x=4+\sqrt{6} \qquad \text{ ou } x=4-\sqrt{6}$. \\
Le rectangle a donc pour dimension $4+\sqrt{6}$ et $4-\sqrt{6}$.\\
\Rq{La factorisation est impossible si $\beta$ est positif, car alors l'identité remarquable n'a plus lieu d'être...}
}



\section{Fonction inverse et associées}
\subsection{La fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ }

\Act{Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs tels que $a<b$.
\begin{enumerate}
 \item Vérifier que $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b-a}{ab}$
 \item Etudier le signe de $\dfrac{b-a}{ab}$.
 \item En déduire l'ordre de $\dfrac{1}{a}$ et $\dfrac{1}{b}$.
\end{enumerate}
}

\Defc{On appelle fonction inverse la fonction d\'efinie par $f(x)=\dfrac{1}{x}$.}\\

\Rq{La fonction inverse poss\`ede un quotient, mais pas racine. 
Son quotient existe d\`es que $x\neq 0$ donc elle est d\'efinie sur $\R^*$.}

\Exos{26 à 28 p 85 + 30 - 31 p 86}

\Ptec{La fonction inverse est strictement d\'ecroissante sur $\R^{*-}$ et strictement d\'ecroissante sur $\R^{*+}$.}
\Dem{
Voir l'activité pour les positifs. On procède de même sur les négatifs.
}

On sait qu'un nombre et son inverse son de même signe. On peut alors dresser le tableau de variations 
et de signe de la fonction inverse :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/0.5,Variation de $f$/2, Signe de $\frac{1}{x}$/1.5}{$-\infty$, $0$, $+\infty$}
\tkzTabVar{+/,-D+/,-/}
\tkzTabLine{,-,d,+}
\end{tikzpicture}

\end{center}

D'apr\`es le tableau de variations, la fonction inverse n'admet pas d'extremum sur $\R^*$.


\Expl{Dans chaque cas, comparer les nombres suivants sans les calculer :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item $\dfrac{1}{-0.012}$ et $\dfrac{1}{-0.099}$
\item $\dfrac{1}{\pi -3}$ et $\dfrac{1}{0.21}$
\item $\dfrac{1}{\pi -3}$ et $\dfrac{1}{-0.21}$
 \item $\dfrac{1}{2-\sqrt{7}}$ et $\dfrac{1}{2-\sqrt{5}}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Exos{36 à 42 p 86}



\Defc{Dans un rep\`ere orthogonal, la courbe rep\'esentative de la fonction inverse est appel\'ee \textbf{hyperbole}.}

\begin{multicols}{2} 
On esquisse la courbe repr\'esentative $\mathcal C_f$ de la fonction inverse sur $\R^{+*}$ en 
s'appuyant sur un tableau de valeurs :
\begin{center}
 \begin{tabular}{*{10}{|c}|}\hline
  $x$  & $\frac{1}{3}$ & $\frac{1}{2}$ & 1 &  2 & 3 & $-1$ & $-2$ & $-\dfrac{1}{2}$ & $-\dfrac{1}{3}$\\\hline
 $f(x)$ & 3 & 2 & 1 & $\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{3}$ & $-1$ & $-\dfrac{1}{2}$ & $-2$ & $-3$\\\hline
 \end{tabular}
\end{center}
\begin{center}
 \psset{xunit=1.3cm , yunit=1.3cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(3,3)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-3)(3,3)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1.3cm,yunit=1.3cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-3,-3)(3,3)
\psset{xunit=1.3cm , yunit=1.3cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 x div}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{-0.1}{\F}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.1}{3}{\F}
 \uput[d](2,1.2){$y=\dfrac{1}{x}$}
\psdot(0.75,1.33) \uput[ur](0.75,1.3){$M$} \uput[d](0.75,0){$x$} \uput[dl](0,1.33){$\frac{1}{x}$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green](0.75,0)(0.75,1.33)(0,1.33)
\psdot(-0.75,-1.33) \uput[ur](-0.75,-1.33){$M'$} \uput[u](-0.75,0){$-x$} \uput[dr](0.2,-1.33){$-\frac{1}{x}$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green](-0.75,-1.33)(0.75,1.33)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green](-0.75,0)(-0.75,-1.33)(0,-1.33)
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline[linecolor=green](0.2000,0.6000)(0.4000,0.4500)
\psline[linecolor=green](0.2000,0.6500)(0.4000,0.500)
\psline[linecolor=green](-0.2000,-0.6000)(-0.4000,-0.4500)
\psline[linecolor=green](-0.2000,-0.6500)(-0.4000,-0.500)
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}


\Exos{29 p 85 + 35 - 44 à 46 p 86}


\Exop{Tracer sur l'écran d'une calculatrice graphique les courbes de la fonction inverse et de la fonction affine définie par $f(x)=x$.\\
Comparer alors un réel non nul et son inverse. Justifier les réponses.}

\Ptec{La courbe de la fonction inverse est \textit{symétrique} par rapport à l'origine du repère. \\
On dit que la fonction est \textbf{impaire}. Cela se traduit par les conditions :
\begin{itemize}
 \item L'ensemble de définition $\mathscr D$ est symétrique par rapport à $0$
 \item Pour tout $x \in \mathscr D$, on a $f(-x)=-f(x)$
\end{itemize}
}

\Dem{
Pour tout nombre réel $x\neq 0$ le point $M\left(x;\dfrac{1}{x}\right)$ est sur la hyperbole $\mathscr H $ représentative de la fonction inverse.\\
Son symétrique par rapport à l'origine du repère est $M'\left(-x;-\dfrac{1}{x}\right)$.\\
Or ce point $M'$ est lui aussi sur $\mathscr H$ car $\dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}$.
}

\subsection{Fonctions homographiques}

\Defc{
On appelle fonction homographique toute fonction de la forme $x \longmapsto \dfrac{ax+b}{cx+d}$, où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des réels fixés
avec $c\neq 0$ et $a\times d \neq b \times c$.\\
La courbe représentative s'appelle une \textbf{hyperbole}.
}

\Rqs{
\item La condition $ad \neq bc$ traduit le fait que $ax+b$ et $cx+d$ ne sont pas proportionnels.
\item L'expression algébrique d'une fonction homographique contient un quotient. Elle n'existe que si le dénominateur
$cx+d $ est différente de $0$, ie $x \neq -\dfrac{d}{c}$.\\
L'ensemble de définition est donc 
$\mathscr D \left]-\infty ; -\dfrac{d}{c} \right[ \cup \left]-\dfrac{d}{c} ; +\infty\right[$
\item Grâce aux tableaux de signes, on sait déjà étudier le signe d'une fonction homographique. \\
Attention cependant à ne pas oublier d'indiquer la valeur interdite !
}

\Expl{La fonction $f:x\longmapsto \dfrac{2x+3}{-2x+4}$ a pour ensemble de définition $]-\infty;2[\cup ]2 ; + \infty[$.\\
La courbe représentative de $f$ dans un repère est formée de deux branches distinctes, séparée par la droite d'équation $x=2$.
\begin{center}
 \includegraphics[scale=0.6]{inverse.eps}
\end{center}
}

\Expl{Pour résoudre l'inéquation $\dfrac{3-x}{4x-1}>0$ : \\
\begin{itemize}
 \item On commence par résoudre 
$$\dfrac{3-x}{4x-1}>0 \iff 3-x=0 \,\text{ et } \, 4x-1 \neq 0 \iff x=3 \,\text{ et } \,x\neq \dfrac{1}{4} \quad \textbf{(VI)} $$
 \item Ensuite on étudie le signe du quotient $\dfrac{3-x}{4x-1}$, en  procédant comme dans l'activité.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/1,Signe de $3-x$/1, Signe de $4x-1$/1, Signe de $\dfrac{3-x}{4x-1}$/2}{$-\infty$,$\dfrac{1}{4}$,$3$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,t,+,z,-}
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+}
\tkzTabLine{,-,d,+,z,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\textit{Vérifier graphiquement.}
}


\Exop{\begin{enumerate}
      \item Ecrire l'algorithme de calcul de la fonction $f$ définie sur $]-\infty;2[\cup ]2;+\infty[$ par $$f(x)=\dfrac{-5}{(x-2)^2}+3$$
      \item Soient $a$ et $b$ appartenant à $]-\infty;2[$ tels que $a<b$. \\
En utilisant l'algorithme ci-dessus
et les variations des fonctions de référence, comparer $\dfrac{-5}{(a-2)^2}+3$ et $\dfrac{-5}{(b-2)^2}+3$
      \item En déduire si $f$ conserve ou inverse l'ordre sur  $]-\infty;2[$.
      \item En suivant la même démarche, dire si $f$ conserve ou inverse l'ordre sur  $]2;+\infty[$.
      \item En déduire le tableau de variations de $f$.
     \end{enumerate}
}


\Exos{22 à 31 p 121}


\Exos{20-21 p 105 + 46-48-49-50-51 p 125}

\flushright{
\og \textit{Il faut avoir une haute idée, non pas de ce qu'on fait, mais de ce qu'on pourra faire un jour ; 
sans quoi ce n'est pas la peine de travailler.} \fg EDGAR DEGAS.
}

\end{document}
