\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Se d\'eplacer et se rep\'erer \linebreak[2] dans le plan}
\newcommand{\Cl}{Seconde}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2cm}

\setcounter{NumLecon}{6}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\debutCha{Degas_Toilette2.eps}{Autoportrait (1863) \fg \, et \og Le Tub (1885)}{Edgar Degas}   					% Image + titre + Auteur
{Quand quelqu'un paye un tableau $3\,000$ francs, c'est qu'il lui plaît. \linebreak[4]
 Quand il le paye $300\,000$ francs, c'est qu'il plaît aux autres. }{Edgar Degas} 		% Citation + Auteur
 {Edgar Degas (1834-1917) est un peintre français, en général rattaché au mouvement impressionniste, 
formé à la fin du XIXe siècle, en réaction à la peinture académique de l’époque. \\
Sa carrière fut dès le départ influencée par les danseuses.  
En 1874, il commence à se faire connaître, les critiques louant ou dénigrant le réalisme de son travail. 
Il explore des thèmes comme les repasseuses ou les femmes à leur toilette, 
multipliant les points de vue audacieux, recherchant des effets lumineux et colorés.
Il dit d’ailleurs à propos de ses nus : \og Jusqu’à présent, le nu avait toujours été représenté dans des poses qui 
supposent un public. Mais mes femmes sont des gens simples... Je les montre sans coquetterie, à l’état de bêtes qui se nettoient.
 \fg \\
A partir des années 1880, Degas va aussi poser la question d'une sculpture « impressionniste », 
réalisant des modèles en cire peints au naturel, qu'il accessoirise ensuite. 
Seule \textit{La Grande Danseuse} (cf première page) fut présenté de son vivant, 
les autres modèles l'aidant surtout dans ses peintures. 
Cette incarnation de la grâce et de l'innocence trahit en réalité la fascination de Degas pour la criminalité. 
En effet, avec son visage est sculpté sur le modèle des physionomies de criminels définies à l'époque, et
la danseuse était un parfait \og petit rat \fg , transmettant la syphilis aux bourgeois venant la voir ... 
} 						% Présentation auteur
{1.1}		% Ratio portrait
{0.31}		% Ratio Image
\setcounter{NumLecon}{3}

\TITRE{Degas_Petite_Danseuse_de_14_ans(1881).eps}{0.4} 						% Image 1ere page + ratio
%\begin{abstract}
 

\begin{Intro}{}{
Les planisphères et les cartes géographiques maritimes sont construits dans un repère comprenant l'axe vertical des latitudes et l'axe 
horizontal des longitudes.\\
La position d'un bateau par exemple est définie par ses coordonnées sur la cartes, c'est-à-dire la longitude et la latitude.\\
Lorsque l'on cherche une position sur un plan de ville, on se repère également à l'aide des axes verticaux et horizontaux du plan.\\
Nous allons donc poser les bases de ce repérage dans le plan.\\
De plus, nous allons découvrir une nouvelle transformation, et un nouvel outil essentiel, très utilisée notamment en physique : les vecteurs.
}\end{Intro}


\section{Décrire un déplacement rectiligne}
\subsection{Un nouveau déplacement : la translation}

\Act{\textit{\textbf{Découverte d'une nouvelle transformation}}\\
Edgar le pigeon voyageur veut devenir agent du FBI (Federal Birds Investigation). \\
Pour cela, il doit être initié. Sa première épreuve est donnée par le message suivant :
\Cadre[Message Top Secret]{
\begin{center}
 \og Vous devez sauver de la noyade des vers de terre primordiaux pour la sécurité des oiseaux. \\
Ils sont allés trop près d'une rivière en crue ces nigauds !\\
Pour cela, déplacez les vers de terre C, E et A suivant \textbf{la translation qui transforme A en B}. \\
PS : il est formellement interdit de les manger en route !\\
PPS : ce message s'autodétruira dans 30 secondes.\fg
\end{center}
}
Edgar n'est qu'un pigeon, et se demande bien ce qu'est une translation ...\\
Il se remémore ses souvenirs de collège en mathématiques, et se souvient d'avoir déjà déplacer des vers de terre, 
mais selon d'autres transformations.
\begin{enumerate}
 \item A quelles transformations pense Edgar ?
 \item Edgar va donc voir son ancien enseignant de mathématiques, M. Ragot, pour l'aider officieusement 
sur le sens de ce message. Voici ce que ce dernier lui explique :
\begin{center}
 \og Pour déplacer le ver de terre C en D, tu dois faire en sorte que $[AD]$ et $[BC]$ aient le même milieu \fg
\end{center}
Où Edgar doit-il placer le point D sur le plan de la situation suivant ? Expliquer votre démarche de construction.\\
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.71]{vers.eps}
\end{center}
 \item Edgar prend ensuite son envol pour aller chercher le ver de terre E, mais il constate, vu d'en haut, que le 
quadrilatère ABDC est 
particulier et se demande s'il s'agit d'un hasard. \\
Quelle est la nature de ABDC et pourquoi ? \fbox{\textbf{STOP PROF}}
\Defc{Soient $A$ et $B$ deux points du plan.\\
La \textbf{translation qui transforme $A$ en $B$} est la transformation qui associe un point $C$ à l'unique point $D$ tel que $[AD]$ et $[BC]$ ont le même milieu,
ce qui revient à dire à l'unique point $D$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme.\\
}
\Att{
  L'ordre des lettres est important !
}
\item Déplacer alors le ver de terre E en F, en utilisant la constatation précédente  (à la règle et au compas).
 \item A quel endroit Edgar doit-il déplacer le ver de terre A ?
 \item Edgar aime les énigmes, mais en regardant en vol les déplacements effectués des vers de terre, il trouve 
tout de même qu'on aurait pu les lui expliquer plus simplement. \\
Et vous, quelle serait votre manière simple de l'expliquer 
à un camarade ?
\end{enumerate}
}

\textbf{\underline{Objectifs} :}
\begin{itemize}
 \item Rappeler aux élèves qu'ils ont déjà vu des transformations
 \item Les pigeons donnent un côté ludique, tout en faisant bien comprendre que la translation est un déplacement, même
si on n'étudiera pas cette transformation.
 \item Faire construire aux élèves des images de points par un même translation de différentes manières, en particulier
sans quadrillage, pour bien remémorer les constructions au compas notamment (utiles pour les sommes)
\item Introduire l'utilité de définir un nouvel objet mathématique : les vecteurs.\\
\end{itemize}

La dernière question de l'activité n'attend pas de réponse individuelle des élèves. Il s'agit plutôt d'une mise au point commune 
sur l'ensemble des constructions et d'un échange d'idées sur la définition initiale de la translation ainsi que
la description précise d'un chemin. On espère d'eux qu'ils évoqueront la représentation par une flèche de ces chemins,
le côté rectiligne, voire la direction, le sens et la longueur, sans formalisation.\\

Ensuite, pour compléter l'activité, il semble jusdicieux d'utiliser Géogébra afin d'introduire le vocabulaire.\\
Pour cela, on peut projeter au tableau un quadrillage mais sans axe et un point A que l'on cherche à déplacer.
\textbf{\underline{Objectifs} :}
\begin{itemize}
 \item Faire apparaître la nécessité d'un chemin de référence (sous-jacente la notion de représentant de vecteur)
 \item Introduire le mot vecteur en affichant la \og flèche \fg symbolisant le chemin à parcourir
 \item Rajouter ensuite d'autres points à déplacer selon la translation donnée, et chercher dans Géogébra si on peut le faire 
sans passer par les parallélogrammes (ni les carreaux). Ceci permet d'introduire la translation de vecteur. 
\item Le quadrillage permet de bien voir ce qui se passe, et l'absence d'axes évite de \og figer
 \fg les vecteurs à un endroit précis.
 \item On peut ensuite faire d'autres translations, notamment celle de vecteur égal ou opposé au premier, ou des translations successives,
etc, suivant la curiosité de la classe.\\
\end{itemize}

Dans toute cette partie, $A$ et $B$ désignent deux points du plan.

\Defc{
On associe à la translation qui transforme $A$ en $B$ un nouvel objet mathématique : le \textbf{vecteur} $\overrightarrow{AB}$.\\
Il symbolise le déplacement rectiligne de $A$ vers $B$ et on le représente par une flèche allant de $A$ vers $B$. \\
On appellera désormais cette transformation la \textbf{translation de vecteur} $\mathbf{\overrightarrow{AB}}$.
On notera $t_{\overrightarrow{AB}}$.
}

\Rqs{
\item On peut retenir que la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ revient à déplacer 
des points selon le même chemin que celui rectiligne qui va de $A$ vers $B$.
\item On comprend ainsi bien que la translation est un déplacement, ie qu'elle conserve les longueurs, l'alignement et les angles.
}

\Expls[Avec les parallélogrammes]{
%\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-11.2,-3.2)(7.2,2.1)
\def\xmin{-10} \def\xmax{7} \def\ymin{-4} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-7.2,-4.2)(4.2,4.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[0.0000](-10.00,1.7000){$A$, $B$, et $C$ trois points donnés non alignés : }
\uput{0.3000}[0.0000](-9.000,-2.1000){$[BC]$ et $[AD]$ ont même milieu $I$}
\uput{0.3000}[0.0000](-9.000,-2.800){$ABDC$ est un parallélogramme}
\uput{0.3000}[0.0000](-9.000,-3.500){$\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{CD}$}
\uput{0.3000}[0.0000](-3.0000,-1.5000){$D$}
\uput{0.5000}[-15.0000](-5.0000,0.5000){$B$}
\uput{0.3000}[180.0000](-7.0000,-1.0000){$C$}
\uput{0.3000}[200.0000](-9.0000,1.0000){$A$}
\uput{0.3000}[-90.0000](-6.0000,-0.25000){$I$}
\pcline[linewidth=0.5pt]{-}(-3,-1.5)(-5,0.5)
 \pcline[linecolor=red,linewidth=0.7pt]{-}(-7,-1)(-9,1)
\pcline[linewidth=0.5pt]{-}(-3,-1.5)(-7,-1)
\pcline[linecolor=red,linewidth=0.8pt]{-}(-9,1)(-5,0.5)
\pcline[linewidth=0.5pt, linestyle=dashed]{-}(-3,-1.5)(-9,1)
\pcline[linewidth=0.5pt, linestyle=dashed]{-}(-5,0.5)(-7,-1)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](2,0) 
\uput{0.3000}[-90.0000](2.0000,0.0000){$A$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](6,0)\uput{0.5000}[-90.0000](6.000,0.0000){$B$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](1,0)\uput{0.3000}[90.0000](1.0000,0.0000){$C$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](5,0)\uput{0.3000}[90.0000](5.0000,0.0000){$D$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](3.5,0)\uput{0.3000}[-90.0000](3.50000,0.0000){$I$}
\pcline[linewidth=0.5pt]{-}(1,0)(6,0)
\uput{0.3000}[0.0000](-1.00,1.7000){$A$, $B$, et $C$ trois points donnés alignés : }
\uput{0.3000}[0.0000](0.00,-1.8000){$[BC]$ et $[AD]$ ont même milieu $I$}
\uput{0.3000}[0.0000](-0.500,-2.500){$ABDC$ est un parallélogramme aplati}
%\uput{0.3000}[0.0000](-0.5000,-3.500){$\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{CD}$}
\endpsclip
\end{pspicture*}
%\end{center}
}

\Expls[Avec les vecteurs et le quadrillage]{
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-10.1,-4)(7.1,3)
\def\xmin{-10.1} \def\xmax{7.1} \def\ymin{-4} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-7.2,-4.2)(4.2,4.2)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-10,-3)(7.1,2)
%\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[0.0000](-8.500,2.50000){$O$, $V$, et $I$ non alignés}
\uput{0.3000}[0.0000](-9.00,-3.6000){$OVNI$ est un parallélogramme}
\uput{0.3000}[-30.0000](-3.0000,-1.0000){$O$}
\uput{0.5000}[-15.0000](-5.0000,1.0000){$V$}
\uput{0.3000}[-150.0000](-7.0000,-2.000){$I$}
\uput{0.3000}[200.0000](-9.0000,0.0000){$N$}
\pcline[linewidth=1pt,linecolor=green]{->}(-3,-1)(-5,1)
 \pcline[linewidth=1pt,linecolor=cyan]{->}(-7,-2)(-9,0)
\pcline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{-}(-3,-1)(-7,-2)
\pcline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{-}(-9,0)(-5,1)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5,linecolor=green](2,0) \uput{0.3000}[-70.0000](2.0000,0.0000){$O$}
\psdot(6,0)\uput{0.5000}[-70.0000](6.000,0.0000){$V$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5,linecolor=cyan](1,0)\uput{0.3000}[70.0000](1.0000,0.0000){$I$}
\psdot(5,0)\uput{0.3000}[70.0000](5.0000,0.0000){$N$}
\pcline[linewidth=1pt,linecolor=green]{->}(2,0)(6,0)
\pcline[linewidth=1pt,linecolor=cyan]{->}(1,0.05)(5,0.05)
\uput{0.3000}[0.0000](1.2,2.5){$O$, $V$, et $I$ alignés}
\uput{0.3000}[0.0000](0,-3.60){$OVNI$ est un parallélogramme aplati}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
}

\Rqs{
\item Le mot vecteur vient du latin  \og vector \fg, d\'eriv\'e du verbe \og vehere \fg, qui signifie transporter. 
Un vector d\'esigne donc un v\'ehicule, par exemple à l'époque un chariot. 
\item Si les points $A$ et $B$ sont confondus, tout point $M$ est confondu avec son image par la translation. 
Le vecteur $\overrightarrow{AA}$ est
appelé vecteur nul et on note $\overrightarrow{AA}=\vec 0$.
}

\Exos{n$^{\circ}$ 1-2 p 204}

\subsection{De nouveaux objets : les vecteurs}

\Act{
Edgar le pigeon voyageur a réussi avec succès son initiation. \\
Le FBI lui confie donc sa première mission officielle.
\Cadre[Message Top Secret]{
\begin{center}
 \og Suivez à distance Odile, un oiseau accro aux poissons rouges, elle vous guidera jusqu'à son Dealer.\\
Pour cela, effectuez exactement le même déplacement qu'elle, mais depuis votre position de départ. \\
Ensuite, laissez la rentrer chez elle et allez arrêter le Dealer.\\
\hfill \textit{Signé} : The Boss\\
PS : il est formellement interdit de vous droguer avec les poissons rouges trouvés !\\
PPS : ce message s'autodétruira dans 30 secondes.\fg
\end{center}
}
Voici le plan de la situation.
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.63]{Edgar2.eps}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item Odile prend le chemin le plus court pour aller de chez elle (O) à son Dealer (D).\\
Représenter sur le graphique ce trajet par l'objet mathématique approprié et le nommer.
\item Edgar part du point E. Il suit la consigne du message top secret et effectue exactement le même déplacement 
qu'Odile. Comment s'appelle ce déplacement ?
\item Placer sur le graphique le point E' où Edgar se trouve alors.
\item Comme il s'agit de la première mission d'Edgar, the Boss décide de le suivre pour vérifier qu'il remplit
correctement sa mission.
Il suit donc Edgar en effectuant le même déplacement que lui, à partir de B.\\
De quel déplacement s'agit-il ? Placer sur le graphique le point B' où le Boss se trouve alors.
\item Donner trois parallélogrammes sur le graphique.
\item Que pouvez-vous dire des vecteurs $\overrightarrow{OD}$, $\overrightarrow{EE'}$ et $\overrightarrow{BB'}$ ?
\item Odile rentre directement chez elle. Représenter sur le graphique ce trajet retour et le nommer.
\item Quel lien ce vecteur a-t-il avec $\overrightarrow{OD}$ ?
\item En regardant la situation globale, quelle translation Odile a-t-elle effectuée ?
\item Edgar va ensuite arrêter le Dealer en D. Représenter sur le graphique son trajet et le nommer.\\
A-t-il un lien avec les vecteurs précédents ?
\item Si Edgar avait su dès le départ (point E) où était le Dealer, quel est trajet le plus court qu'il aurait pu faire ?
\end{enumerate}
}

\textbf{\underline{Objectifs} :} 
\begin{itemize}
 \item Construire des translations grâce à des parallélogrammes, au compas.
 \item Constater que des vecteurs sont \og les mêmes \fg, donc \og égaux \fg en vocabulaire mathématiques
 \item Introduire le vecteur opposé, le vecteur nul, et même la notion de somme sous jacente (aller + retour d'Odile, trajet complet
d'Edgar) 
\end{itemize}

\Ptec[Egalité de vecteurs]{Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points avec $A$ et $B$ distincts. \\
\begin{tabular}{ccl}
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ & $\iff$ & $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont associés
 à la même translation.\\
& $\iff$ & $D$ est l'image de $C$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ \\
& $\iff$ & $ABDC$ est un parallélogramme, éventuellement aplati.\\
& $\iff$ &$[AD]$ et $[BC]$ ont le même milieu\\
& $\iff$ & $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ont la même direction, le même sens et la même longueur.
\end{tabular}
}

\Rqs{
\item  Si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont \'egaux, on peut leur donner un m\^eme nom, 
par exemple $\vec u$. On dit que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont des repr\'esentants 
du vecteur $\vec u$.
\item Le vecteur nul n'a ni direction, ni sens et sa longueur vaut $0$.
\item Ainsi, un vecteur  est ind\'ependant de son origine, seul compte le trajet effectué entre son départ et son arrivée.
\item La longueur d'un vecteur $\vec u$ est aussi appel\'ee \textbf{norme}. C'est un donc nombre positif ou nul. \\
On la note $|| \vec u ||$. Ainsi $|| \overrightarrow{AB} || = AB$.
}

\Expls{Sur la figure suivante : $\vec u = \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}$ et $E'F'G'$ est l'image de $EFG$ par la 
translation de vecteur $\vec u$, représenté 6 fois, à 6 endroits différents (un vecteur n'a pas d'origine fixe,
on peut le dessiner n'importe où).
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-7.1,-2)(15.1,3)
\def\xmin{-7} \def\xmax{15} \def\ymin{-2} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-7,-2)(15.1,3.1)
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[-70.0000](3.000,0){$A$}
\uput{0.3000}[70.0000](1.0000,2){$B$}
\uput{0.3000}[-150.0000](-1.0000,-1.0000){$C$}
\uput{0.3000}[200.0000](-3.0000,1.0000){$D$}
\uput{0.3000}[180.0000](-5.0000,0.5){$\vec u$}
\uput{0.3000}[180.0000](6.0000,-0.5){$\vec u$}
\uput{0.3000}[180.0000](9.300,0.7000){$\vec u$}
\uput{0.3000}[180.0000](10.2000,1.6000){$\vec u$}
\uput{0.3}[-90](7,-1){$E$}
\uput{0.3}[-90](10,-1){$F$}
\uput{0.3}[-90](11,1){$G$}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue,opacity=0.15](10,-1)(11,1)(7,-1)
\uput{0.3}[-120](5,1){$E'$}
\uput{0.3}[-120](8,1){$F'$}
\uput{0.4}[-20](9,3){$G'$}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue,opacity=0.15](5,1)(8,1)(9,3)
\pcline[linewidth=1pt]{->}(7,-1)(5,1)
 \pcline[linewidth=1pt]{->}(10,-1)(8,1)
 \pcline[linewidth=1pt]{->}(11,1)(9,3)
\pcline[linewidth=1pt]{->}(3,0)(1,2)
 \pcline[linewidth=1pt]{->}(-1,-1)(-3,1)
 \pcline[linewidth=1pt]{->}(-4,0)(-6,2)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
}

\Expl{
Associer \`a chaque \'egalit\'e vectorielle la phrase correspondante, et illustrer chaque cas par un schéma  :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{DB}$ 
\item $ \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}$
%\item $ \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DA}+ \overrightarrow{DB}$
\item $ \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{BC}$
\item[$(a)$] $ABCD$ est un parall\'elogramme
\item[$(b)$] $ABDC$ est un parall\'elogramme
\item[$(c)$] $D$ est le milieu de $[AB]$
%\item[$(d)$] $ADBC$ est un parall\'elogramme
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Defc[Vecteur opposé]{
Le \textbf{vecteur opposé} au vecteur $\overrightarrow{AB}$ est le vecteur associé à la translation qui transforme $B$ et $A$. \\
C'est le vecteur $\overrightarrow{BA}$, aussi noté $-\overrightarrow{AB}$.
}
\begin{multicols}{2}
 \begin{center}
\psset{xunit=0.6cm , yunit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-7.1,-3)(5.1,3)
\def\xmin{-7} \def\xmax{5} \def\ymin{-3} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-7,-3)(5.1,3)
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[-70.0000](4.000,0){$A$}
\uput{0.3000}[70.0000](1.0000,2){$B$}
\uput{0.3000}[180.0000](-1.7,0.5){$-\vec u$}
\uput{0.3000}[200.0000](2.7,0.8){$\overrightarrow{AB}$}
\uput{0.3000}[200.0000](1.7,-1.2){$-\overrightarrow{AB}$}
\uput{0.3000}[180.0000](-4.3000,1.5){$\vec u$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(4,0)(1,2)
\pcline[linewidth=1pt]{<-}(3,-2)(0,0)
 \pcline[linewidth=1pt]{<-}(-1,-1)(-2,2)
 \pcline[linewidth=1pt]{->}(-4,0)(-5,3)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}


\Rq{
Deux vecteurs sont oppos\'es lorsqu'ils ont la m\^eme direction, la m\^eme longueur, mais des sens oppos\'es.\\
}


\Exos{n$^{\circ}$ 5-6-7-9-10 p 204}
\end{multicols}

%\newpage
\section{Opérations sur les vecteurs}
\subsection{Somme de vecteurs}

\Act{
Edgar le pigeon voyageur est désormais un agent certifié du FBI. \\
Pour sa nouvelle mission, il s'est rendu sur l'île Noire. A l'aéroport, the Boss lui remet le message suivant :
\Cadre[Message Top Secret]{
\begin{center}
 \og Vous devez trouver Titi, un Tigre Terroriste qui passe son temps à torturer les 
oiseaux de l'île Noire. 
Ci-joint le schéma de l'île.
L'Aéroport où nous sommes est au point A. \\ 
Rejoignez de suite  votre Indicateur au point I tel que 
$\overrightarrow{AI}=-\vec u$. \\
%Il vous guidera.\\
Lorsque vous connaitrez la position de Titi, vous m'indiquerez un chemin pour aller l'arrêter.\\
\hfill \textit{Signé} : The Boss\\
PS : Attention, il y a un repère de Pirates sur l'île, ne vous égarez pas !\\
PPS : Ce message s'autodétruira dans 30 secondes.\fg
\end{center}
}
\noindent
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-7,-2.2)(14,9.5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=black, griddots=5, gridwidth=1pt](0,0)(-5.,-2)(12.3,8.55)
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=10pt 0,linewidth=1pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=gray, opacity=0.2](-2.98,11.3)(2,10)(8.88,15.11)(11.02,11.3)
(13.26,10.8)(18,2)(4,-2)(-7.32,0.81)(-5.42,3.04)(-9.09,6.02)(-6.69,7.09)
\psline{->}(18,-2)(22,4)
\psline{->}(16,14)(22,12)
\psline{->}(20,6)(12,16)
\psdots[dotsize=10pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](-2,10)
\rput[bl](-3.1,10.4){\blue{$A$}}
\rput[bl](-4,12.1){\includegraphics[scale=0.12]{Edgar.eps} }
\rput[bl](-7,10.1){\includegraphics[scale=0.2]{Boss.eps} }
\rput[bl](18.6,0.6){$\overrightarrow{u}$}
\rput[bl](19.02,13.12){$\overrightarrow{v}$}
\rput[bl](16.6,10.9){$\overrightarrow{w}$}
\rput[bl](2,-1){\textbf{\textit{Ile Noire}}}
\end{pspicture*}
%\end{center}
\begin{enumerate}
 \item Placer le point $I$ sur le schéma.
 \item Edgar va donc jusqu'en I retrouver son Indicateur. Il lui demande, apeuré, la position des Pirates.
\Cadre[Indice 1]{
\og Les Pirates se trouvent au point P. Pour le situer depuis l'Aéroport, il faut se déplacer successivement 
selon la translation de vecteur $\vec u$ puis selon celle de vecteur $\vec v$.
\fg
}
Placer le point P sur le schéma. \hfill \fbox{\textbf{STOP PROF}}\\
\textbf{\textit{Questions orales} :}
\begin{itemize}
\item Comment pourrait-on décrire le vecteur $\overrightarrow{AP}$ en fonction des vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ ?
\item L'ordre dans lequel on effectue les translations a-t-il une importance ?
\item On nomme $C$ l'image de $A$ par la translation de vecteur $\vec u$. 
\begin{enumerate}
 \item Ecrire cette phrase en mathématiques.
 \item Comment pourrait-on décrire le vecteur
$\overrightarrow{AP}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{CP}$ ? 
 \end{enumerate}
\end{itemize}
\item L'Indicateur donne ensuite l'indice suivant à Edgar :
\Cadre[Indice 2]{
\og  Si tu pars du point T, où se cache Titi, et que tu effectues la translation de vecteur 
$\vec w$, alors tu seras chez les Pirates.
\fg
}
Où se trouve Titi ? 
\item Quelle translation permet aux Pirates d'aller de leur repère à la cachette de Titi ?
\item Edgar téléphone ensuite à the Boss pour lui décrire la translation de vecteur $\overrightarrow{AT}$ à effectuer.
\begin{enumerate}
 \item Décrire cette translation en fonction des vecteurs $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$, puis en fonction
de $\vec u$ seulement. 
 \item Quelle égalité de vecteurs peut-on en déduire ?
 \end{enumerate}
\item Edgar de son côté, doit effectuer la translation de vecteur $\overrightarrow{IT}$.
\begin{enumerate}
 \item Donner deux descriptions différentes de ce vecteur en fonction des points de la figure.
 \item Quelles égalités vectorielles peut-on en déduire ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\textbf{\underline{Objectifs} :} 
\begin{itemize}
 \item Travailler sur les vecteurs opposés et représentant de vecteurs (translation de vecteur opposé, retrouver l'origine en connaissant
l'arrivée)
 \item Introduire la notion de somme de vecteurs en construisant des translations successives
\item Amener les élèves eux-mêmes à parler de multiplcation de vecteurs par un nombre entier positif, afin d'en saisir
le sens à partir de l'addition, même si cette opération est censé être présentée avec les coordonnées. 
\item Introduire la relation de Chasles et la manipuler \og dans tous les sens \fg , 
constater qu'elle ne s'applique pas si on a des coefficients différents devant les vecteurs que l'on ajoute, etc
 \end{itemize}

Dans la suite du chapitre, $\vec u$ et $\vec v$ désignent deux vecteurs quelconques du plan, et $A$, $B$ et $C$ trois points.\\


 \Defc[Somme de vecteurs]{
On dit que le vecteur de la translation obtenue en appliquant successivement les translations de vecteur 
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, est \textbf{la somme des vecteurs} $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$. \\
Ce vecteur est noté $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$.% et on a  $\vec u + \vec v = \vec v + \vec u$.
}

%\Defc[Somme de vecteurs]{
%La \textbf{somme de deux vecteurs} $\vec u$ et $\vec v$ est le vecteur associé à la translation résultant
% de l'enchaînement des translations de vecteurs $\vec u$ et de vecteur $\vec v$. On le note $\vec u + \vec v$.\\
%Autrement dit, pour tous points $A$, $B$ et $C$, le vecteur $\overrightarrow{AC}$ est le vecteur associé à la translation 
%obtenue en appliquant successivement la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$
%puis celle de vecteur $\overrightarrow{BC}$. 
%}
\textbf{Illustrations : }\\
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-1)(16,3.0)
\def\xmin{-1} \def\xmax{17} \def\ymin{-1} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1.4,-2.4)(12.2,5.3)
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline{->}(2.0000,2.0000)(3.0000,0000)
\uput{0.3000}[90.0000](2.000,1.000){$\vec v$}
\psline{->}(0.0000,0.0000)(2.0000,2.0000)
\uput{0.3000}[90.0000](1.0000,1.0000){$\vec u$}
\psline{->}(0,0)(3,0)
\uput{0.3000}[-90.0000](1.5000,0){$\vec w =\vec u + \vec v$}
%\psdots[dotstyle=*](0.0000,0.0000)
\psline{->}(8,1)(10,2)
\uput{0.3000}[90.0000](8,1){$A$}
\psline{->}(10,2)(11,0)
\uput{0.3000}[90.0000](10,2){$B$}
\psline{->}(8,1)(11,0)
\uput{0.3000}[-90.0000](11,0){$C$}
\uput{0.3000}[-90.0000](14,3){$\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$}
\uput{0.3000}[-90.0000](14,2){sont associés}
\uput{0.3000}[-90.0000](14,1){à la même translation}
\uput{0.3000}[-90.0000](14,0){donc $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$}
\endpsclip
\end{pspicture*}

On en déduit immédiatement le résultat suivant.\\

\Ptec[Relation de Chasles]{Pour tous points $A$, $B$ et $C$ : $$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$$
}
%\Ptec[Relation de Chasles]{
%Pour tous points $A$, $B$ et $C$, on a : 
%$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$$
%}

%\textbf{Illustration :}\\

\Rqs{
\item On retiendra que pour les vecteurs, les \og détours \fg\, ne comptent pas. \\
Ainsi, aller de $A$ en $B$, puis de $B$ en $C$ revient à aller directement de $A$ en $C$.
\item $\left(\vec u + \vec v\right) + \vec w = \vec u + \left(\vec v + \vec w \right)$, \quad $\vec u + \vec v = \vec v + \vec u$ \quad et \quad $\vec u + \vec 0 =  \vec u$.\\
Autrement dit, l'addition de vecteurs possède les mêmes propriétés que l'addition de réels (associativité, communativité, élément neutre).
\item Pour construire l'image d'un point $M$ par une translation associée à une somme de vecteurs, on dispose 
les vecteurs \og bout à bout \fg en partant du point $M$.
}

%\Cadre[Méthode de constructions]{
%Soit $A$ un point donné quelconque. Pour construire $M$ tel que $\overrightarrow{AM}=\vec u + \vec v$ on peut procéder ainsi : 
%\begin{enumerate}
% \item On place $N$ tel que $\overrightarrow{AN}=\vec u$, ie qu'on reporte $\vec u$ au départ de $A$ et on arrive en $N$.
%\item Puis on place le point $C$ tel que $\overrightarrow{BC}=\vec v$, ie qu'on reporte $\vec v$ au départ de $N$ et on arrive en 
%le point $M$ cherché.\\
%\textit{\og On dispose bout à bout les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ en partant du point de départ.\fg }
%\end{enumerate}
%}\\


\Expls{
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item Construire $M$ tel que $\overrightarrow{AM} = \vec u + \vec v $ sur le sch\'ema ci-dessous :\newline
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-2.2)(4.2,3.2)
\def\xmin{-1} \def\xmax{4} \def\ymin{-2} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.2,-1.2)(4.2,2.5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1.2,-2.2)(4.2,3.2)
%\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psdots[dotstyle=*](0.0000,0.0000)
\psline{->}(0.0000,0.0000)(1.0000,-1.0000)
\uput{0.5000}[110.0000](1.000,-1.000){$\vec v$}
\psline{->}(0.0000,0.0000)(2.0000,2.0000)
\uput{0.3000}[120.0000](1.0000,1.000){$\vec u$}
\uput[ul](0,0){$A$}
\endpsclip
\end{pspicture*}
%\item Montrer que pour tous points $A$, $B$, $C$ et $D$ on a : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}+(-\overrightarrow{DB})=\vec 0$
 \item Construire $E$ sur le sch\'ema ci-dessous tel que $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$ \newline
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-2.2)(4.2,3.2)
\def\xmin{-1} \def\xmax{4} \def\ymin{-2} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1.2,-2.2)(4.2,3.2)
%\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[150.0000](0.0000,1.0000){$B$}
\uput{0.3000}[-40.0000](2.0000,2.000){$A$}
\uput{0.3000}[30.0000](3,0.0000){$D$}
\uput{0.3000}[-20.0000](3.0000,-1.000){$C$}
\psline{<-}(0.0000,1.0000)(2.0000,2.000)
\psline{<-}(3,0.0000)(3.0000,-1.000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
 %\item Placer sur le m\^eme sch\'ema le point $M$ v\'erifiant $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}$
 \end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Expl{
Montrer que pour tous points $A$, $B$, $C$ et $D$ on a : 
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}+(-\overrightarrow{DB})=\vec 0$.\\
Vérifier sur une figure.
}

%\Expl{$EFGH$ est un rectangle de centre $I$. 
%\begin{enumerate}
% \item Construire le représentant d'origine $G$ du vecteur $\vec u= \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{GI} + \overrightarrow{FG}$.
% \item Démontrer que $\vec u = \overrightarrow{EI}$.
%\end{enumerate}
%}


\Exos{n$^{\circ}$ \textbf{24}-25-\textbf{26}-27-29-30 p 206
}

\subsection{Conséquences}
\Defc[Différence de vecteurs]{
La \textbf{diff\'erence de deux vecteurs} $\vec u$ et $\vec v$ est le vecteur not\'e $\vec u -\vec v $ obtenu en ajoutant \`a $\vec u$ l'oppos\'e de $\vec v$.\\
Autrement dit, on a $\vec u -\vec v =\vec u +(-\vec v) $. 
}

\Expls{
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item Construire $M$ tel que $\overrightarrow{AM} = \vec u - \vec v $ sur le sch\'ema ci-dessous :\newline
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-3.2)(8.2,7.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{8} \def\ymin{-3} \def\ymax{7}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-2.2)(8.2,6.2)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2.2,-3.2)(8.2,7.2)
%\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](0.0000,0.0000)
\psline{->}(0.0000,0.0000)(3.0000,-2.0000)
\uput{0.2000}[90.0000](1.5000,-1.0000){$\vec v$}
\psline{->}(0.0000,0.0000)(4.0000,4.0000)
\uput{0.2000}[130.0000](2.0000,2.0000){$\vec u$}
\uput[ul](0,0){$A$}
\endpsclip
\end{pspicture*}
%\item Montrer que pour tous points A, B, C et D on a : $-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\vec 0$
 \item Construire $E$ sur le sch\'ema ci-dessous tel que $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}$\\
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-3.2)(8.2,7.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{8} \def\ymin{-3} \def\ymax{7}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-2.2)(8.2,6.2)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2.2,-3.2)(8.2,7.2)
%\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.2000}[-130.0000](0.0000,4.0000){$A$}
\uput{0.2000}[-40.0000](4.0000,6.000){$B$}
\uput{0.2000}[-140.0000](-1.0000,1.0000){$C$}
\uput{0.2000}[-40.0000](2.0000,0000){$D$}
\psline{->}(0.0000,4.0000)(4.0000,6.000)
\psline{->}(-1.0000,1.0000)(2.0000,0.0000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
 %\item Placer sur le m\^eme sch\'ema le point $M$ v\'erifiant $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}\\

\Expl{
Montrer que pour tous points $E$, $F$, $G$ et $H$ on a : 
$-\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{HG}-\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{FH}=\vec 0$.\\
Vérifier sur une figure.
}

\Exos{n$^{\circ}$ 41-42-44 p 206
}

\Defc[Produit d'un vecteur par nombre entier]{
%Soit $n\in\N$.\\
%Le produit d'un vecteur $\vec u$ par $n$ est le vecteur not\'e $n\vec u$. Il est défini comme la somme du vecteur $\vec u$, $n$ fois.\\
%Le produit d'un vecteur $\vec u$ par $-n$ est le vecteur not\'e $-n\vec u$. C'est le vecteur opposé de $n\vec u$. \\
%On étend cette définition au nombre réel. 
Soit $k\in\N$. \\
\textbf{Le produit d'un vecteur $\vec u$ par l'entier naturel $k$} est le vecteur associé à la translation résultant de $k$
l'enchaînement successifs de la translation de vecteur $\vec u$. On le note $k \vec u$.\\
Le produit d'un vecteur $\vec u$ par $-k$ est le vecteur not\'e $-k\vec u$. C'est le vecteur opposé de $k\vec u$.
%Le produit d'un vecteur $\vec u$ par $k$ est le vecteur not\'e $k\vec u$. Il est définit le vecteur ayant :
%\begin{itemize}
% \item la même direction que $\vec u$
% \item le même sens que $\vec u$ si $k>0$, le sens contraire si $k<0$.
% \item une norme égale à $|k|$ fois celle de $\vec u$. 
%\end{itemize}
}

\Rqs{
\item Le vecteur $k \vec u$ a la même direction et le même sens que le vecteur $\vec u$. Par contre, sa longueur
est égale à $k$ fois celle de $\vec u$.
 \item On étend cette définition de la multiplication d'une vecteur par un nombre entier relatif aux nombres réels.
\item Les droites portées par les vecteurs $\vec u $ et $k\vec u$ sont parallèles (strictement ou confondues).
\item On note $||\vec u || = |k| \vec u $ où $|k|$ désigne la distance à $0$ du nombre $k$ (c'est donc un nombre positif). Ce nombre $|k|$ s'appelle valeur absolue de $k$. 
\item Si $k=0$, on pose $k\vec u = \vec 0$.
}

%\Expl{
%Soit $ABC$ un triangle équilatéral de côté $1.5$ cm.
%\begin{enumerate}
% \item Placer le point $D$ tel que $\overrightarrow{AD}=4 \overrightarrow{AB} $
% \item Placer le point $E$ tel que $\overrightarrow{AE}= -3 \overrightarrow{AB} $
% \item Placer le point $F$ tel que $\overrightarrow{AF}= 2 \overrightarrow{BC} $
%\end{enumerate}
%}\\


\Expl{
Le segment $[AB]$ est divis\'e en six parties de m\^eme longueur.}
\begin{center}
\vspace{-1cm}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(0.3,-0.2)(7.7,1.2)
\def\xmin{0} \def\xmax{7.5} \def\ymin{-1} \def\ymax{1}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](0.3,-0.2)(7.7,1.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[90.0000](1.0000,0.0000){A}
\uput{0.3000}[90.0000](7.0000,0.0000){B}
\uput{0.3000}[90.0000](2.0000,0.0000){C}
\uput{0.3000}[90.0000](3.0000,0.0000){D}
\uput{0.3000}[90.0000](4.0000,0.0000){E}
\uput{0.3000}[90.0000](5.0000,0.0000){F}
\uput{0.3000}[90.0000](6.0000,0.0000){G}
\psline(1.0000,0.0000)(7.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](1.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](7.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.50](2.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](3.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](4.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](5.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](6.0000,0.0000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item Compl\'eter les relations suivantes par la lettre qui convient :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
 \item $\overrightarrow{E\dots}=-2\overrightarrow{EF}$
 \item $\overrightarrow{C\dots}+\overrightarrow{\dots G}=\vec 0$
 \item $\overrightarrow{AB}=-6\dots\dots$\\
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Compl\'eter les relations suivantes par le nombre qui convient :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
 \item $\overrightarrow{AB}=\dots\overrightarrow{CE}$
 \item $\overrightarrow{AD}=\dots\overrightarrow{BF}$
 \item $\overrightarrow{BF}=\dots\overrightarrow{DE}$
 \item $\overrightarrow{CD}=\dots \overrightarrow{AB}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}

\Exos{n$^{\circ}$ 34-35-40 p 206 (k réel) \\
36-43 p 206 (k entier)\\
73 p 210 (correction de copies d'élèves)\\
57-58-62 p 209 (démonstrations géométriques)\\
60-63 p 209 (Chasles)
}

\Rq{
On a vu que les vecteurs permettaient de décrire des déplacements rectilignes. Cependant, il serait bien pratique 
de décrire les vecteurs aussi ! \\
Pour cela, on a vu que l'on pouvait se ramener à des parallélogrammes, ou encore utiliser le quadrillage.\\
Cette dernière méthode fait penser que l'on pourrait peut-être décrire un vecteur par des coordonnées ...
}

\section{Le point sur les coordonnées d'un point}
\subsection{Se repérer dans le plan}
\Defc{
Définir un \textbf{repère du plan}, c'est choisir 3 points non alignés et dans un ordre précis : $O$, $I$, $J$.\\
On note ce repère $(O,I,J)$, et :
\begin{itemize}
 \item Le point $O$ est l'\textbf{origine} du repère
 \item La droite $(OI)$ est l'\textbf{axe des abscisses} et le point $I$ donne l'unité de cet axe
 \item La droite $(OJ)$ est l'\textbf{axe des ordonnées} et le point $J$ donne l'unité de cet axe
\end{itemize}
}

\Expl{
\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm , yunit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-5,-1.7)(15.2,4)
\def\xmin{-5} \def\xmax{16} \def\ymin{-1.5} \def\ymax{4}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline{->}(-5.0000,0.0000)(13.0000,0.0000)
\psline{->}(-2.0000,-2.0000)(6.0000,6.0000)
\psline{-}(6,0.2)(6,-0.2)
\psline{-}(12,0.2)(12,-0.2)
\psline{-}(9,0.2)(9,-0.2)
\psline{-}(-3,0.2)(-3,-0.2)
\psline{-}(1.9,2.1)(2.1,1.9)
\psline{-}(2.9,3.1)(3.1,2.9)
\psline{-}(-0.9,-1.1)(-1.1,-0.9)
\uput{0.3000}[-80.0000](0.0000,0.0000){$O$}
\uput{0.2000}[140.0000](2.0000,2.0000){$2$}
\uput{0.2000}[140.0000](1.0000,1.0000){$J$}
\uput{0.2000}[140.0000](3.0000,3.0000){$3$}
\uput{0.2000}[140.0000](-1.0000,-1.0000){$-1$}
\uput{0.2000}[-170.0000](1.0000,1.0000){1}
\uput{0.3000}[-45.0000](3.0000,0.0000){$I$}
\uput{0.3000}[-90.0000](3.0000,0.0000){1}
\uput{0.3000}[-90.0000](6.0000,0.0000){2}
\uput{0.3000}[-90.0000](9.0000,0.0000){3}
\uput{0.3000}[-90.0000](12.0000,0.0000){4}
\uput{0.3000}[-90.0000](-3.0000,0.0000){$-1$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.50](1.0000,1.0000)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](3.0000,0.0000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
}

\Rqs{
\item L'axe des abscisses est souvent horizontal, mais ce n'est pas une obligation
\item Si le triangle $OIJ$ est rectangle en $O$, le repère $(O,I,J)$ est dit \textbf{orthogonal}. Les axes du repères sont perpendiculaires.
\item Si le triangle $OIJ$ est rectangle et isocèle en $O$, le repère $(O;I;J)$ est dit \textbf{orthonormé}. Les axes du repère sont perpendiculaires
et ont la même unité. C'est ce type de repère que nous utiliserons la plupart du temps.
}

\Defc[Propriété]{
On considère un repère $(O,I,J)$ du plan et un point $M$ quelconque.\\
On peut décrire de manière unique la position du point $M$ dans le repère par un couple $(x_M , y_M)$ de nombres réels , 
appelés \textbf{coordonnées} de $M$. 
Le premier, $x_M$,  est son \textbf{abscisse}. Le second, $y_M$ est son \textbf{ordonnée}.\\
On les trouve comme suit :
\begin{itemize}
\item On trace les parallèles aux axes $(OI)$ et $(OJ)$ passant par le point $M$.
\item Sur l'axe $(OI)$ on lit l'abscisse $x_M$ du point $M$.
\item Sur l'axe $(OJ)$ on lit l'ordonnée $y_M$ du point $M$.
\end{itemize}
}

\Expl{Lire les coordonnées des points dans les repères suivants :
\begin{multicols}{3}
\begin{center}
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-4,-3)(3.1,3)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4,-3)(3.1,3)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=7pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=1]{->}(0,0)(-4,-3)(3,3)
\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](-3,-2)
\rput[bl](-2.92,-1.88){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=xdxdff](2,0)
\rput[bl](2.08,0.12){\blue{$B$}}
\rput[bl](0.4,0.72){{$J$}}
\rput[bl](1.2,-0.52){{$I$}}
\rput[bl](0.1,-0.6){{$O$}}
\end{pspicture*}
%\end{center}
%Le point $E$ a pour coordonées $(\dots,\dots)$ et le point $F$ a pour coordonnées $(\dots;\dots)$
%\begin{center}
\begin{pspicture*}(-2,-1)(6.1,5)
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm}
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-1)(6.1,5)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=7pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=1]{->}(0,0)(-2,-1)(6,5)
\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](5,2)
\rput[bl](5.07,2.25){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](-1,4)
\rput[bl](-0.92,4.24){\blue{$B$}}
\rput[bl](0.4,0.72){{$J$}}
\rput[bl](1.2,-0.52){{$I$}}
\rput[bl](0.1,-0.6){{$O$}}
\end{pspicture*}
%\end{center}
%Le point $A$ a pour coordonées $(\dots,\dots)$ et le point $B$ a pour coordonnées $(\dots;\dots)$
%\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.5,-2.8)(7,3.8)
\psplot{-2.5}{7}{(-0-1*x)/-1}
\psplot{-2.5}{7}{(-0-0*x)/-2}
%\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](3,3)(6,3)
%\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](3,0)(6,3)
\psplot[linestyle=dotted]{-2.5}{7}{(--2-1*x)/-1}
\psplot[linestyle=dotted]{-2.5}{7}{(--12-2*x)/-2}
\psplot[linestyle=dotted]{-2.5}{7}{(-2-0*x)/-2}
\psplot[linestyle=dotted]{-2.5}{7}{(--4-1*x)/-1}
\psplot[linestyle=dotted]{-2.5}{7}{(-4-0*x)/-2}
\psplot[linestyle=dotted]{-2.5}{7}{(--6-0*x)/-6}
\psplot[linestyle=dotted]{-2.5}{7}{(-12-0*x)/-4}
\psplot[linestyle=dotted]{-2.5}{7}{(--16-2*x)/-2}
\psplot[linestyle=dotted]{-2.5}{7}{(--4-0*x)/-2}
\psplot[linestyle=dotted]{-2.5}{7}{(-16-0*x)/-4}
\psplot[linestyle=dotted]{-2.5}{7}{(-2-1*x)/-1}
\psplot[linestyle=dotted]{-2.5}{7}{(-4-1*x)/-1}
\psplot[linestyle=dotted]{-2.5}{7}{(--6-0*x)/-2}
%\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5,linecolor=xdxdff](2,0)
\rput[bl](1.86,-0.8){{$I$}}
%\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5,linecolor=blue](1,1)
\rput[bl](0.7,1.24){{$J$}}
%\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5,linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](-0.06,-0.8){{$O$}}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5,linecolor=blue](6,3)
\rput[bl](6.08,3.12){\blue{$N$}}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5,linecolor=blue](4,-2)
\rput[bl](4.08,-2.6){\blue{$M$}}
%\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5,linecolor=darkgray](3,0)
%\rput[bl](2.74,-0.8){\darkgray{$x_M$}}
%\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5,linecolor=darkgray](3,3)
%\rput[bl](2.,3.2){\darkgray{$y_M$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](6,0)
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-2,-2)
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-4,0)
%\rput[bl](-3.06,0.76){\blue{$N$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
%Le point $M$ a pour coordonées $(\dots,\dots)$ et le point $N$ a pour coordonnées $(\dots;\dots)$

\end{multicols}
}

%\Rq{Dans un repère donné, les coordonnées d'un point sont uniques.}

\Exos{
n$^{\circ}$ 3-30 p 160
}


\subsection{Coordonnées du milieu d'un segment}

\Act{
Au vidéo-projecteur, sur géogébra, créer un 4 curseurs $a$, $b$, $c$ et $d$ prenant des valeurs entières comprises entre $-5$ et $5$.\\
Créer les points $A(a,b)$, $B(c,d)$ puis le milieu du segment $[AB]$.
\begin{enumerate}
 \item En utilisant les curseurs et en observant les coordonnées des points $A$, $B$ et $C$ dans la fenêtre 
\og algèbre \fg \, compléter le tableau 
de valeurs suivant :
 $$\begin{array}{*{9}{|c}|}\hline
  A & (4;2) & (-3;1) & (0;5) & (1;-3) & (3;0) & (-5;4) & (2;-2) & (1;1) \\\hline
 B & (2;0) & (-5;-1) & (1;-3) & (3;-1) & (-4;2) & (0;0) & (-2;2) & (-3;5) \\\hline
C &	&	&	&	&	&	&	&	\\\hline
 \end{array}
$$
\item Conjecturer des relations entre les coordonnées du milieu du segment et celles de ses extrémités.
 \item \Defc{Si $x$ et $y$ sont deux nombres réels, la moyenne arithmétique de $x$ et $y$ est le réel $\dfrac{x+y}{2}$.}
Enoncer la conjecture précédente en utilisant la notion de moyenne arithmétique de deux nombres.
\end{enumerate}
}

\Ptec{
On considère dans le plan muni d'un repère $(O,I,J)$ les points $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$.\\
Alors le milieu du segment $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$
}

\Dem{
\textbf{$1^{er}$ cas} : Si $x_A=x_B$ ou $y_A=y_B$\\
On suppose par exemple que  $y_A=y_B$ et $x_B >x_A$. Alors :
\begin{eqnarray*}
 M(x_M;y_M) \textrm{ est le milieu de }\left[ AB\right] 
&\Longleftrightarrow & y_M=y_A=y_B \textrm{ et } x_B-x_M=x_M-x_A \\
&\Longleftrightarrow & y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2} \textrm{ et } x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}
\end{eqnarray*}
La démonstration se traite de même si $x_B<x_A$ ou $x_B=x_A$.\\

\textbf{$2^{eme}$ cas} : Si $x_A\neq x_B$ et $y_A \neq y_B$\\
On pose $C$ le point tel que $x_C=x_B$ et $y_C=y_A$.\\
Soit $K$ le milieu de $[AC]$. D'après le théorème des milieux, la droite $(MK)$ est parallèle à $(BC)$.\\
Donc $x_M=x_K=\dfrac{x_A+x_C}{2} = \dfrac{x_A+x_B}{2}$ d'après la partie $1$.\\
De même, on pose $L$ milieu de $[BC]$. On a $y_M=y_L=\dfrac{y_A+y_C}{2} = \dfrac{y_A+y_B}{2}$ 
}

\Expls{
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
$A(-1.5;1.5)$ et $B(3;1.5)$
 \psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-3.2,-1.2)(4.2,4.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{4} \def\ymin{-1} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.2,-1.2)(4.2,4.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-3,-1)(4,4)
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}

\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](-1.5000,1.5000)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](3.0000,1.5000)
\uput{0.1500}[90.0000](-1.5000,1.5000){$A$}
\uput{0.1500}[65.0000](3.0000,1.50000){$B$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](0.75000,1.5000)
\uput{0.1500}[90.0000](0.75000,1.50000){$M$}
\pcline[linewidth=1pt, linecolor=red]{-}(-1.5000,1.50000)(3.0000,1.5000)
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
 \uput[dl](1,0){\small $I$}
 \uput[dl](0,1){\small $J$}
 \uput[dl](0,0){\small $O$}
\end{pspicture*}\\
$M(0.75;1.5)$

$A(-2;0.5)$ et $B(2.5;3)$
 \psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-3.2,-1.2)(4.2,4.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{4} \def\ymin{-1} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.2,-1.2)(4.2,4.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-3,-1)(4,4)
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}

\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](-2.0000,0.5000)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](2.5000,3.0000)
\uput{0.2000}[130.0000](-2.0000,0.5000){$A$}
\uput{0.3000}[90.0000](2.5000,3.0000){$B$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](2.500,0.5000)
\uput{0.2000}[-40.0000](2.500,0.5000){$C$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.50](0.2500,0.5000)
\uput{0.2000}[-40.0000](0.25000,0.5000){$K$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.50](2.5000,1.750)
\uput{0.3000}[-40.0000](2.5000,1.7500){$L$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](0.2500,1.750)
\uput{0.3500}[60.0000](0.2500,1.7500){$M$}
\pcline[linewidth=1pt, linecolor=red]{-}(-2.0000,0.5000)(2.5000,3.0000)
\pcline[linewidth=1pt, linecolor=green]{-}(-2.0000,0.5000)(2.500,0.5000)
\pcline[linewidth=1pt, linecolor=green]{-}(2.5000,3.0000)(2.500,0.5000)
\pcline[linewidth=1pt, linestyle=dashed, linecolor=cyan]{-}(0.25000,-0.5000)(0.2500,3.5000)
\pcline[linewidth=1pt, linestyle=dashed, linecolor=cyan]{-}(-1.5000,1.75000)(3.500,1.75000)
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
 \uput[dr](1,0){\small $I$}
 \uput[dl](0,1){\small $J$}
 \uput[dl](0,0){\small $O$}
\end{pspicture*}\\
$M(0.25;1.75)$
\end{center}
\end{multicols}
}

\Exos{
n$^{\circ}$ 7-8-9 p 160\\
n$^{\circ}$ 11-13 p 160 (ok avec vecteurs aussi)
}

\section{Repérer un déplacement rectiligne}
\subsection{Coordonnées d'un vecteur}
\Act{}
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-4.2,-4.2)(7.2,5.2)
\def\xmin{-4} \def\xmax{7} \def\ymin{-4} \def\ymax{5}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-4,-4)(7,5)
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[45.0000](6.0000,-1.0000){A}
\uput{0.3000}[45.0000](3.0000,3.0000){B}
\uput{0.3000}[45.0000](-3.0000,-2.0000){C}
\uput{0.3000}[45.0000](0.0000,-2.0000){D}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(6,-1)(3,3)
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-3,-2)(0,-2)  
\endpsclip
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
 \uput[dl](0.7,-0.1){\small $I$}
 \uput[dl](-0.1,0.8){\small $J$}
 \uput[dl](0,0){\small $O$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item Construire sur la figure ci-dessus :
\begin{enumerate}
 \item L'image $M_1$ de $O$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$\\
Quelles sont les coordonnées de $M_1$ ? \\
Quel lien pouvez-vous faire avec le vecteur $\overrightarrow{OM_1}$ ? avec le vecteur $\overrightarrow{AB}$ ?
 \item L'image $M_2$ de $O$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{CD}$\\
Quelles sont les coordonnées de $M_2$ ? \\
Quel lien pouvez-vous faire avec le vecteur $\overrightarrow{OM_2}$ ? avec le vecteur $\overrightarrow{CD}$ ?
\end{enumerate}
\item Compléter le tableau suivant avec les coordonnées :\\\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
 Point de départ & $A(\dots; \dots )$ & $C(\dots; \dots )$ & $B(\dots; \dots )$ & $D(\dots; \dots )$ & $C(\dots; \dots )$ & $D(\dots; \dots )$ \\ \hline
Point d'arrivée & $B(\dots; \dots )$ & $D(\dots; \dots )$& $A(\dots; \dots )$& $A(\dots; \dots )$ & $B(\dots; \dots )$  & $B(\dots; \dots )$ \\\hline
& & & & & & \\
Vecteur associé & $\overrightarrow{AB}(\dots; \dots )$& & &  & &  \\\hline
\end{tabular}\\\\
\item Conjecturer une formule sur les coordonnées de $A$ et $B$ pour trouver celle du vecteur $\overrightarrow{AB}$
\end{enumerate}


A partir de maintenant, on munit le plan d'un repère.
\Defc{Soit $\vec u $ un vecteur du plan.
On appelle coordonnées du vecteur $\vec u$ les coordonnées du point $M$ tel que $\vec u = \overrightarrow{OM}$.
Si $M(x;y)$, on note $\vec u(x;y)$ ou encore $\vec u\left(\begin{array}{c}
                                  x \\ y
                                 \end{array}\right)$
}

\Rqs{
\item Le couple $\vec u\left(\begin{array}{c}
                                  x \\ y
                                 \end{array}\right)$
correspond également au déplacement effectué sur le quadrillage.
\item Celles-ci sont donc indépendantes de l'origine du repère.
\item Bien souvent, au lieu de noté $(O;I;J)$ un repère, on notera $(O; \vec i; \vec j)$ avec $\vec i =\overrightarrow{OI}$ et $\vec j =\overrightarrow{OJ}$.\\
Il s'agit d'un rep\'erage en deux dimensions (\'evoquer la droite et l'espace).
}

\Expl{
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-5.2,-4.2)(4.2,4.2)
\def\xmin{-5} \def\xmax{4} \def\ymin{-4} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-5,-4)(4,4)
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pcline{->}(3,-1)(0,3)
\pcline{->}(-2,-3)(1,-1)
\pcline{->}(-4,-1)(-1,1)
\uput{0.3000}[45.0000](3.0000,-1.0000){A}
\uput{0.3000}[150.0000](0.0000,3.0000){B}
\uput{0.3000}[110.0000](-2.0000,-3.0000){C}
\uput{0.3000}[45.0000](1.0000,-1.0000){D}
\uput{0.3000}[110.0000](-4.0000,-1.0000){E}
\uput{0.3000}[45.0000](-1.0000,1.0000){F}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) 
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) 
\endpsclip
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
 \uput[dl](0.7,-0.1){\small $\vec i$}
 \uput[dl](-0.1,0.8){\small $\vec j$}
 \uput[dl](0,0){\small $O$}
\end{pspicture*}
\end{center}
Sur cette figure, on a $\overrightarrow{AB}(-3;4)$, $\overrightarrow{CD}(3;2)$ et $\overrightarrow{EF}(3,2)$}


\Ptec{
Deux vecteurs sont égaux ssi ils ont les mêmes coordonnées dans un repère.
$$\vec u ( x ; y) = \vec v ( x' ; y') \Longleftrightarrow   x=x \textrm{  et } y=y' $$
}

\Dem{Soient deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$.\\
On pose $\vec u=\overrightarrow{OM}$ et $\vec v=\overrightarrow{OM'}$.\\
Ainsi $\vec u = \vec v$ ssi $M=M'$, c'est-à-dire que $M$ et $M'$ ont les mêmes coordonnées. 
Autrement dit $\vec u$ et $\vec v$ ont les mêmes coordonnées.
}
\Expl{Dans l'exemple précédent, on a donc $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{EF}$}

\Ptec{
Si $A$ et $B$ sont deux points de coordonn\'ees respectives $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ alors les coordonn\'ees du vecteur
 $\overrightarrow{AB}$ sont 
$$\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$$
}

\Dem{
Dans un repère $(O; \vec i ;\vec j)$, on note $M$ le point tel que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OM}$.\\
Alors $[AM]$ et $[OB]$ ont le même milieu $I$.\\
D'où $x_I=\dfrac{x_B}{2}$ et $y_I=\dfrac{y_B}{2}$ et $x_I=\dfrac{x_A+x_M}{2}$ et $y_I=\dfrac{y_A+y_M}{2}$.\\
On en déduit que $\dfrac{x_A+x_M}{2}=\dfrac{x_B}{2} \Longleftrightarrow x_A+x_M=x_B \Longleftrightarrow x_M=x_B-x_A$.\\
De même on trouve $y_M=y_B-y_A$.\\
Donc $\overrightarrow{OM}(x_B-x_A;y_B-y_A)$. Comme $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OM}$ on a aussi $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$
}\\

\Expl{
Soient $A(2;3)$ et $B(5;-4)$. Alors $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonn\'ees $(3;-7)$.
}


\subsection{Distance et norme dans un repère orthonormé}

\Act{\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item Calculer les distance $AB$, $AC$ et $BC$ en prenant comme unité le côté d'un carreau du quadrillage.
\item On choisit un repère orthonormé $(A,I,J)$ d'origine $A$ tel que $B(4;-2)$.
\begin{enumerate}
 \item Placer le repère $(A,I,J)$ sur la figure.
 \item Comparer $AB$ et $x_B^2+y_B^2$.
 \item Vérifier que l'on a une relation analogue avec le point $C$.
\end{enumerate}
\item Conjecturer une relation entre la distance $BC$ et les coordonnées des points $B$ et $C$.
\end{enumerate}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-3.2)(5.2,3.2)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1.2,-3.2)(5.2,3.2)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5,linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](0.08,0.12){\darkgray{$A$}}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5,linecolor=blue](4,-2)
\rput[bl](4.08,-1.88){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5,linecolor=blue](3,2)
\rput[bl](3.08,2.12){\blue{$C$}}
\end{pspicture*}
\end{multicols}
}

\Ptec{
On considère un repère \textbf{orthonormé} $(O,I,J)$ du plan et les points $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$.\\
La distance entre les points $A$ et $B$ est :
$$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$
l'unité de longueur étant celle commune aux deux axes.
}

\Dem{
On suppose que $x_B > x_A$ et $y_B > y_A$. \textit{Les autres cas se traitent de même}.\\
On note  $C$ le point tel que $x_C=x_B$ et $y_C=y_A$.\\
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$, on a d'après le théorème de Pythagore : $AB^2 = AC^2 + BC^2$, ie :
$$AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2$$
Comme $AB$ est positif on a $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.
}

\Expl{
\begin{center}
 $A(-2;0.5)$ et $B(2.5;3)$\\
 \psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-3.2,-1.2)(4.2,4.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{4} \def\ymin{-1} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-3,-1)(4,4)
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}

\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](-2.0000,0.5000)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](2.5000,3.0000)
\uput{0.2000}[140.0000](-2.0000,0.5000){$A$}
\uput{0.3000}[90.0000](2.5000,3.0000){$B$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](2.500,0.5000)
\uput{0.2000}[20.0000](2.500,0.5000){$C$}

\pcline[linewidth=1pt, linecolor=red]{-}(-2.0000,0.5000)(2.5000,3.0000)
\pcline[linewidth=1pt, linecolor=red]{-}(-2.0000,0.5000)(2.500,0.5000)
\pcline[linewidth=1pt, linecolor=red]{-}(2.5000,3.0000)(2.500,0.5000)

\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
 \uput[dr](1,0){\small $I$}
 \uput[dl](0,1){\small $J$}
 \uput[dl](0,0){\small $O$}
\end{pspicture*}\\
$AB=\sqrt{(2.5-(-2))^2+(3-0.5)^2}=\sqrt{4.5^2+2.5^2}=\sqrt{26.5}\simeq 5.1$
\end{center}
}


On en déduit immédiatement que :

\Ptec{
Soit $\vec u(x;y)$ un vecteur dans un rep\`ere \textbf{orthonormal} $(O;\vec i; \vec j )$. Alors $$||\vec u||=\sqrt{x^2+y^2}$$
En particulier, on a pour $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ : 
$$||\overrightarrow{AB}||=AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$$
}

\Expl{
Dans l'exemple pr\'ec\'edent,on avait $\overrightarrow{AB}(3;-7)$. Donc dans un repère orthonormé on a  
$$||\overrightarrow{AB}||=AB=\sqrt{3^2+(-7)^2}=\sqrt{9+49}=\sqrt{58}$$
}

\Exos{n$^{\circ}$ 15-20-21 p 161 (distance)\\
n$^{\circ}$ \textbf{12-14}-15-17-18 p 205 (norme)\\
Déclic : n$^{\circ}$ 22 p 231 (algo)
}
\subsection{Opérations sur les vecteurs et coordonnées}

\Act{A faire}

\Ptec{
Soient deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ et $k$ un nombre réel. Si $\vec u ( x ; y)$ et $\vec v ( x' ; y')$ alors :
\begin{center}
$\vec u + \vec v$ a pour coordonn\'ees $( x+x' ; y+y' )$\qquad et \qquad 
 $k\vec u$ a pour coordonn\'ees $( kx ; ky  )$
\end{center}
}


\Expl{
On donne les points $A(-3;1)$, $B(5;2)$ et $C(0;-1)$.
\begin{enumerate}
 \item D\'eterminer les coordonn\'ees du vecteur $\vec u = \overrightarrow{OA} + 1.5 \overrightarrow{OB}$ 
\item D\'eterminer les coordonn\'ees du vecteur $\vec v = 5 (\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{OC})$
 \item D\'eterminer les coordonn\'ees du point $M$ d\'efini par $\overrightarrow{AM} = 2 \overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC}$
\end{enumerate}
}\\

\Exos{n$^{\circ}$ 20-\textbf{21}-22 p 205 (addition)\\
\textbf{31-32}-34-36-40 p 206
}

\section{Droites et colinéarité : Nouveau chapitre ??}
\subsection{Vecteurs colinéaires}
\Act{Soit $(O; \vec i; \vec j)$ un repère du plan..\\
Soient cinq points $A(2;5)$, $B(-1,4)$, $C(8;7)$, $D(0;-4)$ et $E(4.5;-0.5)$
\begin{enumerate}
 \item Faire un schéma.
\item \begin{enumerate}
       \item Trouver les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{ED}$.
     \item Exprimer le vecteur $\overrightarrow{AB}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{ED}$.
      \item Que peut-on en déduire sur la direction de ces deux vecteurs ? sur les droites $(AB)$ et $(ED)$ ?
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
        \item  Trouver les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
     \item Exprimer les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{AC}$.
      \item Que peut-on en déduire sur la direction de ces deux vecteurs ? sur les droites $(AB)$ et $(AC)$ ?
	\item Que peut-on alors en déduire pour les points $A$, $B$ et $C$ ?\\
       \end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\Defc{
Deux vecteurs non nuls $\vec u$ et $\vec v$ sont dits colinéaires lorsqu'ils ont la même direction.
}

\Thc{
Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colin\'eaires ssi il existe un r\'eel $k$ tel que $\vec u =k \vec v$.\\
Autrement dit, les vecteurs $\vec u \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ et 
$\vec v \left(\begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right)$ sont colin\'eaires ssi  leurs coordonnées sont proportionnelles.
}

\begin{multicols}{2}
 \Expl{
Citer des vecteurs colin\'eaires de la figure ci-dessous et traduire par une relation vectorielle :} %\vspace{-1cm}
\begin{center}
 \psset{xunit=0.6cm , yunit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-3.2)(9.2,6.2)
\def\xmin{-1} \def\xmax{9} \def\ymin{-3} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.2,-3.2)(9.2,6.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-1,-3)(9,6)
\psset{xunit=0.6cm , yunit=0.6cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[90.0000](1.0000,4.0000){A}
\uput{0.3000}[90.0000](6.0000,4.0000){B}
\uput{0.3000}[-90.0000](0.0000,0.0000){C}
\uput{0.3000}[110.0000](5.0000,0.0000){D}
\uput{0.3000}[0.0000](8.0000,0.0000){E}
\uput{0.3000}[-90.0000](4.5000,-2.0000){F}
\psline{->}(1.0000,4.0000)(0.0000,0.0000)
\psline{->}(0.0000,0.0000)(8.0000,0.0000)
\psline{->}(0.0000,0.0000)(6.0000,4.0000)
\psline{->}(6.0000,4.0000)(4.5000,-2.0000)
\psline{->}(4.5000,-2.0000)(8.0000,0.0000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
 

\Expls{
$\vec u \left(\begin{array}{c} 3 \\ 4  \end{array} \right)$ et $\vec v \left(\begin{array}{c} 4.5 \\ 6  \end{array} \right)$ sont-ils colin\'eaires ? 
\quad M\^eme question pour $\vec s \left(\begin{array}{c} 3 \\ 4  \end{array} \right)$ et $\vec g \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2  \end{array} \right)$
}

\Exos{n$^{\circ}$ 46-47 p 207}

\subsection{Application à la géométrie}

\Ptec{Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan  deux à deux distincts.\\
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles ssi  les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
}

\Corc{Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan deux à deux distincts.\\
Les points $A$, $B$ et $C$  sont alignés ssi  les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
}

\Cadre[M\'ethode]{Pour d\'emontrer que trois points sont align\'es, il suffit de d\'emontrer que deux des vecteurs form\'es par les trois points sont colin\'eaires.
}

\Expl{
On donne $A(-4;-1)$, $B(-1;1)$, $C(3;3)$, $D(-1;-3)$ et $E(5;1)$.
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DE}$ sont colinéaires.
\item En déduire la nature du quadrilatère $ABED$
\item Les points $A$, $B$, $C$ sont-ils alignés ?
\end{enumerate}

}

\Expl{
Soit ABC un triangle et M tel que $\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ et N tel que $\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$. Montrer que A, M et N sont align\'es.
}

\Exos{n$^{\circ}$ 49-50-51 p 207 + 38 p 182
Déclic : n$^{\circ}$ 68 p 307 + 80 + 81 p 309 (algo)
}

\subsection{Equation de droite}

\Act{}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-5.1,-3.1)(7.1,4.1)
\def\xmin{-5} \def\xmax{7} \def\ymin{-3} \def\ymax{4}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=lightgray, subgriddiv=1](0,0)(-5,-3)(7,4)
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0 2 x mul 3 div sub 1 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-5}{7}{\F}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\uput[ur](4,-3){$d$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
 \item Soit la droite $d$ représentée ci-dessus. 
\begin{enumerate}
 \item Déterminer graphiquement la fonction affine qu'elle représente.
 \item Dire si les points suivants appartiennent à $d$ ou non.
$$A\left(-1 ; \dfrac{5}{3} \right) \qquad B\left(100 ; -\dfrac{197}{3} \right) \qquad  C\left(0;\dfrac{1}{3} \right)  \qquad D(-3;3) $$
 \item Calculer l'ordonnée du point $E$ d'abscisse $0$ appartenant à $d$.
 \item Calculer l'abscisse du point $F$ d'ordonnée $1$ appartenant à $d$.
 %\item Calculer les coordonnées des points $G$ et $H$ d'intersection de $d$ avec les axes du repère.
\end{enumerate}
 %\item Soit la fonction affine $f$ telle que $f(4)=1$ et $f(0)=5$.  
%\begin{enumerate}
% \item Déterminer  l'expression algébrique de $f$.
% \item Quelle est sa courbe représentative (géométriquement ) ?
% \item La tracer dans le repère ci-dessus.
%  \item Quelle son équation ?
%\end{enumerate}
 \item Soit $d'$  la droite passant par $K(3;2)$ et de coefficient directeur $\dfrac{1}{2}$. 
\begin{enumerate}
 \item Tracer $d'$ dans le repère ci-dessus.
 \item Trouver par le calcul les coordonnées du point d'intersection de $d'$ avec l'axe des ordonnées.
 \item En déduire la fonction affine que $d'$ représente, puis l'équation de $d'$.
\end{enumerate}
 %\item Toutes les droites du plan sont-elles représentatives de fonction affine ?
\item Soient $A(2;0)$, $B(2;-15)$ et $E(2;2010)$.  
\begin{enumerate}
 \item Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?
 \item La droite $(AB)$ est-elle représentative d'une fonction affine ?
 \item Soit $M(x;y)$ un point du plan. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur ses coordonnées pour que $M \in(AB)$.
 \item Construire dans le repère les droites d'équation $x=0$, $x=-3$ et $x=\frac{7}{2}$.
% \item Soit $c\in\R$ et $C(c;0)$. Donner une équation de la droite parallèle à l'axe des ordonnées et passant par $C$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\Rq{
Dans le plan muni d'un repère, une droite peut être :
\begin{itemize}
 \item Soit parallèle à l'axe des ordonnées,
 \item Soit sécante à l'axe des ordonnées : c'est alors la courbe représentative d'une fonctin affine.
\end{itemize}
}

\Ptec{\begin{itemize}
       \item Une droite $d$, parallèle à l'axe des ordonnées a une équation du type $x=c$, où $c\in\R$.
      \item Une droite $d$ sécante à l'axe des ordonnées a une équation de la forme $y=mx+p$, où $m$ et $p$ sont des nombres réels.
      \end{itemize}
%Finalement, on peut toujours écrire l'équation d'une droite sous la forme $ax+by=c$, où $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels.
}

\Rq{Cela signifie qu'un point $A(x_A;y_A)$ appartient à $d:y=mx+p$ si et seulement si $mx_A+p=y_A$ %(ou si et seulement si $ax+by=c$).
}

\Defc{Une équation de la droite $d$, de la forme $y=mx+p$ est appelée \textbf{équation réduite} de $d$, $m$ son \textbf{coefficient directeur}
 et $p$ son \textbf{ordonnée à l'origine}.\\
%Une équation de la droite $d$, de la forme $ax+by=c$ est appelée \textbf{équation généralisée} de $d$.
}

\Rq{
L'équation réduite d'une droite est unique.
}

\Ptec{Deux droites d'équation $y=mx+p$ et $y=m'x+p'$ sont parallèles ssi $m=m'$.\\
Si deu xplus, $p=p'$, alors elles sont confondues.\\
Deux droites d'équation $x=c$ et $x=c'$ sont toujours parallèles (puisque toutes deux parallèles à $(Oy)$.
}

\Expl{Les droites d'équation $y=36.5x-54$ et $y=36.5x+\pi$ sont parallèles.
}

\Ptec[Défintion]{
Soient $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B,y_B)$ deux points.\\
Alors on dit que le vecteur $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}
                                                       x_B-x_A \\ y_B-y_A
                                                      \end{array}\right)$ est \textbf{un vecteur directeur} de la droite $(AB)$.\\
De plus, si $A$ et $B$ n'ont pas la même abscisse (ie $x_A \neq x_B$ ou encore $(AB)$ non parallèle à l'axe des ordonnées) alors le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est 
$$m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$
}

\Rq{On retrouve la fait que deux droites sont parallèles si et seulement si leur vecteur directeur sont colinéaires, puisque ceci équivaut à ce que
leurs coordonnées soient proportionnelles.
}

\Expl{Soient $A(-1,3)$ et $B(4,13)$. On constate de suite que $x_A \neq x_B$ donc $(AB)$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées
et son équation est du type $y=mx+p$.\\
On commence alors par chercher son coefficient directeur : $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{13-3}{4-(-1)}=2$.\\
Donc on sait que $y=2x+p$.\\
On cherche maintenant l'ordonnée à l'origine $p$. Pour cela, on utilise le fait que $A\in(AB)$.\\
En effet, on sait donc que ses coordonnées vérifient l'équation de la droite $(AB)$, ie 
$$y_A=2 \times x_A + p \iff 3 = 2 \times (-1) +p \iff 3=-2+p \iff p=5$$
Finalement, on a $(AB):y=2x+5$
}

\Exos{n$^{\circ}$ 1-2-7-9-10-12-20-21-22-23-24-26-27 p180 }

\subsection{Intersection de droites}

\Ptec{
Soient deux droites $d$ et $d'$ d'équation $y=mx+p$ et $y=m'x+p'$.\\
Les coordonnées de leur point d'intersection vérifient alors les deux équations de droite.\\
Autrement dit, ce sont les solutions du système 
$$\left\{\begin{array}{c}
          y=mx+p \\ y=m'x+p'
         \end{array}\right.$$
}

\Expl{Soient $d:y=2x-3$ et $d':y=-x+3$. On voit de suite que $m\neq m'$ donc les droites ne sont pas parallèles. Elles se coupent alors en un point.\\
Pour trouver les coordonnées de ce point, on résout :
$$\left\{\begin{array}{c}
          y=2x-3 \\ y=-x+3
         \end{array}\right.
$$
On en déduit $2x-3=-x+3 \iff 3x=6 \iff x=2$.\\
Et comme $y=2x-3$ on trouve $y=1$.
Donc le point d'intersection de $d$ et $d'$ est le point de coordonnées $(2;1)$
}
\Rqs{
\item On aurait tout aussi bien pu trouver $y$ à partir de la deuxième équation.
\item Lorsque les droites sont parallèles strictement, le système n'a pas de solution.
\item Lorsque les droites sont confondues, le système a une infinité de solutions.
}

\Exos{n$^{\circ}$ 29-31-32-33-34 p 181}

%%%%% Exo DS : 57 p 197 + 66 p 198 + 78-82-83 p 200 + 93 p 201
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 		Les Annexes



\end{document}

