\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 5}
\newcommand{\Ch}{Variations de fonctions}
\newcommand{\Cl}{Seconde}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2.5cm}

\setcounter{NumLecon}{5}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\debutCha{Degas_Toilette2.eps}{Autoportrait (1863) \fg \, et \og Le Tub (1885)}{Edgar Degas}   					% Image + titre + Auteur
{Quand quelqu'un paye un tableau $3\,000$ francs, c'est qu'il lui plaît. \linebreak[4]
 Quand il le paye $300\,000$ francs, c'est qu'il plaît aux autres. }{Edgar Degas} 		% Citation + Auteur
 {Edgar Degas (1834-1917) est un peintre français, en général rattaché au mouvement impressionniste, 
formé à la fin du XIXe siècle, en réaction à la peinture académique de l’époque. \\
Sa carrière fut dès le départ influencée par les danseuses.  
En 1874, il commence à se faire connaître, les critiques louant ou dénigrant le réalisme de son travail. 
Il explore des thèmes comme les repasseuses ou les femmes à leur toilette, 
multipliant les points de vue audacieux, recherchant des effets lumineux et colorés.
Il dit d’ailleurs à propos de ses nus : \og Jusqu’à présent, le nu avait toujours été représenté dans des poses qui 
supposent un public. Mais mes femmes sont des gens simples... Je les montre sans coquetterie, à l’état de bêtes qui se nettoient.
 \fg \\
A partir des années 1880, Degas va aussi poser la question d'une sculpture « impressionniste », 
réalisant des modèles en cire peints au naturel, qu'il accessoirise ensuite. 
Seule \textit{La Grande Danseuse} (cf première page) fut présenté de son vivant, 
les autres modèles l'aidant surtout dans ses peintures. 
Cette incarnation de la grâce et de l'innocence trahit en réalité la fascination de Degas pour la criminalité. 
En effet, avec son visage est sculpté sur le modèle des physionomies de criminels définies à l'époque, et
la danseuse était un parfait \og petit rat \fg , transmettant la syphilis aux bourgeois venant la voir ... 
} 						% Présentation auteur
{1.1}		% Ratio portrait
{0.31}		% Ratio Image
\setcounter{NumLecon}{3}


\TITRE{Degas_Petite_Danseuse_de_14_ans(1881).eps}{0.4} 						% Image 1ere page + ratio
%\begin{abstract}
 

\begin{Intro}{Introduction}{
On a déjà appris à résumer le signe d'une fonction dans un tableau (graphiquement ou par le calcul).
Désormais, on souhaite résumer succinctement le comportement de la courbe représentative d'une fonction dans un tableau.\\

A faire ...
}
\end{Intro}

\section{Sens de variations d'une fonction}

\Act{Simone, une élève de seconde à profil scientifique, a trouvé la copie de son amoureux Norbert, un élève de première ES. 
Dedans, Norbert a dessiné le tableau 
suivant, qui décrit succinctement une fonction $f$ à étudier, mais il n'a pas écrit de laquelle il s'agissait.
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/0.7,Variations de $f$/3}{$-6$,$-2$,$0$,$1$, $2$, $5$}
\tkzTabVar{+/$5$,-/$1$,+/$3$,R/,-/$-4$,+/$2$}
\tkzTabIma{3}{5}{4}{$0$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item Quel semble-t-être l'ensemble de définition de la fonction $f$ ?
 \item Que peuvent signifier les flèches, d'un point de vue graphique ?
 \item Pouvez-vous donner l'image de 5 par $f$ ? celle de 3 ? celle de 1 ? celle de $-1$ ?\\
Si oui, précisez sa valeur.
\item Simone prétend qu'elle ne connait ni l'image de 3, ni l'image de 4, mais qu'elle possède tout de même des informations 
sur ces images à partir du tableau. Pouvez-vous préciser ces informations ?
  \item Pouvez-vous donner des éventuels antécédents de $5$ par $f$ ? de $3$ ? de $1$ ? de $-1$ ?\\
Si oui, précisez leur(s) valeur(s), sinon précisez leur nombre et les intervalles ou ils se situent.
\item Le tableau est-il à l'échelle ?
\item Simone veut dresser le tableau de signes de $f$. Expliquer pourquoi c'est impossible.
\item Sur sa copie, Norbert a écrit :
\begin{multicols}{4}
\begin{itemize}
 \item $f(0.5)=1.5$
 \item $f(3)<0$
 \item $f(-2)<f(-1)$
 \item $f(-5)>f(-3)$
 \item  $f(-5)>f(-1)$
 \item $f(0.5)<f(1.5)$ 
 \item $f(1)<f(3)$
 \item $f(-1)<f(1.5)$
\end{itemize}
\end{multicols}
Simone n'est pas toujours d'accord. Qu'en pensez-vous ?
\item Conjecturer alors une signification des flèches en rapport avec l'ordre des images et des antécédents.
\item Dessiner une courbe compatible avec la courbe représentative de $f$. 
\item Dans un autre exercice, Simone voit la courbe représentative de la fonction $g$ suivante :
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-5,-4.5)(10.5,4.5) 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=3](0,0)(-5,-5)(10,5) 
\psaxes{->}(0,0)(-5,-5.5)(10,5) 
\psaxes(0,0)(-5,-3)(9,5) 
\HermiteDDL(-4,3,-4,0)(-2,-2,0,0)(0,1,0,0)(3,-4,0,0)(5,4,0,0)(7,2,0,0)(9,0,-3,0) 
 \uput[ur](9,1){$\mathscr C_f$}
\end{pspicture*}
 \end{center}
Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ sur $[-4;9]$.
\end{enumerate}
}

Soit $f$ une fonction d\'efinie sur un intervalle $I$.

\Defc{On dit que $f$ est \textbf{strictement croissante} si 
pour tous r\'eels $a$ et $b$ de $I$ rang\'es dans un certain ordre, leurs images $f(a)$ et $f(b)$ sont rang\'ees dans le m\^eme ordre. \newline
On retiendra qu'\textbf{une fonction strictement croissante conserve l'ordre}.
Autrement dit, si $a, b \in I$ alors :
$$ a<b \Longrightarrow f(a)< f(b) $$
}

\Rqs{
\item De même $a>b \Longrightarrow f(a) > f(b)$ (ce qui compte c'est la \textit{conservation} de l'ordre inital connu et non choisi en général) 
\item Si on a $a<b \Longrightarrow f(a) \leq  f(b) $, 
alors on dit simplement que $f$ est croissante.
}

\Expl{\begin{multicols}{2}
\vspace*{-1cm}
\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-5.1)(3.1,3.1)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-5} \def\ymax{3}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.1,-5.1)(3.1,3.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0.5 x 3 exp mul}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2.5}{3}{\F}
\psdot(-2,-4) \uput[r](0,-4){$f(-2)$}
\psline[linestyle=dashed](-2,0)(-2,-4)(0,-4)

\psdot(1,0.5) \uput[d](1,0){$1$}\uput[r](-1.3,0.5){$f(1)$}
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,0.5)(0,0.5)

\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=0.5x^3$. \\

Sa représentation graphique nous montre que $f$ est strictement croissante sur $\R$.\\
On sait que $-2<1$ et $f$ strictement croissante sur $[-2;1]$ donc $$f(-2)<f(1)$$
On peut donc affirmer que $$0.5\times (-2)^3 < 0.5 \times (1)^3$$
sans faire de calculs.
      \end{multicols}
}


\Defc{On dit que $f$ est \textbf{strictement d\'ecroissante} si 
pour tous r\'eels $a$ et $b$ de $I$ rang\'es dans un certain ordre, leurs images $f(a)$ et $f(b)$ sont rang\'ees dans l'ordre inverse. \newline
On retiendra qu'\textbf{une fonction strictement d\'ecroissante inverse l'ordre}.
Autrement dit, si $a, b \in I$ alors :
$$a<b \Longrightarrow f(a) > f(b) $$}

\Rq{
Si on a $a<b \Longrightarrow f(a) \geq f(b) $,
alors on dit simplement que $f$ est d\'ecroissante.
}

\Expl{\begin{multicols}{2} 
%\vspace*{-1cm}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-1.1)(5.1,5.1)
\def\xmin{-1} \def\xmax{5} \def\ymin{-1} \def\ymax{5}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-1.1,-1.1)(5.1,5.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 0.5 x mul div}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.0001}{5}{\F}
\psdot(0.5,4) \uput[d](0.5,0){$0.5$}\uput[l](0,4){$f(0.5)$}
\psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,4)(0,4)
\psdot(4,0.5) \uput[d](4,0){$4$}\uput[l](0,0.5){$f(4)$}
\psline[linestyle=dashed](4,0)(4,0.5)(0,0.5)
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) 
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) 
\end{pspicture*}

\end{center}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R^{+*}$ par $f(x)=\dfrac1{0.5x}$. \\

Sa représentation graphique nous montre que $f$ est strictement décroissante sur $\R^{+*}$.\\
On sait que $0.5<4$ et $f$ strictement décroissante sur $[0.5;4]$ donc $$f(0.5)>f(4)$$
On peut donc affirmer que $$\dfrac1{0.5\times 0.5}>\dfrac1{0.5 \times 4}$$
sans faire de calculs.
  \end{multicols}
}

\Rqs{
\item On parle de fonction \textbf{monotone} sur un intervalle $I$ si celle-ci y est soit croissante, soit d\'ecroissante.
\item On ne parle de sens de variation que sur un intervalle, les bornes ouvertes ou ferm\'ees ne jouant aucun r\^ole.
}

\Defc{On dit que $f$ est \textbf{constante} si pour tous r\'eels $a$ et $b$ de $I$, leurs images $f(a)$ et $f(b)$
sont \'egales. \newline
Autrement dit, si $a, b \in I$ alors :
$$a<b \Longrightarrow f(a) = f(b) $$}

\Expl{\begin{multicols}{2} \vspace*{-1cm}
\begin{center}
 %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.1,-1.1)(4.1,3.1)
\def\xmin{-2} \def\xmax{4} \def\ymin{-1} \def\ymax{3}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.1,-1.1)(4.1,3.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{2}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{4}{\F}
\psdot(-1,2) \uput[d](-1,0){$-1$}\uput[ul](0,2){$f(-1)$}
\psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,2)

\psdot(2,2) \uput[d](2,0){$2$}\uput[ur](0,2){$f(2)$}
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,2)

\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}

\end{center}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2$. \\

On sait que $f$ constante égale à 2 sur $\R$ donc $$f(-1)=f(2)=f(-1000\pi)=2$$
  \end{multicols}
}

\Rq{La repr\'esentation graphique d'une fonction constante \'egale \`a $k$ est une droite parall\`ele \`a l'axe des
ordonn\'ees d'équation $y=k$.
}


On résume les variations d'une fonction grâce à un tableau.

\Cadre[Quelques r\`egles pour dresser un tableau de variations d'une fonction :]{
Sur la première ligne, on met dans l'ordre croissant toutes les valeurs remarquables des abscisses (les $x$) :
\begin{itemize}
\item les valeurs extr\^emes de l'ensemble de d\'efinition
\item les valeurs interdites
\item les valeurs o\`u la fonction change de sens de variation
\end{itemize}
Sur deuxi\`eme ligne, à la verticale, on place 
\begin{itemize}
 \item Les ordonnées correspondantes quand on peut les calculer et une double-bare sous les valeurs interdites
 \item Entre chaque, une flèche montante ou descendante en fonction du sens de variation
\end{itemize}
Parfois, on rajoute des valeurs intermédiaires, pour rassembler toutes les informations dans un seul tableau.
}

\Rqs{
\item Si on sait qu'une fonction $f$ est strictement monotone sur un intervalle $I$ alors pour tous nombres $a$ et $b$ 
connus on peut conna\^itre l'ordre de leurs images $f(a)$ et $f(b)$ sans les calculer (conservation ou changement de l'ordre).
\item Si on connait l'ordre deux de nombres $a$ et $b$ d'un intervalle $I$ et l'ordre de leurs images $f(a)$ et $f(b)$, 
on ne peut rien dire sur le sens de variation de $f$ (on ne sait pas ce qui se passe pour les autres r\'eels de $I$).
}

\Expl{\begin{multicols}{2}
$f$ est définie sur $[-3;4]$ par sa courbe représentative :
       \begin{center}
\begin{pspicture*}(-3,-2.5)(4.5,3.5) 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=3](0,0)(-3,-2.5)(4.5,3.5) 
\psaxes{->}(0,0)(-3,-2.5)(4.5,3.5) 
\psaxes(0,0)(-5,-3)(9,5) 
\HermiteDDL(-3,2,-4,0)(-1,-2,0,0)(1,3,0,0)(4,1,-0.5,0)
 \uput[u](4,1.2){$\mathscr C_f$}
\end{pspicture*}
 \end{center}
Le tableau de variations de $f$ est :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/0.7,Variations de $f$/3}{$-3$,$-1$,$1$, $4$}
\tkzTabVar{+/$2$,-/$-2$,+/$3$,-/$1$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
      \end{multicols}
}

\Exos{n$^{\circ} 1$ à $5$ p 66 + 28 p 70 + 35 p 71 + QCM et Vrai-Faux p 72 + 42 à 44 p 73 \\
19-21 p 85 (fonction carré)\\
40-42 p 86 (fonction inverse)
}



\section{Extrema}



Soit $f$ une fonction d\'efinie sur un intervalle $I$ et $a\in I$.

\Defc{Le \textbf{maximum} d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ est, s'il exsite, la plus grande valeur possible des images, atteinte pour un réel $a$ de $I$. \\
Ainsi, pour tous r\'eels $x\in I$ on a  : $f(x) \leq f(a) $. \newline
}

\Expls{
\begin{itemize}
 \item Graphiquement ou grâce au tableau de variation : 
Dans l'exemple précédent, le maximum de $f$ est $3$ atteint quand $x=1$.\\
Sur $[-3 ; -1]$, le maximum de $f$ est $2$ atteint quand $x=-3$.
 \item Par le calcul : on cherche le maximum de la fonction $t$ d\'efinie sur $\R$ par $t(x)=-x^2+3$. \newline
Pour tout $x$ on a $-x^2 \leq 0 \Longleftrightarrow -x^2 + 3 \leq 3 \Longleftrightarrow t(x) \leq t(0)$. \newline
Donc le maximum de $t$ est 3,  atteint en $x=0$
\end{itemize}
}


\Defc{Le minimum d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ est s'il exsite, la plus petite valeur possible des images, 
atteinte pour un réel $b$ de $I$. \\
Ainsi, pour tous r\'eels $x\in I$ on a  : $f(x) \geq f(b) $. \newline
}

\Expls{
\begin{itemize}
 \item Graphiquement ou grâce au tableau de variation : 
Dans l'exemple précédent, le minimum de $f$ est $-2$ atteint quand $x=-1$.\\
Sur $[1 ; 4]$, le minimum de $f$ est $1$ atteint quand $x=4$.
 \item Par le calcul : on cherche le minimum de la fonction $v$ d\'efinie sur $\R$ par $v(x)=x^2-\sqrt{3}$. \newline
Pour tout $x$ on a $x^2 \geq 0 \Longleftrightarrow x^2 + \sqrt{3} \geq \sqrt{3} \Longleftrightarrow v(x) \geq v(0)$. \newline
Donc le minimum de $v$ est $\sqrt{3}$,  atteint en 0 (pour $x=0$.
\end{itemize}
}

\Rq{On parle d'extremum lorsque la fonction admet soit minimum, soit maximum.}

\Exos{$7-8$ p 20 }


\Exop{
Corriger les incohérences des éléments suivants sur une fonction $f$ (on cirrigera toujours le tableau de variations) 
puis dessiner une courbe représentative de $f$ compatible avec vos informations.
\begin{multicols}{2}
       \begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=1]{$x$/0.7,Variations de $f$/3}{$-6$,$-2$,$0$,$1$, $2$, $5$}
\tkzTabVar{+/$5$,-/$1$,+/$3$,R/,-/$-4$,+/$2$}
\tkzTabIma{3}{5}{4}{$-1$}
\end{tikzpicture}
 \end{center}
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=1.7]{$x$/0.7,Signe de $f(x)$/3}{$-6$,$1$,$3$, $5$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}\\
On sait de plus : $f(-1)=2$ et $f(4)=1$
\end{center}
      \end{multicols}
\begin{multicols}{2}
Même question pour une fonction $g$ :
       \begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=1.3]{$x$/0.7,Variations de $g$/3}{$-4$,$-2$,$0$,$1$, $3$}
\tkzTabVar{-/$-5$,+/$-2$,-/$-1$,+/$3$,-/$2$}
%\tkzTabIma{3}{5}{4}{$-1$}
\end{tikzpicture}
 \end{center}
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/0.7,Signe de $g(x)$/3}{$-4$,$0.5$, $3$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\indent On sait de plus : $g(-3)=-6$ et $g(2)=4$
      \end{multicols}
}

\Exop{Etablir un tableau de signes de la fonction $f$ compatible avec son tableau de variations donné.
       \begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/0.5,Variations de $f$/2.5}{$-6$,$-3$, $-2$,$-1.5$,$1$, $2.7$, $4$}
\tkzTabVar{D+/,R,-/$-2$,R/,+/$3$,-/$-2$,+/$1$}
\tkzTabIma{1}{3}{2}{$5$}
\tkzTabIma{3}{5}{4}{$1$}
\end{tikzpicture}
 \end{center}
}


\Exop{Soit $z$ la fonction d\'efinie par $z(x)=\dfrac{3}{x-3}$.
\begin{enumerate}
 \item Quel est son ensemble de d\'efinition ?
 \item Apr\`es avoir tracer cette fonction sur votre calculatrice, d\'ecrire les variations de $z$ (par des phrases).
 \item R\'esumer cela dans un tableau de variations de $z$.
 \item Rajouter une ligne au tableau pour décrire le signe de $z$.
\end{enumerate}
}

\Exop{
\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de la fonction  \og carr\'e \fg \`a partir 
de sa courbe repr\'esentative  sur votre calculatrice
\item Trouver \`a l'aide du graphique les solutions des inéquations suivantes :
$$x^2 \leq 3 \qquad \qquad \qquad x^2 \geq 2 \qquad \qquad\qquad 1\leq x^2 \leq 5$$
\end{enumerate}
}


\Exop{
\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de la fonction  \og  inverse \fg \`a partir 
de sa courbe repr\'esentative  sur votre calculatrice
\item Trouver \`a l'aide du graphique les solutions des inéquations suivantes :
$$\dfrac{1}{2}\leq\dfrac{1}{x} \leq 1 \qquad\qquad \qquad  -1\leq\dfrac{1}{x} \leq -\dfrac{1}{4} \qquad \qquad\qquad 
-\dfrac{1}{4}\leq\dfrac{1}{x} \leq \dfrac{1}{2}$$
\end{enumerate}
}

\Exop{Soit la fonction d\'efinie pour tout $x \in \R$ par $f(x)=-x^2+4x-1$
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x\in\R$ on a  $f(x)=-(x-2)^2+3$ 
\item En d\'eduire le maximum de la fonction $f$ sur $\R$.
%\item Calculer $f(0)$ et $f(10)$.
\item Tracer la courbe repr\'esentative de $f$ sur $[-2;5]$
\item Compl\'eter le tableau de variation suivant :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=3]{$x$/0.5,Variations de $f$/2}{$-\infty$,$0$, $\dots$, $10$, $+\infty$}
%\tkzTabVar{-/,R/,+/...,R/,-/}
%\tkzTabIma{1}{3}{2}{$...$}
%\tkzTabIma{3}{5}{4}{$...$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item Gr\^ace à ce tableau de variation, donner le nombre de solutions de l'\'equation $f(x)=0$
\item Gr\^ace \`a la courbe r\'esoudre graphiquement cette \'equation.
\item Par dichotomie, donner un encadrement \`a $10^{-2}$ de ces solutions.
\item Retrouver ces nombres par le calculs
\item V\'erifier la coh\'erence des trois m\'ethodes.
\end{enumerate}
}

\newpage
\section{Fonctions affines}

\subsection{Sens de variation}

\Act{
Soient $f$ et $g$ les fonctions d\'efinies sur $\R$ par $f(x)=2x+1$ et $g(x)=-3x+5$.\\
On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $a<b$.
\begin{enumerate}
 \item Calculer $f(b)-f(a)$
 \item Etudier le signe de l'expression trouvée.
 \item En déduire l'ordre de $f(b)$ et $f(a)$, puis le sens de variation de $f$
 \item En suivant la même méthode, établir le sens de variation de $g$.
 \item Conjecturer le sens de variation d'une fonction affine (distinguer les cas).
\end{enumerate}
}

\Ptec{Soit $f$ une fonction affine d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$.
\begin{enumerate}
 \item Si $a<0$, alors $f$ inverse l'ordre $\R$, ie $f$ est strictement décroissante sur $\R$
\item Si $a=0$, alors $f$ est constante sur $\R$
\item Si $a>0$, alors $f$ est conserve l'ordre sur $\R$, ie $f$ est strictement croissante sur $\R$
\end{enumerate}
}

\Dem{Soient $x$ et $y$ deux r\'eels tels que $x<y$. On cherche à savoir si $f(x)=ax+b$ et $f(y)=ay+b$ sont 
dans le même ordre. Pour cela, on étudie le signe de $f(y)-f(x)$.
$$f(y)-f(x)=ay+b-(ax+b) = a(y-x)$$
Comme $x<y$, on sait que $(y-x)>0$. Donc :
\begin{itemize}
 \item Si $a>0$ alors $a(y-x)>0$ et on en déduit $f(y)-f(x)>0 \iff f(x)<f(y)$ pour tous réels $x<y$.\\
Les images et les antécédents par $f$ sont rangés dans le même ordre, donc $f$ conserve l'ordre sur $\R$. C'est une fonction croissante sur $\R$.
 \item Si $a<0$ alors $a(y-x)<0$ et on en déduit $f(y)-f(x)<0 \iff f(y)<f(x)$ pour tous réels $x<y$.\\
Les images et les antécédents par $f$ sont rangés dans l'ordre inverse, donc $f$ inverse l'ordre sur $\R$. 
C'est une fonction décroissante sur $\R$.
 \item Si $a=0$ alors $a(y-x)=0$ et on en déduit $f(y)=f(x)$ pour tous réels $x$, $y$.\\
Les images et les antécédents par $f$ sont tous égaux, donc $f$ est une fonction constante sur $\R$.
\end{itemize}
}

On peut dresser le tableau de variations d'une fonction affine en fonction du signe de $a$.
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
$a<0$\\  \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/1,Variations de $ax+b$/2}{$-\infty$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+/,-/}
\end{tikzpicture}\\

$a>0$\\
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/1,Variations de $ax+b$/2}{$-\infty$,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
  
\end{multicols}

\Rq{Les fonctions affines non constantes ne possèdent pas d'extrema.}

\Expl{
On donne les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x)=-3x-\dfrac{5}{8}$, $g(x)=87\,968x-\sqrt{5\,468}$.
\begin{enumerate}
 \item Donner, sans calculatrice, l'ordre des images des nombres :
\begin{multicols}{3}
 \begin{enumerate}
  \item 1 et 5
  \item $\sqrt{10}$ et $-\pi$
  \item $2\sqrt{5}$ et $\sqrt{15}$
 \end{enumerate}
\end{multicols}
 \item Donner, sans calculatrice, l'ordre des antécédents des nombres :
\begin{multicols}{3}
 \begin{enumerate}
  \item $-\dfrac{45}{987}$ et $-\dfrac{45}{65498}$
  \item $\sqrt{180}$ et $2\sqrt{98}$
  \item $\dfrac{3^4\times 5^{13}}{15^7}$ et $\dfrac{5^3\times 3^{10}}{15^{10}}$
 \end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
}

\Exop{$f$ est une fonction définie sur $\R$ telle que $f(1)=3$ et $f(-2)=-1$
\begin{enumerate}
 \item Peut-on en déduire que $f$ est croissante sur $[-2;1]$ ?
 \item On sait de plus que $f$ est une fonction affine. Peut-on alors connaitre son sens de variation sur $\R$ ?
 \item Retrouver l'expression de $f$.
\end{enumerate}
Mêmes questions pour une fonction $g$ affine telle que $g(-2)=9$ et $g(3)=-11$.
}

\Exos{14 p 67}

\subsection{Représentation graphique}

\Act{Sur Géogébra, construire la droite passant par les points $A(0;2)$ et $B(1;-3)$.\\
Afficher l'équation de la droite.\\
Laisser $A$ fixe quelques temps et déplacer $B$.\\
Conjecturer les lectures graphiques de l'ordonnée à l'origine et du coefficient directeur. \\
\textit{Afficher la pente si nécessaire.}
}

Dans cette partie, $f$ désigne une fonction affine définie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$. On appelle $d$ sa représentation graphique.

\Ptec[Définition]{La repr\'esentation graphique d'une fonction affine est une droite.\\
La droite $d$ représentant la fonction affine $f$ a pour \'equation 
r\'eduite est $y=ax+b$. \newline
$a$ est appel\'e le \textbf{coefficient directeur} et $b$ l'\textbf{ordonn\'ee \`a l'origine}.}

\Rq{
Dire que $d$ a pour équation $y=ax+b$ signifie qu'un point $A(x_A; y_A)$ appartient à $d$ si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de $d$, ie
si et seulement si $y_A=ax_A+b$.
}

\Expl{Soit $Fabrice$ la fonction affine définie sur $\R$ par  $Fabrice(x)=2x-1$ et $d$ sa représentation graphique.\\
Donner la nature de $d$, son équation, son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine.\\
Dire si les points $A(-3;6.9)$ et $B(200; 399)$ appartiennent à $d$.\\
Donner les coordonnées de trois autres points de $d$.
}

\begin{multicols}{2}
Grâce au tableaux de variations établis dans la partie précédente, on sait que l'on a trois types d'orientation 
possibles pour la droite $d$, en fonction du signe du coefficient directeur $a$.\\
\textbf{Attention : }Une droite verticale ne peut pas représenter une fonction affine !\\
Si $b=0$, alors $d$ passe par l'origine du repère. Elle représente une fonction affine particulière : une fonction 
linéaire. Il s'agit d'une fonction définie sur $\R$ par une expression du type $f(x)=ax$.

\begin{center}
 \includegraphics[scale=1]{droites-coef.eps}
\end{center}

\end{multicols}


\underline{Interpr\'etation graphique du coefficient directeur et de l'ordonnée à l'origine :}\newline
On choisit au hasard  deux points sur la droite $d$ séparés d'une unité en abscisse.\\
Le \textbf{coefficient directeur} représente le nombre d'unités verticales les séparant (en allant de gauche à droite).
L'\textbf{ordonnée à l'origine} est l'ordonnée du point d'intersection de $d$ avec
l'axe des ordonnées, ie du point de $d$ d'abscisse 0.\\
\begin{center}
 \includegraphics[scale=1]{coef_dir.eps} \qquad 
 \includegraphics[scale=1]{coef_dir_bis.eps}
\end{center}

\Cadre[Méthode pour tracer la représentation graphique de la fonction affine $f$]{
On a deux méthodes :
\begin{itemize}
 \item Choisir deux nombres $x_1$ et $x_2$, calculer leurs images $f(x_1)$ et $f(x_2)$, 
placer les points de  coordonnées $(x_1;f(x_1))$ et $(x_2;f(x_2))$ dans un repère, puis les relier à la règle.
 \item Placer le point sur l'axe des ordonnées d'ordonnée $b$, puis placer une deuxième point de la droite
 en utilisant l'interprétation graphique du coefficient directeur $a$.
\end{itemize}
}

\Exop{
\begin{enumerate}
 \item Dans un repère, tracer la droite passant par $A(2;-1)$ et $B(3;5)$. \\
Trouver le coefficient directeur puis l'ordonnée à l'origine de la droite $(AB)$.
En déduire l'expression de la fonction affine représentée par cette droite.
 \item Même question pour les points $C(-1,2)$ et $D(3;-1)$.
\item Trouver par le calcul les coordonnées du point d'intersection des droites $(AB)$ et $(CD)$. \textit{Vérifier graphiquement.}
\end{enumerate}
}

\Exop{ Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-3x+1$.
\begin{enumerate}
 \item Trouver les images de $0$ et de $-2$  par la fonction $f$. 
 \item Calculer $f\left(\dfrac{4}{3}\right)$.
 \item Trouver les éventuels antécédents de $0$ et $-2$ par la fonction $f$.
 \item Résoudre $f(x)=\dfrac{4}{3}$.
 \item Tracer la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé et contrôler graphiquement les résultats précédents.
\end{enumerate}
}

\Exos{5-6-7 p 60}


\Exos{Défis : 55 à 57 p 76}

\Exos{33 p 71 + 26 p 69 + 20 p 68 (Algorithme de trac\'e à faire en module)}



\end{document}