\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 4}
\newcommand{\Ch}{Probabilit\'es}
\newcommand{\Cl}{Seconde}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2.5cm}

\setcounter{NumLecon}{4}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\debutCha{Riuk.eps}{Death Note}{Oba et Obata}  					% Image + titre + Auteur
{Si les gens ne croient pas que les mathématiques sont simples, c’est seulement parce qu’ils ne réalisent pas combien la vie est compliquée !}{John Louis von Neumann}		% Citation + Auteur
{\textit{Death Note} est un manga de type shônen, créé par le scénariste Tsugumi Oba et le dessinateur Takeshi Obata. 
Il a été prépublié dans un journal de 2003 à 2006, et par la suite publiée en douze tankôbon de 2004 à 2006.\\
L’histoire est centrée sur \textit{Raito Yagami}, un lycéen surdoué qui juge le monde actuel criminel et corrompu.
Sa vie change du tout au tout le jour où il ramasse par hasard un mystérieux cahier intitulé « Death Note ».
Ancienne propriété d’un dieu de la mort, le Death Note permet à son utilisateur de tuer toute personne dont il connaît le nom et
le visage. Raito décide d’utiliser le Death Note pour exterminer les criminels, dans le but d’éradiquer le Mal et de bâtir un monde parfait 
dont il sera le dieu.\\
Mais les nombreuses morts inexpliquées de criminels à travers le monde attirent l’attention d’Interpol et 
du mystérieux \textit{L}, un détective capable de résoudre n’importe quelle énigme, mais dont personne ne connaît ni 
le visage ni le nom. L décide d’enquêter pour capturer le tueur en série, surnommé par le grand public \og Kira \fg.
Entre Raito et L, tous deux persuadés d’agir pour la justice, s’engage un combat acharné pour découvrir 
en premier l’identité de l’autre...
} 						% Présentation auteur
{0.9}		% Ratio portrait
{0.8}		% Ratio Image

\TITRE{L.eps}{0.7} 						% Image 1ere page + ratio
%\begin{abstract}
 

\begin{Intro}{Au fil du temps}{
Alors que les hommes se sont intéressés à la géométrie depuis la nuit des temps, et qu’une première présentation rigoureuse 
(les mathématiciens disent axiomatique) en a été proposée trois siècles avant JC par le grec Euclide, 
il a fallu attendre le XVI$^e$ siècle pour qu'on s'intéresse enfin aux probabilités, et encore était-ce pour aider les 
princes à améliorer leurs gains au jeu. \newline
Ainsi, le Grand Duc de Toscane demanda au vénérable Galilée pourquoi il était plus difficile d'obtenir 9 que 10 au jeu de 
passe-dix (jeu consistant à jeter 3 dés), même s'il n'y a dans les deux cas que 6 combinaisons pour les obtenir. 
La grande expérience du Duc en matière de jeu lui avait permis de remarquer ce phénomène, alors que théoriquement, \og sur 
le papier \fg\, , il aurait dû y avoir la même fréquence d’apparition des deux nombres,
 puisqu’il y a dans chaque cas 6 manières de les obtenir. 

Y aurait-il plusieurs réalités ?

Parmi toutes les définitions possibles du hasard, nous en retiendrons deux qui ont influencé la théorie des probabilités :
\begin{itemize}
\item pour certains, tout a une cause, et le hasard n'est le reflet que de l'ignorance que nous avons des lois de la Nature. Cet 
esprit souffla particulièrement au XVIII$^e$ siècle au moment où Laplace posa les bases d'une première théorisation des probabilités. 
Les probabilités sont alors 
déterminées a priori, par des considérations non expérimentales. Par exemple, un dé a six faces, donc, on peut poser 
d’avance que l’événement « obtenir 5 » a une probabilité de 1/6. Cette symétrie, cette « géométrie du hasard » selon les 
termes de Pascal, permet de calculer sans ressentir le besoin de recourrir à l’expérience. Elle implique la notion centrale d'équiprobabilité : une probabilité est égale au rapport du nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles. \newline
Cette conception peut apparaître assez naïve : il est illusoire de penser qu’un dé puisse être parfaitement équilibré, mais 
doit-on être gêné pour autant ? 
\item pour d’autres, le hasard constitue notre univers, i.e qu'il n'est pas qu'une abstraction mathématiques mais une réalité physique. 
La théorie du chaos mise en forme par René Thom en 1955 montre en 
effet que dans certaines situations, on aura beau observer un phénomène pendant un temps très long, on ne pourra 
prévoir son évolution. De même en physique quantique, la connaissance du passé et du présent ne permettent pas de prévoir mieux des 
états possibles futurs. 
\end{itemize}
Alors, le hasard, une réalité physique ou une invention mathématiques ?
Au lieu de s’opposer, ces deux visions se complètent et il faut les avoir en tête.
Ces deux notions ont en commun de postuler que l’issue de l’expérience (le jeter d’un dé) est indépendant de l’observateur. Ceci peut ne plus être vrai dans certains domaines, comme par exemple 
l’économie.
 }
\end{Intro}


%\newpage


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\section{Vocabulaire}
\subsection{La notion de hasard}
Le but de cette partie est d'apprendre à construire des modèles pour décrire les expériences aléatoires. De telles expériences sont 
par exemple : la face obtenue en lançant une pièce de monnaie, le tirage du loto, etc... \\
Le besoin d'avoir une méthode systématique de 
description de telles expériences est justifié par le fait que certains résultats, qui nous sont parfois intuitivement 
évidents, et que nous n'arrivons pas toujours à expliquer sont en fait faux, comme en témoignent le problème du Duc
de Toscane, ou encore les deux problèmes suivants : \newline

\Pbl{A votre avis, quelle est la probabilité que sur l'ensemble des élèves de seconde du lycée, deux personnes aient leur 
anniversaire le même jour de l'année ?  Dans un groupe de 60 personnes ? Dans un groupe de 30 personnes ?\newline 
A votre avis, combien doit-on réunir de personnes pour avoir au moins une chance sur deux que deux personnes de ce groupe
aient leur anniversaire le même jour de l'année ? 
} \\

\textbf{\underline{Objectifs} :}
\begin{itemize}
 \item Etablir une discussion au sein de la classe et éveiller la curiosité
 \item Tester l'intuition des élèves sur la première question et voir leur niveau initial (comme il y a plus de 365 élèves en seconde,la probabilité est évidente)
 \item Leur faire remarquer que la probabilité est un nombre théorique entre $0$ et $1$, indépendant du résultat d'une expérience (en effet, la plupart
répondront aux questions en fonction de leur expérience)
 \item Montrer aux élèves l'utilité de l'étude des probabilités grâce aux deuxième et troisième questions, non intuituves 
(en général, on pose des problèmes très simples aux élèves, dans lesquels
la théorie ne s'avère pas nécessaire pour répondre). \\
Les réponses à ces questions sont respectivement $\simeq 99 \%$, $\simeq 70 \%$.
 \item La quatrième question est simplement là pour compléter le problème. \\
La réponse est 23 personnes.
 \item L'objectif n'est absolumment pas d'étudier ce problème, trop complexe en ce début de chapitre.\\
\end{itemize}


\Pbl{Un jeu t\'el\'evis\'e se d\'eroule de la mani\`ere suivante : il y a trois portes, derri\`ere l'une d'entre elles
se trouve $10 000\euro$ et rien derri\`ere les deux autres. Un candidat choisit au hasard l'une des trois. 
Ensuite le pr\'esentateur \'elimine une des deux mauvaises portes, tout en conservant celle choisie par le candidat. 
Le candidat peut alors conserver son choix ou le changer. 
\newline 
Que vaut-il mieux faire pour le candidat, changer ou conserver son choix ? 
Quelles sont ses chances de gagner dans le premier cas, et dans le deuxi\`eme ?
}\\

\textbf{\underline{Objectifs} :}
\begin{itemize}
 \item Ce problème est parfois déjà connu des élèves, même s'ils ne savent pas expliquer la réponse.
 \item Il fait référence aux probabilités conditionnelles, et teste là encore leur intuition.
 \item Etant plus simple que le précédent, les élèves peuvent commencer à mettre en place une stratégie de réponse, voire une modélisation
ou une simulation.
 \item On peut amorcer un début de réponse, non formalisée. Pour cela, il semble jusdiscieux de proposer le même problème avec 100 portes.\\
Le n$^{\circ}$ 62 p 260 du livre évoque ce même problème.
 \item Il est conseillé de simuler, au cours du chapitre, l'expérience sur Algobox ou sur tableur.
\end{itemize}


\subsection{Expérience aléatoire, événements}

\Defc{Une \textbf{exp\'erience al\'eatoire} est un processus dont le r\'esultat est incertain (mais dont on peut prévoir 
le type).
}
\Expl{Le lanc\'e de d\'e ou le lanc\'e d'une pi\`ece de monnaie sont des exp\'eriences dont l'issue est incertaine.
}


\Defc{\begin{itemize}
       \item Un des r\'esultats possibles d'une exp\'erience al\'eatoire est appel\'e \textbf{\'eventualit\'e} ou \textbf{issue}
\item L'ensemble de toutes les issues d'une exp\'erience al\'eatoire est appel\'e \textbf{univers}. On le note souvent $\Omega$.
\item Un sous-ensemble de l'univers est appel\'e \textbf{\'ev\'enement}. \\
C'est un ensemble constitu\'e d'issues de l'univers et 
chaque partie de l'univers est un événement.
      \end{itemize}
}

\Rq{En classe de seconde l'ensemble $\Omega$ sera toujours un ensemble fini. \\
On ne considérera donc pas des expériences du type 
\begin{itemize}
 \item \og Choisir un nombre réel au hasard entre $0$ et $1$. \fg, où l'univers est $\Omega = [0;1]$
\item  \og On lance une pièce et on compte le 
nombre de lancés jusqu'au premier pile obtenu \fg , où $\Omega = \N$.
\end{itemize}
 }

\Expls{\begin{itemize}
        \item On lance un dé à $6$ faces et on regarde la face obtenue : $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$
\item On lance un dé à $6$ faces on regarde si le numéro de la face obtenue est pair ou impair : $\Omega=\{P,I\}$
\item On lance une pièce de monnaie et on s'intéresse à la face obtenue : $\Omega=\{P,F\}$
\item Même expérience que précédemment en lançant deux pièces de monnaie  : $\Omega=\{PP;PF;FP;FF\} $\newline
Soient $A$ et $B$ les événements de cette expérience $A =$\og  Obtenir \textbf{au moins} une fois pile\,\fg et $B =$\og Obtenir \textbf{au plus} une fois Pile \,\fg.\\
Alors $A=\{PP;PF;FP\}$ et $B=\{PF;FP; FF\}$.
       \end{itemize}
}
 
\Rqs{
\item L'univers représente l'ensemble toutes les issues  envisagées de l'expérience. Il est donc fonction de l'idée de
modélisation a priori que l'on se fait de l'expérience. Si lors du lancé d'une pièce de monnaie on considère
usuellement qu'il y a deux issues "PILE" et "FACE", rien n'empêche d'en rajouter une troisième, par exemple
"TRANCHE". C'est à chacun (ou à chaque énoncé) de le définir. À défaut, on considère tacitement, qu'il s'agit
de l'univers usuellement utilisé dans telle ou telle situation.
\item Une même expérience peut déboucher sur deux univers différents suivant les observations faites.\\
Par exemple on lance deux dés et suivant si l'on fait le produit $P$ ou la somme $S$ des deux chiffres obtenues, on obtient :
$$\Omega_p=\{1;2;3;4;5;6;8;9;10;12;14;15;16;18;20;24;25;30;36\}$$
$$\Omega_s=\{2;3;4;5;6;7.8;9;10;11;12\}$$ }



\section{Déterminer des univers, des événements}
\subsection{Opérations sur les ensembles}
\Act{
On dispose de deux urnes $1$ et $2$ contenant 12 boules chacune.\\
L'urne $1$ contient 6 boules rouges et 6 boules jaunes.\\
L'urne $2$ contient 6 boules rouges, 4 boules bleues et 2 boules jaunes.\\
Un jeu consiste à choisir une première boule dans l'urne $1$, puis une seconde boule dans l'urne $2$.\\
On note les différents résultats de ce jeu par un couple de couleurs.\\
\textit{Par exemple, le résultat $(j;r)$ signifie que la première boule tirée est jaune, et que la seconde est rouge.}
%}
\begin{enumerate}
 \item Ecrire une phrase décrivant l'issue $(r;b)$.
 \item Déterminer l'univers de cette expérience.
 \Defc{Le nombre d'éléments d'un ensemble fini $A$ est appelé \textbf{cardinal} de $A$. \\
Ce nombre est noté Card $A$. \quad On convient que Card $(\emptyset) = 0$. 
}
\textit{La notion de cardinal ne s'étend pas aux ensembles infinis, tels que $\,\N$, $\Z$, $\Q$ ou $\R$.}
\item  Donner le cardinal de l'univers.
 \item Ecrire sous forme d'ensembles, ie en faisant la liste des issues qui les composent (donc entre accolades), 
les événements suivants (dont on précisera les cardinaux) :
\begin{itemize}
 \item A$=\og$ obtenir une boule jaune au $1^{er}$ tirage \fg
 \item B$=\og$ obtenir une boule bleue exactement \fg
 \item C$=\og $ obtenir au plus une boule rouge \fg
 \item D$=\og$ obtenir au moins une boule jaune \fg
 \item E$=\og$ obtenir deux boules rouges \fg
\end{itemize}
 \Defc{
\begin{multicols}{2}
L'ensemble des éléments communs aux événements $A$ et $B$ se note  $A \cap B$ (se lit \og A inter B \fg).\\
Il s'agit de l'\textbf{intersection} de $A$ et de $B$. \\
\begin{center}
 \begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.570,0) circle (1.1cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.57,-0) circle (0.9cm)} 
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB; 
\begin{scope} 
\clip \cercleA; 
\draw[color=black,fill=black!50] \cercleB; 
\end{scope} 
\begin{scope} 
\clip \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleA; 
\end{scope} 
\node at (-1.2,1) {$A$};
\node at (1.5,1.3) {$B$};
\node at (-0.1,0) {$A \cap B$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{multicols} 
Lorsque $A\cap B=\emptyset$, on dit que $A$ et $B$ sont deux ensembles \textbf{disjoints} ou \textbf{incompatibles}.
}
\item \begin{enumerate}
 \item Décrire par une phrase l'événement A $ \cap$ B.
\item Déterminer l'ensemble des issues composant A $\cap $ B.
\item Donner deux événements incompatibles parmi les précédents.
\end{enumerate}
\Defc{
\begin{multicols}{2}
L'ensemble des éléments appartenant à l'un au moins des deux événements A ou B se note \\
$\og $ A $\cup $ B $\fg$ (se lit \og A union B \fg).\\
Il s'agit de la \textbf{réunion} de A et de B.
\begin{center}
 \begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.57,0) circle (1.2cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.57,-0) circle (0.8cm)} 
\draw[color=black,fill=black!50] \cercleA; 
\draw[color=black,fill=black!50] \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB;
\node at (-1.2,1) {$A$};
\node at (1.5,1.3) {$B$};
\node at (1,0.5) {$A\cup B$};
\end{tikzpicture} 
\end{center}
\end{multicols}
}
\item \begin{enumerate}
 \item Décrire par une phrase l'événement A $ \cup $ B.
\item Déterminer l'ensemble des issues composant A $\cup $ B.
\end{enumerate}
\Defc{
\begin{multicols}{2}
Lorsque tous les éléments d'un ensemble $A$ sont dans un ensemble $B$, on dit que $A$ est \textbf{inclus} $B$. \\
On note : $ A\subset B$.\\
On dit aussi que $A$ est une \og \textbf{partie} \fg de $B$ ou que $A$ est un \og \textbf{sous-ensemble} \fg de $B$.
\begin{center}
 \begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.57,0) circle (1.2cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(0.1,0.1) circle (0.4cm)} 
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB;
\node at (0.1,0.1) {$A$};
\node at (1,0.7) {$B$};
\end{tikzpicture} 
\end{center}
\end{multicols}
}
\item Donner deux événements parmi les précédents dont l'un est inclus dans l'autre.
\Defc{
\begin{multicols}{2}
Soit $\Omega$ un ensemble et $A$ une partie de $\Omega$. \\
L'ensemble des issues de l'univers n'appartenant pas à A est l'\textbf{événement contraire} de A (encore appelé \textbf{complémentaire} de A).\\
Il se note généralement $\og \overline{A} \fg$ (se lit \og A barre \fg)  ou encore  :
$$ \Omega-A\qquad \text{ ou }\qquad \Omega \setminus A \qquad \text{ ou }\qquad ^C A$$
\begin{center}
\begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.570,0) circle (1.5cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(1,0.3) circle (0.7cm)} 
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB; 
\begin{scope} 
\clip \cercleA; 
\draw[color=black,fill=black!50] \cercleA; 
\draw[color=black,fill=white!50] \cercleB;
\end{scope} 
\begin{scope} 
\clip \cercleA; 
\end{scope} 
\node at (0,-0.5) {$\overline{A}$};
\node at (1,0.3) {$A$};
\node at (-1.2,1) {$\Omega$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{multicols} 
}
\item \begin{enumerate}
 \item Décrire par une phrase l'événement $\overline{A}$.
\item Déterminer l'ensemble des issues composant $\overline{A}$.
 \item Déterminer les événements $A \cup \overline{A}$ et $A \cap \overline{A}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\noindent Rappelons qu'un ensemble s'apparente à une 
liste (finie ou non) d'objets distincts possédant un certains nombre de propriétés communes, comme l'ensemble des nombres 
entiers naturels, ou encore les multiples de 3 inférieurs à 100, $\dots$. 
On les note avec des accolades. \\
Il n'y aura pas de notion d'ordre. Ainsi $\{1,2\}$ et $\{2,1\}$ désignent le même ensemble. \\
On utilise les symboles $\in$ et $\notin$ pour signifier qu'un élément appartient ou non à un ensemble.\\
Enfin on note $\emptyset $ l'ensemble qui n'a pas d'éléments (ensemble vide).

\Expl{
$$ E=\{0;2;4;6;8\} = \{2;8;4;6;0\} \qquad \qquad \qquad 2\in E \qquad \text{ et }3 \notin E$$
}
\begin{center}
\newcolumntype{C}[1]{>{\center}m{#1}}
\begin{tabular}{|C{4cm}|C{4cm}|C{4cm}|C{4cm}|} \hline 
$A\cap B$ & $A\cup B$  & $\overline{A}$ &  $A\cap B = \emptyset$ \tabularnewline\hline
\textbf{Intersection de $A$ et $B$ :} Eléments communs de $A$ et $B$
 & \textbf{Réunion de $A$ et $B$ : } Eléments de $A$ ou $B$ (voire les deux)
& \textbf{Complémentaire de $A$ :} Eléments de $\Omega$ non dans $A$
& \textbf{ $A$ et $B$ sont disjoints} : Aucun élément commun à $A$ et $B$ \tabularnewline\hline
 \begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.50,0.2) circle (1cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.5,-0.1) circle (0.8cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)}
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleO; 
\begin{scope} 
\clip \cercleA; 
\draw[color=black,fill=red] \cercleB; 
\end{scope} 
\node at (-1,1) {$\Omega$};
\node at (-0.9,0) {$B$};
\node at (0.7,0.7) {$A$};
\end{tikzpicture}
 &
\begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.5,0.2) circle (1cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.5,-0.1) circle (0.8cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)} 
\draw[color=black,fill=yellow] \cercleA; 
\draw[color=black,fill=yellow] \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB;
\draw[color=black] \cercleO; 
\node at (-1,1) {$\Omega$};
\node at (-0.9,0) {$B$};
\node at (0.7,0.7) {$A$};
\end{tikzpicture} 
&\begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.50,0.2) circle (1cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)}
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleO; 
\draw[color=black,fill=blue!50] \cercleO; 
\begin{scope} 
\clip \cercleA; 
\draw[color=black,fill=white] \cercleO; 
\end{scope} 
\node at (-1,1) {$\Omega$};
\node at (0.7,0.7) {$A$};
\node at (-0.9,-0.5) {$\overline{A}$};
\end{tikzpicture}
 & \begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.6,0.5) circle (0.9cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.7,-0.7) circle (0.7cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)}
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleO; 
\node at (-1,1) {$\Omega$};
\node at (-0.9,-0.5) {$B$};
\node at (0.7,0.9) {$A$};
\end{tikzpicture}
\tabularnewline\hline
 \end{tabular}
\end{center}

\Rqs{
 \item Pour déterminer l'univers d'une expérience aléatoire, on liste les issues possibles de l'expérience.
 \item Pour déterminer les issues qui réalisent un événement, on liste les issues qui respectent la condition définissant 
cet événement.
\item Pour déterminer l'intersection de deux événements, on fait la liste des issues communes aux événements.
\item Pour déterminer la réunion de deux événements $A$ et $B$, on fait la liste des issues réalisant 
soit $A$, soit $B$ (soit les deux).
}


\Expl{
Dans un groupe de 500 élèves, 350 pratiquent un sport et 200 font de la musique ; 100 élèvent pratiquent les deux activités.
On note A l'événement \og l'élève fait un sport \fg et B l'événement \og l'élève fait de la musique \fg.
\begin{enumerate}
 \item Représenter la situation par un diagramme.
 \item Décrire par une phrase puis déterminer le cardinal de chacun des événements suivants :
$$A \qquad \qquad B \qquad \qquad A \cap B \qquad \qquad A \cup B \qquad \qquad \overline{A} \qquad \qquad \overline{B} 
\qquad \qquad \overline{A \cap B} \qquad \qquad \overline{A \cup B}$$
\end{enumerate}
}

\Expl{On jette un d\'e dont les faces sont num\'erot\'es de 1 \`a 6 et on s'intéresse au num\'ero sur la face sup\'erieure.
\begin{enumerate}
 \item D\'efinir l'univers $\varOmega$
\item D\'ecrire les \'ev\'enements suivants : \newline
$A$ : \og obtenir un num\'ero inf\'erieur ou \'egal \`a 2 \fg \newline
$B$ : \og obtenir un num\'ero impair \fg \newline
$C$ : \og obtenir un num\'ero strictement sup\'erieur \`a 4 \fg
\item D\'ecrire les \'ev\'enements suivants : $A \cap B$ ; $A \cup B$ ; $A \cap C$ ; $A \cup C$ ; $C \cap B$ ; $C \cup B$ ;
 $\overline{A}$ ; $\overline{A} \cup C$ ;  $\overline{A} \cap C$
\item Parmi les \'ev\'enements pr\'ec\'edents, citer deux \'ev\'enements incompatibles qui ne sont pas contraires l'un de 
l'autre.
\end{enumerate}
}

\Exop{Une urne contient deux jetons rouges marquées $R_1$ et $R_2$ et deux jetons jaunes marquées $J_2$ et $J_3$.\\
On tire au hasard un premier jeton dans l'urne, on le remet et on tire au hasard un deuxième jeton.\\
On note à chaque tirage la couleur et le numéro obtenu.
\begin{enumerate}
 \item Quel est l'univers de cet expérience ? \textit{On pourra s'aider d'un tableau à double-entrée}
 \item Ecrire sous forme d'ensemble les événements suivants :
\begin{itemize}
 \item A:\og Obtenir deux jetons de même couleur ou de même numéro \fg
 \item B : \og Obtenir deux jetons portant des numéros ayant un écart de 1 \fg
\end{itemize}
\item Déterminer sous forme d'ensemble les évènements $A \cap B$  , $A \cup B $ et $ \overline{A}$ 
\end{enumerate}
}

%\newpage
\subsection{Les arbres}
\Act{Une urne contient $7$ boules : $2$ rouges (\textcolor{red}{R}) et $5$ vertes (\textcolor{green}{V}). \\
On tire successivement et sans remise trois boules de l'urne. 
\begin{enumerate}
 \item Compléter l'arbre suivant, qui modélise l'expérience : \\\\
\begin{tikzpicture} 
[level 1/.style={level distance=2cm, 
sibling distance=3cm}, 
level 2/.style={level distance=2.5cm, 
sibling distance=2cm}, 
level 3/.style={level distance=3cm, 
sibling distance=1cm}] 
\node {} [grow'=right] 
child {node {\textcolor{green}{V}} 
child {node {\textcolor{green}{V}} 
child {node {\textcolor{green}{V}}
node[right=2cm] {\og Obtenir \textcolor{green}{V}\textcolor{green}{V}\textcolor{green}{V} \fg } 
%edge from parent node[above] {$\dots$} 
} child {node {$\dots$}
node[right=2cm] {\og Obtenir $\dots\dots\dots\dots $  \fg } 
}}
child {node {\textcolor{red}{R}} 
%edge from parent node[below] {$\dots$} 
} 
%edge from parent node[above] {$\dots$} 
} 
child {node {\textcolor{red}{R}} 
%child {node {\textcolor{red}{rouge}} 
%node[right=1cm] {\og Obtenir $\dots\dots\dots\dots\dots\dots $  \fg} 
%edge from parent node[above] {$\dots$} 
%} 
%child {node {\textcolor{green}{verte}} 
%node[right=1cm] {\og Obtenir $\dots\dots\dots\dots\dots\dots $  \fg } 
%edge from parent node[below] {$\dots $ } 
%} 
%edge from parent node[below] {$\dos$} 
} 
; 
\end{tikzpicture} \\%\\\\\\
\item Quel est le cardinal de l'univers ?
\item Déterminer sous forme d'ensemble les événements suivants :
\begin{itemize}
\item $A =$ \og Tirer trois boules vertes \fg
\item $B =$ \og Tirer trois boules rouges \fg
\item $C =$ \og Tirer deux boules rouges \fg
 \item $D=$ \og Tirer une boule rouge au deuxième tirage sachant que l'on en a tiré une au premier tirage \fg 
 \item $E=$ \og Tirer une boule rouge au deuxième tirage sachant que l'on a tiré une verte au premier  \fg
\item $F=$ \og Tirer une boule rouge au premier tirage \fg
\item $G=$ \og Tirer une boule rouge au troisième tirage \fg
\item $H=$ \og Tirer deux boules de la même couleur \fg
\end{itemize}
\item Déterminer en français de manière claire, puis sous forme d'ensemble les événements suivants :
$$ E\cap G \qquad\qquad\qquad E \cap F \qquad\qquad\qquad D\cup E \qquad \qquad\qquad \overline{A} \qquad\qquad\qquad \overline{C} $$
\end{enumerate}
}


\Cadre[Méthodes]{On considère une expérience aléatoire à plusieurs étapes (ou observations).\\
Pour déterminer son univers, on peut construire un arbre. \\
Pour cela, à chaque nouvelle étape, on dessine 
à partir de chaque issue de l'étape précédente (appelée \textbf{noeud}), toutes les \textbf{branches} représentants 
les issues possibles. 
\begin{itemize}
 \item Les issues de l'expérience sont alors les \textbf{chemins} de l'arbre partant du début et allant jusqu'à la fin. 
\item Pour déterminer le cardinal de l'univers, il suffit donc de compter les branches de la dernière étape.
 \item Pour déterminer les issues qui réalisent un événement,
on liste alors tous les chemins de l'arbre qui respectent la condition définissant cet événement.
\end{itemize}
}


\Expls{
\begin{enumerate}
\item On lance un dé. Si le résultat est pair on tire un jeton d'une urne contenant 3 jetons (numérotés 1, 2 et 3), 
sinon on s'arrête. 
\begin{itemize}
 \item Décrire à l'aide d'un arbre l'ensemble des issues possibles.
\item Quel est le cardinal de l'univers ?
\end{itemize}
\item Mêmes questions, mais on s'intéresse cette fois à la somme obtenue.
\item Une urne contient 2 boules rouges et 3 boules blanches. On tire des boules de l'urne (sans remise) jusqu'à 
obtention d'une boule rouge.  
\begin{itemize}
 \item Décrire à l'aide d'un arbre l'ensemble des issues possibles.
\item Quel est le cardinal de l'univers ?
\end{itemize}
\end{enumerate}
}



\section{Probabilités (discrètes)}


\subsection{Loi de probabilité}
\Act{Activités 1 à 5 p 240 de l'hyperbole pour une séance révision.
}
\Defc{On considère une expérience aléatoire d'univers fini $\varOmega=\left\{\omega_1;\omega_2;\dots ; \omega_n\right\}$ 
(Card $\varOmega=n$). \\
Définir une \textbf{loi de probabilité} $P$ sur $\varOmega$ c'est associer à chaque éventualité $\omega_i$ un nombre $p_i\in [0;1]$ de sorte que 
\begin{displaymath}
  \overset{n}{\underset{i=1}{\begin{Large}\Sigma \end{Large}}} p_i=p_1+p_2+\dots+p_n=1
\end{displaymath}
De plus, la probabilité d'un événement $A$, notée $P(A)$, doit être la somme des probabilités des 
événements élémentaires qui le composent.
}

\Rq{
 Les nombres $p_i$ sont les probabilités des événements élémentaires $\omega_i$. On a $p_i=p\left({\omega_i}\right)$.
}

\Expl{On lance deux fois une pièce équilibrée. L'univers est $ \varOmega=\{PP;PF;FP;FF\}$ et 
chaque éventualité a la même probabilité $\dfrac{1}{4}$.\\
La probabilité de l'événement A = \og obtenir Pile et Face \fg $=\{PF;FP\}$ est donc $P(A)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$
}

\Rqs{
\item On a $P(\Omega)=1$.
\item Par convention, on pose $P(\emptyset)=0$.
 \item  Pour tout événement $A$, on a $0\leq P(A) \leq 1$.
\item Il ne faut pas confondre un événement $A$ qui est un ensemble d'issues de l'expérience et sa probabilité $P(A)$ qui
est un nombre de l'intervalle $[0;1]$.}

\Defc{\textbf{Modéliser} une expérience aléatoire, c'est choisir une loi de probabilité sur l'univers $\Omega$ qui représente 
au mieux les chances de réalisation de chaque issue.
}

\Rq{On présente souvent une loi de probabilité sous forme de tableau.\\
La première ligne contient les issues possibles, la seconde leur probabilité.}

\Expl{Dans un verger, on trouve deux fois plus de pommiers donnant des pommes rouges et que de pommiers donnant des pommes vertes (et c'est tout).\\
On cherche la probabilité de choisir un pommier donnant des pommes rouges.\\
Appelons $P(R)$ cette probabilité et $P(V)$ celle de choisir un pommier donnant des pommes vertes.\\
Alors on sait que $P(R)=2P(V)$. De plus $P(R)+P(V)=1$.\\
On a donc $2P(V)+P(V)=1 \Longleftrightarrow 3P(V)=1 \Longleftrightarrow P(V)=\dfrac{1}{3}$ et $P(R)=\dfrac{2}{3}$.
}

\Exop{Soit un dé truqué dont les probabilités des faces d'apparitions sont donnés par le tableau suivant :}
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|}
\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} Eventualité & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} Probabilité & $ 0,05$ & $ 0,05 $ & $ 0,1$ & $ 0,1 $ & $ 0,2 $ & $a$ \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'éventualité : \og le dé tombe sur 6 \fg.
\item Calculer la probabilité de l'événement $A=$\og obtenir un résultat inférieur ou égal à 4 \fg.
\item Calculer la probabilité de l'événement $B=$\og obtenir un nombre premier \fg.
\item Calculer la probabilité de l'événement $C=$ \og obtenir un nombre pair \fg.\\
\end{enumerate} 


\Exos[Hyperbole]{n$^{\circ} 3-4-5-10$ p 249}

\subsection{L'équiprobabilité}

\Defc{Lorsque toutes les issues d'une expérience aléatoire ont même probabilité, on dit qu'il y a \textbf{équiprobabilité} 
ou que la loi de probabilité est \textbf{équirépartie}. }

\Ptec{Lorsque la loi de probabilité est équirépartie, la probabilité d'un événement $A$ est :
$$ P(A)=\dfrac{\text{nombre d'éventualités favorables}}{\text{nombre d'éventualités possibles}}=\dfrac{\text{Card} A}{\text{Card} \varOmega}$$}

\Expl{
Dans un jeu de 32 cartes, la probabilité de tirer le valet de coeur est $\dfrac{1}{32}$. \\
Celle de tirer un valet est $\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}$.\qquad \qquad\qquad Celle de tirer un coeur est $\dfrac{8}{32}=\dfrac{1}{4}$.
}

\Exos[Hyperbole]{n$^{\circ} 13-14-16-19-20$ p 249 + 47 p 256 (Vrai-Faux)}

\subsection{Quelques propriétés}
\Ptec{Si deux événements sont incompatibles, alors la probabilité de leur réunion est égale à la somme de leurs probabilités :
$$ \text{Si } A\cap B=\emptyset \text{ alors }P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$}

\Dem{Si l'un des événements $A$ et $B$ est l'ensemble vide, alors la relation précédente est évidente.\newline
Dans le cas contraire, $P(A)$ est la somme des probabilités des issues de $A$ et $P(B)$ est la somme des probabilités des 
issues de $B$. Puisque $A$ et $B$ sont disjoints, $A\cup B$ contient exactement tous les éléments de $A$ et tous 
ceux de $B$. Par conséquent $P(A)+P(B)$ est égal à la somme des probabilités des élements de $A\cup B$, i.e $P(A\cup B)$}

\Corc{
\begin{itemize}
\item La probabilité de l'événement contraire $\overline{A}$ de $A$ est $P(\overline{A})=1-P(A)$.
\item Si $A\subset B$, alors $P(A)\leq P(B)$
\end{itemize}
}

\Dem{\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item Par définition, on a $\textcolor{blue}{\overline{A}}\cup \textcolor{red}{A}=\varOmega$ et 
$\textcolor{blue}{\overline{A}}\cap \textcolor{red}{A}=\emptyset$ \\
(ie $\textcolor{red}{A}$ et $\textcolor{blue}{\overline{A}}$ disjoints).\\
Par conséquent d'après la propriété précédente :
$$1=P(\varOmega)=P(\textcolor{blue}{\overline{A}}\cup \textcolor{red}{A})=P(\textcolor{blue}{\overline{A}})+P(\textcolor{red}{A})
\Longleftrightarrow P(\textcolor{blue}{\overline{A}})=1-P(\textcolor{red}{A})$$

\item Si $A \subset B$, alors $B=\textcolor{red}{A}\cup (\textcolor{green}{B\setminus A})$, \\
(où $\textcolor{green}{B\setminus A}$ est l'ensemble des éventualités de $B$ qui ne sont pas dans $\textcolor{red}{A}$.) \\
Comme $\textcolor{red}{A}\cap (\textcolor{green}{B\setminus A})=\emptyset$ (ie $\textcolor{red}{A}$ et 
$\textcolor{green}{B\setminus A}$ disjoints), d'après la propriété précédente on a :
$$ P(B)=P(\textcolor{red}{A})+\underbrace{P(\textcolor{green}{B\setminus A})}_{\geq 0}\Longrightarrow P(A)\leq P(B)$$
\begin{center}
 \begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.40,0.2) circle (0.7cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(-0.2,0) circle (1.5cm)}
\draw[color=black,fill=blue!50] \cercleO; 
\draw[color=black,fill=red!80] \cercleA; 
\node at (-1.5,1.2) {$\Omega$};
\node at (0.5,0.6) {$A$};
\node at (-0.9,-0.5) {$\overline{A}$};
\end{tikzpicture}\\
\vspace{0.5cm}
\begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.50,0.2) circle (1cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)}
\draw[color=black,fill=green] \cercleO; 
\draw[color=black,fill=red] \cercleA; 
\node at (-1.6,1.3) {$B$};
\node at (0.7,0.7) {$A$};
\node at (-0.9,-0.5) {$B\setminus A$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\end{multicols}
}

\Thc{La propabilité de la réunion de deux événements $A$ et $B$ est : $$ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$}

\Dem{\begin{multicols}{2}
\begin{center}     
 \begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.5,0.2) circle (1.15cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.5,-0.1) circle (1cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.9cm)} 
\draw[color=black,fill=green] \cercleA; 
\draw[color=black,fill=yellow] \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB;
\draw[color=black] \cercleO; 
\node at (-1.7,1.4) {$\Omega$};
\node at (-1.1,-0.2) {$A$};
\node at (0.8,0.7) {$B\setminus A$};
\node at (0,0) {$A\cap B$};
\end{tikzpicture} 
\end{center}
Il suffit d'écrire que : $A\cup B=A\cup (B\setminus A)$.\\
Comme $A\cup (B\setminus A)=\emptyset$, il vient :
$$ P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus A)$$
Or $P(B\setminus A)=P(B)-P(A\cap B)$. Donc 
$$ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$
     \end{multicols}
}

\Expl{Dans un club, plusieurs activités sont proposés dont le tir à l'arc et le golf. Parmi les $50$ adhérents, $30$ pratiquent le tir à l'arc, $18$ le golf et $6$ les deux sports. Quelle est la probabilité pour qu'un adhérent choisi au hasard :
\begin{enumerate}
\item pratique le tir à l'arc ? le golf ?
\item pratique l'un au moins des deux sports ?
\item ne pratique ni le tir à l'arc, ni le golf ?
\end{enumerate}
}

\Exos[Hyperbole]{n$^{\circ} 22-23$ p 250 (applications)\\
n$^{\circ}$ 38 + 40 p 252 (tableaux)
n$^{\circ}$ 42 à 44 p 255  + 48 p 256 (logique)\\
DM : 25 + 32 p 250
}





\subsection{Les arbres de probabilité}

\Act{Hyperbole n$^{\circ}$ 41 p 254.\\
Question : que cela changerait-il si le tirage se faisait avec remise ?
}


\Cadre[Règles de calculs]{
\begin{enumerate}
 \item  La somme des probabilités des branches partant d'un même n\oe ud est égale à 1.
\item La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités des branches qui le composent.\newline
\textit{Cela correspond à la probabilité de l'\textbf{intersection ordonnée} des événements qui le composent.}
\item La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins correspondant à cet événement.
\item La probabilité que l'on lit sur une branche est une probabilité conditionnelle : il s'agit de la probabilité
de l'issue suivante, sous la condition de réalisation du chemin jusqu'à cette branche.
\end{enumerate}
}

\Expls{On reprend l'activité précédente.
\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilité des événements suivants :
\begin{itemize}
\item $F =$ \og Tirer deux boules rouges \fg
 \item $G=$ \og Tirer une boule rouge au deuxième tirage sachant que l'on en a tiré une au premier tirage \fg 
\item $H=$ \og Tirer une boule verte puis une boule rouge \fg
 \item $I=$ \og Tirer une boule rouge au deuxième tirage sachant que l'on a tiré une verte au premier  \fg
\item $J=$ \og Tirer une boule rouge au premier tirage \fg
\item $K=$ \og Tirer deux boules de la même couleur \fg
 \item $L=$ \og Tirer au moins une boule rouge ? \fg
\end{itemize}
\item Déterminer en français de manière claire, puis sous forme d'ensemble les événements suivants :
$$ J \cap K \qquad\qquad\qquad G\cup I \qquad \qquad\qquad \overline{F} \qquad \qquad\qquad \overline{L} $$
\end{enumerate}
}

\Exop{
Sophie a mis des dragées dans une boîte, les unes contiennent une amande, les autres non. On sait que :
\begin{itemize}
 \item $30\%$ des dragées contiennent une amande.
 \item $40\%$ des dragées avec amandes sont bleues,, les autres sont roses ;
 \item $75\%$ des dragées sans amande sont bleues, les autres sont roses.
\end{itemize}
Sophie choisit au hasad une dragée dans la boîte. On admet que toutes les dragées ont la même probabilité d'être choisies. \\
On considère les  événements suivants :
\begin{itemize}
 \item A : \og la dragée choisie contient une amande \fg
\item B : \og la dragée choisie est bleue \fg
\end{itemize}
\begin{enumerate}
 \item Compléter l'arbre des fréquences donnée ci-dessous
\begin{center}
 \psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{\small $0.3$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$B$}\taput{\small $$0.4$$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{B}$}\tbput{\small $$\dots$$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$ \overline{A}$}\tbput{\small $$\dots$$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$B$}\taput{\small $$\dots$$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{B}$}\tbput{\small $$\dots$$}
}
}
\end{center}
\item Quelle est la probabilité d'obtenir une dragée bleue sachant que la dragée contient une amande ?
\item Décrire l'événement $A\cap B$ par une phrase. Montrer que sa probabilité est égale à $0.12$.
\item Calculer la probabilité de l'événement B.
 \item Décrire par une phrase l'événement $A \cup B$ par une phrase, puis calculer sa probabilité de deux manières différentes.
\end{enumerate}
}

\Exos[Hyperbole]{n$^{\circ} 21$ p 250 + $49-50-52$ p 257 (corrigés)\\
n$^{\circ}$ 32 (DM) + 33 à 36 + 38 + 40 p 252\\
}

\section{Simulations et probabilités}

\subsection{Choisir un modèle}

Depuis le début de ce chapitre, l'énoncé des problèmes était suffisament clair et détaillé pour choisir une loi de probabilité 
crédible au regard des expériences aléatoires que l'on a étudié. Mais ce n'est pas toujours le cas. \\
Dans la vie, les statisticiens se retrouvent plutôt à observer les résultats d'expériences aléatoires puis choisir
un modèle convenable, pour pouvoir ensuite faire des prévisions, ie des probabilités.

Dans cette partie, nous allons donc voir comment ils vérifient la crédibilité de leurs modèles, dans des cas simples.\\


\textit{Tout au long du chapitre, les séances de modules ont été réservés à simuler des expériences aléatoires.\\
Notamment, les élèves ont déjà simulé le jeu du passe-10 sur tableur et algobox (TP tableur : Transmath p 158 
+ n$^{\circ}$ 70 p 165 pour la théorie, idée présentée à l'oral).
}



\subsection{Echantillonnage}

\Defc{
Un échantillon de taille $n$ est la liste de $n$ résultats obtenus par $n$ répétitions indépendantes de la même expérience.
}

\Expls{
\begin{itemize}
 \item Lancer $10\,000$ fois trois dés et noter la liste des sommes obtenues, comme le Duc de Toscane.
 \item Faire $2\,454$ parties du jeu du lièvre et de la tortue et regarder qui gagne.
 \item Lancer $50$ fois une pièce de monnaie et regarder la face obtenue.
\end{itemize}
Ces trois situations permettent de constituer à chaque fois un échantillon de taille $10\,000$, $2\,454$ et $50$.\\
}


\Rqs{
\item Evidemment, les distributions des fréquences observées varient d'un échantillon à l'autre. 
Ce phénomène s'appelle la \textbf{fluctuation d'échantillonnage}.
\item Lorsque la taille d'un échantillon augmente, la fluctuation est plus faible en proportion et la distribution des 
fréquences tend à se rapprocher d'une distribution théorique.\\
}

\Defc{
On appelle \textbf{épreuve de Bernoulli} une expérience qui n'a que deux issues possibles. 
}

\Expls{
\begin{itemize}
 \item Gagner ou perdre
  \item Obtenir Pile ou Face
 \item Répondre oui ou non aux questionx du Duc : \og Il y a autant de chances de faire 10 que 9 avec trois dés 
équilibrés  \fg, \og La probabilité de faire 9 avec trois dés vaut $\dfrac6{56}$ \fg, ou encore, comme nous le pensons nous
\og La probabilité de faire 9 avec trois dés vaut $\dfrac{25}{216}$ \fg
...
\end{itemize}
}

Dans ce chapitre, nous allons étudier les fréquences observées pour certaines expériences de Bernoulli 
(simulées sur ordinateur, car plus rapide qu'à la main), afin d'estimer certaines proportions $p$ d'un caractère 
dans une population, ou encore d'estimer la probabilité $p$ de gagner (ou perdre) dans un modèle de Bernoulli.


\Expl{
On dispose d'une pièce de monnaie et on souhaite savoir si elle est bien équilibrée.\\
On la lance $50$ fois (à la main, plus devient fastifieux). On a obtenu $30$ Fois pile et $20$ fois Face.\\
Notre échantillon est de taille $50$ et nous avons observé une fréquence d'apparition de \og Pile \fg qui vaut 
$f_P=\dfrac{3}{5}=0.6$ et une fréquence d'apparition de \og Face \fg qui vaut $f_F=\dfrac{2}{5}=0.4$. \\
%On se demande s'il s'agit du hasard et qu'il est raisonnable d'estimer que la probabilité d'obtenir pile avec cette pièce 
%de monnaie est $\dfrac{1}{2}$, ou pas.
\textbf{\textit{Peut-on raisonnablement estimer que la pièce est équilibrée et qu'il s'agit simplement de la fluctuation
d'échantillonnage ?}}
}

\Rq{
En fait, on ne peut jamais être sûr de rien, mais d'un point de vue statistique, on peut avoir une idée de la réponse, 
avec une certaine marge d'erreur.
}

\subsection{Intervalle de fluctuation}

\Act{Le jeu du lièvre et de la tortue (n°60 p 259). \\
Le jeu consiste à affronter un lièvre et une tortue pour parcourir
un plateau de 6 cases, selon les règles suivantes :
\begin{itemize}
 \item On lance un dé équilibré à 6 faces,
 \item Si le 6 sort, le lièvre avance directement de 6 cases (et donc gagne) ; 
 \item Sinon, la tortue avance d'une case. 
 \item Le jeu continue jusqu'à ce qu'il y ait un gagnant.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
 \item Quelle est la situation la plus enviable, celle du lièvre ou de la tortue ?
 \item On appelle $p$ la probabilité de gagner du lièvre. Conjecturer la valeur de $p$.
 \item Simuler ce jeu sur Algobox, avec en affichage la fréquence de gain du lièvre.\\
\textit{On commencera par demander à l'utilisateur le nombre de parties qu'il souhaite faire.
}
 \item Les résultats de la simulation pour 50 expériences vous semblent-ils en accord avec votre conjecture ? Pour 100 ? $10\,000$ ?
 \item Les statisticiens ont établi le résultat suivant :\\
Il y a environ $95\%$ de chance que la fréquence observée soit comprise dans l'intervalle $I=\left[ p-\dfrac{1}{\sqrt{n}} 
, p +\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.
\begin{enumerate}
 \item Pour $n=50$ et la valeur de votre $p$, déterminer l'intervalle $I$. \\
Peut-on conclure que votre conjecture pour $p$ est bonne ?
 \item Reprendre la question 3.a. pour $n=100$, puis pour $n=10\,000$.
\end{enumerate}
\item Trouver la probabilité théorique de gain de lièvre, grâce à un arbre de probabilité contenant les événements 6 et $\overline{6}$.
\item Vérifier que la fréquence que vous avez observée se situe bien dans l'intervalle $I$ pour $n=10\,000$ et la vraie valeur de $p$.
\end{enumerate}
}


On étudie un échantillon d'épreuves de Bernoulli et on s'intéresse à l'une des deux issues (par exemple, obtenir pile dans un tirage de pile ou face).
On note $p$ la probabilité qu'elle se réalise.

\Thc{
Si on analyse un grand nombre d'échantillons de taille $n$ ($n \geq 25$) et que l'on observe à chaque fois la fréquence d'apparition $f$ de l'issue
choisie, on s'aperçoit que pour une probabilité $p$ comprise entre $0,2$ et $0,8$, au moins $95\%$ des fréquences se situent dans un intervalle 
$I=\left[ p-\dfrac{1}{\sqrt{n}} , p +\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ appelé \textbf{intervalle de fluctuation} des fréquences 
au seuil de $95\%$.
}


\Cadre[Prendre une décision à partir d'un échantillon  ]{
Pour apprécier si une fréquence observée $f$ sur un échantillon de taille $n$ est compatible avec un modèle de Bernoulli de probabilité $p$, 
on teste l'appartenance de la fréquence observée $f$ à l'intervalle de fluctuation $I$.\\
Si $f$ n'est pas dans l'intervalle $I$, alors on peut rejeter l'hypothèse que l'échantillon soit compatible avec le modèle.\\
Sinon, on ne peut pas conclure car on ne peut pas rejeter l'hypothèse que l'échantillon soit compatible avec le modèle
(et on ne peut pas non plus affirmer que l'échantillon suit le modèle).
}

\Rq{
Quelle que soit la décision prise, il y a toujours un risque que ce ne soit pas la bonne décision dans $5\%$ des cas.
}


\Expl{Dans l'exemple précédent de la pièce de monnnaie, on a $n=50$ et on suppose $p=\dfrac12$.\\
On calcule $p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}= 0,5-\dfrac{1}{\sqrt{50}}\simeq 0,36$ \qquad et \qquad 
$p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,5+\dfrac{1}{\sqrt{50}}\simeq 0,64$.\\
L'intervalle de fluctuation est alors $I\simeq [0.36;0.64]$.\\
Le théorème précédent assure que si on effectue la même expérience avec une pièce qui est parfaitement équilibrée alors, 
dans au moins $95\%$ des cas, on observa une fréquence de pile comprise $0,36$ et $0,64$. \\
Notre observation est donc \og fréquente \fg pour une pièce bien équilibrée, par conséquent on n'a aucune raison de 
refuser l'hypothèse \og la pièce est bien équilibrée.\fg
}

\Cexpl{
Peut-on appliquer ce théorème et notre simulation pour répondre au Duc de Toscane et lui dire s'il a raison ou tort 
de considérer que $P(9)=\dfrac{6}{56}$ ?
}

\Exop{
 Au casino Belle-vue, sur 2500 lancés de dés, 1150 ont donné un nombre pair.
 Il y a lieu de faire une enquête pour utilisation de dés truqués ?\\
Même question pour un autre casino, où 1200 lancés ont donné un nombre pair. 
} 

\Exop{On a vendu à un grossiste $50\,000$ appareils électroniques en certifiant qu'au moins $80\%$ ne présentent aucun défaut de fonctionnement.
En prélevant 250 appareils au hasard et en les testant, on s'aperçoit que seulement $74\%$ n'ont pas de défaut de fonctionnement.\\
Peut-on penser que le grossiste a été trompé ?\\ 
Même question pour un échantillon de 300 appareils.
}\\ 

\Exop{Dans une commune de plus de $50000$ habitants, la proportion de femmes est $0,5$. Le conseil municipal est 
composé de $43$ personnes dont $17$ femmes.\\
Peut-on affirmer qu'au conseil municipal, la parité des sexes n'est pas respectée ?}

\Exop{Dans une population de truites de rivière, le sex ration (proportion de mâles et de femelles) est de $0,5$ pour 
chaque sexe. Certaines pollutions par des produits pharmaceutiques modifient ce sex ration en augmentant la proportion 
de femelles. Sur un prélèvement de $100$ truites de rivière, on a relevé une fréquence de femelles égale à $0,64$.\\
Peut-on considérer que cela est dû au seul hasard ou bien doit-on suspecter une pollution ?}

\Exop{Lors d'un sondage effectué auprès de $900$ personnes, $51\%$ d'entre elles déclarent vouloir voter pour le 
candidat $A$. En supposant que les personnes sondées ont répondu sincèrement et qu'elles ne changeront pas d'avis le jour 
du vote, le candidat $A$ peut-il raisonnablement penser qu'il sera élu au premier tout (c'est-à-dire avec plus de $50\%$ 
des voix) ?
}



\newpage


\subsection{TPs Tableur}
\Cadre[Problème 1]{Dans la ville imaginaire de Sir (issue d'un roman de Diane Meur, \og les villes de la plaine \fg) on a observé que les familles avaient toutes un, deux ou trois enfants. On souhaite savoir quelle la probabilité qu'une famille croisée au hasard ait un, deux ou trois enfants dans cette population.\\
On a retrouvé l'algorithme d'un ingénieur siriote, qui connaissait la réponse à la question précédente. Par chance on parvient à faire fonctionner son algorithme sur un ordinateur, par contre on a réussi à le décrypter qu'en partie. }

Voici l'algorithme :
\begin{multicols}{2}
\begin{cadrecode}
\begin{small}
\begin{verbatim}
1   VARIABLES
2     compteur1 EST_DU_TYPE NOMBRE
3     compteur2 EST_DU_TYPE NOMBRE
4     compteur3 EST_DU_TYPE NOMBRE
5     n EST_DU_TYPE NOMBRE
6     i EST_DU_TYPE NOMBRE
7   DEBUT_ALGORITHME
8     POUR i ALLANT_DE 1 A 1000
9       DEBUT_POUR
10      n PREND_LA_VALEUR un nombre entier 
			au hasard entre ? et ?
11      SI (impossible à décrypter) ALORS
12        DEBUT_SI
13        compteur1 PREND_LA_VALEUR compteur1+1
14        FIN_SI
15      SI (impossible à décrypter) ALORS
16        DEBUT_SI
17        compteur2 PREND_LA_VALEUR compteur2+1
18        FIN_SI
19      SI (impossible à décrypter) ALORS
20        DEBUT_SI
21        compteur3 PREND_LA_VALEUR compteur3+1
22        FIN_SI
23      FIN_POUR
24    AFFICHER "Si on croise 1000 familles alors :"
25    AFFICHER compteur1
26    AFFICHER " familles ont exactement 1 enfant"
27    AFFICHER compteur2
28    AFFICHER " familles ont exactement 2 enfants"
29    AFFICHER compteur3
30    AFFICHER " familles ont exactement 3 enfants"
31  FIN_ALGORITHME

\end{verbatim}
\end{small}
\end{cadrecode}
\begin{enumerate}
\item Formuler une hypothèse (en observant les résultats obtenus en exécutant ce programme) sur les probabilités que les familles de Sir aient un, deux ou trois enfants.\\
Pour cela, compléter le tableau suivant :
\begin{center}
  \begin{tabular}{| >{\columncolor[gray]{0.85}} >{\centering}m{3cm} |>{\centering}m{1cm} |>{\centering}m{1cm} |>{\centering}m{1cm} |>{\centering}m{1cm} |}
  \hline
      \rowcolor[gray]{0.85}Enfants par famille & 1 & 2 & 3 &  Total  \tabularnewline \hline
      Probabilités théoriques (hypothèse) &   &   & &  \tabularnewline \hline
  \end{tabular}
  \end{center}
  \item Le résultat d'une simulation est le suivant :
  Si on croise 1000 familles alors :\\
450 familles ont exactement 1 enfant\\
325 familles ont exactement 2 enfants\\
225 familles ont exactement 3 enfants.\\
Pensez-vous que les écarts entre les fréquences observées dans cette simulation et les probabilités théoriques (i.e vos hypothèses) s'expliquent par la seule fluctuation d'échantillonage due au hasard ? Êtes-vous sûr d'avoir raison ?
\item Ecrire un programme sur algobox similaire à celui qui est donné avec vos hypothèses.
\item Observer les résultats de vos simulations avec les résultats de simulations effectuées avec l'ordinateur du professeur. Commenter.
\item Le professeur révèle le programme original, ou pas.
\end{enumerate}
\end{multicols}


\Cadre[Problème 2]{\textbf{Simuler le lancé de deux pièces de monnaie}.\\
En lançant deux pièces de monnaie correctement équilibrées, on peut obtenir :
\begin{multicols}{3}
 \begin{itemize}
 \item Deux côtés Pile
 \item Deux côtés Face
 \item Un côté Pile et l'autre Face
\end{itemize}
\end{multicols}
Norbert émet l'hypothèse qu'en effectuant un grand nombre de fois l'expérience, la fréquence d'obtenir deux côtés Pile est proche de $\dfrac{1}{3}$.\\
On souhaite simuler cette expérience à l'aide d'un tableur et vérifier si l'hypothèse semble correcte ou si elle doit être rejetée.
}

\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item Reproduire la feuille de calcul ci-dessous :
        \item Ecrire une instruction qui donne un nombre aléatoire qui vaut $0$ ou $1$.
	\item Quelle instruction permet d'obtenir la somme des nombres situés dans les cellules $A2$ et $B2$ ?
	\item Ecrire une instruction qui permet d'avoir le nombre de cellules de contenu égal à $0$ dans la plage $C1$ à $C100$, dans la plage $C1$ à $C500$
et dans la plage $C1$ à $C1000$.
       \end{enumerate}
\item Pour effectuer la simulation, on assimile le côté Pile au nombre $0$ et le côté Face au nombre $1$.
      \begin{enumerate}
      \item A quelle somme correspond \og Obtenir deux côtés Pile \fg \, ?
      \item Mettre en place une feuille de calcul comme celle représentée par l'enseignant avec :
	    \begin{itemize}
	    \item Dans les colonnes $A$ et $B$ et sur $1\,000$ lignes, des nombres aléatoires $0$ ou $1$
	    \item Dans la colonne $C$, la somme par les ligne des colonnes $A$ et $B$
	    \item Dans les cellules $E2$, $F2$ et $G2$, le nombre de fois où le nombre $2$ figure dans les $100$, $500$ ou $1\,000$ premières lignes de la colonne $C$
	    \item Dans les cellules $E3$, $F3$ et $G3$, les fréquences correspondantes.
	    \end{itemize}
      \end{enumerate}
\item Les statisticiens ont établi le résultat suivant :\\
Il y a environ $95\%$ de chance que la fréquence observée soit comprise dans l'intervalle $I=\left[ p-\dfrac{1}{\sqrt{n}} , p +\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.\\
\begin{enumerate}
 \item Pour $n=100$, déterminer l'intervalle $I$. \\
Peut-on conclure que la conjecture de Pierre $p=\dfrac{1}{3}$ est bonne ?
 \item Reprendre la question 3.a. pour $n=500$, puis pour $n=1\,000$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\Exos{Pour aller plus loin : simuler le jeu des portes sur Tableur ou/et Algobox (n$^{\circ} 62$ p 260)}



\epigraphe{La physique est bien trop dure pour les phycisiens} 
{David Hilbert} 
{mathématicien} 





\end{document}