\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Ch}{Lectures graphiques \linebreak plus ou moins intelligentes}
\newcommand{\Cl}{Seconde}
\newcommand{\Annee}{2010-2011}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2.5cm}

\setcounter{NumLecon}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\setcounter{NumLecon}{1}

\debutCha{Degas_Toilette2.eps}{Autoportrait (1863) \fg \, et \og Le Tub (1885)}{Edgar Degas}   					% Image + titre + Auteur
{Quand quelqu'un paye un tableau $3\,000$ francs, c'est qu'il lui plaît. \linebreak[4]
 Quand il le paye $300\,000$ francs, c'est qu'il plaît aux autres. }{Edgar Degas} 		% Citation + Auteur
 {Edgar Degas (1834-1917) est un peintre français, en général rattaché au mouvement impressionniste, 
formé à la fin du XIXe siècle, en réaction à la peinture académique de l’époque. \\
Sa carrière fut dès le départ influencée par les danseuses.  
En 1874, il commence à se faire connaître, les critiques louant ou dénigrant le réalisme de son travail. 
Il explore des thèmes comme les repasseuses ou les femmes à leur toilette, 
multipliant les points de vue audacieux, recherchant des effets lumineux et colorés.
Il dit d’ailleurs à propos de ses nus : \og Jusqu’à présent, le nu avait toujours été représenté dans des poses qui 
supposent un public. Mais mes femmes sont des gens simples... Je les montre sans coquetterie, à l’état de bêtes qui se nettoient.
 \fg \\
A partir des années 1880, Degas va aussi poser la question d'une sculpture « impressionniste », 
réalisant des modèles en cire peints au naturel, qu'il accessoirise ensuite. 
Seule \textit{La Grande Danseuse} (cf première page) fut présenté de son vivant, 
les autres modèles l'aidant surtout dans ses peintures. 
Cette incarnation de la grâce et de l'innocence trahit en réalité la fascination de Degas pour la criminalité. 
En effet, avec son visage est sculpté sur le modèle des physionomies de criminels définies à l'époque, et
la danseuse était un parfait \og petit rat \fg , transmettant la syphilis aux bourgeois venant la voir ... 
} 						% Présentation auteur
{1.1}		% Ratio portrait
{0.31}		% Ratio Image
\setcounter{NumLecon}{3}


\TITRE{Degas_Petite_Danseuse_de_14_ans(1881).eps}{0.4} 						% Image 1ere page + ratio
%\begin{abstract}
 

\begin{Intro}{Introduction}{
\noindent L'objectif principal de ce chapitre est de maîtriser la lecture graphique des courbes représentatives de fonctions, sous (presque) toutes
les coutures. \\
Nous allons donc revoir les lectures d'images,
d'antécédents et d'ensemble de définition, mais également apprendre résoudre graphiquement des équations, des inéquations, 
et à donner graphiquement le signe d'une fonction.\\
Cependant, nous verrons qu'avec un peu d'intelligence, on peut répondre exactement et simplement à des questions de lecture graphique.
}
\end{Intro}


\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune




\section{R\'esolution graphique d'équations et inéquations}

\subsection{Méthodes de résolution}

\begin{multicols}{2}
\Act{
\noindent Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions d\'efinies par le graphique ci-contre :\\
R\'esoudre graphiqement :
\begin{enumerate}
 \item $f(x)=-2 \qquad S= \dots\dots\dots\dots\dots$
 \item $g(x)=0 \qquad S= \dots\dots\dots\dots\dots$
\item $h(x)=1 \qquad S= \dots\dots\dots\dots\dots$
\item $f(x) = g(x) \qquad S= \dots\dots\dots\dots\dots$ 
 \item $f(x) = h(x) \qquad S= \dots\dots\dots\dots\dots$
 \item $g(x)=h(x) \qquad S= \dots\dots\dots\dots\dots$
\item  $ f(x) < -2 \qquad S= \dots\dots\dots\dots\dots$
 \item  $g(x) \geq 0 \qquad S= \dots\dots\dots\dots\dots$
\item $f(x) \geq h(x) \qquad S= \dots\dots\dots\dots\dots$
 \item $f(x) <h(x) \qquad S= \dots\dots\dots\dots\dots$
\end{enumerate}}
\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm , yunit=0.75cm}
\begin{pspicture*}(-6.1,-5.1)(6.1,6.1)
\def\xmin{-6} \def\xmax{6} \def\ymin{-5} \def\ymax{6}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.75cm}
\psgrid[griddots=4,gridlabels=0pt,gridwidth=1pt, gridcolor=black, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-6,-5)(6,6)
%\psset{xunit=0.75cm , yunit=0.75cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 2 exp 3 x mul sub 2 sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-6}{6}{\F}
\def\H{0 0.5 x mul 1.3 add 3 exp sub 1 sub}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-6}{6}{\H}
\def\G{0.02 x 3 exp mul 0.1 x 2 exp mul add}
\psplot[linecolor=green,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-6}{6}{\G}
 \uput[r](3.7,5){\blue{$C_f$}}
 \uput[r](4.8,4.5){\green{$C_g$}}
 \uput[r](-5.9,3.5){\red{$C_h$}}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
 \uput[d](1,0){$1$}
 \uput[l](0,1){$1$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

\noindent Soient deux fonctions $f$ et $g$ d\'efinies sur un intervalle $I$, $k\in\R$. 
On note $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ leurs  courbes repr\'esentatives respectives. \\

\Cadre[M\'ethode pour r\'esoudre graphiquement $f(x)=k$]{
On trace sur $I$ :
\begin{itemize}
 \item la courbe $\mathscr C_f$
 \item la droite $d$ d'\'equation $y=k$ \quad (représentative de la fonction affine 
constante égale à $k$). 
\end{itemize}
Les solutions de l'équation sont les abscisses des \'eventuels points d'intersection de $\mathscr C_f$ et $d$.
}

\Rqs{
\item Cela revient \`a trouver graphiquement tous les ant\'ec\'edents de $k$ appartenant \`a $I$. 
\item L'ensemble des solutions est une liste de nombres, on le note avec des accolades.
}

\Expl{
\begin{multicols}{2}
R\'esoudre graphiquement sur $\R$ l'\'equation  $$\quad\quad(x-4)^2+1=3$$

On trace la courbe représentative de $f$ définie sur $\R$ par $f(x)= (x-4)^2+1 $ et la droite d'équation $y= 3$. \\\newline
\indent On trouve $S=\left\{2.6;5.4\right\}$\\


\textit{Vérifier à la calculatrice.}\\

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm , yunit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-1.1)(8.1,6.1)
\def\xmin{-1} \def\xmax{8} \def\ymin{-1} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.1,-1.1)(8.1,6.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 4 sub 2 exp 1 add}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{8}{\F}
\def\G{3}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{8}{\G}
 \uput[dr](2,6){$C_f$}
 \uput[ul](8,3){$y=3$}
\uput[l](0,3){$3$}
\psdot(2.6,3)
\psline[linestyle=dashed](2.6,0)(2.6,3)
\psdot(5.4,3)
\psline[linestyle=dashed](5.4,0)(5.4,3)
 \uput[d](2.6,0){$2.6$}
 \uput[d](5.4,0){$5.4$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\end{pspicture*}\\
\end{center}
\end{multicols}
}


\Cadre[M\'ethode pour r\'esoudre graphiquement $f(x)<k$]{
On trace sur $I$ :
\begin{itemize}
 \item la courbe $\mathscr C_f$
 \item la droite $d$ d'\'equation $y=k$ \quad 
(représentative de la fonction affine constante égale à $k$).
\end{itemize}
Les solutions de l'\'equation sont les abscisses des \'eventuels points de $\mathscr C_f$ 
se trouvant au dessous de $d$.
}

\Rq{
L'ensemble des solutions est un intervalle ou une réunion d'intervalle, on le note avec des crochets.
}

\Expl{
Dans l'exemple ci-dessus, on trouve $S=]2.6;5.4[$.\\
Si on cherche à résoudre $f(x) \leq 3$ on trouve $S=[2.6;5.4]$.\\
Si on cherche à résoudre $f(x) > 3$ on trouve $S=]-\infty ; 2.6[ \cup ]5.4; + \infty [$.\\
Si on cherche à résoudre $f(x) \geq 3$ on trouve $S=]-\infty ; 2.6] \cup [5.4; + \infty [$.\\
}


\Cadre[M\'ethode pour r\'esoudre graphiquement $f(x)=g(x)$]{
On trace sur $I$ les courbes $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$. \\
Les solutions de l'\'equation sont alors les abscisses des \'eventuels points d'intersection de $\mathscr C_f$ et 
$\mathscr C_g$.
}

\Expl{
\begin{multicols}{2}
R\'esoudre graphiquement sur $[-1; + \infty[$ l'\'equation  $$(x-4)^2+1=\sqrt{x+1}$$
On trace les courbes représentatives des fonctions $f: x \mapsto (x-4)^2+1 $ d\'efinie sur $\R$ et $g:x \mapsto \sqrt{x+1}$ d\'efinie sur $[-1; + \infty[$. \newline
\indent On trouve $S=\left\{3.3;5\right\}$\\

\textit{Vérifier à la calculatrice.}\\

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm , yunit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-0.1,-1.1)(8.1,6.1)
\def\xmin{0} \def\xmax{8} \def\ymin{-1} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-0.1,-1.1)(8.1,6.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 4 sub 2 exp 1 add}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{8}{\F}
\def\G{x 1 sub 0.5 exp}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{1}{8}{\G}
 \uput[dr](2,6){$C_f$}
 \uput[ul](8,2.9){$C_g$}
 \psdot(5,2)
\psline[linestyle=dashed](5,0)(5,2)
\psdot(3.3,1.55)
\psline[linestyle=dashed](3.3,0)(3.3,1.55)
 \uput[d](3.3,0){$3.3$}
 \uput[d](5,0){$5$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
}

\Cadre[M\'ethode pour r\'esoudre graphiquement $f(x) < g(x)$]{
On trace sur $I$ les courbes $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$. \\
Les solutions de l'in\'equation sont alors les abscisses des \'eventuels points de $C_f$ situés au-dessous de $C_g$.
}

\Expl{
En prenant l'exemple ci-dessus, on trouve $S=]3.3;5[$.\\
Si on cherche à résoudre $f(x) \leq g(x)$ on trouve $S=[3.3;5]$.\\
Si on cherche à résoudre $f(x) > g(x)$ on trouve $S=]-\infty ; 3.3[ \cup ]5; + \infty [$.\\
Si on cherche à résoudre $f(x) \geq g(x)$ on trouve $S=]-\infty ; 3.3] \cup [5; + \infty [$.\\
}

\Rq{Il existe diverses manières de poser la même question :
n$^{\circ}$ 32 p 71 (lignes 1, 2 et 4)}

\Exos[Hyperbole]{n$^{\circ}$ 11-14 à 16 p 47 + 29 p 48 + QCM et Vrai-Faux p 54 + n$^{\circ}$ 58 à 60 p 55 + n $^{\circ}$ 10 à 13-15-16 p 67}

\subsection{Lecture intelligente}

\Act{\begin{enumerate}
      \item Tracer sur votre calculatrice la courbe représentative de la fonction $x\longmapsto x^2$
 \item Résoudre graphiquement l'inéquation $x^2 <5$.
 \item Pouvez-vous donner l'ensemble exact des solutions ?
     \end{enumerate}
}

Lorsque que l'on connaît l'expression algébrique de la fonction, on peut parfois être plus précis dans nos réponses,
sans forcément avoir besoin de beaucoup de calculs. 

\Expls{
\begin{itemize}
 \item L'ensemble des solutions de l'inéquation $x^2\geq 5$ est $\mathscr S = \left]-\infty ; -\sqrt{5}\right] \cup \left[\sqrt{5} ; + \infty\right[$. 
 \item Résoudre graphiquement mais exactement l'inéquation $ 3x+5 > 1$
\end{itemize}
}

\Exos[Hyperbole]{n$^{\circ}$ 20 p 121}

\Exop{
\begin{enumerate}
\item Tracer la courbe repr\'esentative  de la fonction $x \longmapsto x^2$.
\item Trouver \`a l'aide du graphique les solutions des inéquations suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
 \item $x^2 \leq 3$
 \item $x^2 \geq 2$
 \item $1\leq x^2 \leq 5$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
}


\Exop{
\begin{enumerate}
\item  Tracer sur votre calculatrice la courbe repr\'esentative  de la fonction $x \longmapsto \dfrac1x$.
\item Trouver \`a l'aide du graphique les solutions des inéquations suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item  $\dfrac{1}{2}\leq\dfrac{1}{x} \leq 1$
\item $-1\leq\dfrac{1}{x} \leq -\dfrac{1}{4}$
\item $-\dfrac{1}{4}\leq\dfrac{1}{x} \leq \dfrac{1}{2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
}


\section{Signes d'une fonction}
\subsection{Tableau de signes}

\begin{multicols}{2}
\Act{
Donner le signe de chacune des fonctions $f$, $g$ et $h$ représentées ci-contre.\\}
\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm , yunit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-6.1,-5.1)(6.1,6.1)
\def\xmin{-6} \def\xmax{6} \def\ymin{-5} \def\ymax{6}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.75cm}
\psgrid[griddots=4,gridlabels=0pt,gridwidth=1pt, gridcolor=black, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-6,-5)(6,6)
%\psset{xunit=0.75cm , yunit=0.75cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 2 exp 3 x mul sub 2 sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-6}{6}{\F}
\def\H{0 0.5 x mul 1.3 add 3 exp sub 1 sub}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-6}{6}{\H}
\def\G{0.02 x 3 exp mul 0.1 x 2 exp mul add}
\psplot[linecolor=green,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-6}{6}{\G}
 \uput[r](3.3,5.5){\blue{$C_f$}}
 \uput[r](4.8,4.5){\green{$C_g$}}
 \uput[r](-6.1,3.5){\red{$C_h$}}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
 \uput[d](1,0){$1$}
 \uput[l](0,1){$1$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

Lorsqu'on demande le signe d'une fonction $f$, on demande en fait de résoudre simultanément :
$$f(x)<0 \qquad\qquad\qquad f(x) =0 \qquad\qquad\qquad f(x)>0$$
Graphiquement, il s'agit respectivement de quand la courbe représentative de $f$ est en-dessous de l'axe des abscisses, coupe l'axe des abscisses
et est au-dessus de l'axe des abscisses.\\
Nous savons donc théoriquement déjà faire cela. \\
La seule nouveauté sera la manière de présenter les résultats.
En effet, pour plus de clarté, nous les consignerons dans un tableau, appelé tableau de signes
\begin{itemize}
 \item La première ligne du tableau contiendra les valeurs critiques de $x$ : celles pour lesquelles $f$ s'annule et/ou change de signe.\\
On ne tient pas compte de l'échelle, on espace ces valeurs de manière homogène.
\item La seconde ligne contient le signe de $f(x)$ correspondant aux cases formées par la première ligne. 
On résume le signe par $+$ et $-$.\\
Dans cette ligne, on fait également apparaître un $0$ sous les valeurs des $x$ qui annulent $f$.
\end{itemize}

\Expl{Dans l'activité précédente, on aurait donc pu répondre :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.8]{$x$/1, $f(x)$/1}{$-\infty$,$-0.6$,$3.6$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}\\
\vspace{0.5cm}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.8]{$x$/1, $g(x)$/1}{$-\infty$,$-5$,$0$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,+}
\end{tikzpicture}\\
\vspace{0.5cm}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.8]{$x$/1, $h(x)$/1}{$-\infty$,$-4.7$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}
}


\Exos[Hyperbole]{n$^{\circ}$ 17-18 p 67}


\subsection{Lecture intelligente}
\subsubsection{Somme, produit, carré et inverse}

\Act{Pouvez-vous donner le signe des fonctions $f$, $g$, $h$, $k$ et $l$ suivantes sans regarder leur courbe représentative ?
\begin{multicols}{3}
 \begin{itemize}
 \item $f(x)=35x^2+8$,
 \item $g(x)=-4x^2-3$
 \item $h(x)=\dfrac{1}{x}$
 \item $k(x)=3x+5$ 
 \item $l(x)=35x^2+38x+8$
\end{itemize}
\end{multicols}
}

On sait qu'un carré est toujours positif et qu'un nombre et son inverse sont de même signe.\\
Ainsi, une expression ne contenant que des carrés, des sommes de nombres positifs, des multiplications par un nombre positif et/ou des 
inverses de nombres positifs sera toujours positive. \\
Il est dans ce cas inutile de regarder la courbe représentative de la fonction correspondante.

\Expl{Soient les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies sur $\R$ par $f(x)=x^2+3$, $g(x)=\dfrac{1}{x^2+3}$ et $h(x)=-4x^2-7$.\\
Les fonctions $f$ et $g$ sont toujours positives (leurs courbes représentatives sont au-dessus de l'axe des abscisses).\\
Tandis que la fonction $h$ est toujours négative (sa courbe représentative est en-dessous de l'axe des abscisses).
}

\Cexpl{Soient les fonctions $k$ et $l$ définies par $k(x)=3x+5$ et $l(x)=35x^2+38x+8$.\\
Comme la variable $x$ peut être négative (même si son signe n'est pas visible dans l'expression des fonctions), les fonctions $k$ et $l$
changent de signe.
}



\subsubsection{Fonctions affines}

\Act{Etudions par lecture intelligente le signe de la fonction $k$ définie précédemment par $k(x)=3x+5$.
\begin{enumerate}
 \item Lecture graphique simple : donner graphiquement le tableau de signes de $k$.
\item Lecture graphique intelligente :
\begin{enumerate}
 \item Donner la nature de la fonction $k$. Que pouvez-vous en déduire sur sa représentation graphique ?
 \item Quel est le coefficient directeur de $k$ ? Que pouvez-vous en déduire sur l'orientation de sa courbe repésentative ?
 \item Résoudre $k(x)=0$
 \item En déduire le tableau de signes exact de $k$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\Ptec[Signe d'une fonction affine]{
Soit $f$ la fonction affine d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$ avec $a \neq 0$. \\
Alors $f(x)=0$ pour $x=-\dfrac{b}{a}$ \quad et 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=4]{$x$/1,Signe de $ax+b$/1.2}{$-\infty$,$-\dfrac{b}{a}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,\text{Signe Opposé de } $a$,z,\text{Signe de }$a$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

\Rq{On retiendra que la fonction est du signe de $a$ à \textbf{droite} du 0 (du signe opposé sinon).}

\Dem{ Si $a>0$ (on raisonne de même si $a<0$) :
$$\begin{array}{lc}
    & ax+b=0 \\ \stackrel{-b }{\Longleftrightarrow} & \,ax=-b  \\ \stackrel{^{\times \frac{1}{a}}}{\Longleftrightarrow} & x = -\dfrac{b}{a}
   \end{array} \qquad \qquad \qquad
\begin{array}{lc}
   & ax+b>0 \\ \stackrel{-b }{\Longleftrightarrow} & \,ax>-b  
\\ \stackrel{^{\times \frac{1}{a}>0}}{\Longleftrightarrow} & x > -\dfrac{b}{a}
   \end{array} \qquad\qquad\qquad
 \begin{array}{lc}
  & ax+b<0 \\ \stackrel{-b }{\Longleftrightarrow} & \,ax<-b  
\\ \stackrel{^{\times \frac{1}{a}>0}}{\Longleftrightarrow} & x < -\dfrac{b}{a}
\end{array}
$$
}

\Expl{Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-\dfrac{3}{4}x+3$. On a :
$$f(x)=0 \iff -\dfrac{3}{4}x+3=0 \iff -\dfrac{3}{4}x=-3 \iff x = -\dfrac{3}{-\frac{3}{4}}=3 \times \dfrac{4}{3}=4$$ 
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
 De plus, $a<0$. Donc la fonction $f$ admet pour tableau de signes :\\
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=1.5]{$x$/1,Signe de $-\dfrac{3}{4}x+3$/1.5}{$-\infty$,$4$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\end{tikzpicture}\\
On peut le vérifier graphiquement :\\
\includegraphics[scale=0.5]{signe.eps}
      \end{center}
\end{multicols}
}


\Exos[Hyperbole]{Refaire le 17 p 67}

\subsubsection{Produit (ou quotient) de fonctions affines}

\Act{Etudions par lecture intelligente le signe de la fonction $l$ définie précédemment par $l(x)=35x^2+38x+8$, ainsi que
celui d'autres fonctions.
\begin{enumerate}
 \item La fonction $l$ :
\begin{enumerate}
 \item Donner graphiquement le tableau de signes de $l$.
 \item Vérifier que pour tout $x\in \R$ on a $l(x)=(5x+4)(7x+2)$
 \item Résoudre $l(x)=0$.
  \item En déduire le tableau de signes exact de $l$.
\end{enumerate}
 \item Soient les fonctions $m$ et $n$ définies sur $\R$ par $m(x)=-2x+1$ et $n(x)=-6x-2$.
\begin{enumerate}
 \item Etablir le tableau de signes des fonctions $m$ et $n$
 \item Etablir graphiquement le tableau de signe de la fonction $p$ définie sur $\R$ par \\
$p(x)=(-2x+1)(-6x-2)$.
 \item Comment retrouver ce résultat par le calcul ?
 \item Etablir graphiquement le tableau de signe de la fonction $r$ définie sur $\R$ par $r(x)=\dfrac{-2x+1}{-6x-2}$.
 \item Comment retrouver ce résultat par le calcul ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Cadre[Signe d'un produit (ou d'un quotient)]{
Gr\^ace \`a la r\`egle des signes dans une multiplication (ou une division), 
on peut trouver le signe d'un produit (ou d'un quotient) d'expressions du type $ax+b$.\\
Pour cela, on commence par résoudre l'équation produt nul (ou le dénominateur égal à 0, ainsi que le numérateur) , puis on utlise 
un grand tableau de signes.\\
Sur la dernière ligne, on trouve le signe du produit (ou du quotient) en appliquant la règle des signes.
}
\Att{
\begin{itemize}
 \item On ne peut pas appliquer cette règle pour une addition d'expression du type $ax+b$, car on n'a pas de règle de signes dans 
ce cas là !
 \item $(ax+b)(cx+d)$ est positif quand $ax+b$ et $cx+d$ sont tous les deux positifs certes, 
mais aussi quand ils sont tous les deux négatifs !\\
Ceci est long à écrire, lors d'une résolution classique. Le tableau de signe s'avère alors rapide et efficace pour trouver 
le signe de ce type d'expressions.
\item On notera que $0$ multiplié par n'importe quoi donne $0$. \\
Par contre, n'importe quoi divisé par $0$ donne une valeur interdite !
\end{itemize}
}

\Expls{
\begin{enumerate}
 \item On souhaite résoudre $(2x+1)(-x+2)\leq 0$. On a : 
$$(2x+1)(-x+2)=0 \iff 2x+1 =0 \quad \text{ou } \quad -x+2 = 0 \iff x=-\dfrac12 \quad x=2$$
Le tableau de signe de cette expression est :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3]{$x$/1,Signe de $2x+1$/1, Signe de $-x+2$/1, Signe de $(2x+1)(-x+2)$/1.2}{$-\infty$,$\dfrac{1}2$,$2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,0,+,t,+}
\tkzTabLine{,+,t,+,z,-}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Conclusion : $(2x+1)(-x+2)=0 \text{  ssi } x\in \left\{-\dfrac12 ; 2 \right\}$
$$(2x+1)(-x+2)>0 \text{ ssi } x\in\left]-\dfrac12 ; 2\right[ \qquad \text{et} \qquad 
 (2x+1)(-x+2)<0 \text{ ssi } x\in \left]-\infty ; -\dfrac12 \right[ \cup \Bigg] 2 ; + \infty \Bigg[$$
L'ensemble des solutions de l'in\'equation $P(x)\leq 0$ est donc $S=\left]-\infty ; -\dfrac12 \right] \cup \Bigg[ 2 ; + \infty \Bigg[$
 \item Résoudre $Q(x)=\dfrac{2x+1}{-x+2} \leq 0$.\\
On sait que $2x+1=0 \iff x=-\dfrac12$ \qquad et on sait  que $-x+2=0 \iff x=2$ (valeur interdite). \\
On a donc le tableau de signes suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2]{$x$/1,Signe de $2x+1$/1, Signe de $-x+2$/1, Signe de $\dfrac{2x+1}{-x+2}$/1.6}{$-\infty$,$\dfrac{1}2$,$2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,0,+,t,+}
\tkzTabLine{,+,t,+,z,-}
\tkzTabLine{,-,z,+,d,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}
L'ensemble des solutions de l'in\'equation $Q(x)\leq 0$ est donc $S=\left]-\infty ; -\dfrac12 \right] \cup \Bigg] 2 ; + \infty \Bigg[$
\end{enumerate}
}



\Exop{
On consid\`ere les fonctions $f$, $g$ et $h$ d\'efinies sur $\R$ par : 
$$f(x)=x^2-3x \qquad\qquad g(x)=x^3-3x \qquad \qquad h(x)=x-3 $$
\begin{enumerate}
 \item Etablir à la calculatrice un tableau de valeurs pour les trois fonctions, allant de $-2$ \`a  $4$, de pas $0.5$.
 \item Tracer dans un m\^eme rep\`ere orthogonal les repr\'esentations graphiques  $\mathscr C_f$, $\mathscr C_g$ et $\mathscr C_h$ 
respectivement des fonctions $f$, $g$ et $h$ sur $[-2;4]$. \\
\textit{Unités graphiques} :  2 cm pour l'axe des abscisses, 1 cm pour l'axe des ordonnées.
\item Est-il vrai que le point de coordonn\'ees $(0.5;-1.3)$ appartient \`a $\mathscr C_g$ ? Justifier.
\item Etablir les tableaux de signes de $f$, $g$ et $h$ (on factorisera éventuellement les expressions). 
\item \`A l'aide des graphiques, d\'eterminer les coordonn\'ees des points d'intersection de $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_h$
\item Comparaison des fonctions $f$ et $g$ :
\begin{enumerate}
 \item \`A l'aide du graphique,  d\'eterminer les coordonn\'ees des points d'intersection de $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$
\item Pour avoir plus de pr\'ecision, on se propose de retrouver ces r\'esultats par le calcul :
\begin{enumerate}
 \item R\'esoudre l'\'equation $f(x)=g(x)$
 \item En d\'eduire, par le calcul, les coordonn\'ees des points $A$ et $B$ d'intersection de $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$
\end{enumerate}
\item Sur quel(s) intervalle(s) a-t-on $f\leq g$ ? 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}



\Exop{
On donne la fonction $h$ définie par $h(x)=\left(x +3\right)^2-4$.
\begin{enumerate}
 \item Quel est l'ensemble de d\'efinition de la fonction $h$ ?
 \item Tracer la courbe représentative de la fonction $h$ sur $[-6;0]$ (unité graphique : 1 cm sur chaque axe).
 \item Factoriser $h(x)$ et vérifier que, pour tout $x\in D_h$, on a $h(x)=(x+1)(x+5)$.
 \item Développer la forme 1 et vérifier que, pour tout $x\in D_h$, on a $h(x)=x^2+6x+5$
 \item En choissisant la forme la plus appropriée de $h$, répondre aux questions suivantes :
\begin{enumerate}
 \item Calculer l'image de 0 puis celle de $-3$ par $h$.
 \item Calculer la valeur exacte de $h(\sqrt{2})$ (calculs d\'etaill\'es). 
 \item \begin{enumerate}
 \item Déterminer par le calcul les \'eventuels ant\'ec\'edents de 0 par $h$. 
 \item En déduire le tableau de signe de $h$ et résoudre $h(x) \leq 0$.
\end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item D\'eterminer s'ils existent, les ant\'ec\'edents de $-4$ par $h$.
 \item En déduire alors à l'aide du graphique les solutions de $h(x) \geq -4$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
 \item D\'eterminer s'ils existent, les ant\'ec\'edents de $5$ par $h$.
 \item En déduire alors à l'aide du graphique les solutions de $h(x) \geq 5$
\end{enumerate}
       \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exos[Hyperbole]{8-13 p 120 + 15-17-18-19-26-28-29-31 p 121 +  34-35 p 123 + 46-48-49-50-51 p 125}

\newpage
\section{Un peu d'algo : les boucles Si et Pour}

\begin{multicols}{2}
\Exop{
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x)=2x^2-x+1$ et $g(x)=\dfrac{3x+1}{2x-1}$.
\begin{enumerate}
 \item Quel est l'ensemble de définition de $f$ ? \\
Celui de $g$ ?
 \item \textbf{Boucle Si}.
\begin{enumerate}
 \item Que fait l'algorithme 1 ?
 \item Ecrire un algorithme similaire pour la fonction $g$ (en prenant soin de traiter à part le cas de la valeur interdite)
\end{enumerate}
 \item \textbf{Boucle Pour.}
\begin{enumerate}
\item Que fait l'algorithme 2 ?
 \item Ecrire un algorithme qui donne un tableau de valeurs de $g$, pour $x$ allant de $-2$ à $3$, avec un pas de $0.5$
 (avec pour réponse \og valeur interdite \fg\, quand nécessaire). 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\Exop{
On considère la fonction $f$ définie sur $[-2;4]$ par :
$$f(x)=\left\{\begin{array}{lll}
               x+1 & \text{si} & x\in[-2;1] \\
	-x^2+1 & \text{si} & x\in]1;4]
              \end{array}\right.$$
\begin{enumerate}
 \item Ecrire un algorithme qui permette de calculer l'image par $f$ d'un nombre $x$.
 \item Construire la courbe représentative de $f$.
\end{enumerate}
}
\Algo{9cm}{
\Var{
$x$, $y$ et $a$ sont des nombres réels
}
\Deb{
Entrer $x$ et $y$ \\
$a$ prend la valeur $2x^2-x+1$\\
\IfThenElse{$y==a$}{Afficher \og Le point $(x;y)$ appartient à la courbe représentative de $f$\fg}{
Afficher \og Le point $(x;y)$ n'appartient pas à la courbe représentative de $f$\fg} 
}
}
\Algo{7cm}{
\Var{
$x$, $y$ et $i$ sont des nombres réels
}
\Deb{
Entrer $x$ \\
\For{$i=-3$ \textbf{à} $5$}{
$y$ prend la valeur $2x^2-x+1$\\
Afficher $(x;y)$\\
$i$ prend la valeur $i+1$
}
}
}
 

\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
\Exop{On considère l'algorithme 3 :
\begin{enumerate}
 \item Faire fonctionner cet algorithme pour $x=-2$, $x=1$ et $x=3$.
 \item Cet algorithme définit une fonction $f$.
\begin{enumerate}
 \item Donner l'ensemble de définition de $f$.
 \item Exprimer $f(x)$ en fonction de $x$.
 \item Représenter graphiquement la fonction $f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\Algo{7cm}{
\Var{
$x$ et $y$ sont des nombres réels
}
\Deb{
Entrer $x$ \\
\IfThenElse{$x< 1$}{$y \leftarrow x^2 $}{$y \leftarrow 2x $} \\
Afficher $y$
}
}

\end{multicols}








\end{document}