\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 2 : La t\^ete dans les \'etoiles }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2010-2011}
\usepackage{pifont}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages

\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{La t\^ete dans les \'etoiles}	
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\input macro_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2cm}

\setcounter{NumLecon}{2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune



\debutCha{swim.eps}{Swim}{Caribou}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{
 Depuis ses débuts sous le nom de Manitoba,
 le canadien Dan Snaith n’en finit plus de sonder en profondeur l’électro-pop. 
Passé l’expérience Manitoba, Dan s’est accaparé les commandes du groupe Caribou. 
groupe qui n’a jamais cherché à écrire la pop-song parfaite, celle que l’on se prend à fredonner dans la rue.
 La démarche pop et la dimension psychédélique du groupe se concentre sur la structure chirurgicale 
des morceaux. Il y a cette impression tenace de tenir avec l’album \textit{Swim} l’alchimie parfaite entre les
 expérimentations audacieuses d’Animal Collective et les comptines électronica de Four Tet.
 Caribou atteint ici un niveau insoupçonné d’homogénéité et semble parvenir à une sorte de plénitude. 
\textit{Swim} se révèle plus sombre que ses prédécesseurs, mais jamais plombant,
 notamment sur l’électro 80’s d'un Leave House chancelant et sur le fantastique Found Out dont 
les trois minutes d’électro-pop risquent fortement de parasiter durablement vos pensées par la force d'un 
thème d'une simplicité désarmante.\\
Caribou signe là un brillant album de pop électronique ingénieuse et démontre une fois de plus tout le génie 
de Dan Snaith. Il n’en reste pas moins que Caribou est un groupe prenant toute sa mesure en live où ses 
prestations psychédéliques révèlent tout leur pouvoir hypnotique et il y a fort à parier qu'avec ce nouvel 
album, les prochains concerts vont être sublimés. }{0.4}{0.4}
\setcounter{NumLecon}{3}

\TITRE{espace.eps}{0.15}

\begin{abstract}
Nous allons tenter \`a travers ce chapitre de nous familiariser avec ce que l'on appelle la dimension $3$ : l'espace.\newline
Une des plus grandes difficult\'es sera de parvenir \`a voir des figures spatiales, alors qu'elles sont trac\'ees sur une feuille (donc dans un plan), c'est-\`a-dire  en dimension $2$.\newline
Nous rappellerons quelques r\`egles de perspective cavali\`ere, ainsi que les pi\`eges qu'il faudra \'eviter.\newline
L'\'el\`eve curieux peut se demander si on peut aller plus loin dans les dimensions... En effet, durant la scolarit\'e, on ne cesse d'augmenter le nombre de dimension, $1$ avec les droites, $2$ avec la g\'eom\'etrie plane et $3$ avec l'espace. Et bien oui ! On peut d\'efinir des espaces de dimension $4$, le plus connu \'etant l'espace-temps. Il devient difficile par contre de repr\'esenter de telles g\'eom\'etries...\newline
On peut aussi se demander si la perspective cavali\`ere est la seule mani\`ere de repr\'esenter l'espace. La r\'eponse est non, en peinture il n'est pas rare de voir une autre mani\`ere de repr\'esenter l'espace : la perspective parall\`ele.
\end{abstract}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours
\section{Bases de la géométrie dans l'espace}

\noindent \textit{Cette partie se construit tout au long d'une activité, consistant à étudier un tétraèdre et sa construction en origamie.
}

\subsection{Les solides : construction, représentations, volume}
\Act{\textbf{Construction d'un tétraèdre régulier en origamie}
\begin{enumerate}
 \item Visionner le film de la construction d'un solide en origamie, sur le site de 
\href{http://bidouillesetmathscollege.blogspot.com/2009/11/activite-geometrie-dans-lespace.html}{Bricomath}.
 \item Combien de faces possède le solide construit ? Quel est alors sa nature ?
 \item Grâce à la série de schémas fournie ci-dessous, construire vous-même ce solide.
 \item Conjecturer la nature des faces de ce solide (nous le démontrerons plus tard).\\
\textit{On parle de tétraèdre régulier.}
% \item A quelle étape de la construction apparaît la première face du solide ?
 \item Construire deux patrons différents de tétraèdre régulier de côtés 4 cm.
 \item Représenter un tétraèdre régulier en perspective cavalière.
\end{enumerate}
}

 \psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
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\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
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}
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\pspolygon(0.0000,0.0000)(21.4000,0.0000)(21.4000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)

\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
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\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
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}
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\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
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\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
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}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(21.4000,0.0000)(21.4000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](10.7000,29.7000)(10.7000,0.0000)

\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
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\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
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\pspolygon(21.4,12.9365)(21.4000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)
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\quad
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\psline[linestyle=dashed](10.7000,29.7000)(10.7000,0)
\endpsclip
\end{pspicture*}\\

\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
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\psline[linestyle=dashed](0.000,23.7635)(10.7000,16.7635)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
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\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
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\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
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\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
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\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,0.0000)(10.7000,29.7000)(0.0000,23.7635)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](5.35,20.2635)(10.7000,16.7635)
\pspolygon(0.000,23.7635)(5.35,20.2635)(10.700,29.7)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
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}
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\psline(0.0,10.7635)(10.7000,16.7635)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
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}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
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\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,0.0000)(10.7000,16.76350)(0.0000,10.7635)(0.0000,0.0000)
\psline(0.0,10.7635)(10.7000,4.7635)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
%\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(21.4,12.9365)
\pspolygon(0.0000,-2.0000)(10.7000,4.76350)(0.0000,10.7635)(0.0000,-2.0000)
\psline(3.6,0)(10.7,0)(10.7000,4.7635)
\endpsclip
\end{pspicture*}\\


\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
%\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(21.4,12.9365)
\pspolygon(0.0000,-2.0000)(10.7000,4.76350)(0.0000,10.7635)(0.0000,-2.0000)
\psline(3.6,0)(6.5,7.2)(10.7000,4.7635)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
%\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(21.4,12.9365)
\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,0)(10.70000,29.7)(0.0000,29.7000)(0,0)
\psline[linestyle=dashed](3.6,0)(10.7000,4.7635)(0,10.7635)(10.7,16.7635)(0,23.7635)(10.7,29.7)
\endpsclip
\end{pspicture*}\\



\noindent La géométrie élémentaire de l'espace  est née du souci d'étudier les propriétés de 
l'espace dans lequel nous vivons. Les objets élémentaires de cette 
géométrie sont les points, les droites et les plans. On considère ces notions comme suffisamment évidentes pour ne pas les définir ici.\\
Rappelons tout de même qu'un plan est représenté en général par un 
parallélogramme, censé représenter un rectangle en "perspective". Il 
ne s'agit là que d'une représentation de l'objet théorique "plan" qui 
n'a pas d'épaisseur et illimité dans toutes les directions (comme la droite est représentée par un segment).\\

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.1}\\		
\end{center}


\Cadre[En perspective cavalière : ]{
\begin{enumerate}
\item Les segments visibles sont dessin\'es en traits pleins ; les autres sont dessin\'es en pointill\'es.
\item \textbf{Conservation de l'alignement et du parallélisme} :
\begin{itemize}
       \item Des points align\'es sont repr\'esent\'es par des points align\'es.\\
\textbf{Attention !} Des points alignés sur le dessin ne le sont pas forcément dans la réalité !
\item Deux droites de l'espace parall\`eles (dans un plan) sont repr\'esent\'ees par deux droites parall\`eles. 
\item Des droites concourantes (dans un plan) sont repr\'esent\'ees par des droites concourantes.\\
 \textbf{Attention !} Des droites concourantes sur le dessin ne le sont pas forcément dans la réalité !
      \end{itemize}
\item \textbf{Conservation des proportions de distance} :
\begin{itemize}
 \item Le milieu d'un segment est repr\'esent\'e par le milieu du segment dessin\'e. 
\item Dans un plan de face, une figure est repr\'esent\'ee \`a l'\'echelle, dans les autres plans, les tailles sont r\'eduites proportionnellement.\\
 \textbf{Attention !} Les angles ne sont pas conservés (sauf dans le plan de face)
\end{itemize}
\end{enumerate}
}

\Rq{Ainsi un rectangle pourra être représenté par un parallélogramme en perspective cavalière.\\
L'énoncé et le codage seront donc importants pour comprendre une figure.}

\Expls{\vspace{-2mm}
\begin{multicols}{2}
$ABCDEFGH$ est un pavé droit.\\
Les segments $[AD]$, $[HD]$ et $[DC]$, non visibles, ont été représentés en pointillés contrairement au segment $[AB]$.\\
Les droites $(AB)$ est $(DC)$ sont parallèles et sont représentées comme deux droites parallèles. \\
Notons que les droites $(HD)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires mais ne sont pas représentées comme telles.
 \vspace{-10mm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{cavalier.eps}		
\end{center}
\end{multicols}
\vspace{-10mm}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{cavalier2.eps}		
\end{center}
\vspace{-10mm}
Dans ce deuxième exemple, $ABCDEFGH$ est un cube.\\
On peut observer que les droites non sécantes $(EC)$ et $(AH)$ se coupent pourtant sur le dessin.\\
De plus, aucune des arêtes perpendiculaires dans la réalité ne sont représentées comme telles, puisque le cube n'est pas 
observé \og de face \fg.
\end{multicols}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
  \includegraphics[scale=0.42]{tetraS.eps} 
\end{center}
Les points $I$, $J$ et $K$ sont les milieux respectifs des ar\^etes $[BC]$, $[AB]$ et $[SB]$.\\
Le point $G$ est le centre de gravit\'e du triangle $SAB$. Il est donc situé aux $\dfrac23$ de la m\'ediane $[SJ]$ en partant du sommet $S$. Les points $S$, $J$ et $G$ sont align\'es. \\
De m\^eme $H$ est le centre de gravit\'e du triangle $SBC$. Il est situé aux $\dfrac23$ de la m\'ediane $[SI]$.\\
Les droites $(AC)$ et $(SB)$ ne sont pas concourantes dans l'espace, mais elles se coupent sur le dessin.
\end{multicols}
}

\Exos{n$^{\circ}$ 8 + 9 p 31}


\Cadre[Les patrons]{Un patron de solide est obtenu en plaçant toutes ses faces dans un même plan.}

\Rqs{
\item Un même solide peut avoir plusieurs patrons possibles (non superposables).
\item Certains solides n'ont pas de patrons : c'est le cas de la sphère.
}


\Expl{Représenter deux patrons de pavé droit de dimensions 2 cm, 3 cm et 4 cm (cf p 290)}

\Exos{n$^{\circ}$ 1 + 5 + 10 p 30}

\Cadre[Quelques solides et leur volume (cf formulaire p 290-291)]{
\begin{minipage}{8cm}
\psset{unit=0.7}
   \begin{center}
      \textbf{Parallélpipède rectangle} : $V =\text{aire de la base} \times h$
$$V = L\times l \times h$$
      \begin{pspicture}(0,-1.2)(5,3.5)
         \pspolygon(0,0)(4,0)(5,1)(5,3)(1,3)(0,2)
         \psline(0,2)(4,2)(4,0)
         \psline(4,2)(5,3)
         \psline[linestyle=dashed](0,0)(1,1)(5,1)
         \psline[linestyle=dashed](1,1)(1,3)
      \end{pspicture} \\
      \textbf{Sphère} : 
$V= \dfrac{4}{3}\times\pi\times r^3$\\
      \begin{pspicture}(-1,-1)(5,5.2)
         \pscircle(2.5,2.5){2.5}
         \psellipticarc[linestyle=dashed](2.5,2.5)(2.5,1){0}{180}
         \psellipticarc(2.5,2.5)(2.5,1){180}{0}
         \rput(2.5,2.1){$O$}
         \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue]{<->}(2.5,2.5)(5,2.5)
         \psdot(2.5,2.5)
         \rput(3.75,2.2){\textcolor{blue}{$r$}}
      \end{pspicture} \\
      \textbf{Cylindre de révolution} : $V =\text{aire de la base} \times h$ 
$$V= \pi\times r^2\times h$$
      \begin{pspicture}(-2,0)(5,6.5)
         \psline(4,1)(4,5)
         \psline(0,1)(0,5)
         \psellipse(2,5)(2,1)
         \psellipticarc(2,1)(2,1){180}{0}
         \psellipticarc[linestyle=dashed](2,1)(2,1){0}{180} 
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue]{<->}(2,1)(4,1)
         \rput(3,1.2){\textcolor{blue}{$r$}}
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue]{|-|}(5,1)(5,5)  
         \rput(5.3,3){\textcolor{blue}{$h$} }
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
\psset{unit=0.7}
   \begin{center}
   \textbf{Pyramide} : $V =\dfrac13\times \text{aire de la base}\times h$\\
      \begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(5,6.5)
         \pspolygon(1,0)(4,0)(5,1)(2.5,6)(0,1)
         \psline(1,0)(2.5,6)(4,0)
         \psline[linestyle=dashed](0,1)(1.3,2)(3.7,2)(5,1)
         \psline[linestyle=dashed](1.3,2)(2.5,6)
         \psline[linestyle=dashed](3.7,2)(2.5,6)
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue](2.5,6)(2.5,1)
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue](2.8,1)(2.8,1.3)(2.5,1.3)
         \rput(2.7,2.8){\textcolor{blue}{$h$}}
      \end{pspicture} \\
      \textbf{Cône} : $V =\dfrac13 \times \text{aire de la base} \times h$
$$V=\dfrac13 \times \pi\times r^2\times h$$
      \begin{pspicture}(-1.8,0)(5,6.5)
         \psline(4,1)(2,6)(0,1)
         \psellipticarc(2,1)(2,1){180}{0}
         \psellipticarc[linestyle=dashed](2,1)(2,1){0}{180} 
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue](2,1)(2,6)
         \rput(2.5,3.5){\textcolor{blue}{$h$}}
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue]{<->}(2,1)(4,1)
         \rput(3,1.2){\textcolor{blue}{$r$}}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
}\\

\Ptec{Lorsque l'on multiplie par un nombre $k>0$ les dimensions d'un solide, le volume du solide est multiplié par $k^3$.}

\Exos{n$^{\circ} 34$ p 33}

\newpage
\Exop{
On a écrit un algorithme à l'aide du logiciel Algobox. Voici ce qui a été saisi :}
\begin{center}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{cadrecode}
\begin{small}
\begin{verbatim}
1   VARIABLES
2     Rayon EST_DU_TYPE NOMBRE
3     Hauteur EST_DU_TYPE NOMBRE
4     Volume EST_DU_TYPE NOMBRE
5   DEBUT_ALGORITHME
6     AFFICHER "Entrer le rayon"
7     LIRE Rayon
8     AFFICHER "Entrer la hauteur"
9     LIRE Hauteur
10    Volume PREND_LA_VALEUR Math.PI*pow(Rayon,2)*Hauteur/3
11    AFFICHER "Le Volume est égal à "
12    AFFICHER Volume
13  FIN_ALGORITHME
\end{verbatim}
\end{small}
\end{cadrecode}
\end{minipage}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Que fait cet algorithme ?
\item Quelles sont les variables en entrée ?
\item Quelles sont les variables en sortie ?
\item En s'inspirant de l'exercice précédent, écrire un algorithme affichant :
\begin{enumerate}
\item Le volume d'une boule lorsque l'on saisit le rayon ;
\item L'aire latérale totale d'un cylindre de révolution lorsque l'on saisit le rayon du disque de base et la hauteur.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{Axiomes et premières propriétés}

\noindent En mathématiques, le mot axiome désignait une proposition évidente en soi dans la tradition 
mathématique grecque, comme dans les Éléments d'Euclide. Aujourd'hui, on l'utilise en logique 
mathématique pour désigner une vérité première, à l'intérieur d'une théorie. L'ensemble des axiomes d'une 
théorie, appelé axiomatique, doit être non-contradictoire ; c'est sa seule contrainte. 
Un axiome ne peut être remis en cause à l'intérieur de cette théorie et représente  
donc plutôt un point de départ dans un système de logique. \\
L'axiomatique peut être choisie arbitrairement mais la pertinence
d'une théorie en dépendra. En réalité, c'est de la non 
cohérence de son interprétation que vient la réfutation d'une théorie et, par voie de 
conséquence, de son axiomatique. L'axiome est donc à la logique mathématique, ce qu'est le postulat à la 
physique théorique.

\Act{Activité 2 partie 1 p 23 (visualiser le pavé comme une salle de classe).\\
Rajouter à l'oral un plan déterminé par deux droites et un par une droite et un point.}

\Cadre[Axiomes d'incidences]{
En géométrie dans l'espace, il s'agit des 
règles qui fournissent les relations entre les points, les droites et les plans. 
\begin{itemize}
 \item Deux points \textbf{non confondus} sont nécessaires et suffisent pour définir et nommer une droite.
 \item Trois points \textbf{non alignés} sont nécessaires et suffisent pour définir et nommer un plan.
 \item Si $M$ et $N$ sont deux points d'un plan $\mathscr P$, alors tous les points de la droite $(MN)$ appartiennent à $\mathscr P$.
\end{itemize}
}


\Rqs{\item On nomme un plan par trois points non alignés entre parenthèses (ceci permet de le différencier du triangle).
 \item Un plan peut donc être déterminé par l'une des conditions suivantes~:\\[1em] 
\begin{tabular}{ccc}
	 trois points non alignés & deux droites sécantes & une droite et un 
	 point extérieur à celle-ci \\
	\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.3}	 	
		  & 
	\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.4}	 	
	      &
	\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.5}	 	 	
	       \\\\
\end{tabular}\\}

\Defc{Quand des \'el\'ements de l'espace appartiennent \`a un m\^eme plan, on dit que ces \'el\'ements sont
 \textbf{coplanaires}.}

\Rq{Deux ou trois points de l'espace sont toujours coplanaires (il existe toujours un plan passant par ces deux ou trois points).}\\

\Thc{Lorsque tous les \'el\'ements d'un probl\`eme sont coplanaires, toutes les r\`egles de la g\'eom\'etrie plane s'appliquent (Thal\`es, Pythagore ...)}

\Rq{Dans un probl\`eme de g\'eom\'etrie dans l'espace, on essaiera donc toujours de se placer dans un plan (que l'on prendra la peine de pr\'eciser) pour raisonner.}
 

\section{Rappel de la géométrie plane}
\subsection{Etude d'une face du tétraèdre construit en origamie}
\Act{
\textit{Dans cette partie, nous allons démontrer que les faces obtenues lors de la construction du tétraèdre en origamie sont des
 triangles équilatéraux. On prendra soin de coder la figure au fur et à mesure.}
}
\textbf{Rappels de la construction par des schémas : }\\

 \psset{xunit=0.08cm , yunit=0.08cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(21.4000,0.0000)(21.4000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)

\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
 \psset{xunit=0.08cm , yunit=0.08cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,0.0000)(10.7000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)

\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
 \psset{xunit=0.08cm , yunit=0.08cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(21.4000,0.0000)(21.4000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](10.7000,29.7000)(10.7000,0.0000)

\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
 \psset{xunit=0.08cm , yunit=0.08cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,18.1865)(21.4,12.9365)
\pspolygon(21.4,12.9365)(21.4000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](10.7000,29.7000)(10.7000,18.1865)
\uput{0.0500}[170.0000](0.0000,0.0000){A}
\uput{0.2000}[120.0000](10.4000,18.1865){B'}
\uput{0.1000}[0.0000](21.4000,12.9365){C}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
 \psset{xunit=0.08cm , yunit=0.08cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(10.7000,18.1865)(21.4,12.9365)
\pspolygon(0.0000,0.0000)(21.4000,0.0000)(21.4000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](10.7000,29.7000)(10.7000,0)
\uput{0.0500}[170.0000](0.0000,0.0000){A}
\uput{0.2000}[120.0000](10.4000,18.1865){B'}
\uput{0.1000}[0.0000](21.4000,12.9365){C}
\uput{0.1000}[0.0000](21.4000,0){B}
\uput{0.1000}[-90.0000](10.7000,0){E}
\uput{0.1000}[130.0000](10.7000,6.9365){D}
\endpsclip
\end{pspicture*}


\begin{enumerate}
 \item \textbf{Utilisation d'une symétrie :}
\begin{enumerate}
 \item Grâce à la construction, que pouvez-vous dire sur $B$ et $B'$ ?
 \item Que pouvez-vous en déduire sur les mesures de :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item $[BD]$ et $[B'D]$ ? 
\item $[BC]$ et $[B'C]$ ?
\item  $\widehat{BDC}$ et $\widehat{B'DC}$ ?
\item $\widehat{BCD}$ et $\widehat{B'CD}$ ?
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
 \item \textbf{Utilisation des angles formés par deux parallèles et une sécante :}
\begin{enumerate}
 \item Grâce à la construction, que pouvez-vous dire sur $(BC)$ et $(B'D)$ ?
\item  Que pouvez-vous en déduire sur les mesures de $\widehat{BCD}$ et $\widehat{B'DC}$ ?
\item Que pouvez-vous en déduire sur la nature du triangle $B'CD$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Utilisation de théorèmes dans le triangle $ABC$ :}
\begin{enumerate}
 \item Expliquez pourquoi $D$ est le milieu de $[AC]$.
 \item Que pouvez-vous en déduire sur les longueurs $AD$, $DC$ et $BD$ ?
 \end{enumerate}
\item Conclure sur la nature du triangle $B'CD$.
\end{enumerate}

\subsection{Quadrilatères}

\Defc{Un \textbf{parallélogramme} est un quadrilatère qui a ses côtés opposés deux à deux parallèles.
}

\Ptec{
\begin{itemize}
 \item Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.
 \item Les côtés d'un parallélogramme sont deux à deux de même mesure.
\end{itemize}
}

\Cadre[Reconnaître un parallélogramme]{
$ABCD$ est un quadrilatère.
\begin{enumerate}
 \item Si les côtés de $ABCD$ sont deux à deux parallèles alors $ABCD$ est un parallélogramme.
\item Si les diagonales de $ABCD$ se coupent en leur milieu, alors $ABCD$ est un parallélogramme.
\item Si $ABCD$ est un quadrilatère non croisé et que ses côtés sont deux à deux de même longueur, alors $ABCD$ est un parallélogramme.
\item Si $ABCD$ est un quadrilatère non croisé et qu'il a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors $ABCD$ est un parallélogramme.
\end{enumerate}
}\\

\Defc{
Un \textbf{rectangle} est un parallélogramme avec un angle droit.
}

\Ptec{
\begin{itemize}
 \item Un rectangle possède donc les propriétés du parallélogramme.
 \item Les diagonales d'un rectangle sont de même longueur.
 \item Un rectangle possède 4 angles droits.
\end{itemize}
}\\

\Defc{
Un \textbf{losange} est un parallélogramme avec deux côtés consécutifs de même longueur.
}

\Ptec{
\begin{itemize}
 \item Un losange possède donc les propriétés du parallélogramme.
 \item Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires.
 \item Un losange possède quatre côtés de même mesure.
\end{itemize}
}\\

\Defc{
Un \textbf{carré} est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange (donc un parallélogramme).
}

\Ptec{
Un carré possède donc les propriétés du parallélogramme, du rectangle et du losange.
}

\Expl{Dessiner à la règle et au compas un quadrilatère quelconque, un parallélogramme, un rectangle, un losange et un carré.}

\subsection{Triangles}
\subsubsection{Droites remarquables du triangle}

\begin{minipage}{10cm}
\Defc{
   La \textbf{médiatrice} du segment $[AB]$ est la droite coupant ce segment perpendiculairement en son milieu.
}

\Ptec{
   Les trois médiatrices des côtés d'un triangle sont concourantes en un point $O$ qui est le \textbf{centre du cercle circonscrit} à ce triangle.
}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}

\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-2.3)(6.5,4.4)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](2,4)(0,0)(6,0)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.16,1.92)(1.25,2.08)(1.08,2.16)(1,2)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](3.87,1.87)(4,1.74)(4.13,1.87)(4,2)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](3.18,0)(3.18,0.18)(3,0.18)(3,0)
\psline[linecolor=zzttqq](2,4)(0,0)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(6,0)
\psline[linecolor=zzttqq](6,0)(2,4)
\psplot{-0.5}{6.5}{(--10-2*x)/4}
\psplot{-0.5}{6.5}{(--8-4*x)/-4}
\psline(3,-2.3)(3,4.4)
\pscircle(3,1){3.16}
%\psline(0,0)(1,2)
\psline(0.4,1.05)(0.6,0.95)
%\psline(1,2)(2,4)
\psline(1.4,3.1)(1.6,3.)
%\psline(4,2)(2,4)
\psline(2.95,2.92)(3.1,3.07)
\psline(2.90,2.97)(3.05,3.12)
%\psline(4,2)(6,0)
\psline(5.0,1.1)(4.85,0.95)
\psline(5.05,1.05)(4.9,0.9)
%\psline(3,0)(6,0)
\psline(4.45,0.11)(4.45,-0.11)
\psline(4.38,0.11)(4.38,-0.11)
\psline(4.52,0.11)(4.52,-0.11)
%\psline(3,0)(0,0)
\psline(1.57,-0.11)(1.57,0.11)
\psline(1.5,-0.11)(1.5,0.11)
\psline(1.43,-0.11)(1.43,0.11)
\rput[bl](1.9,4.08){$A$}
\rput[bl](-0.34,-0.08){$B$}
\rput[bl](6.14,-0.13){$C$}
\rput[bl](2.48,0.88){$O$}
\end{pspicture*}
\end{center}  
\end{minipage}

\Rqs{\item La médiatrice d'un segment $[AB]$ est l'ensemble des points du plan équidistants de $A$ et de $B$. \\
Autrement dit, un point $M$ appartient à la médiatrice de $[AB]$ si et seulement si $AM=MB$.
\item Sur la figure ci-dessus, on en déduit que $OA=OB=OC$.
\item Pour construire la médiatrice d'un segment $[AB]$ au compas, on construit un losange de \textit{diagonale} $[AB]$ 
(on trouve ses deux autres sommets, il est inutile de tracer les côtés). \\
La médiatrice de $[AB]$ est alors l'autre \textit{diagonale} du losange.
}


\begin{minipage}{10cm}
\Defc{
Dans un triangle $ABC$, la \textbf{médiane} issue du sommet $A$ est la droite passant par $A$ et par le milieu $I$ du côté opposé $[BC]$.
}

\Ptec{Les trois médianes d'un triangle sont concourantes en un point $G$ appelé \textbf{le centre de gravité} du triangle.
}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=4pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(6.4,4.3)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](2,4)(0,0)(6,0)
\psline[linecolor=zzttqq](2,4)(0,0)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(6,0)
\psline[linecolor=zzttqq](6,0)(2,4)
\psline(2,4)(3,0)
\psline(0,0)(4,2)
\psline(1,2)(6,0)
%\psline(0,0)(1,2)
\psline(0.4,1.05)(0.6,0.95)
%\psline(1,2)(2,4)
\psline(1.4,3.1)(1.6,3.)
%\psline(4,2)(2,4)
\psline(2.95,2.92)(3.1,3.07)
\psline(2.90,2.97)(3.05,3.12)
%\psline(4,2)(6,0)
\psline(5.0,1.1)(4.85,0.95)
\psline(5.05,1.05)(4.9,0.9)
%\psline(3,0)(6,0)
\psline(4.45,0.11)(4.45,-0.11)
\psline(4.38,0.11)(4.38,-0.11)
\psline(4.52,0.11)(4.52,-0.11)
%\psline(3,0)(0,0)
\psline(1.57,-0.11)(1.57,0.11)
\psline(1.5,-0.11)(1.5,0.11)
\psline(1.43,-0.11)(1.43,0.11)
\rput[bl](2.05,4.07){$A$}
\rput[bl](-0.32,-0.08){$B$}
\rput[bl](6.13,-0.12){$C$}
\rput[bl](2.8,1.6){$G$}
\rput[dl](3,-0.2){$I$}
\psdots(2.33,2.67)
\psdots(4.33,0.67)
\psdots(1.33,0.67)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}


\Rqs{
\item $G$ se trouve aux deux tiers de la médiane $[AA']$ en partant de $A$ : $AG=\dfrac{2}{3}AA'$.
\item Pour construire le milieu d'un segment $[AB]$ au compas, on construit en fait la médiatrice de $[AB]$ au compas, 
comme indiqué si dessus (inutile de la tracer, on ne demande que le milieu de $[AB]$).
}


\begin{minipage}{10cm}
\Defc{
Dans un triangle $ABC$, la \textbf{hauteur} issue de $A$ est la droite passant par $A$ et perpendiculaire au côté opposé $[BC]$.
}

\Ptec{Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point $H$ appelé \textbf{l'orthocentre} du triangle.
}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(6.4,4.3)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](2,4)(0,0)(6,0)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.12,2.24)(1.28,2.17)(1.36,2.32)(1.2,2.4)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](2.17,0)(2.17,0.17)(2,0.17)(2,0)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](2.88,3.12)(2.75,3)(2.88,2.88)(3,3)
\psline[linecolor=zzttqq](2,4)(0,0)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(6,0)
\psline[linecolor=zzttqq](6,0)(2,4)
\psline(2,4)(2,0)
\psline(0,0)(3,3)
\psline(1.2,2.4)(6,0)
\rput[bl](2.05,4.07){$A$}
\rput[bl](-0.32,-0.08){$B$}
\rput[bl](6.13,-0.12){$C$}
\rput[bl](2.16,1.4){$H$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{10cm}

\Defc{ 
   La \textbf{bissectrice} d'un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles égaux.
}

\Ptec{Les trois bissectrices sont concourantes en un point $I$ qui est le \textbf{centre du cercle inscrit} dans le triangle.
}

\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(6.4,4.3)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](2,4)(0,0)(6,0)
\psline[linecolor=zzttqq](2,4)(0,0)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(6,0)
\psline[linecolor=zzttqq](6,0)(2,4)
\psplot{-1.34}{6.64}{(-0--0.53*x)/0.85}
\psplot{-1.34}{6.64}{(-2.3--0.38*x)/-0.92}
\psplot{-1.34}{6.64}{(--2.61-0.99*x)/0.16}
\pscircle(2.41,1.49){1.49}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{-1.4099210495965755}{-0.7853981633974483}{0.6*cos(t)+2|0.6*sin(t)+4}\lineto(2,4)\closepath}
\parametricplot[linecolor=qqwuqq]{-1.4099210495965755}{-0.7853981633974483}{0.6*cos(t)+2|0.6*sin(t)+4}
\psline[linecolor=qqwuqq](2.25,3.57)(2.3,3.37)
\psline[linecolor=qqwuqq](2.20,3.55)(2.25,3.35)
\psline[linecolor=qqwuqq](2.3,3.59)(2.35,3.39)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{-2.0344439357957027}{-1.4099210495965755}{0.6*cos(t)+2|0.6*sin(t)+4}\lineto(2,4)\closepath}
\parametricplot[linecolor=qqwuqq]{-2.0344439357957027}{-1.4099210495965755}{0.6*cos(t)+2|0.6*sin(t)+4}
\psline[linecolor=qqwuqq](1.95,3.53)(1.9,3.33)
\psline[linecolor=qqwuqq](1.9,3.55)(1.85,3.35)
\psline[linecolor=qqwuqq](2,3.51)(1.95,3.31)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.5535743588970453}{1.1071487177940904}{0.6*cos(t)+0|0.6*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\parametricplot[linecolor=qqwuqq]{0.5535743588970453}{1.1071487177940904}{0.6*cos(t)+0|0.6*sin(t)+0}
\psline[linecolor=qqwuqq](0.3,0.38)(0.5,0.54)
\psline[linecolor=qqwuqq](0.33,0.33)(0.53,0.49)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.5535743588970453}{0.6*cos(t)+0|0.6*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\parametricplot[linecolor=qqwuqq]{0.0}{0.5535743588970453}{0.6*cos(t)+0|0.6*sin(t)+0}
\psline[linecolor=qqwuqq](0.45,0.15)(0.68,0.2)
\psline[linecolor=qqwuqq](0.47,0.1)(0.71,0.15)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{2.748893571891069}{3.141592653589793}{0.6*cos(t)+6|0.6*sin(t)+0}\lineto(6,0)\closepath}
\parametricplot[linecolor=qqwuqq]{2.748893571891069}{3.141592653589793}{0.6*cos(t)+6|0.6*sin(t)+0}
\psline[linecolor=qqwuqq](5.5,0.1)(5.3,0.15)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{2.356194490192345}{2.748893571891069}{0.6*cos(t)+6|0.6*sin(t)+0}\lineto(6,0)\closepath}
\parametricplot[linecolor=qqwuqq]{2.356194490192345}{2.748893571891069}{0.6*cos(t)+6|0.6*sin(t)+0}
\psline[linecolor=qqwuqq](5.6,0.3)(5.4,0.4)
\rput[bl](2.05,4.07){$A$}
\rput[bl](-0.31,-0.08){$B$}
\rput[bl](6.13,-0.1){$C$}
\rput[bl](2.46,1.65){$I$}
\end{pspicture*}
\end{center}  
\end{minipage}

\Rq{
Pour construire la bissectrice d'un angle $\widehat{ABC}$, on construit en fait un losange de \textit{côtés} $[AB]$ et $[BC]$ (on trouve
son dernier sommet, il est inutile de tracer ses côtés). La bissectrice de $\widehat{ABC}$ est la \textit{diagonale} du losange passant par $B$.
}

\Thc{
Dans un triangle $ABC$ isocèle en $A$, les droites remarquables du triangle issue de $A$ sont confondues.
}

\subsubsection{Le triangle rectangle}

\Ptec{Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. \\
Il s'agit du plus grand côté du triangle.}

\Rq{Tant que l'on n'a pas prouvé qu'un triangle est rectangle (ou que ce n'est pas dit dans l'énoncé), on ne peut pas parler
d'hypoténuse.
}


\Thc{
Dans un triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse est le centre du cercle circonscrit au triangle 
(c'est donc aussi le point de concours des médiatrices).\\
On peut donc en déduire que dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ avec $O$ le milieu de $[BC]$ on a 
$$OA=OB=OC$$
\textbf{Réciproque :}
Un triangle inscrit dans un demi-cercle avec pour côté un diamètre de ce cercle est un triangle rectangle 
(d'hypoténuse ce diamètre).
}

\noindent \textit{Faire une figure illustrant ce théorème.}

\Thc[Pythagore ($-580$ à $-500$)]{Si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ alors $BC^2=AB^2+AC^2$.\\
\textbf{Réciproque :} Si dans un triangle $ABC$ on a $BC^2=AB^2+AC^2$, alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.\\
\textbf{Contraposée :} Si dans un triangle $ABC$ on a $BC^2 \neq AB^2+AC^2$, alors le triangle $ABC$ n'est pas rectangle en $A$.
}

\Defc[Trigonométrie]{
Si $ABC$ est un triangle \textit{rectangle} en $A$ alors :
$$\cos \hat B = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{BA}{BC} \qquad \qquad 
\sin \hat B = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{CA}{CB} \qquad \qquad 
\tan \hat B = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}=\dfrac{CA}{BA} $$
}

\subsubsection{Triangles \og proportionnels \fg}

\Thc[des milieux]{
   \begin{itemize}
      \item La droite passant par les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté de ce triangle.
      \item Si une droite passe par le milieu d'un côté d'un triangle et est parallèle à un autre côté alors elle passe par 
le milieu du troisième côté du triangle.
   \end{itemize}
}

\Thc[Thalès ($-627$ à $-547$)]{
  Soit $ABC$ un triangle et $M$ et $N$ deux points appartenant respectivement aux droites $(AB)$ et $(AC)$, distincts de $A$.\\
Si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles  alors $\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{BC}{MN}$.\\
\textbf{Réciproque :} Si  $\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AN}$ et si les points $A$, $B$, $M$ et  $A$, $C$, $N$ 
sont alignés dans le même ordre alors les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles.
} 	


\subsection{Sym\'etries}

\Defc{
$M'$ est l'image du point $M$ par la \textbf{symétrie de centre $O$} signifie que $O$ est le milieu de $[MM']$.
}
 \bigskip

\begin{minipage}{7cm}
 \Ptec{La symétrie centrale conserve :
\begin{itemize}
 \item l'alignement, 
\item les longueurs, 
\item le parallélisme,  
\item les angles géométriques et orientés.
\end{itemize}
 }
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\psset{unit=1}
   \begin{pspicture}(-4,-0.5)(4,3)
      \pstGeonode[PosAngle=-90](0,1.5){O}
      \pstTriangle(1,0){A}(4,0){B}(2,2){C}
      \pstSymO[CodeFig=true, CodeFigColor=blue, PosAngle={40,170,-90}]{O}{A, B, C}[A', B', C']
      \pstLineAB[linecolor=red]{A'}{B'}
      \pstLineAB[linecolor=red]{C'}{B'}
      \pstLineAB[linecolor=red]{A'}{C'}
   \end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\Defc{
$M'$ est l'image du point $M$ par la \textbf{symétrie d'axe $\Delta$} signifie que la droite $\Delta$ est la médiatrice du segment $[MM']$.
}
\bigskip

\begin{minipage}{7cm}
 \Ptec{La symétrie axiale conserve :
\begin{itemize}
 \item l'alignement, 
\item les longueurs, 
\item le parallélisme,  
\item les angles géométriques.
\end{itemize}
Par contre, elle inverse les angles orientés.
}  
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\psset{unit=1}
   \begin{pspicture}(-4,-0.5)(4,3.2)
      \pstGeonode[PointName=none, PointSymbol=none](0,-0.5){O}(0,3.5){O'}
      \pstLineAB{O}{O'}
      \pstTriangle[PosAngleA=115](1,1){A}(4,0){B}(2,3){C}
      \psset{CodeFig=true, CodeFigColor=blue, linecolor=red, RightAngleSize=0.2}
      \pstOrtSym[SegmentSymbol=pstslash, PosAngle=50]{O}{O'}{A}
      \pstOrtSym[SegmentSymbol=pstslashh, PosAngle=-135]{O}{O'}{B}
      \pstOrtSym[SegmentSymbol=pstslashhh, PosAngle=90]{O}{O'}{C}
      \pstLineAB[linecolor=red]{A'}{B'}
      \pstLineAB[linecolor=red]{B'}{C'}
      \pstLineAB[linecolor=red]{C'}{A'}
   \end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}\\

\Expl{\textbf{Suite de l'activité : Etude du tétraèdre}\\
On appelle $\mathscr T$ le tétraèdre construit comme précédemment dans une feuille de dimension $18 \times 25$.\\ 
On aimerait connaître son volume.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Par construction, que vaut la hauteur $h$ d'une des faces ?
 \item En déduire la longueur $a$ des arêtes de $\mathscr T$.
 \item Calculer l'aire d'une face de $\mathscr T$.
       \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
         \item Représenter en perspective cavalière le solide $\mathscr T$. \\
 Appeller $IJK$ la face au sol et $L$ le sommet opposé. Placer le centre de gravité $G$ de $IJK$.
 \item Déterminer la longueur $IG$.
 \item \textit{On admet que le triangle $LGI$ est rectangle en $G$.}\\
Calculer la hauteur $LG$ du tétraèdre.
        \end{enumerate}
 \item En déduire le volume du tétraèdre.
\item Duplication du tétraèdre :
\begin{enumerate}
 \item En assemblant plusieurs des tétraèdres construits précédemment, construire un nouveau tétraèdre 
aux dimensions doublées.
 \item Quelle est la forme du \og trou \fg\, au coeur du nouveau tétraèdre ? 
 \item Quelle est le volume du trou ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Rqs{\item \og Etant donnée un carré, construire un carré d'aire double. \fg\\
Selon Platon, Socrate aurait proposé ce problème à un esclace afin de démontrer que la connaissance est en chacun de nous.
\item On raconte que pour enrayer une épidémie de peste qui décimait Athènes, les habitants de l'île de Délos décidèrent de doubler le volume de l'autel dédié
à Apollon. Ce n'est qu'au $XIX^e$ siècle que l'on a démontré que cette construction était impossible à la règle non graduée et au compas !}



\Exos{n$^{\circ}$ 6-7 p 30 + 28 - 29 - 30 - 32 - 33 p 33
}

\section{Positions relatives}

\Act{\textit{Repérer autour de nous}
\begin{enumerate}
      \item Combien de pieds faut-il au minimum pour qu'une chaise soit stable ?
 \item Repérer dans la salle de classe :
\begin{enumerate}
 \item Des plans qui sont parallèles ;
 \item Des plans qui se coupent. Quelle semble être leur intersection ?
 \item Des droites parallèles  et des droites sécantes ;
 \item Des droites qui ne semblent ni parallèles ni sécantes.
\end{enumerate}
      \end{enumerate}
}


\Cadre[De deux plans]{
 Soient $P$ et $Q$ sont deux plans de l'espace. Il n'existe que trois 
	possibilités :
	\begin{enumerate}
\item Les plans sont parallèles (confondus ou strictement). 
\begin{center}
\begin{tabular}{lc}
	\includegraphics[scale=0.8]{fig2c_espace.19}	 	
	      &
	\includegraphics[scale=0.8]{fig2c_espace.21}	 	 	
	       \\
	        parallèles confondus \qquad  & parallèles strictement 
\end{tabular}
\end{center}
\item Les plans ont un point commun $A$ et sont distincts. Alors ils sont sécants 
	suivant une droite passant par $A$.\\ Ainsi deux plans distincts 
	qui ont deux points communs $A$ et $B$ sont sécants suivant la droite $(AB)$
	\begin{center}
	\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.2}		
	\end{center}
	\end{enumerate}
}\\

\Cadre[Une droite et un plan]{
Soient  $d$ est une droite et $P$ un plan de l'espace. Il n'existe que trois possibilités :
\begin{enumerate}
	\item La droite est parallèle à une droite de ce plan 
(éventuellement elle-même). Alors la droite est parallèle au plan.
	\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
	\includegraphics[scale=0.8]{fig2c_espace.20}	 	
	      &
	\includegraphics[scale=0.8]{fig2c_espace.5}	 	 	
	       \\
	        parallèle strictement & droites incluses dans le plan
\end{tabular}
  \end{center}
	\item La droite et le plan ne sont pas parallèles. Ils n'ont qu'un point commun et sont dits sécants,
\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.8]{fig2c_espace.7}	 
			\end{center}	
\end{enumerate}
}\\


\Cadre[Deux droites]{
Soient $d$ et $d'$ deux droites de l'espace. Il n'existe que trois possibilités :
\begin{enumerate}
  \item  Il existe un plan contenant ces deux droites, elles sont dites coplanaires. \\
	 Elles sont alors soit sécantes ou soit parallèles (strictement ou confondues) dans ce plan.
\begin{center}
 \begin{tabular}{cc}
	\includegraphics[scale=0.8]{fig2c_espace.4}	 	
	      &
	\includegraphics[scale=0.8]{fig2c_espace.6}	 	 	
	       \\
	        deux droites sécantes & deux droites parallèles
\end{tabular}
\end{center}
	  \item  Il n'existe aucun plan contenant ces deux droites, elles 
	   sont dites non coplanaires (et elles non pas de points commun !)
	   \begin{center}
	    \includegraphics[scale=0.8]{fig2c_espace.7}		
	   \end{center}   	   
	\end{enumerate}
}

\Rq{Dans l'espace, 
\begin{itemize}
 \item Deux droites sans points commun ne sont pas forc\'ement parall\`eles ! Elles peuvent \^etre non coplanaires.
\item Deux droites qui ne sont pas parall\`eles n'ont pas toujours de point commun ! Elles peuvent \^etre non coplanaires.
\item Un plan est enti\`erement d\'eterminer par deux droites s\'ecantes.
\item Un plan est enti\`erement d\'eterminer par deux droites strictement parall\`eles.
\end{itemize}
}



\Exop{
\begin{multicols}{2}
$ABCD$ est un tétraèdre et $I$ est le milieu de $[AB]$. \\
Compléter les phrases mathématiques suivantes à l'aide des symboles $$\subset,\quad\in,\quad\notin,\quad\not\subset $$
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $I\dots (AB)$
\item $B\dots (CDI)$
\item $(CI)\dots (ABC)$
\item $D\dots (BI)$
\item $(AB)\dots (CBA)$
\item $(DI)\dots (BCI)$
\item $B\dots (ADI)$
\item $B\dots (IA)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(2,-2)(8.6,4.4)
\psline[linewidth=1.2pt](2.5,-1.4)(6.7,-1.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-1.7)(7.9,0.5)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.5,-1.4)(7.9,0.5)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-1.7)(4.2,3.8)
\psline[linewidth=1.2pt](4.2,3.8)(2.5,-1.4)
\psline[linewidth=1.2pt](4.2,3.8)(7.9,0.5)
\rput[bl](2.1,-1.6){$A$}
\rput[bl](6.9,-2){$B$}
\rput[bl](7.9,0.6){$C$}
\rput[bl](4.3,4){$D$}
\rput[bl](4.7,-1.4){$I$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}}


\Exop{
\begin{multicols}{2}
PRISME est un prisme droit à base triangulaire. Déterminer les positions relatives :
\begin{enumerate}
\item des droites $(RE)$ et $(MI)$.
\item des droites $(PI)$ et $(EM)$.
\item de la droite $(EM)$ et du plan $(IPS)$.
\item de la droite $(SR)$ et du plan $(PMR)$.
\item du plan $(IRP)$ et du plan $(IEM)$.
\end{enumerate}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.2,0.3)(8.3,3.7)
\psline[linewidth=1.2pt](0.7,3.2)(6.2,3.2)
\psline[linewidth=1.2pt](0.7,3.2)(0.7,0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](0.7,0.7)(6.2,0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.2,0.7)(6.2,3.2)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](0.7,3.2)(2.2,1.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](0.7,0.7)(2.2,1.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.2,1.9)(7.7,1.9)
\psline[linewidth=1.2pt](6.2,0.7)(7.7,1.9)
\psline[linewidth=1.2pt](6.2,3.2)(7.7,1.9)
\rput[bl](0.3,3.2){$R$}
\rput[bl](6.3,3.3){$M$}
\rput[bl](0.3,0.4){$P$}
\rput[bl](6.5,0.6){$S$}
\rput[bl](1.8,1.7){$I$}
\rput[bl](7.9,1.8){$E$}
\end{pspicture*}
\end{multicols}}

\Exop{$ABCDE$ est une pyramide, dont la base $BCDE$ est un 
quadrilatère tel que $(BC)$ et $(DE)$ ne sont pas parallèles.\\
$I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ celui de $[AC]$. $K$ est le point du segment $[AD]$ tel 
que $AK=\dfrac{3}{4}AD$.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la position relative :
\begin{enumerate}
 \item des droites $(IJ)$ et $(BC)$
 \item des droites$(JK)$ et $(CD)$
\end{enumerate}
\item Déterminer l'intersection :
\begin{enumerate}
       \item de la droite $(JK)$ et du plan $(BCD)$
 \item des plans $(ABC)$ et $(ADE)$.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exos{n$^{\circ}$ 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 p 31
}

\Cadre[Application : section d'un solide par un plan]{
Pour tracer la section d'un solide par un plan, il faut déterminer et tracer les intersections de ce plan avec toutes les faces du solide.
}

\begin{multicols}{2}
 \Expl{Soit $ABCD$ un tétraèdre. Le point $I$ est le milieu de $[AD]$. Le point $J$ est sur la face $ACD$ tel que $(IJ)$ ne soit pas parallèle à $(AC)$. \\
Tracer la section du tétraèdre $ABCD$ par le plan $(IJB)$.}
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(2.1,-2.1)(8.3,4.5)
\psline[linewidth=1.2pt](2.6,-0.7)(6.7,-1.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-1.7)(7.9,0.5)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.6,-0.7)(7.9,0.5)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-1.7)(4.2,3.8)
\psline[linewidth=1.2pt](4.2,3.8)(2.6,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](4.2,3.8)(7.9,0.5)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](6.7,-1.7)
\rput[bl](6.9,-2.1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](7.9,0.5)
\rput[bl](7.9,0.5){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](4.2,3.8)
\rput[bl](4.1,4){$A$}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=6pt](6.2,2)
\rput[bl](6.3,2.1){$I$}
\psdots[dotstyle=x, dotsize=6pt](6.3,0.7)
\rput[bl](6.3,0.8){$J$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](2.6,-0.7)
\rput[bl](2.1,-0.8){$B$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

\Sol{
\begin{multicols}{2}
$I$ et $J$ sont deux points du plan $(ACD)$, par conséquent :
$$(IJ)\subset (ACD) $$. Comme $B\notin(ACD)$ les plans $(IJB)$ et $(ACD)$ ne sont pas confondus, comme $I$ est commun aux deux plans, leur intersection est une droite : il s'agit de la droite $$(IJ)$$
La trace du plan $(IJB)$ sur la face $ACD$ est donc le segment $[IE]$ (où $E$ est le point d'intersection des droites $(IJ)$ et $(AC)$, tracée ci-dessous en rouge.\\
On démontre de la même manière que la trace du plan $(IJB)$ sur la face $ABD$ est le segment $[BE]$, puis que la trace du plan $(IJB)$ sur la face $ABD$ est le segment $[BI]$. \\
Ainsi la section du tétraèdre $ABCD$ par le plan $(IJB)$ est le triangle $BIE$, en rouge sur le schéma suivant :
\begin{center}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(2.2,-2.3)(8.6,4.4)
\psline[linewidth=1.2pt](2.6,-0.7)(6.7,-1.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-1.7)(7.9,0.5)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.6,-0.7)(7.9,0.5)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-1.7)(4.2,3.8)
\psline[linewidth=1.2pt](4.2,3.8)(2.6,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](4.2,3.8)(7.9,0.5)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](6.4,-0.9)(2.6,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=ccqqqq](6.2,2)(2.6,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](6.2,2)(6.4,-0.9)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](6.7,-1.7)
\rput[bl](6.9,-2.1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](7.9,0.5)
\rput[bl](7.9,0.5){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](4.2,3.8)
\rput[bl](4.1,4){$A$}
\psdots[dotstyle=x](6.2,2)
\rput[bl](6.3,2.1){$I$}
\psdots[dotstyle=x](6.3,0.7)
\rput[bl](6.3,0.8){$J$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](2.6,-0.7)
\rput[bl](2.3,-0.8){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](6.4,-0.9)
\rput[bl](6.4,-0.8){$E$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols} }

\Exop{
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{Tetra1.eps}
 \end{center}
 On considère le tétraèdre $ABCD$ et $E$, $F$, $G$ trois points tels que 
$E\in[AD]$, $F\in[BD]$ et $G\in[CD]$, comme sur la figure ci-dessus.\\
Nous allons chercher à dessiner l'intersection du plan $(EFG)$ avec chacune des faces du tétraèdre.
\begin{enumerate}
 \item Quelle est l'intersection de la face $ABD$ et du plan $(EFG)$ ?
 \item Quelle est l'intersection de la face $BCD$ et du plan $(EFG)$ ?
 \item Quelle est l'intersection de la face $ACD$ et du plan $(EFG)$ ?
 \item Quelle sont les positions relatives des droites :
\begin{itemize}
 \item $(EF)$ et $(AB)$ ?
\item $(GF)$ et $(CB)$ ?
\end{itemize}
\item En notant $I$ l'intersection entre $(EF)$ et $(AB)$ et $J$ celle entre $(GF)$ et $(CB)$, expliquer pouquoi la droite d'intersection
entre les plans $(EFG)$ et $(ABC)$ est la droite $(IJ)$ ?
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Exop{
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{Tetra2.eps}
 \end{center}
 On considère le tétraèdre $ABCD$ et $E$, $F$, $G$ trois points tels que 
$E\in[AD]$, $F\in[BD]$ et $G\in(BCD)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Nous allons chercher à dessiner l'intersection du plan $(EFG)$ avec chacune des faces du tétraèdre $ABCD$.
\begin{enumerate}
 \item Quelle est l'intersection de la face $ABD$ et du plan $(EFG)$ ?
 \item Quelle est l'intersection de la face $BCD$ et du plan $(EFG)$ ? (Créer un point si besoin)
 \item Quelle est l'intersection de la face $ACD$ et du plan $(EFG)$ ? 
 \end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Exop{
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{Tetra3.eps}
 \end{center}
 On considère le tétraèdre $ABCD$ et $E$, $F$, $G$ trois points tels que 
$E$ et $F$ sont dans $(ABD)$ et $G\in[CD]$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du tétraèdre par le plan $(EFG)$.
\end{multicols}
}


\Exop{
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{Tetra4.eps}
 \end{center}
 On considère le tétraèdre $ABCD$ et $E$, $F$, $G$ trois points tels que 
$E$ et $F$ sont dans $(ACD)$ et $G\in(BCD)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du tétraèdre par le plan $(EFG)$.
\end{multicols}
}

\Exop{
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{Tetra5.eps}
 \end{center}
 On considère le tétraèdre $ABCD$ et $E$, $F$, $G$ trois points tels que 
$E$ et $F$ sont dans $(ABC)$ et $G\in(BCD)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du tétraèdre par le plan $(EFG)$.
\end{multicols}
}


\Exop{
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(15.1,9.1)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4.59,-4.05)(8.69,6.51)
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-9.17,-8.11)(17.38,13.03)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,opacity=0](0,0)(10,0)(10,6)(0,6)
\psline(0,0)(10,0)
\psline(10,0)(10,6)
\psline(10,6)(0,6)
\psline(0,6)(0,0)
\psline(10,0)(14,2)
\psline(14,2)(14,8)
\psline(14,8)(10,6)
\psline(0,6)(4,8)
\psline(14,8)(4,8)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,8)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](0,0)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,2)(14,2)
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](-0.5,-0.5){$A$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](10,0)
\rput[bl](10.17,-0.5){{$B$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](10,6)
\rput[bl](9.8,6.23){{$C$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](0,6)
\rput[bl](-0.3,6.23){{$D$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](14,2)
\rput[bl](14.17,2.23){{$F$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](14,8)
\rput[bl](14.17,8.23){{$G$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4,8)
\rput[bl](4.17,8.23){{$H$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4,2)
\rput[bl](4.17,2.23){{$E$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](0.91,3.77)
\rput[bl](1.08,4.02){{$I$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](2.96,0.98)
\rput[bl](3.6,1.1){{$J$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](5.79,0.48)
\rput[bl](5.96,0.73){{$K$}}
\end{pspicture*}
 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$J$ et $K$ sont dans $(ABE)$ et $I\in(ADE)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
}



\section{Parallélisme dans l'espace}
La liste des propriétés n'est pas exhaustive$\ldots$certaines 
propriétés "évidentes" concernant le parallélisme dans l'espace 
n'apparaissent pas dans cette section.

\subsection{Parallélisme entre droites}
\Thc{
	Deux droites parallèles à une même troisième droite sont parallèles 
	entre elles.
}
\parbox[]{10cm}{
\Thc{
	Si $P$ et $Q$ sont deux plans parallèles, alors tout plan  qui 
	coupe $P$ coupe aussi $Q$ et les droites d'intersection sont 
	parallèles.
}
                 }
\parbox[]{6cm}{\begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.8}\end{center}}\\


\Dem{Soient $D_1$ et $D_2$ les droites d'intersection. Elles sont coplanaires, donc soit parall\`eles, soit s\'ecantes. 
Or si elles sont s\'ecantes en un point $M$ alors $M$ appartient \`a $\mathcal P_1$ et $\mathcal P_2$, ce qui est absurbde. Donc elles sont strictement parall\`eles.
}

\Expl{Soit $ABCDEFGH$ un pavé droit. Soit $I$ un point de $[EF]$. Déterminer et tracer l'intersection des plans $(EFG)$ et $(ACI)$.
}

\Sol{\begin{multicols}{2}
Les plans $(ABC)$ et $(EFG)$, qui contiennent les faces $ABCD$ et $AFGH$ du pavé, sont parallèles.\\
$I\in(ACI)$, mais $I\notin(ABC)$, donc les plans $(ACI)$ et $(ABC)$ ne sont pas confondus. Comme $A$ et $C$ sont deux points communs aux plans $(ACI)$ et $(ABC)$, on peut conclure que les plans $(ABC)$ et $(ACI)$ sont sécants selon la droite $(AC)$.\\
On a donc $(ABC)//(EFG)$ et $(ACI)\cap (ABC)=(AC)$. On en déduit que le plan $(ACI)$ coupe également le plan $(EFG)$, selon une droite parallèle à $(AC)$. \\
L'intersection de ces deux plans est donc la droite parallèle à $(AC)$ passant par $I$.
\begin{center}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.8,-1)(8.9,4.7)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](1.3,-0.6)(2.9,2.7)(7.7,3.8)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.3,-0.6)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](2.7,4.3)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(6.7,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,4.3)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=ccqqqq](1.3,-0.6)(8.1,0.9)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq]{0.8}{8.9}{(--13.8--1.6*x)/6.8}
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](1.3,-0.6)(2.9,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](2.9,2.7)(7.7,3.8)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](7.7,3.8)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](8.1,0.9)(1.3,-0.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](2.9,2.7)(1.3,-0.6)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\rput[bl](0.9,2.6){$E$}
\rput[bl](6.6,2.8){$F$}
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\rput[bl](2.4,4.4){$H$}
\rput[bl](3,2.8){$I$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}}

\Rq{L'intersection se note à l'aide du symbole $\cap$. Ainsi si la droite $d$ est l'intersection des plans $P$ et $Q$, on note :
$$ d=P\cap Q$$}

\Exop{
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(15.1,9.1)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4.59,-4.05)(8.69,6.51)
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-9.17,-8.11)(17.38,13.03)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,opacity=0](0,0)(10,0)(10,6)(0,6)
\psline(0,0)(10,0)
\psline(10,0)(10,6)
\psline(10,6)(0,6)
\psline(0,6)(0,0)
\psline(10,0)(14,2)
\psline(14,2)(14,8)
\psline(14,8)(10,6)
\psline(0,6)(4,8)
\psline(14,8)(4,8)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,8)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](0,0)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,2)(14,2)
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](-0.5,-0.5){$A$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](10,0)
\rput[bl](10.17,-0.5){{$B$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](10,6)
\rput[bl](9.8,6.23){{$C$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](0,6)
\rput[bl](-0.3,6.23){{$D$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](14,2)
\rput[bl](14.17,2.23){{$F$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](14,8)
\rput[bl](14.17,8.23){{$G$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4,8)
\rput[bl](4.17,8.23){{$H$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4,2)
\rput[bl](4.17,2.23){{$E$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](9,7)
\rput[bl](9.2,7.2){{$I$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](11,2.7)
\rput[bl](11.2,2.9){{$J$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](11.8,4.7)
\rput[bl](12,4.9){{$K$}}
\end{pspicture*}
 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$J$ et $K$ sont dans $(BFG)$ et $I\in(CDH)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
}


\Exop{
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(15.1,9.1)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4.59,-4.05)(8.69,6.51)
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-9.17,-8.11)(17.38,13.03)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,opacity=0](0,0)(10,0)(10,6)(0,6)
\psline(0,0)(10,0)
\psline(10,0)(10,6)
\psline(10,6)(0,6)
\psline(0,6)(0,0)
\psline(10,0)(14,2)
\psline(14,2)(14,8)
\psline(14,8)(10,6)
\psline(0,6)(4,8)
\psline(14,8)(4,8)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,8)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](0,0)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,2)(14,2)
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](-0.5,-0.5){$A$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](10,0)
\rput[bl](10.17,-0.5){{$B$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](10,6)
\rput[bl](9.8,6.23){{$C$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](0,6)
\rput[bl](-0.3,6.23){{$D$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](14,2)
\rput[bl](14.17,2.23){{$F$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](14,8)
\rput[bl](14.17,8.23){{$G$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4,8)
\rput[bl](4.17,8.23){{$H$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4,2)
\rput[bl](4.17,2.23){{$E$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](9,7)
\rput[bl](9.2,7.2){{$I$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](11,2.7)
\rput[bl](11.2,2.9){{$J$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](11.8,4.7)
\rput[bl](12,4.9){{$K$}}
\end{pspicture*}
 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$J$ et $K$ sont dans $(EFG)$ et $I\in(CDH)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
}


\Exop{
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(15.1,9.1)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4.59,-4.05)(8.69,6.51)
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-9.17,-8.11)(17.38,13.03)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,opacity=0](0,0)(10,0)(10,6)(0,6)
\psline(0,0)(10,0)
\psline(10,0)(10,6)
\psline(10,6)(0,6)
\psline(0,6)(0,0)
\psline(10,0)(14,2)
\psline(14,2)(14,8)
\psline(14,8)(10,6)
\psline(0,6)(4,8)
\psline(14,8)(4,8)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,8)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](0,0)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,2)(14,2)
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](-0.5,-0.5){$A$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](10,0)
\rput[bl](10.17,-0.5){{$B$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](10,6)
\rput[bl](9.8,6.23){{$C$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](0,6)
\rput[bl](-0.3,6.23){{$D$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](14,2)
\rput[bl](14.17,2.23){{$F$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](14,8)
\rput[bl](14.17,8.23){{$G$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4,8)
\rput[bl](4.17,8.23){{$H$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4,2)
\rput[bl](4.17,2.23){{$E$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](5,5)
\rput[bl](5.2,5.2){{$I$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](6,1.5)
\rput[bl](6.4,1.2){{$J$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](7,7)
\rput[bl](7.2,7.2){{$K$}}
\end{pspicture*}
 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$I$ et $J$ sont dans $(ABC)$ et $K\in(DCG)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
}



\Exop{
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(15.1,9.1)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4.59,-4.05)(8.69,6.51)
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-9.17,-8.11)(17.38,13.03)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,opacity=0](0,0)(10,0)(10,6)(0,6)
\psline(0,0)(10,0)
\psline(10,0)(10,6)
\psline(10,6)(0,6)
\psline(0,6)(0,0)
\psline(10,0)(14,2)
\psline(14,2)(14,8)
\psline(14,8)(10,6)
\psline(0,6)(4,8)
\psline(14,8)(4,8)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,8)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](0,0)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,2)(14,2)
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](-0.5,-0.5){$A$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](10,0)
\rput[bl](10.17,-0.5){{$B$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](10,6)
\rput[bl](9.8,6.23){{$C$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](0,6)
\rput[bl](-0.3,6.23){{$D$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](14,2)
\rput[bl](14.17,2.23){{$F$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](14,8)
\rput[bl](14.17,8.23){{$G$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4,8)
\rput[bl](4.17,8.23){{$H$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4,2)
\rput[bl](4.17,2.23){{$E$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](5,5)
\rput[bl](5.2,5.2){{$I$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](6,1.5)
\rput[bl](6.4,1.2){{$J$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](7,7)
\rput[bl](7.2,7.2){{$K$}}
\end{pspicture*}
 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$I$ et $J$ sont dans $(ABC)$ et $K\in(EFG)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
}

\Exop[Pour les experts]{
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(15.1,9.1)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4.59,-4.05)(8.69,6.51)
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-9.17,-8.11)(17.38,13.03)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,opacity=0](0,0)(10,0)(10,6)(0,6)
\psline(0,0)(10,0)
\psline(10,0)(10,6)
\psline(10,6)(0,6)
\psline(0,6)(0,0)
\psline(10,0)(14,2)
\psline(14,2)(14,8)
\psline(14,8)(10,6)
\psline(0,6)(4,8)
\psline(14,8)(4,8)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,8)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](0,0)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,2)(14,2)
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](-0.5,-0.5){$A$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](10,0)
\rput[bl](10.17,-0.5){{$B$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](10,6)
\rput[bl](9.8,6.23){{$C$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](0,6)
\rput[bl](-0.3,6.23){{$D$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](14,2)
\rput[bl](14.17,2.23){{$F$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](14,8)
\rput[bl](14.17,8.23){{$G$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4,8)
\rput[bl](4.17,8.23){{$H$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4,2)
\rput[bl](4.17,2.23){{$E$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](5,5)
\rput[bl](5.2,5.2){{$I$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](6,1.5)
\rput[bl](6.4,1.2){{$J$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](7,7)
\rput[bl](7.2,7.2){{$K$}}
\end{pspicture*}
 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$I$ et $K$ sont dans $(EFG)$ et $K\in(ABF)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
}

\parbox[]{10cm}{
\Thc[\textit{Théorème du toit}]{
	$d$ et $d'$ sont deux droites parallèles. $P$ est un plan 
	contenant $d$ et $P'$ un plan contenant $d'$.\\
	Si, en outre, les plans $P$ et $P'$ sont sécants, alors la droite 
	$\Delta$ d'intersection de ces plans est parallèle à $d$ et $d'$.
}
                 }
\parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.10}\end{center}}\\


\begin{multicols}{2}
 \Expl{Soit $SABCD$ une pyramide régulière de sommet $S$ à base carrée. Soit $I$ le milieu de l'arête $[SA]$. Le plan $(CDI)$ coupe le plan $(SAB)$ selon une droite $d$. \\
Démontrer que $d$ est parallèle à $(AB)$.}
\begin{center}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.16,0.46)(5.8,7.74)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](-1.74,2.98)(-0.2,4.19)(1.44,4.21)(1.54,3.02)
\psline[linestyle=dotted](-1.74,2.98)(1.54,3.02)
\psline[linestyle=dotted](1.54,3.02)(2.62,1.58)
\psline(2.62,1.58)(-0.66,1.54)
\psline(-0.66,1.54)(-1.74,2.98)
\psline(-1.74,2.98)(0.26,6.84)
\psline(1.54,3.02)(0.26,6.84)
\psline(0.26,6.84)(-0.66,1.54)
\psline(0.26,6.84)(2.62,1.58)
\psplot[linecolor=ccqqqq]{-4.16}{5.8}{(-13.75-0.04*x)/-3.28}
\psplot[linecolor=ccqqqq]{-4.16}{5.8}{(-5.08-0.04*x)/-3.28}
\psline[linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](-1.74,2.98)(-0.2,4.19)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.2,4.19)(1.44,4.21)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](1.44,4.21)(1.54,3.02)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](1.54,3.02)(-1.74,2.98)
\rput[bl](-0.9,1.26){$A$}
\rput[bl](2.4,1.24){$B$}
\rput[bl](1.4,2.66){$C$}
\rput[bl](-2.04,2.72){\darkgray{$D$}}
\rput[bl](0.34,6.96){$S$}
\rput[bl](-0.12,4.3){\darkgray{$I$}}
\rput[bl](-2.46,3.76){\ccqqqq{$d$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}


\Sol{Les plans $(CDI)$ et $(SAB)$ sont sécants selon la droite $d$. Or le plan $(CDI)$ contient la droite $(CD)$ et le plan $(SAB)$ contient la droite $(AB)$, et les deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles (comme supports des côtés du carré de base de la pyramide). D'après le théorème du toit, la droite $d$ est donc parallèle à la droite $(AB)$.}

\parbox[]{10cm}{
\Corc{
	Si une droite est parallèle à deux plans sécants alors elle est 
	parallèle à leur droite d'intersection.
}
                 }
\parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.9}\end{center}}\\

\begin{multicols}{2}
\Exop{
$SABCD$ est une pyramide dont la base $ABCD$ est un trapèze tel que $(AB)//(CD)$.\\
Démontrer que la droite $(CD)$ est parallèle au plan $(SAB)$.
}
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.80cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.7,-1.5)(8.5,5.7)
\psline[linewidth=1.2pt](3,-1)(6.4,-1.1)
\psline[linewidth=1.2pt](3,-1)(1.4,1.1)
\psline[linewidth=1.2pt](6.4,-1.1)(8,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](8,0.9)(1.4,1.1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.4,1.1)(4.9,5.2)
\psline[linewidth=1.2pt](4.9,5.2)(8,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](4.9,5.2)(6.4,-1.1)
\psline[linewidth=1.2pt](4.9,5.2)(3,-1)
\rput[bl](2.5,-1.2){$A$}
\rput[bl](6.6,-1.4){$B$}
\rput[bl](0.9,1){$D$}
\rput[bl](8.1,1){$C$}
\rput[bl](4.8,5.4){$S$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

\Exop{\begin{multicols}{2}
On considère une pyramide de base $ABCD$ et de sommet principal $E$, et $I$ et $J$ deux points de la face $ABE$ et $K$ un point de la face $CDE$,
 comme sur la figure ci-contre.\\
On se propose de tracer l'intersection de $(IJK)$ et de $(ABCDE)$.
\begin{enumerate}
 \item Pouvez-vous le faire sans indication supplémentaire ?
 \item \begin{enumerate}
        \item Caractériser l'intersection $(\Delta)$ des plans $(ABE)$ et $(CDE)$.\\
 La tracer.
 \item  Placer $L=(IJ)\cap (\Delta)$. Donner trois plans auxquels $L$ appartient.
 \item En déduire $(IJK)\cap (CDE)$.
       \end{enumerate}
\item Tracer l'intersection de $(IJK)$ et de la pyramide.
\end{enumerate}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-2.2)(8.2,6.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{8} \def\ymin{-2} \def\ymax{6}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.2,-2.2)(8.2,6.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(5.0000,0.0000)(2.8000,5.0000)
\pspolygon(5.0000,0.0000)(6.7321,1.0000)(2.8000,5.0000)
\psline[linestyle=dotted](0.0000,0.0000)(1.7321,1.0000)
\pspolygon[linestyle=dotted](6.7321,1.0000)(1.7321,1.0000)(2.8000,5.0000)
\uput{0.3000}[-120.0000](1.60000,1.5500){I}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](1.6000,1.5500)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](2.6000,2.1500)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](3.2000,3.15000)
\uput{0.3000}[-90.0000](2.6000,2.15000){J}
\uput{0.3000}[-90.0000](3.2000,3.15000){K}
\uput{0.3000}[-90.0000](000,000){A}
\uput{0.3000}[-90.0000](5.000,000){B}
\uput{0.3000}[90.0000](2.8000,5){E}
\uput{0.3000}[-90.0000](6.7321,1.000){C}
\uput{0.3000}[-90.0000](1.7321000,1.000){D}
\endpsclip
\end{pspicture*}
 \end{multicols}
}

\Exop[Pour les experts]{
\begin{multicols}{2}
On considère une pyramide de base $ABCD$ et de sommet principal $E$, et $I$ et $J$ deux points de la face $ABE$ et $K$ un point de la face $CDE$,
 comme sur la figure ci-contre.\\
On se propose de tracer l'intersection de $(IJK)$ et de $(ABCDE)$.
\begin{enumerate}
 \item Pouvez-vous le faire sans indication supplémentaire ?
 \item \begin{enumerate}
        \item Caractériser l'intersection $(\Delta)$ des plans $(ABE)$ et $(CDE)$.\\
 La tracer.
 \item  Placer $L=(IJ)\cap (\Delta)$. Donner trois plans auxquels $L$ appartient.
 \item En déduire $(IJK)\cap (CDE)$. La tracer
       \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item Placer $M=(IJ)\cap (ABC)$.
 \item En déduire $(IJK)\cap (ABC)$.
      \end{enumerate}
\item Tracer l'intersection de $(IJK)$ et de la pyramide.
\end{enumerate}

\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-2.2)(8.2,6.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{8} \def\ymin{-2} \def\ymax{6}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.2,-2.2)(8.2,6.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(5.0000,0.0000)(2.8000,5.0000)
\pspolygon(5.0000,0.0000)(6.7321,1.0000)(2.8000,5.0000)
\psline[linestyle=dotted](0.0000,0.0000)(1.7321,1.0000)
\pspolygon[linestyle=dotted](6.7321,1.0000)(1.7321,1.0000)(2.8000,5.0000)
\uput{0.3000}[-120.0000](1.60000,1.700){I}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](1.6000,1.700)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](2.6000,2.300)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](3.7000,1.5000)
\uput{0.3000}[-90.0000](2.6000,2.3000){J}
\uput{0.3000}[90.0000](3.7000,1.5000){K}
\uput{0.3000}[-90.0000](000,000){A}
\uput{0.3000}[-90.0000](5.000,000){B}
\uput{0.3000}[90.0000](2.8000,5){E}
\uput{0.3000}[-90.0000](6.7321,1.000){C}
\uput{0.3000}[-90.0000](1.7321000,1.000){D}
\endpsclip
\end{pspicture*}
 \end{multicols}
}



\Exos{n$^{\circ}$ 22 + 23 + 24 p 32}

\subsection{Parallélisme entre plans}
\Thc{
	Deux plans parallèles à un même troisième plan sont parallèles 
	entre eux.
}
\parbox[]{10cm}{
\Thc{
	Si deux droites sécantes d'un plan $P$ sont respectivement parallèles 
	à deux droites sécantes d'un plan $Q$, alors les plans $P$ et $Q$ 
	sont parallèles.
}
                 }
\parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.11}\end{center}}\\

\Exos{n$^{\circ}$ 25 + 26 p 32}

\subsection{Parallélisme entre droites et plans}
\parbox[]{10cm}{
\Thc{
Si une droite $d$ est parallèle à une droite $d'$, alors la droite 
$d$ est parallèle à tout plan $P$ contennant la droite $d'$.
}
                 }
\parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.12}\end{center}}\\


\Expl{
Soient $ABCD$ un t\'etra\`edre et $I$, $J$, $K$, $M$ et $N$ les milieux respectifs de $[AB]$, $[AC]$, $[AD]$, $[BD]$ et $[CD]$.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer l'intersection des plans $(ABC)$ et $(IJK)$.
\item D\'eterminer les droites $\mathscr D_1$ et $\mathscr D_2$ d'intersection des plans $(ACM)$ et $(BCD)$ puis $(ACM)$ et $(IJK)$.
\item D\'emontrer que les droites $(IJ)$ et $(MN)$ sont parall\`eles.
\item D\'emontrer que les droites $\mathscr D_1 // \mathscr D_2$.
\item D\'emontrer que la droite $(IJ)$ est parall\`ele au plan $(BCD)$.
\item D\'emontrer que les plans $(IJK)$ et $(BCD)$ sont parall\`eles.
\end{enumerate}
\begin{center}
 \includegraphics[scale=0.7]{tetraedre.eps}
\end{center}
\end{multicols}
}%\\


\Exos{n$^{\circ}$ 27 p 32}

\section{Informatique}
\subsection{Algobox}
\Exop{
On a écrit un algorithme à l'aide du logiciel Algobox. Voici ce qui a été saisi :}
\begin{center}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{cadrecode}
\begin{small}
\begin{verbatim}
1   VARIABLES
2     Rayon EST_DU_TYPE NOMBRE
3     Hauteur EST_DU_TYPE NOMBRE
4     Volume EST_DU_TYPE NOMBRE
5   DEBUT_ALGORITHME
6     AFFICHER "Entrer le rayon"
7     LIRE Rayon
8     AFFICHER "Entrer la hauteur"
9     LIRE Hauteur
10    Volume PREND_LA_VALEUR Math.PI*pow(Rayon,2)*Hauteur/3
11    AFFICHER "Le Volume est égal à "
12    AFFICHER Volume
13  FIN_ALGORITHME
\end{verbatim}
\end{small}
\end{cadrecode}
\end{minipage}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Que fait cet algorithme ?
\item Quelles sont les variables en entrée ?
\item Quelles sont les variables en sortie ?
\item En s'inspirant de l'exercice précédent, écrire un algorithme affichant :
\begin{enumerate}
\item Le volume d'une boule lorsque l'on saisit le rayon ;
\item L'aire latérale totale d'un cylindre de révolution lorsque l'on saisit le rayon du disque de base et la hauteur.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\Exop[L'éponge de Menger]{
%\begin{enumerate}
%\item L'éponge de Menger est un objet mathématique que l'on fabrique en suivant la recette ci-dessous :
%\begin{enumerate}
%\item On part d'un cube de $1$ m d'arête.
%\\ On découpe ce cube en $27$ petits cubes identiques, puis on enlève le cube central et les cubes situés au centre de chacune des faces (soit $7$ cubes au total). Combien de cubes reste-t-il ? Combien mesure leur arête ? Quel est le volume du solide ainsi obtenu après cette première étape ?
%\item On répète l'étape $1$ pour chacun des cubes restants. Combien de cubes reste-t-il ? Combien mesure leur arête ? Quel est le volume du solide ainsi obtenu après cette deuxième étape ?
%\item On répète l'étape $1$ pour chacun des cubes restants. Combien de cubes reste-t-il ? Combien mesure leur arête ? Quel est le volume du solide ainsi obtenu après cette troisième étape ?
%\\
%On peut continuer ainsi sur un nombre quelconque d'étapes $\dots$ Voici les représentations du cube de départ et de l'éponge de Menger après les $(a)$, $(b)$ et $(c)$.
%%\begin{center}
%%\includegraphics[scale=0.5]{eponge.eps}	 	
%%\end{center}
%\end{enumerate}
%\item Voici un algorithme. Que fait-il ?
%\end{enumerate}
%}
%\begin{center}
%\begin{minipage}{10cm}
%\begin{cadrecode}
%\begin{small}
%\begin{verbatim}
%1   VARIABLES
%2     N EST_DU_TYPE NOMBRE
%3     C EST_DU_TYPE NOMBRE
%4     A EST_DU_TYPE NOMBRE
%5     V EST_DU_TYPE NOMBRE
%6     K EST_DU_TYPE NOMBRE
%7   DEBUT_ALGORITHME
%8     C PREND_LA_VALEUR 1
%9     A PREND_LA_VALEUR 1
%10    AFFICHER "Nombres d'étapes :"
%11    LIRE N
%12    POUR K ALLANT_DE 1 A N
%13      DEBUT_POUR
%14      C PREND_LA_VALEUR 20*C
%15      A PREND_LA_VALEUR A/3
%16      V PREND_LA_VALEUR C*pow(A,3)
%17      FIN_POUR
%18    AFFICHER V
%19  FIN_ALGORITHME
%\end{verbatim}
%\end{small}
%\end{cadrecode}
%\end{minipage}
%\end{center}
%\begin{enumerate}
%\item[\textbf{3.}] Programmer cet algorithme et déterminer le volume de l'éponge de Menger après $5$, $10$ et $20$ étapes. Que pensez-vous des résultats obtenus ?
%\end{enumerate}


\newpage
\subsection{TP : Géogébra}
\Exop{Soit $ABCDEFGH$ un pavé droit. Soit $N$ et $M$ deux points respectivement situés sur les arêtes $[AD]$ et $[AB]$. Tracer la section du pavé $ABCDEFGH$ par le plan $(MNG)$ à l'aide du logiciel géogébra.}
Voici les différentes étapes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Trace du plan $(MNG)$ sur la face $ABCD$}\\
$M$ et $N$ sont deux points communs aux plans $(ABC)$ et $(MGN)$.\\
L'intersection de ces deux plans est donc la droite $(MN)$, et la trace du plan $(MGN)$ sur la face $ABCD$ est donc le segment $[MN]$. (en pointillés rouge sur la figure).
\item 
\textbf{Trace du plan $(MNG)$ sur les faces $BCGF$ et $ABFE$.}\\
Le point $G$ est commun aux plans $(MNG)$ et $(BCG)$. Il suffit de trouver un second point commun aux deux plans.\\
$(MN)\subset (MGN)$ et $(BG)\subset (BCG)$ donc le point d'intersection de $(MN)$ et $(BC)$ appartient à la fois aux plans $(MNG)$ et $(BCG$. Appelons $L$ ce point. On en déduit que l'intersection des plans $(MNG)$ et $(BCG)$ est la droite $(GL)$.\\
Soit $I$ le point d'intersection de $(GL)$ et $(BF)$ : les segments $[GI]$ et $[MI]$ sont les traces du plan $(MNG)$ sur les faces $BCGF$ et $ABFE$ respectivement (en traits pleins rouge sur la figure).
\item \textbf{Traces du plan $(MNG)$ sur les faces $CGHD$ et $ADHE$}\\
Les plans $(ADH)$ et $(BCG)$ sont parallèles. Le plan $(MGN)$ coupe le plan $(BCG)$ selon la droite $(GI)$. On en déduit que $(MGN)$ coupe $(ADH)$ selon une droite parallèle à $(GI)$.\\
$N\in[AD]\subset (ADH)$ donc $N\in (ADH)$.\\
De plus, par définition $N\in (MGN)$. $N$ appartient donc à l'intersection des plans $(MGN)$ et $(ADH)$.\\
On en déduit que l'intersection de ces deux plans est la droite parallèle à $(GI)$ passant par $N$.\\
Cette droite coupe l'arête $[DH]$ en un point $J$ : les segments $[NJ]$ et $[JG]$ sont donc les traces du plan $(MNG)$ sur les faces $ADHE$ et $CGHD$ respectivement (en traits pointillés rouge sur la figure).
\item \textbf{Section du pavé $ABCDEFGH$ par le plan $(MGN)$.}
\\
La section du pavé par le plan $(MGN)$ est donc le pentagone $MIGJN$.
\end{enumerate}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.8,-1.2)(8.5,4.8)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.3,-0.6)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](2.7,4.3)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(6.7,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,4.3)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](1.7,-0.1)(2.5,-0.6)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,-0.6)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,-0.7)
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,0.9)
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,1)
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,2.7)
\rput[bl](0.9,2.6){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,2.7)
\rput[bl](6.6,2.8){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,4.3)
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,4.3)
\rput[bl](2.4,4.4){$H$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.5,-0.6)
\rput[bl](2.6,-1.1){$M$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.7,-0.1)
\rput[bl](1.5,0){$N$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.7,-2.9)(8.6,4.8)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.3,-0.6)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](2.7,4.3)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(6.7,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,4.3)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](1.7,-0.1)(2.5,-0.6)
\psplot[linewidth=1.2pt]{0.7}{8.6}{(--11.7-1.6*x)/-1.4}
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(5.1,-2.5)
\psplot[linewidth=1.2pt]{2.5}{8.6}{(--2.8-1.8*x)/2.7}
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](2.5,-0.6)(6.7,1.1)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\rput[bl](0.9,2.6){$E$}
\rput[bl](6.6,2.8){$F$}
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\rput[bl](2.4,4.4){$H$}
\rput[bl](2.6,-1.1){$M$}
\rput[bl](1.5,0){$N$}
\rput[bl](5.1,-2.8){$L$}
\rput[bl](6.9,1){$I$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.8,-1.2)(8.5,4.8)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.3,-0.6)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](2.7,4.3)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(6.7,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,4.3)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](1.7,-0.1)(2.4,-0.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](2.4,-0.6)(6.7,1.2)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](6.7,1.2)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](2.7,2)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](2.7,2)(1.7,-0.1)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,-0.6)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,-0.7)
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,0.9)
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,1)
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,2.7)
\rput[bl](0.9,2.6){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,2.7)
\rput[bl](6.6,2.8){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,4.3)
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,4.3)
\rput[bl](2.4,4.4){$H$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.4,-0.6)
\rput[bl](2.5,-1.1){$M$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.7,-0.1)
\rput[bl](1.5,0){$N$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](6.7,1.2)
\rput[bl](6.9,1.1){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.7,2)
\rput[bl](2.4,1.9){$J$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(1.2,-1.1)(8.6,4.7)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](1.7,-0.1)(2.6,-0.6)(6.7,1)(8.1,4.3)(2.7,2.1)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](1.7,-0.1)(2.6,-0.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](2.6,-0.6)(6.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](6.7,1)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](2.7,2.1)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](2.7,2.1)(1.7,-0.1)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(6.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(2.7,2.1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](1.7,-0.1)(2.6,-0.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](2.6,-0.6)(6.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](6.7,1)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](8.1,4.3)(2.7,2.1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](2.7,2.1)(1.7,-0.1)
\psline[linewidth=1.2pt](2.6,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.7,-0.1)(2.7,1)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,-0.7)
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,0.9)
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,1)
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,4.3)
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.6,-0.6)
\rput[bl](2.7,-1.1){$M$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.7,-0.1)
\rput[bl](1.5,0){$N$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](6.7,1)
\rput[bl](6.9,0.9){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.7,2.1)
\rput[bl](2.4,2.1){$J$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}



\section{Quelques exercices d'applications}
\subsection{Démontrer qu'une droite est parallèle à un plan}
\Exop{Dans un pavé droit $ABCDEFGH$, on place les points $I$, $J$ et $K$ respectivement sur les arêtes $[AB]$, $[CD]$ et $[GH]$ tels que :
$$ BC=CJ=HK$$
\begin{enumerate}
\item De quelle nature est le quadrilatère $IBKH$ ?
\item Que peut-on dire des droites $(BK)$ et $(IH)$ ?
\item En déduire que la droite $(BK)$ est parallèle au plan $(HIJ)$.
\end{enumerate}}

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.6,-1.3)(8.8,4.7)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.05](1.3,2.7)(2.7,4.3)(6.3,0.9)(4.9,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.3,-0.6)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](2.7,4.3)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(6.7,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,4.3)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](2.7,4.3)(6.3,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](6.3,0.9)(4.9,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](4.9,-0.7)(1.3,2.7)
\psline[linecolor=zzttqq](1.3,2.7)(4.9,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](4.5,4.3)(6.7,-0.7)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq]{6.7}{8.8}{(--18.5-2.9*x)/1.3}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq]{0.6}{4.5}{(-10.3--1.6*x)/-0.7}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,-0.6)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,-0.7)
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,0.9)
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,1)
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,2.7)
\rput[bl](0.9,2.6){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,2.7)
\rput[bl](6.6,2.8){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,4.3)
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,4.3)
\rput[bl](2.4,4.4){$H$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](4.9,-0.7)
\rput[bl](5,-0.6){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](4.5,4.3)
\rput[bl](4.6,4.4){$K$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](6.3,0.9)
\rput[bl](6.4,1){$J$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Sol{\begin{enumerate}
\item Comme $HK=IB$ et comme $(HK)//(IB)$ le quadrilatère $IBKH$ a deux côtés parallèles et de même longueur : c'est un parallélogramme.
\item $IBKH$ est un parallélogramme, donc $(KB)//(IH)$.
\item $(KB)$ est parallèle à une droite du plan $(HIJ)$, elle est donc parallèle au plan $(HIJ)$. 
\end{enumerate}}

\Exop{Soit $ABCDEFGH$ un cube. Soit $I$ et $J$ les points situés respectivement sur $[AB]$ et sur $[AH]$ tels que :
$$AI=\dfrac{1}{4}AB\qquad \text{et}\qquad AJ=\dfrac{1}{4}AH $$
Démontrer que $(IJ)//(BFH)$}

\subsection{Démontrer que des plans sont parallèles.}
\Exop{Soit $ABCDEFGH$ un cube.\\
Soit $I$, $J$, $K$, $L$, $M$ et $N$ les centres respectifs des face du cube (voir ci-dessous). Le solide $IJKLMN$ est un octaèdre régulier (toutes ses faces sont des triangles équilatéraux). On veut démontrer que les faces opposées de l'octaèdre sont parallèles.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite $(IK)$ est parallèle à la droite $(HC)$.
\item Démontrer que la droite $(IK)$ est parallèle à la droite $(MN)$.
\item Démontrer que les plans $(IKL)$ et $JMN)$ sont parallèles.
\end{enumerate}}

\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(1.12,-1.96)(8.88,4.74)
\psline(1.62,-1.04)(6.4,-1.7)
\psline(6.4,-1.7)(7.06,3.08)
\psline(7.06,3.08)(2.28,3.74)
\psline(2.28,3.74)(1.62,-1.04)
\psline(1.62,-1.04)(3.06,-0.3)
\psline(2.28,3.74)(3.72,4.48)
\psline(3.72,4.48)(8.5,3.82)
\psline(8.5,3.82)(7.06,3.08)
\psline(8.5,3.82)(7.84,-0.96)
\psline(7.84,-0.96)(3.06,-0.3)
\psline(6.4,-1.7)(7.84,-0.96)
\psline(3.72,4.48)(3.06,-0.3)
\psline[linecolor=qqqqcc](4.34,1.02)(7.45,1.06)
\psline[linecolor=qqqqcc](7.45,1.06)(4.73,-1)
\psline[linecolor=qqqqcc](4.73,-1)(4.34,1.02)
\psline[linecolor=qqqqcc](4.34,1.02)(2.67,1.72)
\psline[linecolor=qqqqcc](2.67,1.72)(4.73,-1)
\psline[linecolor=qqqqcc](4.34,1.02)(5.39,3.78)
\psline[linecolor=qqqqcc](5.39,3.78)(7.45,1.06)
\psline[linecolor=qqqqcc](5.39,3.78)(2.67,1.72)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=qqqqcc](5.39,3.78)(5.78,1.76)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=qqqqcc](5.78,1.76)(7.45,1.06)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=qqqqcc](5.78,1.76)(4.73,-1)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=qqqqcc](5.78,1.76)(2.67,1.72)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.62,-1.04)
\rput[bl](1.24,-1.22){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.4,-1.7)
\rput[bl](6.62,-1.9){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.28,3.74)
\rput[bl](1.98,3.76){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](7.06,3.08)
\rput[bl](6.9,3.24){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.06,-0.3)
\rput[bl](3.14,-0.26){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](7.84,-0.96)
\rput[bl](7.92,-0.92){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.5,3.82)
\rput[bl](8.58,3.86){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.72,4.48)
\rput[bl](3.8,4.52){$H$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](4.34,1.02)
\rput[bl](4.18,0.74){$J$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5.39,3.78)
\rput[bl](5.48,3.82){$I$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](7.45,1.06)
\rput[bl](7.54,1.1){$K$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5.78,1.76)
\rput[bl](5.86,1.8){$L$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.67,1.72)
\rput[bl](2.46,1.84){$M$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](4.73,-1)
\rput[bl](4.82,-1.2){$N$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Sol{
\begin{enumerate}
\item Dans le triangle $HFC$ : $I$ est le milieu de $[HF]$ et $K$ celui de $[FC]$. Par le théorème des milieux, on en déduit que $(IK)//(HC)$.
\item Dans le triangle $AHC$ : $N$ est le milieu de $[AC]$ et $M$ celui de $[AH]$. Par le théorème des milieux, on en déduit que $(MN)//(HC)$. Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles. Donc $(IK)//(MN)$.
\item De la même manière, on démontre que $(JN)$ et $(IL)$ sont parallèles. Ainsi, dans le plan $(IKL)$, se trouvent deux droites sécantes, qui sont respectivement parallèles à deux droites sécantes du plan $(JMN)$ : on en déduit que les plans $(IJK)$ et $(JMN)$ sont parallèles.\\
Ce résultat reste vrai pour toute paire de faces opposées de l'octaèdre.
\end{enumerate}}

\subsection{Déterminer l'intersection de deux plans}

\Exop{$ABCDEFGH$ est un cube, $I$ est le milieu de l'arête $[BF]$. \\
Déterminer et tracer l'intersection des plans $(AFC)$ et $(DIG)$.}

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.88,-2.06)(8.36,4.9)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](1.62,-1.68)(7.84,-0.32)(6.42,3.08)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](1.64,3.1)(7.86,4.46)(7.12,-1.01)
\psline(1.62,-1.68)(6.4,-1.7)
\psline(6.4,-1.7)(6.42,3.08)
\psline(6.42,3.08)(1.64,3.1)
\psline(1.64,3.1)(1.62,-1.68)
\psline(1.62,-1.68)(3.06,-0.3)
\psline(1.64,3.1)(3.08,4.48)
\psline(3.08,4.48)(7.86,4.46)
\psline(7.86,4.46)(6.42,3.08)
\psline(7.86,4.46)(7.84,-0.32)
\psline(7.84,-0.32)(3.06,-0.3)
\psline(6.4,-1.7)(7.84,-0.32)
\psline(3.08,4.48)(3.06,-0.3)
\psline[linecolor=zzttqq](1.62,-1.68)(7.84,-0.32)
\psline[linecolor=zzttqq](7.84,-0.32)(6.42,3.08)
\psline[linecolor=zzttqq](6.42,3.08)(1.62,-1.68)
\psline[linecolor=zzttqq](1.64,3.1)(7.86,4.46)
\psline[linecolor=zzttqq](7.86,4.46)(7.12,-1.01)
\psline[linecolor=zzttqq](7.12,-1.01)(1.64,3.1)
\psplot[linecolor=ccqqqq]{0.88}{8.36}{(-51--13.99*x)/63.96}
\rput[bl](1.32,-1.84){$A$}
\rput[bl](6.62,-1.9){$B$}
\rput[bl](1.34,3.12){$D$}
\rput[bl](6.26,3.24){$C$}
\rput[bl](3.14,-0.26){$E$}
\rput[bl](7.92,-0.28){$F$}
\rput[bl](7.94,4.5){$G$}
\rput[bl](3.16,4.52){$H$}
\rput[bl](7.2,-0.98){$I$}
\rput[bl](7.44,0.86){$M$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Sol{On commence par chercher un point commun aux deux plans.\\
La droite $(GI)$ est contenu dans les plans $(DIG)$ et $(BFG)$. De même la droite $(CF)$ est contenu dans les plans $(AFC)$ et $(BFG)$. Par conséquent $(CF)$ et $(GI)$ sont sécantes, en un point que l'on appelera $M$ (elles ne peuvent en aucun cas être parallèles).\\
Il est difficile, ici, de trouver un deuxième point commun. En revanche on remarque que $(DG)//(AF)$ car ses droites portent les diagonales de deux faces opposées du cube.\\
Or $(DG)\subset (DIG)$ et $(AF)\subset (AFC)$, d'après le théorème du toit, on en conclut que la droite d'intersection des plans $(DIG)$ et $(AFC)$ est parallèle aux deux droites $(DG)$ et $(AF)$.
\\
On peut ainsi tracer la droite recherchée : c'est la droite passant par le point $M$ et parallèle aux droites $(DG)$ et $(AF)$. 
}

\Exop{Soit $SABCD$ une pyramide dont la base $ABCD$ est un trapèze avec $(AB)//(CD)$. Déterminer l'intersection des plans $(SAC)$ et $(SBD)$, puis des plans $(SAB)$ et $(SCD)$.}
\subsection{Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan}
\Exop{Soit $aBCD$ un tétraèdre. $I$ est un point de l'arête $[AB]$. $J$ est un point de la face $ACD$ tel que la droite $(IJ)$ n'est pas parallèle au plan $(BCD)$.\\
Construire l'intersection de la droite $(IJ)$ et du plan $(BCD)$.}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(5.8,-2.6)(14.7,5.1)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](6.7,-1.7)(11.8,-0.7)(7.4,4.5)
\psline[linewidth=1.2pt](7.4,4.5)(6.7,-1.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-1.7)(11.1,-2)
\psline[linewidth=1.2pt](7.4,4.5)(11.1,-2)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](6.7,-1.7)(12.2,-0)
\psline[linewidth=1.2pt](12.2,-0)(7.4,4.5)
\psline[linewidth=1.2pt](12.2,-0)(11.1,-2)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](7.1,1.9)(10.4,0.9)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq]{10.4}{14.7}{(--7.9-0.6*x)/2}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq]{5.8}{7.1}{(-9.1--0.7*x)/-2.2}
\psplot[linewidth=1.2pt]{5.8}{14.7}{(--40.1-3.6*x)/3}
\psplot[linewidth=1.2pt]{5.8}{14.7}{(-15.8--1*x)/5.1}
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](6.7,-1.7)(11.8,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](11.8,-0.7)(7.4,4.5)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](7.4,4.5)(6.7,-1.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](11.8,-0.7)(7.4,4.5)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](7.4,4.5)
\rput[bl](7.3,4.6){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,-1.7)
\rput[bl](6.4,-1.7){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](11.1,-2)
\rput[bl](11.1,-2.4){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](12.2,-0)
\rput[bl](12.2,0){$D$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](7.1,1.9)
\rput[bl](7.2,2){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](10.4,0.9)
\rput[bl](10.5,1){$J$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](11.8,-0.7)
\rput[bl](11.9,-0.8){$E$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](14.2,-0.2)
\rput[bl](14.2,-0.1){$L$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Sol{On cherche un plan auxiliaire, contenant la droite $(IJ)$ et coupant le plan $(BCD)$ ; ici le plan $(AIJ)$ convient.\\
La droite $(IJ)$ n'est pas contenu dans le plan $(BCD)$ et n'est pas parallèle au plan $(BCD)$ donc elle est sécante au plan $(BCD)$.\\
La droite $(AJ)$ coupe la droite $(CD)$ en un point qu'on appelle $E$ (on observe ici la face $ACD$). \\
Les droites $(IJ)$ et $(BE)$ sont toute entière contenu dans le plan $(AIJ)$ et comme $(IJ)$ n'est pas parallèle au plan $(BCD)$, la droite $(IJ)$ est sécante avec la droite $(BE)$. Notons $L$ l'intersection de $(BE)$ et $(IJ)$. $L$ est alors le point cherché.}






\end{document}
