\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Exprimer une quantit\'e \linebreak[2] en \textbf{\textit{fonction}} d'une autre
%\linebreak[2] en math\'ematiques
}
\newcommand{\Cl}{Seconde}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2.5cm}

\setcounter{NumLecon}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

%\setcounter{NumLecon}{1}

\debutCha{Degas_Toilette2.eps}{Autoportrait (1863) \fg \, et \og Le Tub (1885)}{Edgar Degas}   					% Image + titre + Auteur
{Quand quelqu'un paye un tableau $3\,000$ francs, c'est qu'il lui plaît. \linebreak[4]
 Quand il le paye $300\,000$ francs, c'est qu'il plaît aux autres. }{Edgar Degas} 		% Citation + Auteur
 {Edgar Degas (1834-1917) est un peintre français, en général rattaché au mouvement impressionniste, 
formé à la fin du XIXe siècle, en réaction à la peinture académique de l’époque. \\
Sa carrière fut dès le départ influencée par les danseuses.  
En 1874, il commence à se faire connaître, les critiques louant ou dénigrant le réalisme de son travail. 
Il explore des thèmes comme les repasseuses ou les femmes à leur toilette, 
multipliant les points de vue audacieux, recherchant des effets lumineux et colorés.
Il dit d’ailleurs à propos de ses nus : \og Jusqu’à présent, le nu avait toujours été représenté dans des poses qui 
supposent un public. Mais mes femmes sont des gens simples... Je les montre sans coquetterie, à l’état de bêtes qui se nettoient.
 \fg \\
A partir des années 1880, Degas va aussi poser la question d'une sculpture « impressionniste », 
réalisant des modèles en cire peints au naturel, qu'il accessoirise ensuite. 
Seule \textit{La Grande Danseuse} (cf première page) fut présenté de son vivant, 
les autres modèles l'aidant surtout dans ses peintures. 
Cette incarnation de la grâce et de l'innocence trahit en réalité la fascination de Degas pour la criminalité. 
En effet, avec son visage est sculpté sur le modèle des physionomies de criminels définies à l'époque, et
la danseuse était un parfait \og petit rat \fg , transmettant la syphilis aux bourgeois venant la voir ... 
} 						% Présentation auteur
{1.1}		% Ratio portrait
{0.31}		% Ratio Image
\setcounter{NumLecon}{1}
\TITRE{Degas_Petite_Danseuse_de_14_ans(1881).eps}{0.28} 						% Image 1ere page + ratio
%\begin{abstract}
\begin{flushright}
 \textit{Petite Danseuse de 14 ans} \\
 ou \textit{La Grande danseuse} (1879-1881) 
\end{flushright}
 

\begin{Intro}{Au fil du temps}{
\noindent Le concept de fonction a mis des siècles à s'établir en math\'ematiques. 
La notion intuitive comme relation entre plusieurs quantités est assez ancienne, mais il faut attendre le $XVII^e$ siècle pour
qu'elle soit formalisée. Découvrir les fonctions, apprendre à les représenter et à étudier certaines de leurs propriétés
représente une partie importante du programme de seconde.
\begin{itemize}
\item C'est le français Pierre de Fermat (16010-1665) qui met en place la notion fondamentale d'équation d'une courbe, 
associant donc ainsi les fonctions à une courbe du plan, et s'intéresse aux extrema de fonctions.\\
\textit{Fermat est essentiellement connu pour ses théorèmes en arithmétique, notamment pour son grand théorème, 
qu'il prétendit avoir démontré dans une note de bas de page, mais dont la preuve ne fut trouvée qu'en 1994.}
 \item En 1673, l'allemand Gottfried von Leibniz (1646-1716), à la fois philosophe et math\'ematicien, utilise 
pour la première fois le mot \og fonction \fg \, et introduit le vocabulaire.\\
\textit{Leibniz est essentiellement connu en sciences pour avoir d\'ecouvert conjointement avec Newton le calcul infinit\'esimal,
c'est-\`a-dire dans l'infiniment petit.}
\item En $1698$, le suisse Jean Bernoulli (1667-1748) reprit le terme et en donne une première définition. 
Il proposa alors la notation $f(x)$.\\
\textit{Bernoulli développa le calcul exponentiel et la théorie des probabilités.}
\item Euler, math\'ematicien form\'e par Bernoulli, adopte cette notation en $1734$ et d\'efinit en $1748$ une fonction
d'une variable comme combinaison d'opérations à partir de cette variable et de nombres  constants. \\
\textit{Euler travailla essentiellement sur le calcul infinit\'esimal lui aussi et sur la th\'eorie des graphes (utiliser pour les GPS)
}
\end{itemize} 
En fait, le lien entre l'expression algébrique d'une fonction et sa courbe représentative en permet une étude 
plus approfondie. Le concept de fonction et l'étude de leur propriété a révolutionné la recherche mathématique.
jusqu'\`a aujourd'hui.\\
Compte tenu du nombre incroyable d'applications en physique, en économie et dans quasiment tous les domaines, 
l'étude des fonctions est l'un des objectifs majeurs du lycée en mathématiques. \\

Dans ce chapitre, nous allons essentiellement découvrir le vocabulaire, travailler les calculs
 et l'approche graphique. Cependant, tout cela nous permettra également de réfléchir aux différents types de nombres
et ensembles les désignant, ainsi qu'à 
la pertinence d'une écriture d'expression algébrique plutôt qu'une autre. }
\end{Intro}


\newpage

\section{Notion de fonction}

\subsection{Activité découverte}

%\Act{
%Dans un récipient de forme cylindrique et de rayon $4$ cm, on verse de l'eau jusqu'à une hauteur de $5,25$ cm.
%On veut alors placer une bille dans le récipient de façon à ce que le liquide la recouvre exactement.
%Le problème consiste à déterminer le rayon de la bille.
%}

%\textbf{Objectifs :} Introduire les notions d'inconnue, de dépendance entre deux quantités, 
%mettre en équation d'un problème, montrer l'utilité d'un tableau de valeur et/ou 
%représentation graphique, discuter de la comparaison de valeurs approchées, vérifier qu'un nombre est solution 
%d'une équation. 

%\textbf{Transversalement : rappels des volumes du cylindre et de la sphère, calcul littéral}

\Act{}\begin{multicols}{2}
\noindent Rom\'eo souhaite au plus vite offrir une rose fraîchement cueillie \`a Juliette. \\\\
La situation est sch\'ematis\'ee 
de la façon ci-contre.\\\\
Quel chemin doit prendre Roméo pour rejoindre Juliette le plus tôt possible ?\\\\
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2,-1.7)(7,3.6)
\def\xmin{-1.5} \def\xmax{8} \def\ymin{-2} \def\ymax{3.6}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline(-2.0000,0.0000)(8.0000,0.0000)
\psline{<->}(0.0000,-1.0000)(5.0000,-1.0000)
%\uput{0.3000}[-90.0000](0.0000,0.0000){H}
%\uput{0.3000}[-90.0000](5.0000,0.0000){K}
\uput{0.3000}[-130.0000](3.90000,0.0000){Allée des roses}
\uput{0.3000}[-130.0000](3.000,-0.4000){$10$ m}
\uput{1.0000}[100.0000](-0.50000,0.0000){5 m}
\psline{<->}(0.0000,0.0000)(0.0000,2.0000)
\psline{<->}(5.0000,3.0000)(5.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](0.0000,-1.0000)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](5.0000,0.0000)(5.0000,-1.0000)
\uput{1.0000}[80.0000](5.5000,0.0000){7 m}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,2.0000){Romeo}
\uput{0.3000}[90.0000](5.0000,3.0000){Juliette}
\uput{0.3000}[100.0000](3.5000,0.0000){?}
\psline(0.0000,2.0000)(3.5000,0.0000)
\psline(3.5000,0.0000)(5.0000,3.0000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}


\textbf{\textit{Objectifs} :} modéliser d'un problème, introduire la notion de variable, faire le lien entre deux quantités,
introduire la notion de fonction, 
constater la pertinence de représenter une fonction et/ou de faire un tableau de valeurs, discuter des valeurs approchées,
introduire la notation d'intervalles.\\

\textbf{\textit{Prérequis} :} Pythagore.\\  

\Rq{Le problème possède également une réponse géométrique (par symétrie).}

\Defc{
Une \textbf{fonction} est une relation qui associe un élément d'un ensemble de d\'epart $E$ \`a \underline{au plus} un \'el\'ement 
d'un ensemble d'arriv\'ee $F$ (donc à 0 ou 1 élément de $F$).
}

\Expls{Vous connaissez d\'ej\`a quelques fonctions en g\'eom\'etrie : 
\begin{itemize}
 \item La formule du p\'erim\`etre d'un cercle est la fonction qui \`a tout nombre positif $R$ associe le nombre 
$ 2\pi R$.
\item La formule de l'aire d'un triangle est la fonction qui à tout couple de nombres positifs $(b;h)$ associe le nombre $\dfrac{b\times h}{2}$\\
\end{itemize}
}

\noindent \Rq{
Une fonction peut associer autres choses que des nombres entre eux. \\
Par exemple, à un segment on peut associer son milieu.\\
Cette année, nous n'étudierons cependant que les fonctions qui transforment un seul nombre en un autre. %\\
On parle de fonction \textbf{num\'erique \`a une variable}.\\
En général, on nous donnera l'expression algébrique d'une fonction, sans préciser ce qu'elle représente concrètement.\\
}

\Expl{
La fonction qui \`a un nombre $x$ associe le nombre $2x-1$.
}

\subsection{Vocabulaire}

\begin{center}
\scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(0,-3.225182)(15.809301,3.200182)
\psbezier[linewidth=0.04](1.8037467,1.4698179)(2.771089,1.7232912)(5.510614,-0.37842974)(5.203747,-1.3301821)(4.8968797,-2.2819345)(1.1955498,-2.4362645)(0.6037467,-1.6301821)(0.011943579,-0.82409954)(0.8364043,1.2163446)(1.8037467,1.4698179)
\psbezier[linewidth=0.04](12.003747,2.669818)(11.143788,2.1594536)(10.146678,-0.4997159)(10.703747,-1.3301821)(11.260816,-2.1606483)(13.926682,-2.2596028)(14.703747,-1.6301821)(15.480811,-1.0007614)(15.789301,1.2591846)(15.203747,2.069818)(14.618193,2.8804512)(12.863705,3.180182)(12.003747,2.669818)
\psdots[dotsize=0.12](1.5037467,0.0698179)
\uput{0.20000}[150.0000](1.5037467,0.0698179){$d$}
\psdots[dotsize=0.12](12.503747,2.069818)
\uput{0.3000}[0.0000](12.503747,2.069818){$c$}
\psdots[dotsize=0.12](14.203747,0.0698179)
\uput{0.3000}[100.0000](14.203747,0.0698179){$y=f(x)$}
\psdots[dotsize=0.12](14.803747,1.1698179)
\uput{0.3000}[0.0000](14.803747,1.1698179){$e$}
\psdots[dotsize=0.12](11.503747,-0.6301821)
%\uput{0.3000}[0.0000](11.503747,-0.6301821){$e$}
\psdots[dotsize=0.12](12.903747,-1.3301821)
%\uput{0.3000}[0.0000](12.903747,-1.3301821){$f$}
\psdots[dotsize=0.12](11.803747,0.8698179)
%\uput{0.3000}[0.0000](11.803747,0.8698179){$g$}
\psdots[dotsize=0.12](11.503747,0.4698179)
%\uput{0.5000}[0.0000](11.503747,0.4698179){$h$}
\psdots[dotsize=0.12](2.2037468,0.7698179)
\uput{0.3000}[160.0000](2.2037468,0.7698179){$a$}
\psdots[dotsize=0.12](4.103747,-0.7301821)
\uput{0.3000}[-10.0000](4.103747,-0.7301821){$b$}
\psdots[dotsize=0.12](1.9037467,-1.730182)
%\uput{0.3000}[0.0000](1.9037467,-1.730182){$k$}
\psdots[dotsize=0.12](2.6037467,-0.5301821)
%\uput{0.3000}[-90.0000](2.6037467,-0.5301821){$l$}
\psdots[dotsize=0.12](3.4037466,-1.230182)
%\uput{0.3000}[0.0000](3.4037466,-1.230182){$m$}
\psdots[dotsize=0.12](3.0037467,0.4698179)
%\uput{0.3000}[0.0000](3.0037467,0.4698179){$n$}
\psdots[dotsize=0.12](1.0037467,-0.9301821)
\uput{0.2000}[-120.0000](1.0037467,-0.9301821){$x$}
\psdots[dotsize=0.12](2.2037468,-0.6301821)
%\uput{0.3000}[0.0000](2.2037468,-0.6301821){$p$}
\psdots[dotsize=0.12](4.9037466,-1.3301821)
%\uput{0.3000}[0.0000](4.9037466,-1.3301821){$q$}
\psdots[dotsize=0.12](3.0037467,-1.730182)
%\uput{0.3000}[0.0000](3.0037467,-1.730182){$r$}
\pscustom[linewidth=0.04]
{
\newpath
\moveto(2.2037468,0.7698179)
\lineto(4.103747,1.3198179)
\curveto(5.0537467,1.5948179)(6.4037466,1.9198179)(6.8037467,1.9698179)
\curveto(7.203747,2.0198178)(8.203747,2.1448178)(8.803747,2.2198179)
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}
\pscustom[linewidth=0.04]
{
\newpath
\moveto(4.103747,-0.7301821)
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\curveto(5.5287466,0.019817904)(6.7537465,0.4948179)(7.5037465,0.7198179)
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\curveto(10.653747,1.5448179)(11.503747,1.7448179)(11.803747,1.8198179)
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}
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{
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}
\pscustom[linewidth=0.04]
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\curveto(12.678747,-1.4301821)(12.978746,-1.3301821)(12.903747,-1.3301821)
}
\pscustom[linewidth=0.04]
{
\newpath
\moveto(0.97467,-0.9301821)
\lineto(2.1537466,-1.6801821)
\curveto(2.7787466,-2.055182)(4.4037466,-2.630182)(5.4037466,-2.830182)
\curveto(6.4037466,-3.0301821)(7.853747,-3.205182)(8.303747,-3.180182)
\curveto(8.753747,-3.1551821)(9.678747,-3.1051822)(10.153747,-3.080182)
\curveto(10.628747,-3.055182)(11.653747,-2.9051821)(12.203747,-2.7801821)
\curveto(12.753747,-2.6551821)(13.478746,-2.330182)(13.653747,-2.130182)
\curveto(13.828747,-1.9301821)(14.028747,-1.5551821)(14.053747,-1.3801821)
\curveto(14.078747,-1.2051821)(14.103746,-0.8801821)(14.103746,-0.7301821)
\curveto(14.103746,-0.5801821)(14.128747,-0.3051821)(14.153747,-0.1801821)
\curveto(14.178747,-0.055182096)(14.203747,0.09481791)(14.203747,0.16981791)
}
\pscustom[linewidth=0.04]
{
\newpath
\moveto(4.8237467,-1.3301821)
\lineto(6.6537466,-0.9801821)
\curveto(7.578747,-0.8051821)(9.203747,-0.3551821)(9.903747,-0.0801821)
\curveto(10.603746,0.1948179)(11.353746,0.4698179)(11.503747,0.4698179)
}
\psline[linewidth=0.04cm](14.003747,-0.030182097)(14.203747,0.16981791)
\psline[linewidth=0.04cm](14.203747,0.16981791)(14.303747,-0.030182097)
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\psline[linewidth=0.04cm](11.403747,-0.4301821)(11.503747,-0.6301821)
\psline[linewidth=0.04cm](11.503747,-0.6301821)(11.303747,-0.7301821)
\psline[linewidth=0.04cm](11.303747,0.5698179)(11.503747,0.4698179)
\psline[linewidth=0.04cm](11.503747,0.4698179)(11.403747,0.2698179)
\psline[linewidth=0.04cm](12.403747,2.369818)(12.503747,2.069818)
\psline[linewidth=0.04cm](12.503747,2.069818)(12.103746,2.069818)
\psline[linewidth=0.04cm](12.103746,1.9698179)(12.503747,2.069818)
\psline[linewidth=0.04cm](12.503747,2.069818)(12.303747,1.8698179)
\uput{1.50000}[-90.0000](2.5000,-2.0000){\textbf{Ensemble de d\'epart $E$}}
\uput{1.5000}[-90.0000](13.0000,-2.0000){\textbf{Ensemble d'arriv\'ee $F$}}
\uput{1.5000}[-90.0000](8.30000,4.50000){\textbf{Fonction $f$}}
\end{pspicture} 
}

\end{center}

\vspace{5mm}

\Rqs{
\item On note souvent une fonction $f$ (mais on peut les appeler comme on veut).
\item Un élément de $E$ n'est pas forcément associé à un élément de $F$. On l'appelle alors 
\textbf{valeur interdite} de la fonction. \\
 Ici, $d$ est une valeur interdite de $f$ (mais pas $e$ !).
\item Un élément de $E$ ne peut pas être associé à plusieurs éléments de $F$.\\
Ici, il ne peut pas y avoir une deuxième flèche partant de $x$.
\item Plusieurs éléments de $E$ peuvent étre associés au même élément de $F$. \\
Ici $a$ et $b$ sont tous les deux reliés à $c$.
}


\Defc{Si un élément $x$ de $E$ est associé par une fonction $f$ à un élément $y$ de $F$, 
alors $y$ s'appelle l'\textbf{image de $x$} par la fonction $f$ et on le note $f(x)$. 
On pourra également noter $f \, : \, x \mapsto y$\\
De plus, on dit que $x$ est un \textbf{antécédent de $y$} par la fonction $f$.\\
L'ensemble des éléments $x$ de $E$ auxquels une fonction $f$ fait correspondre un élément $y$ de $F$ est appelé 
\textbf{l'ensemble de défintion} de $f$ et est noté $D_f$.\\
}

\Rqs{
\item Un élément de $E$ possède 0 ou 1 image par $f$.\\
Ici, $a$ possède une image par $f$, c'est $c$. On note $f(a)=c$ ou encore $f \, x \mapsto c$. \\
Tandis que $d$ ne possède pas d'image par $f$.
 \item Un élément de $F$ peut ne pas avoir d'antécédent par $f$, comme en avoir un seul, 
ou plusieurs.\\
Ici, $e$ ne possède pas d'antécédent par $f$. \\
Par contre, $y$ en possède 1, c'est $x$. On a donc $f(x)=y$.\\
De plus, $c$ possède 2 antécédents par $f$, il s'agit de $a$ et $b$. On a donc $f(a)=f(b)=c$
\item L'ensemble de définition d'une fonction $f$ est en fait l'ensemble des éléments de $E$, sauf les valeurs interdites.
}

\Exos{n$^{\circ}$ 5-6 p 46}

\Expls{
\begin{itemize}
 \item Soit $g$ la fonction qui à un nombre $x$ associe le nombre $g(x)=5-3x$.\\
L'image de $0$ est $g(0)=5-3 \times 0 = 5$.\\
Chercher de même l'image de $\dfrac{4}{9}$ et celle de $-2$.\\

En fait, on peut toujours calculer l'image d'un nombre par la fonction $g$. Il n'y a donc pas de valeurs interdites.\\
L'ensemble de définition de $g$ est donc l'ensemble des nombres que vous connaissez. On le note $\R$ et on appelle 
ces nombres, les nombres réels. \\
On a donc $ D_g=\R$.\\ 

On peut également chercher les éventuels antécédents de nombres de l'ensemble d'arrivée. \\
Pour cela, on résout toujours une équation.\\
L'éventuel antécédent de $0$ est le nombre $x$ tel que $g(x)=0$. On doit donc résoudre :
\begin{eqnarray*}
&& 5-3x=0 \\ 
&\stackrel{-5}{\iff} & -3x=-5 \\
& \stackrel{\times (-1)}{\iff} & 3x = 5 \\
& \stackrel{/3}{\iff} & x = \dfrac{5}{3}
\end{eqnarray*}
L'antécédent de $0$ est $\dfrac53$.\\
Chercher de même les éventuels antécédents de $4$ et de $-2$.\\

\item Soit $l$ la fonction qui \`a un nombre $x$ associe le nombre $l(x)=\dfrac{3}{6-2x}$. \\
L'image de $1$ par $l$ est le nombre $l(1)=\dfrac{3}{6-2 \times 1 }= \dfrac{3}{4} $. \\
Quelle est l'image de $0$ ? de $-4$ ? \\

En fait, on peut toujours calculer $l(x)$ sauf si l'on est amené à diviser par $0$, ie si et seulement si 
 $6-2x = 0 \Longleftrightarrow x = 3$. \\
La seule valeur interdite est donc $3$. \\
L'ensemble de définition de $l$ est donc tous les nombres sauf $3$. On le note $ D_l=\R \setminus \{3\}$\\

L'éventuel antécédent de $1$ est le nombre tel que $l(x)=1$. On doit donc résoudre 
\begin{eqnarray*}
&& \dfrac{3}{6-2x}=1 \\
& \iff & 3=6-2x \quad \text{ et } x \neq 3 \\
& \stackrel{-6}{\iff} & -3 = -2 x \quad \text{ et } x \neq 3 \\
& \stackrel{\times (-1)}{\iff} & 3 = 2 x \quad \text{ et } x \neq 3 \\
& \stackrel{/2}{\iff} & x = \dfrac32 
\end{eqnarray*}
L'antécédent de $1$ est donc $\dfrac32$.\\
Quels sont les éventuels antécédents de $0$ ?
\end{itemize}
}

\Expl{ 
Soit la fonction $f$ qui \`a tout r\'eel $x$ associe le r\'eel $f(x)=3\sqrt{x+2}+\sqrt{11-x} \,$ 
quand il existe. \\
L'image de $7$ par $f$ est le nombre $f(7)=3 \sqrt{7+2}+\sqrt{11-7}=3\sqrt{9}+\sqrt{4}=3 \times 3 + 2 = 11$.\\
Calculer l'image de $4.5$, puis celle de $16$.\\

En fait, on peut toujours calculer $f(x)$ à partir du moment où les valeurs sous les racines sont 
des quantités positives. On doit donc avoir $x \geq -2$ \textbf{et} $x\leq 11$, ie $-2 \leq x \leq 11$.\\
On note $[-2;11]$ l'ensemble des nombres compris entre $-2$ et $11$ inclus et on appelle 
cet ensemble un intervalle. \\
On a donc $ D_f=[-2;11]$.\\

On sait que $7$ est un antécédent de $11$ par $f$, mais il en existe en fait un deuxième proche de $10.97$. Pour trouver le
trouver exactement, on doit résoudre l'équation $3\sqrt{x+2}+\sqrt{11-x}=11$, qui est trop compliquée en seconde.\\
}

\Cadre[Méthodes]{
 \begin{enumerate}      
 \item Pour trouver l'image d'un nombre $x$ par une fonction $f$, on remplace $x$ par sa valeur
dans l'expression algébrique de $f$ et on compte.
\item On trouve les éventuels antécédents d'un nombre $y$ par une fonction $f$ en résolvant l'équation $f(x)=y$.
 \item On trouve l'ensemble de définition d'une fonction $f$ en cherchant les valeurs interdites. Pour cela, on applique
les deux r\`egles suivantes : 
\begin{enumerate}
 \item On ne divise pas par z\'ero. 
 \item On ne prend pas la racine d'un nombre strictement n\'egatif.
\end{enumerate}
 \end{enumerate}
}



\Exop{Soit la fonction $f$ d\'efinie qui à tout réel $x$ associe le réel $f(x)=x^2-\dfrac{6}{x}$ quand il existe.
\begin{enumerate}
 \item Calculer $f(-2)$.
 \item Calculer l'image de $3$.
 \item Pourquoi l'image de $0$ par $f$ n'existe-t-elle pas ? En déduire l'ensemble de définition de $f$.
\end{enumerate}
}

\Exop{Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :$$f(x)=x^2-2x+3$$
\begin{enumerate}
 \item La fonction $f$ admet-elle des valeurs interdites ? En déduire sont ensemble de définition $D_f$.
\item Déterminer l'image par $f$ des réels $0$ ; $-\dfrac{3}{2}$ et $ \sqrt{2}$.
\item Déterminer les éventuels antécédents de $3$ par $f$.
\item Montrer que pour tout $ x\in\R$ on a $f(x)=(x-1)^2+2$.
\item En utilisant cette dernière écriture, déterminer les éventuels antécédents de $2$ et de $-4$ par $f$.
\end{enumerate}}

\Exop{Soit la fonction $g$ qui à tout réel $x$ associe le réel $g(x)=2x^2-3$\\
D\'eterminer l'image de 3, puis celle de $-1$ par la fonction $g$. \newline
D\'eterminer les ant\'ec\'edents \'eventuels de $7$, de $-3$ et de $-4$ par la fonction $g$.
}

\Exos{n$^{\circ}$ 7-9 p 46 + 55 p 54 (basiques)\\
+ n$^{\circ}$ 18 à 27 p 48 + 44 p 52 (révisions développement/factorisation à faire en \textbf{\textit{module}})\\
+ n$^{\circ}$ 28-30 p 48 (choix d'une écriture)\\
+ n$^{\circ}$ 33-35-40-41 p 50 (approfondissement)}

\section{Ensembles de nombres}

\subsection{Divers type de nombres}

\Cadre[Un peu d'histoire]{
\noindent Aujourd'hui, on connait beaucoup de nombres, regroupés en ensembles en fonction de leurs propriétés, 
mais il n'en a pas toujours été ainsi. \\
Les entiers positifs (ou \textbf{\textit{naturels}}) sont connus depuis la préhistoire (au moins $-35\,000$), excepté pour le zéro découvert 
et formalisé bien plus tard. 
Les nombres pouvant s'écrirent comme quotient d'entiers (ou \textbf{\textit{rationnels}}) furent également assez vite découverts, car ils renvoient à la notion de partage.\\
Rapidement (au moins $-2000$), on s'intéresse à certains nombres \textit{\textbf{irrationnels}} particuliers
(réels ne pouvant pas s'écrire comme le quotient de deux entiers), tels que $\sqrt{2}$ ou $\pi$.\\
On manipule les 4 opérations depuis fort longtemps, dont la soustraction. Cependant, il faudra attendre le VIII$^e$ siècle pour
que les nombres négatifs soient découverts, suite à l'introduction de la numération positionnelle, des chiffres arabes 
et du fameux zéro.\\
Cette découverte est probablement la plus importante de l'algèbre. Elle arriva avec la mise en place d'une 
méthode générale de résolution d'équation. On constata alors qu'une équation n'ayant que des paramètres entier positifs
pouvait avoir des solutions qui ne l'étaient pas (comme $2x+5=3$)... On fut donc contraint de s'int\'eresser \`a la nature des nombres, 
et d'en introduire de nouveaux, comme les négatifs.
}

On a vu précédemment de nouvelles notations pour désigner un ensemble de nombres. Il en existe d'autres, résumées 
dans cette partie.\\

\Defc{
Rappelons déjà que $\R$ désigne l'ensemble des nombres que vous connaissez, appelés \textbf{nombres réels}.\\
$\Q$ désigne l'ensemble des nombres pouvant s'écrire sous forme d'une fraction (quotient de deux entiers et de dénominateurs non nul),
appelés \textbf{nombres rationnels}.\\
$\Z$ désigne l'ensemble des nombres entiers, appelés \textbf{nombres entiers relatifs}.\\
$\N$ désigne l'ensemble des nombres entiers positifs ou nul, appelés \textbf{nombres entiers naturels}.
}

\Expls{A faire trouver}

\Rq{
On remarquera que tout entier naturel est également un entier relatif.\\
De même tout entier relatif peut s'écrire comme une fraction de dénominateur 1, c'est donc également un rationnel.\\
Enfin tout rationnel est un nombre que vous connaissez, c'est donc un réel.\\
Nous utiliserons peu les autres notations que $\R$ dans ce chapitre.
}

\subsection{Intervalles de $\R$}

Il est souvent utile de ne désigner qu'une partie de $\R$, notamment pour les ensembles de définition. 
En particulier, on s'intéressera souvent à l'ensemble des nombres compris entre deux autres fixés, appelés \textbf{intervalle}.\\
Les tableaux ci-dessous résument les diverses situations.\\

Soient $a$ et $b$ deux r\'eels tels que $a<b$. 

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline 
In\'egalit\'e & Repr\'esentation graphique & Intervalle born\'e & D\'enomination \\ \hline
$a \leq x \leq b$ & & &  \\ &&&\\\hline
& & & Intervalle ouvert \\&&&\\\hline
& & & Intervalle semi-ouvert \\
& & & \`a droite \\\hline
& & & Intervalle semi-ouvert \\
& & & \`a gauche \\\hline
\end{tabular}

\vspace{0.5cm}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
 In\'egalit\'e & Repr\'esentation graphique & Intervalle  & D\'enomination \\ \hline
$x \geq a$ & & $[a;+\infty [$ & Intervalle ferm\'e \\&&&\\  \hline
& & $]a;+\infty [$ &  \\&&&\\\hline
& &  &  \\&&&\\\hline
& & &  \\&&&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\Rq{ On note :\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
 \item  $\R^+=[0;+\infty[$
\item  $\R^-=]-\infty;0]$
\item   $\R^*=\R\smallsetminus \{0\}$
\item  $\R^{+*}=]0;+\infty[$
\item  $\R^{-*}=]-\infty;0[$
\item $\R=]-\infty;+\infty[$
\end{itemize}
\end{multicols}
}

\Expls{\begin{enumerate}
      \item Donner les intervalles correspondant aux in\'egalit\'es suivantes:
$$-6\leq x \leq 7 \qquad\qquad -5<x \qquad\qquad x\leq 3 $$
\item Donner les in\'egalit\'es correspondant aux intervalles suivants :
$$\left] \dfrac{1}{3} ; \sqrt{7} \right] \qquad \qquad \left[ -\sqrt{5};+\infty\right[ $$
     \end{enumerate}
}


\Exos{n$^{\circ}$ 1-2 p 46 + 50-52-53 p 53}

\section{Algorithmie}


\Cadre[Un peu d'histoire]{

\noindent Dans l'antiquit\'e, les math\'ematiques sont utilis\'ees pour les besoins quotidiens, tels que des calculs 
d'aires de champs, d'imp\^ots lors des crues du Nil, de constructions.
Elles servent aussi \`a r\'esoudre des probl\`emes dans lesquels figure une (ou plusieurs) quantit\'e inconnue \`a trouver. \\
Vers 1800-1500 avant JC, les Babyloniens savent déjà résoudre des équations du $1^{er}$ et du $2^{nd}$ degré.
On parle de ''chose'' à trouver et on suit un discours logique phrasé (peu clair pour nous aujourd'hui) pour arriver à une solution.\\
Ce n'est qu'au VIII$^e$ si\`ecle, avec l'introduction de la num\'eration positionnelle, des chiffres arabes et du z\'ero, 
que la th\'eorie générale prend place peu \`a peu. Le point de d\'epart est de d\'esigner dans des calculs l'inconnue 
par un symbole (aujourd'hui souvent la lettre $x$)  puis de mettre en \'equation les probl\`emes. \\
Rapidement, on comprend l'int\'er\^et d'une telle m\'ethode. C'est \textit{Al-Khawarizmi} qui le premier s'int\'eresse \`a cela et
classifie les différents types d'équations, afin que dans chaque problème, 
on n'ait plus qu'à reconnaitre le type d'équation et suivre la méthode générale appropriée, menant à la solution.
Le mot \textit{\textbf{algorithme}} découle de son nom et d\'esigne aujourd'hui \textbf{\textit{une proc\'edure \`a suivre, \`a partir d'un 
\'el\'ement donn\'e, pour arriver \`a une solution unique}}. \\
\noindent Jusqu'au d\'ebut du XIX$^e$, trouver des algorithmes de r\'esolutions d'\'equations constituent la 
pr\'eoccupation principale des alg\'ebristes. Ils d\'eveloppent la notation symbolique et la conventionnent :
au XVI$^e$ Viete s\'epare l'alphabet en deux, le d\'ebut d\'esignant plut\^ot 
les param\`etres, la fin les inconnues, ce qui est encore utilisé de nos jours. 
On cat\'egorise les \'equations suivants leurs param\`etres, leur degr\'e et 
leur nombre d'inconnues, afin de g\'en\'eraliser le plus possible leur r\'esolution.Parallèlement, la notion de fonction prend forme.\\
Les équations de degré 3 sont résolues par les italiens Tartaglia et Cardan au XVI$^e$ si\`ecle, et celles de degré 4
par l'élève de ce dernier, Ferrari. 
L'histoire des formules de résolution s'arrête là, car le français Evariste Galois (1811-1832) montre au XIX$^e$ qu'il
est impossible de trouver des formules de résolution pour les équations de degré supérieur ou égal à 5.\\
}\\


\Defc{
Un \textbf{algorithme} est une suite d'instructions, qui, une fois ex\'ecut\'ee correctement, conduit \`a un unique résultat.
}


\Expls{Indiquer un itinéraire allant d'un lieu à un autre, une recette de cuisine, télécharger un ficher, compresser des données, les jeux vidéos,
les feux tricolores, les lumières de la tour Eifel, le pilote automatique des avions, la cryptographie (codage de messages) ...\\
En mathématiques, vous connaissez déjà l'algorithme d'Euclide qui  permet de trouver le pgcd de deux nombres entiers positifs. \\
Les Babyloniens suivaient un algorithme très performant pour trouver une valeur approchée de la racine carré d'un nombre.\\
Dans ce chapitre, nous allons écrire un algorithme pour calculer les images d'une fonction donnée.}

\Expl[Vocabulaire, démarche et rédaction]{
 Dans certains magasins, en période de soldes, le prix figurant sur un article correspond au prix sans la remise et une étiquette précise 
$-20\%$, $-30\%$ ...\\
On voudrait écrire un algorithme, puis un programme sur Algobox, qui détermine le montant de la remise ainsi que le prix à payer. }
\begin{enumerate} \item \textbf{Détermination des variables : analyse préliminaire}
\begin{enumerate}
 \item Quelles sont les informations initiales dont nous avons besoin ?\\
On les appelle les \textit{entrées} de l'algorithme.
 \item Que doit-on calculer ?\\
% \item Que doit-on obtenir à la fin ?\\
On prendra l'habitude de faire afficher le(s) résultat(s) de l'algorithme, que l'on appelle \textit{sortie(s)}.\\
L'ensemble des données de l'algorithme pouvant variées (entrées-sorties) sont les \textit{variables}. 
\end{enumerate}
\item \textbf{Rédaction du processus français : l'algorithme}\\
On commence toujours un algorithme en énonçant les variables mise en jeu (désignées par des lettres), et en précisant leur nature (nombre, mots ...)\\
\textit{Saisir} une donnée permet à l'utilisateur d'attribuer une valeur à une variable (ce sont les entrées).\\
\textit{Affecter} une donnée permet à l'algorithme d'attribuer une valeur à une variable (on peut aussi utiliser le 
symbole $\to$ )\\
\textit{Afficher} permet à l'utilisateur de voir un texte (entre guillemets) ou la valeur d'une variable à l'écran.
 Compléter l'algorithme suivant  :
\Algo[Calcul d'une remise et d'un nouveau montant]{12cm}{
\Var{ ...., ...., ...., ....  sont des nombres réels
}
\Deb{
 Saisir  ...\\
 Saisir  ...\\
 Affecter à  ...  la valeur  .........\\
 ......  $\to$  ...\\
 Afficher " Le montant de la remise est "  ...\\
 Afficher " Le prix à payer est "  ...\\
}
}

\item \textbf{La programmation : sur Algobox et sur TI}\\
Trouver comment programmer cet algorithme sur Algobox et sur votre calculatrice.\\
\end{enumerate}



\Rqs{
\item 
Pour fonctionner, un algorithme doit contenir uniquement des instructions compr\'ehensibles par celui qui devra 
l'ex\'ecuter %(sinon il suffirait de dire pour indiquer un chemin d'aller de l\`a o\`u l'on est \`a l'endroit d\'esir\'e !).\\
\item En math\'ematiques, les algorithmes consistent par exemple en des suites d'op\'erations \`a effectuer (pour les 
fonctions notamment), 
ou des suites de manipulations \`a faire (pour construire une figure g\'eom\'etrique). \\
On consid\`ere pour acquises les connaissances du coll\`ege, et l'on pourra donc les utiliser comme instructions.
\item On peut alors voir une fonction numérique comme une machine, dans laquelle on introduit un nombre 
et en ressort un nombre transform\'e ou modifi\'e, suivant un algorithme de calcul donné. 
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-2)(11.9,1)
\def\xmin{-4} \def\xmax{12} \def\ymin{-4} \def\ymax{1}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-4.2,-3.2)(12.2,1.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(3.0000,1.0000)(3.0000,-1.0000)(5.0000,-1.0000)(5.0000,1.0000)
\psline(0.0000,0.0000)(3.0000,0.0000)
\psline(5.0000,0.0000)(8.0000,0.0000)
\uput{0.30000}[-180.0000](0.0000,0.0000){Nombre}
\uput{0.3000}[0.0000](3.0000,0.0000){Machine}
\uput{0.3000}[0.0000](8.0000,0.0000){Nombre transform\'e}
\uput{0.3000}[-180.0000](-0.5000,-0.50000){$x$}
\uput{0.300}[0.0000](3.5000,-0.5000){$f$}
\uput{0.300}[0.0000](8.5000,-0.50000){$f(x)$}
\uput{2.0000}[-122.0000](1.0000,0.5000){Ant\'ec\'edent}
\uput{2.0000}[-70.0000](3.0000,0.5000){Fonction}
\uput{2.2000}[-57.0000](8.0000,0.50000){Image}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
}

\Expl{
Consid\'erons la machine $f$ qui retranche 3 et \'el\`eve au carr\'e.
\begin{itemize}
  \item Si on rentre le nombre 0, il en ressort 9, ou encore l'image de 0  par $f$ est $9$, ou encore $f(0)=9$
\item Si on rentre 3, il en ressort 0, ie l'image de $3$ par $f$ vaut $0$, ie $f(3)=0$.
 \item Si on rentre le nombre $-4$, il en ressort 49, ou encore l'image de $-4$  par $f$ est $49$, ou encore $f(-4)=49$
 \item Si on rentre $\sqrt{2}$, il en ressort $(\sqrt{2}-3)^2$, ie $f(\sqrt{2})=(\sqrt{2}-3)^2$.
 \item Si on rentre $x$, il en ressort $(x-3)^2$, ie $f(x)=(x-3)^2$.
\end{itemize}
Ici, on a décrit la fonction numérique $f: x \longmapsto   (x-3)^2 $ dont l'ensemble de définition est $\R$,
par l'algorithme calculatoire : $$x \longmapsto x-3 \longmapsto(x-3)^2$$
L'algorithme détaillant les étapes de calcul et donnant en sortie l'image d'un nombre est le suivant :}
\begin{center}
%\begin{multicols}{2}
\begin{minipage}[c]{7cm}
\Algo[Fonction]{6.5cm}{
\Var{$x$, $y$, $a$ sont des nombres réels
}
\Deb{
 Saisir $x$\\
 Affecter à $a$ la valeur $x-3$\\
 $a^2 \to  y$ \\
 Afficher $y$
}
}
\end{minipage}
\qquad ou encore \qquad
\begin{minipage}[c]{7cm}
\Algo[Fonction]{6.5cm}{
\Var{$x$, $y$ sont des nombres réels
}
\Deb{
 Saisir $x$\\
 Affecter à $y$ la valeur $x-3$\\
 $y^2 \to  y$ \\
 Afficher $y$
}
}
\end{minipage}
%\end{multicols}
\end{center}



On aimerait désormais écrire un algorithme donnant les éventuels antécédent d'un nombre par la fonction $f$.\\
Par exemple, un antécédent de $9$  par $f$ est $0$, car on a vu précédemment que $f(0)=9$. Mais il en existe peut-être d'autres.\\
Pour tous les trouver, on doit résoudre $f(x)=9$. Or 
\begin{eqnarray*}
(x-3)^2=9 & \Longleftrightarrow &  x-3 = 3 \textrm{ ou } x-3 = -3\\
 & \Longleftrightarrow & x = 6 \textrm{ ou } x = 0 
\end{eqnarray*}
Donc les antécédents de $9$ par $f$ sont $0$ et $6$.\\
Un antécédent de $0$ par $f$ est $3$. On peut vérifier que c'est le seul en résolvant l'équation $(x-3)^2 = 0$.\\
Par contre, $-1$ n'a pas d'antécédent par $f$, car l'équation $(x-3)^2=-1$ n'a pas de solutions.\\
L'algorithme cherché est : 

\Algo[Antécédents]{12cm}{
\Var{$x_1$, $x_2$, $y$, $a$, $b$ sont des nombres réels
}
\Deb{
  Saisir $y$\\
  \IfThenElse{$y < 0$}
    {Afficher $y$ "n'a pas d'antécédent par $f$"}
    {Affecter à $a$ la valeur $\sqrt{y}$\\
    Affecter à $b$ la valeur $-\sqrt{y}$\\
    Affecter à $x_1$ la valeur $a+3$\\
    Affecteur à $x_2$ la valeur $b+3$\\
    Afficher "Les antécédents de" $y$ "sont" $x_1$ "et" $x_2$
}
}
}

\Exop{
On choisit un nombre, on lui ajoute 4, on \'el\`eve le r\'esultat au carr\'e, on retranche 16 
et on divise le tout par le nombre de d\'epart. \\
Quelle est la fonction $blop$ décrite par cet algorithme ? 
Quelle est l'image de 4 ? Que vaut $blop(0)$ ?
}


\begin{multicols}{2}
\Exop{
Décrire la fonction associée à l'algorithme ci-contre et donner son ensemble de définition.}
\Algo{8cm}{
\Var{$x$ et $y$ sont des nombres réels}
\Deb{
Saisir $x$\\
Affecter à $y$ la valeur $\sqrt{2x}+5$\\
Afficher $y$
}
}
\end{multicols}

\Exop{Ecrire un algorithme permettant de déterminer les antécédents de n'importe quel nombre réel $y$ par 
la fonction $f$ définie sur $\R$ par $ f(x)=3x+1$
}

\Exos{n$^{\circ}$ 4 p 46 + 45 p 52}


\Exop{
Déterminer \textbf{toutes} les bonnes réponses.\\
On donne le programme de calcul suivant et l'algorithme correspondant : }
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item Une expression algébrique de la fonction $f$ définie sur $\R$ par cet algorithme est :
%\begin{multicols}{3}
 \begin{enumerate}
 \item $f(x)=x^2-2x+2$
 \item $(x-1)^2 + 1 $
 \item $f(x)=x^2+2$
\end{enumerate}
%\end{multicols}
\item L'image de $2$ par $f$ est : 
\begin{multicols}{3}
 \begin{enumerate}
 \item $0$
 \item $2$
 \item $10$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item L'image de $-1$ par $f$ est : 
\begin{multicols}{3}
 \begin{enumerate}
 \item $-1$
 \item $-3$
 \item $5$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Les antécédents de $10$ par $f$ sont : 
\begin{multicols}{3}
 \begin{enumerate}
 \item $4$
 \item $-2$
 \item $0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Les antécédents de $17$ par $f$ sont : 
\begin{multicols}{3}
 \begin{enumerate}
 \item $5$
 \item $2$
 \item $-3$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}

\fbox{
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\textbf{ Programme de calcul}
\end{center}
 \begin{itemize}
 \item Choisir un nombre
 \item Mettre le nombre au carré
 \item Calculer le double du nombre
 \item Soustraire le deuxième résultat au premier
 \item Ajouter 2.
\end{itemize}
\end{minipage}
}
\Algo{7cm}{
\Var{$x$, $a$, $b$, $c$ sont des nombres réels}
\Deb{
Entrer $x$
$a \leftarrow x^2 $ \\
$b \leftarrow 2 \times x $ \\
$c \leftarrow a-b + 2 $\\
Afficher $c$
}
}
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
 \Exop{
Donner \textbf{toutes} les bonnes réponses.
On donne l'algorithme ci-contre :
\begin{enumerate}
 \item Le nombre obtenu avec l'entrée $-2$ est :
\begin{multicols}{3}
 \begin{enumerate}
  \item $0$ \item $-4$ \item $12$
 \end{enumerate}
\end{multicols}
 \item Le nombre obtenu avec l'entrée $1$ est :
\begin{multicols}{3}
 \begin{enumerate}
  \item $5$ \item $2$ \item $13$
 \end{enumerate}
\end{multicols}
 \item Si on veut obtenir $0$, on peut entrer :
\begin{multicols}{3}
 \begin{enumerate}
  \item $0$ \item $-2$ \item $-4$
 \end{enumerate}
\end{multicols}
 \item Si on veut obtenir $-4$, on peut entrer :
\begin{multicols}{3}
 \begin{enumerate}
  \item $0$ \item $2$ \item $-2$
 \end{enumerate}
\end{multicols}
 \item Une expression algébrique de la fonction $f$ définie sur $\R$ par cet algorithme est  :
%\begin{multicols}{3}
 \begin{enumerate}
  \item $f(x)=x^2-2$ \item $f(x)=(x+2)^2-4$ \item $f(x)=x^2+4x$
 \end{enumerate}
%\end{multicols}
\end{enumerate}
}
\Algo{7cm}{
\Var{
$x$, $a$ et $b$ sont des nombres réels
}
\Deb{
Entrer $x$ \\
$a \leftarrow x+2 $\\
$b \leftarrow a^2 - 4 $ \\
Afficher $b$
}
}
\end{multicols}

\Exop{
Un consommateur a la possibilité de choisir entre deux formules de location d'un studio pour ses vacances :
\begin{itemize}
 \item Formule A : location fixe de $205\euro + 10 \euro$ de charges par jour 
 \item Formule B : location fixe de $300\euro + 5  \euro$ de charges par jour.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
 \item Quelle est la formule la plus avantageuse pour une location d'une semaine ? de 12 jours ?
 \item Pour chaque formule, exprimer le montant à régler en fonction du nombre $N$ de jours de location.
 \item D'une façon plus générale, le consommateur souhaite connaître la formule la plus avantageuse en fonction du 
nombre de jours de location.\\
On lui propose les algorithmes suivants.\\
Quel(s) est (sont) le(s) algorithme(s) correct(s) ?
\end{enumerate}
}
\begin{multicols}{3}
 \Algo{6cm}{
\Var{
$N$, $A$, $B$ sont des nombres entiers}
\Deb{
Entree $N$\\
$A \leftarrow 250 + 10 N$ \\
$B \leftarrow 300+5N$\\
\IfThenElse{$A<B$}{Afficher $\og B \fg $}
{\IfThenElse{$A=B$}{Afficher $\og A $ ou $B \fg$}{Afficher $\og A \fg $ }}
}
}
 \Algo{6cm}{
\Var{
$N$, $A$, $B$ sont des nombres entiers}
\Deb{
Entree $N$\\
$A \leftarrow 250 + 10 N$ \\
$B \leftarrow 300+5N$\\
\IfThenElse{$A<B$}{Afficher $\og A \fg $}
{\IfThenElse{$A=B$}{Afficher $\og A $ ou $B \fg$}{Afficher $\og B \fg $ }}
}
}
 \Algo{6cm}{
\Var{
$N$, $D$ sont des nombres entiers}
\Deb{
Entree $N$\\
$D \leftarrow 5N-50$ \\
\IfThenElse{$D>0$}{Afficher $\og B \fg $}
{\IfThenElse{$D=0$}{Afficher $\og A $ ou $B \fg$}{Afficher $\og A \fg $ }}
}
}

\end{multicols}


\section{Représentation graphique d'une fonction}
\subsection{Définition}

On peut associer \`a une fonction un tableau de valeurs (que l'on trouve à la calculatrice). 
Il comporte deux lignes, la premi\`ere regroupe les ant\'ec\'edents $x$ et la seconde les images $f(x)$ correspondantes.\\
On peut alors placer les points de coordonnées $(x;f(x))$ dans un repère $(O; I ; J )$ du plan.\\


\Defc{
La \textbf{courbe représentative} $\mathscr C_f$ (ou encore \textbf{représentation graphique}) d'une fonction $f$ d\'efinie sur $D_f$ 
est l'ensemble des points de coordonn\'ees $\left(x;f(x)\right)$ o\`u $x$ parcourt $D_f$.\\
Autrement dit : $M(x;y) \in \mathscr C_f $ si et seulement si $\left\{\begin{array}{cc}
                                                                       x\in D_f \\ f(x)=y.
                                                                      \end{array} \right.$\\
On dit que la courbe $\mathscr C_f$ a pour équation $y=f(x)$ dans le repère choisi.
}

\Expl{Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=x^2-1$. Compléter le tableau de valeurs suivant grâce à la calculatrice:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
 $x$ & -2 & -1 & $-0.5$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\\hline
 $f(x)$ & & & & & & &  \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
Repr\'esenter dans un rep\`ere orthonorm\'e les points de coordonn\'ees $\left(x;f(x)\right)$. \\
Imaginer alors l'allure de la courbe repr\'esentative  $\mathscr C_f$ de la fonction $f$.\\
Le point $A(1.5;1.25)$ appartient-il à $\mathscr C_f$ ? Et le point $B(0.5;-0.7)$?
}


\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-3,-2)(3,6)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-2} \def\ymax{6}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.1,-2.1)(3.1,6.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psset{xunit=0.25cm,yunit=0.25cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-15,-10)(15,30)
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[u](0.9,0){I}
\uput[r](0,1){J}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 2 exp 1 sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}

\noindent \Rq{
Pour tracer la courbe repr\'esentative  d'une fonction, on relie les points du tableau de valeurs avec le plus 
de coh\'erence possible.  On prendra toujours un tableau  avec \textbf{\textit{au moins 10 valeurs}} et on consultera
le trac\'e de la courbe sur la calculatrice pour s'aider.\\
N\'eanmoins, on ne sait pas exactement comment varie la fonction entre deux points de la courbe, ni en dehors du graphique.
}

\Cadre[Utilisation de la calculatrice]{Pour obtenir un tableau de valeurs (et la courbe repr\'esentative d'une fonction) \`a la calculatrice graphique :
\begin{itemize}
 \item On rentre la fonction consid\'er\'ee dans \fbox{Y=} \textbf{ou} dans \fbox{f(x)} \textbf{ou} dans \fbox{Menu} + \fbox{Graph}.
 \item On r\`egle les param\`etres du tableau de valeurs (premi\`ere, derni\`ere valeur de $x$ et pas) dans 
le menu \fbox{Table} + \fbox{Tblset} (jaune + F4) \textbf{ou} dans \fbox{Déf table} (jaune + F2) \textbf{ou} dans \fbox{Menu} + \fbox{Table} + \fbox{F5} :
\begin{center}
\begin{multicols}{2}
 \textbf{CASIO}\\
Start=... \\
End=... \\
Pitch=... \\

\textbf{TI}\\
TblStart=... \\
$\Delta$Tbl=... \\
\end{multicols}
\end{center}
\item On règle les param\`etres de la fenêtre graphique (début et fin du $x$, début et fin du $y$, échelle) dans 
le menu \fbox{Graphe} + \fbox{windowset} (jaune + F?) \textbf{ou} dans \fbox{fenêtre} \textbf{ou} dans \fbox{Menu} + \fbox{graphe} + \fbox{F5} :
\begin{center}
\begin{multicols}{2}
 \textbf{CASIO}\\
Start=... \\
End=... \\
Pitch=... \\

\textbf{TI}\\
TblStart=... \\
$\Delta$Tbl=... \\
\end{multicols}
\end{center}
 \item On affiche le tableau de valeurs dans le menu \fbox{Table} (jaune + F5)
 \item On affiche la courbe repr\'esentative dans le menu \fbox{Graphe}.
\end{itemize}
}


\begin{multicols}{2}
\Rq{\\
Toutes les courbes ne repr\'esentent pas des fonctions. \\
On s'appuie sur la d\'efinition pour le comprendre. \\
En effet, un \'el\'ement ne peut avoir plusieurs images.\\

Ci-contre, on constate que le nombre $4$ possède deux images : $-1$ et $4$.\\
La courbe ci-contre n'est donc pas représentative d'une fonction.
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(6.8,6)
\def\xmin{-3} \def\xmax{7} \def\ymin{-3} \def\ymax{6}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.2,-3.2)(7.2,6.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pscircle(1.5000,1.5000){2.85}
\psline[linestyle=dashed](4.0000,-3.0000)(4.0000,6.0000)
%\uput{0.5000}[-120.0000](4.0000,0.0000){$x$}
\psline[linestyle=dashed](-3.0000,4.0000)(7.0000,4.0000)
\psline[linestyle=dashed](-3.0000,-1.0000)(7.0000,-1.0000)
%\uput{0.3000}[-50.0000](0.0000,-1.0000){$y_1$}
%\uput{0.3000}[50.0000](0.0000,4.0000){$y_2$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\uput[u](0.9,0){I}
\uput[r](0,1){J}
\end{pspicture*}
\end{center}
}
\end{multicols}



\Expls{Tracer les courbes représentatives des fonctions $f$, $g$ et $h$ définies sur $\R$ par 
$$f(x)=3 \qquad g(x)=2x+1 \qquad \text{et} \qquad  h(x)=-2x+1$$
}

\Exos{n$^{\circ}$ 10 à 12 p 47 + 62 p 55}

\subsection{Lecture graphique}

\Act{Reprendre l'une des courbes tracées précédemment et répondre à des questions de lecture graphique, telles que ensemble de définition,
 image, antécédents, signes ...
}

\Cadre[Méthodes pour déterminer graphiquement ]{
\begin{itemize}
 \item \textbf{Un ensemble de définition} : On détermine l'ensemble des abscisses de tous les points de la courbe représentative.\\
Puis on le décrit sous la forme d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalles, en faisant attention aux bornes (crochets ouverts ou fermés).
 \item \textbf{L'image $f(a)$ d'un réel $a$} : On place sur la courbe le point d'abscisse $a$ et on lit son ordonnée.
 \item \textbf{Les éventuels antécédents d'un réel $b$} : On place sur la courbe tous les points éventuels d'ordonnées
$b$ (on peut les mettre en 
évidence en traçant la droite parallèle à l'axe des abcisses passant par le point $(0;b)$ d'équation $y=b$) et on lit leur abscisses.
\end{itemize}
}

\Expl{Dessin Déclic p 18 (méthodes) + n$^{\circ}$ 26 à 29 p 29 (basiques) + 38 à 41 p 31 (classiques)}

\Exos{n$^{\circ}$ 3 + 13 + 17 p 46 (classiques) + 48 p 52 (critique) + 54-57 p 54}

\setcounter{algor}{1}
\begin{multicols}{2}
\Exop{
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par $$f(x)=2x^2-x+1 \text{  et } g(x)=\dfrac{3x+1}{2x-1}$$
\begin{enumerate}
 \item Quel est l'ensemble de définition de $f$ ? \\
Celui de $g$ ?
 \item \textbf{Boucle Si}.
\begin{enumerate}
 \item Que fait l'algorithme 1 ?
 \item Ecrire un algorithme similaire pour la fonction $g$ (en prenant soin de traiter à part le cas de la valeur interdite)
\end{enumerate}
 \item \textbf{Boucle Pour.}
\begin{enumerate}
\item Que fait l'algorithme 2 ?
 \item Ecrire un algorithme qui donne un tableau de valeurs de $g$, pour $x$ allant de $-2$ à $3$, avec un pas de $0.5$
 (avec pour réponse \og valeur interdite \fg\, quand nécessaire). 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Algo{9cm}{
\Var{
$x$, $y$ et $a$ sont des nombres réels
}
\Deb{
Entrer $x$ et $y$ \\
$a$ prend la valeur $2x^2-x+1$\\
\IfThenElse{$y==a$}{Afficher \og Le point $(x;y)$ appartient à la courbe représentative de $f$\fg}{
Afficher \og Le point $(x;y)$ n'appartient pas à la courbe représentative de $f$\fg} 
}
}
\end{multicols}

\Algo{7cm}{
\Var{
$x$, $y$ et $i$ sont des nombres réels
}
\Deb{
Entrer $x$ \\
\For{$i=-3$ \textbf{à} $5$}{
$y$ prend la valeur $2x^2-x+1$\\
Afficher $(x;y)$\\
$i$ prend la valeur $i+1$
}
}
}
 

\Exop{
On considère la fonction $f$ définie sur $[-2;4]$ par :
$$f(x)=\left\{\begin{array}{lll}
               x+1 & \text{si} & x\in[-2;1] \\
	-x^2+1 & \text{si} & x\in]1;4]
              \end{array}\right.$$
\begin{enumerate}
 \item Ecrire un algorithme qui permette de calculer l'image par $f$ d'un nombre $x$.
 \item Construire la courbe représentative de $f$.
\end{enumerate}
}
\begin{multicols}{2}
\Exop{On considère l'algorithme 3 :
\begin{enumerate}
 \item Faire fonctionner cet algorithme pour $x=-2$, $x=1$ et $x=3$.
 \item Cet algorithme définit une fonction $f$.
\begin{enumerate}
 \item Donner l'ensemble de définition de $f$.
 \item Exprimer $f(x)$ en fonction de $x$.
 \item Représenter graphiquement la fonction $f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\Algo{7cm}{
\Var{
$x$ et $y$ sont des nombres réels
}
\Deb{
Entrer $x$ \\
\IfThenElse{$x< 1$}{$y \leftarrow x^2 $}{$y \leftarrow 2x $} \\
Afficher $y$
}
}

\end{multicols}

\textit{\textbf{Approfondissement possible : établir graphiquement le signe d'une 
fonction, réfléchir à la cohérence entre un tableau (de valeurs ou de signe) et une courbe représentative... 
}}
%\vspace{20mm}
\begin{epigraphe}
{Le dessin n'est pas la forme, il est la manière de voir la forme.}{Degas}{Edgar}
\end{epigraphe}


\end{document}
