\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 4}
\newcommand{\Ch}{Vecteurs et droites}
\newcommand{\Cl}{1SSI}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=2cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 
\debutSsCadreCha

\Act{
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-14,-7)(13,7)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-14,-7)(13,7)
\psset{algebraic=true,dotstyle=x,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-14,-7)(13,7)
\psline{->}(2,2)(10,6)
\psline{->}(8,-6)(12,-4)
\psline{->}(1,0)(-3,-2)
\psline{->}(-4,2)(-13,-2.5)
\psline{->}(-6,4)(-2,6)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2,2)
\rput[bl](1.6,2.2){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](10,6)
\rput[bl](10.07,6.11){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](8,-6)
\rput[bl](7.78,-5.7){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](12,-4)
\rput[bl](12.07,-3.8){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,0)
\rput[bl](1.09,0.12){\blue{$E$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-3,-2)
\rput[bl](-3.19,-1.8){\blue{$F$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-4,2)
\rput[bl](-3.92,2.12){\blue{$G$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-13,-2.5)
\rput[bl](-12.85,-3){\blue{$H$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-6,4)
\rput[bl](-5.85,3.5){\blue{$I$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-2,6)
\rput[bl](-1.85,5.5){\blue{$J$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
}

\vspace{0.5cm}

\Defc[Translation de vecteur]{
Le \textbf{vecteur} $\overrightarrow{AB}$ symbolise le déplacement rectiligne de $A$ vers $B$. On l'associe à la
translation qui transforme $A$ en $B$, noté $t_{\overrightarrow{AB}}$. 
}


\Cadre[Caract\'erisation d'un vecteur]{Un vecteur non nul du plan est caract\'eris\'e par :
\begin{center}
  Sa direction \qquad\qquad\qquad\qquad Son sens \qquad\qquad\qquad\qquad Sa longueur
\end{center}
}

\Rqs{
\item Un vecteur est ind\'ependant de son point de son origine (point de départ)
\item Si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ son \'egaux, on peut leur donner un m\^eme nom, 
par exemple $\vec u$. \\
On dit que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont des repr\'esentants du 
vecteur $\vec u$.
\item Il existe un vecteur qui n'a ni direction, ni sens, et de la longueur 0. On l'appelle le \textit{vecteur nul} 
et on le note $\vec 0$.
\item Deux vecteurs sont dits oppos\'es lorsqu'ils ont la m\^eme direction, la m\^eme norme, mais des sens oppos\'es.\\
On note $-\vec u $ l'oppos\'e du vecteur $\vec u$. Ainsi l'oppos\'e de $\overrightarrow{AB}$ est $-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}$
\item La longueur d'un vecteur $\vec u$ est aussi appel\'ee norme. C'est un donc nombre positif ou nul. On le note $||\vec u||$. \\
En particulier : $||\overrightarrow{AB}||=AB$
}

\Ptec{
Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points avec $A$ et $B$ distincts. \newline
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont \'egaux si et seulement si $ABDC$ est un parallelogramme.
}



\Defc{Soit $\vec u $ un vecteur du plan muni d'un repère  $(O; \vec i; \vec j)$.
On appelle coordonnées du vecteur $\vec u$ les coordonnées du point $M$ tel que $\vec u = \overrightarrow{OM}$.
Si $M(x;y)$, on note $\vec u(x;y)$ ou encore $\vec u\left(\begin{array}{c}
                                  x \\ y
                                 \end{array}\right)$
}

\Rqs{
\item Le couple $\vec u\left(\begin{array}{c}
                                  x \\ y
                                 \end{array}\right)$
correspond également au déplacement effectué sur le quadrillage.
\item Celles-ci sont donc indépendantes de l'origine du repère.
\item A partir de maintenant, on se place dans un repère $(O; \vec i ; \vec j )$ du plan.
\item On en déduit facilement que deux vecteurs sont égaux ssi ils ont les mêmes coordonnées dans un repère.
$$\vec u\left(\begin{array}{c}
                                  x \\ y
                                 \end{array}\right) = \vec v\left(\begin{array}{c}
                                  x' \\ y'
                                 \end{array}\right) \Longleftrightarrow   x=x \textrm{  et } y=y' $$
}

\Ptec{
Soit $\vec u\left(\begin{array}{c}
                                  x \\ y
                                 \end{array}\right)$ un vecteur dans un rep\`ere \textbf{orthonormal} $(O;\vec i; \vec j )$. 
Grâce au théorème de Pythagore, on montre que :
$$||\vec u||=\sqrt{x^2+y^2}$$
}

\Ptec{
Si $A$ et $B$ sont deux points de coordonn\'ees respectives $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ alors les coordonn\'ees du vecteur
 $\overrightarrow{AB}$ sont 
$$\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}
                                  x_B-x_A \\ y_B-y_A
                                 \end{array}\right)$$
On a donc aussi : $$AB=||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$$
}



\Defc[Somme de vecteurs]{
La \textbf{somme de deux vecteurs} $\vec u$ et $\vec v$ est le vecteur associé à la translation résultant
 de l'enchaînement des translations de vecteurs $\vec u$ et de vecteur $\vec v$. On le note $\vec u + \vec v$.
}

\Rq{
On retiendra l'idée que l'on met \og bout à bout \fg les vecteurs puis que les \og détours \fg ne comptent pas, 
puisque le vecteur somme est le chemin \textit{rectiligne} entre le point de départ du chemin fomé et son point d'arrivée.
}

On en déduit immédiatement le résultat suivant.\\

\Ptec[Relation de Chasles]{
Pour tous points $A$, $B$ et $C$, on a : 
$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$$
}

\Defc[Produit d'un vecteur par nombre réel]{
Soit $k\in\R^*$.
Le produit d'un vecteur $\vec u$ par $k$ est le vecteur not\'e $k\vec u$. Il est défini comme le vecteur ayant :
\begin{itemize}
 \item la même direction que $\vec u$
 \item le même sens que $\vec u$ si $k>0$, le sens contraire si $k<0$.
 \item une norme égale à $k$ fois celle de $\vec u$. 
\end{itemize}
}

\Rq{
Soient deux vecteurs $\vec u( x ; y)$ et $\vec v( x' ; y')$ et $k$ un nombre réel. On a  :
\begin{center}
$\vec u + \vec v$ a pour coordonn\'ees $\left(\begin{array}{c} x+x' \\ y+y' \end{array} \right)$\qquad et \qquad 
 $k\vec u$ a pour coordonn\'ees $\left(\begin{array}{c}  kx \\ ky \end{array} \right)$
\end{center}
}




\end{document}

 