\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 4}
\newcommand{\Ch}{Vecteurs et droites}
\newcommand{\Cl}{1SSI}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2cm}

\setcounter{NumLecon}{4}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}

\debutExoCha
%\Cj{\Ch}
 
\Exop{Déterminer le(s) valeur(s) de $k$ telle(s) que les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ soient colinéaires :
\begin{enumerate}
 \item $\vec u  \left(\begin{array}{c} k \\ 1 \end{array} \right) \qquad 
\vec v  \left(\begin{array}{c} 5 \\ k+1 \end{array} \right)$
 \item $\vec u  \left(\begin{array}{c} -k+1 \\ -2 \end{array} \right) \qquad 
\vec v  \left(\begin{array}{c} k^2+17 \\ 5k-4 \end{array} \right)$
\end{enumerate}
}

\Exop{
\begin{enumerate}
 \item Trouver un réel $x$ tel que les vecteurs 
$\vec u  \left(\begin{array}{c} \cos^2(x) \\ -3\sin(x)+6 \end{array} \right) \qquad 
\vec v  \left(\begin{array}{c} \sin(x) \\ 3 \end{array} \right)$ soient colinéaires
\item L'opposé de la valeur trouvée précédemment est-elle aussi une solution ?
\item Etes-vous capable de donner d'autres solutions ? toutes les solutions ?
\end{enumerate}
}

\Exop{ Vrai ou Faux :
\begin{enumerate}
 \item Les vecteurs  $\vec u  \left(\begin{array}{c} 3^{22} \\ \dfrac1{3^{25}} \end{array} \right)$
et $\vec v  \left(\begin{array}{c} 3^{71} \\ 9^{12} \end{array} \right)$ sont colinéaires.
 \item Si $\vec u = k \vec v$ alors il existe $k'$ tel que $\vec v = k' \vec u$.
 \item $\vec 0 = k \vec 0$
 \item $\vec 0 = 0 \vec u$
\item Le vecteur $\vec u  \left(\begin{array}{c} k \\ -k \end{array} \right)$  avec $k\in\R^*$ est colinéaire au(x) vecteur(s)
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
 \item $\vec u  \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$ 
\item $\vec v  \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right)$ 
\item $\vec w  \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ 
\item $\vec z  \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)$ 
\end{multicols}
\end{enumerate}
\item Si deux vecteurs $\vec u  \left(\begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)$ et 
$\vec v  \left(\begin{array}{c} a' \\ b' \end{array} \right)$ sont colinéaires alors :
 \begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
  \item $a'b-ab'=0$ \item $ab'-a'b=0$ \item $ab'=a'b$
 \item $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a'}{b'}$ \item $\dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}$
\end{multicols} 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\Exop{
\begin{enumerate}
 \item Tracer un quadrilatère quelconque $ABCD$.\\
Placer les milieux respectifs $I$, $J$, $K$ et $L$ des côtés $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[AD]$.
\item Prouver que le quadrilatère $IJKL$ est un parallélogramme.
\end{enumerate}
}


%\Exop{
%Soient $A$ et $B$ deux points distinct du plan. On définit le point $C$ tel que $4\overrightarrow{CA}-5\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$.
%\begin{enumerate}
% \item Exprimer le vecteur $\overrightarrow{AC}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
% \item Justifier que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
% \item Faire une figure.
%\end{enumerate}
%}

%\Exop{
%$ABC$ est un triangle. Soient $D$ et $E$ les points tels que $\overrightarrow{AD}=2 \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$
%et $\overrightarrow{BE}=\dfrac13\overrightarrow{BC}$.
%\begin{enumerate}
% \item Démontrer que $\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AE}$.
% \item En déduire que $D$ appartient à la droite $(AE)$.
%\end{enumerate}
%}

\Exop{Soit $EFG$ un triangle. Le point $I$ est tel que $\overrightarrow{GI}=\dfrac13 \overrightarrow{GF}$ et $H$ est 
l'image de $E$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{FE}$. Le point $O$ est le milieu de $[EG]$.
\begin{enumerate}
 \item Faire une figure.
 \item Expliquer pourquoi $\left(F ; \overrightarrow{FG} ; \overrightarrow{FE}\right)$ est un repère du plan.
\item En se plaçant dans ce repère, démontrer que 
les points $I$, $O$ et $H$ sont alignés.
\end{enumerate}
}


\Exop{
Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$ tel que $AB=6$ cm.
\begin{enumerate}
 \item Placer les points $E$ et $F$ tels que $\overrightarrow{CE}=-\dfrac13\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{FB}=\dfrac12\overrightarrow{AC}$
 \item Donner les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AO}$, $\overrightarrow{DF}$
et $\overrightarrow{OE}$ dans les repères suivants :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
 \item $\left(D; \overrightarrow{DC} ; \overrightarrow {DA}\right)$
 \item $\left(A; \overrightarrow{DC} ; \overrightarrow {DA}\right)$
\item $\left(C; \overrightarrow{CA} ; \overrightarrow {CB}\right)$
\item $\left(C; \overrightarrow{CB} ; \overrightarrow {CA}\right)$
\item $\left(O; \overrightarrow{OB} ; \overrightarrow {OA}\right)$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exop{
Soit $ABCD$ un carré de côté $a$ ($a>0$). On considère les deux triangles équilatéraux $DCE$ et $DAF$ extérieurs au carré $ABCD$.\\
Démontrer que les droites $(AC)$ et $(EF)$ sont parallèles, en vous plaçant dans le repère orthormé 
$\left(A ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AD}\right)$.
}

\Exop{$ABCD$ est un tétraèdre.
Dans le plan $(ABC)$ on définit le point $K$ par $\overrightarrow{AK}=\dfrac23 \overrightarrow{AB} + \dfrac13 \overrightarrow{AC}$.
\begin{enumerate}
 \item Faire un figure dans l'espace, puis une figure dans le plan $(ABC)$.
 \item En choisissant un repère du plan $(ABC)$, démontrer que $K$ appartient à $[BC]$.
\end{enumerate}
}

\Exop{
$ABC$ est un triangle. $I$ est le milieu de $[BC]$ et $M$ est un point de la parallèle à $(AB)$ passant par $I$.\\
La parallèle à $(AC)$ passant par $I$ coupe la parallèle à $(BC)$ passant par $M$ en $N$.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Réaliser une figure avec un logiciel de géométrie.
\item Semble-t-il exister une position du point $M$ pour laquelle :
\begin{itemize}
 \item $M=N$ ?
 \item $BCMN$ est un parallélogramme ?
\item $BCNM$ est un parallélogramme ?
\end{itemize}
       \end{enumerate}
\item On se place dans le repère $\left(A ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right)$.
\begin{enumerate}
 \item Justifier que les coordonnées du point $M$ peuvent s'écrire $\left(k ; \dfrac12 \right)$ où $k$ désigne un nombre réel.
 \item Exprimer les coordonnées de $N$ en fonction de $k$.
 \item Justifier les conjectures émises à la question 1.b..
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\end{document}