\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Ch}{Variations de fonctions, \linebreak[2] vecteurs et droites (2h)}	
\newcommand{\Cl}{1SSI}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
\newcommand{\num}{3-4}	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.8cm,rmargin=1.8cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutDsCha

\Exop[5 points]{
On considère sur $\R$  la fonction $f$ définie par $\quad f(x) = |2x+1| - |1-x|$.
\begin{enumerate}
 \item Ecrire $|2x+1|$ et $|1-x|$ sans valeur absolue. En déduire l'expression de $f$ sans valeur absolue.\\
\textit{On pourra répondre à cette question par un tableau.}
\item Représenter $f$ dans un repère orthormé $(O ; \vec i ; \vec j )$ (unité graphique = 1 cm).
 \item Combien d'antécédents $6$ possède-t-il par $f$ ?\\
\textit{On pourra s'aider du graphique, mais on justifiera algébriquement la réponse.}
\end{enumerate}
}

\Exop[4 points]{
Déterminer les tableaux de variations de chacune des fonctions suivantes, sur le plus grand ensemble possible, 
à partir de ceux des fonctions de référence et des théorèmes du cours :
$$ g(x) = 3|x| -4 \qquad \qquad h(x)= 5-2\sqrt{4-x} $$%\qquad \qquad h(x) = -\dfrac{4}{x+1}$$
\textit{Les fonctions de référence sont les fonctions affines, carré, inverse, racine carré et valeur absolue.\\
 On fera apparaitre une ligne par étape dans chaque tableau, mais il est inutile de citer les théorèmes. }
}

\Exop[4 points]{
On donne le tableau de variations d'une fonction $u$ :
 \begin{center}
  \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1, Variations de $u$/1.5,Variations de $\sqrt{u}$/1.5, Variations de$\dfrac1u$/1.5}{$-\infty$,$1$, $4$, $6$,$+\infty$}
\tkzTabVar{- / , R / ,+ /$7$, R/,-/ }
\tkzTabIma{1}{3}{2}{$0$}
\tkzTabIma{3}{5}{4}{$0$}
\end{tikzpicture}\\
 \end{center}
Compléter alors les lignes des variations des fonctions $\sqrt{u}$ et $\dfrac1u$ sur le plus grand ensemble possible.
 }


\Exop[3 points]{
On sait qu'une fonction $f$ est un trinôme. On donne de plus le tableau de variations de $|f|$ :
 \begin{center}
  \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1, Variations de $|f|$/1.5}{$-\infty$,$-1$, $2$, $5$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+ / ,- /$0$, +/$3$,-/$0$, +/ }
\end{tikzpicture}\\
 \end{center}
Retrouver les deux formes possibles de $f$ sous la forme \textbf{factorisée}.
}

\Exop[9 points]{
$ABC$ est un triangle quelconque. Les points $N$ et $P$ sont tels que 
$\overrightarrow{AN}=\dfrac32\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AC}$ et
$\overrightarrow{BP}=\dfrac25\overrightarrow{BC}$.
\begin{enumerate}
 \item Faire un schéma de la situation.\\
\textit{On veut montrer de deux manières différentes que les points $A$, $P$ et $N$ sont alignés.}
 \item \textbf{Solution analytique dans le repère $(A ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC} )$ :}
\begin{enumerate}
 \item Expliquer pourquoi $(A ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC} )$ est un repère du plan.
 \item Quelles sont les coordonnées des points $A$, $B$, $C$ et $N$ dans ce repère ?
 \item Calculer les coordonnées du point $P$.
 \item Montrer que les points $A$, $P$ et $N$ sont alignés.
\end{enumerate}
\item \textbf{Solution vectorielle (sans repère, on utilisera donc pas les résultats de la question 2.) :}
\begin{enumerate}
 \item Ecrire le vecteur $\overrightarrow{AP}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$
et $\overrightarrow{AC}$.
\item En déduire que les vecteurs $\overrightarrow{AN} =k\overrightarrow{AP}$, où $k$ est un réel à déterminer.
\item Expliquer alors pourquoi les points $A$, $P$ et $N$ sont alignés.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exop[13 points]{
Le plan est muni d'un repère $(O ; \vec i ; \vec j )$. On considère les points $A(1;2)$, $B(-1 ; 3)$ et 
$C(4 ; -1 )$.
\begin{enumerate}
 %\item Construire une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice.
 \item Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
 \item \begin{enumerate}
       \item Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$.
 \item Donner un vecteur directeur de la droite $(AB)$ d'ordonnée 1.
 \item Trouver le point $D$ de la droite  $(AB)$ d'ordonnée 1.
       \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
        \item Donner une équation cartésienne de la droite $(d)$ de vecteur directeur 
$\vec u = 2 \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ et passant par le point $A$.
 \item Le point $E\left(\dfrac12 ; \dfrac32\right)$ appartient-il à la droite $d$ ?
      \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BE}$.
 \item Que peut-on dire des droites $(BE)$ et $(AC) $ ? Justifier.
       \end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item Montrer qu'une équation cartésienne de la droite $(CE)$ est $5x+7y-13=0$.
\item Calculer les coordonnées du point d'intersection $F$ des droites $(AB)$ et $(CE)$.
\end{enumerate}
%\item \begin{enumerate}
 %      \item Démontrer que le point $B$ est le milieu du segment $[AF]$.
 %\item Que peut-on en déduire pour  le point $E$ ?
  %    \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\begin{multicols}{2}
\Exop[2 points]{
Dans un repère, $d$ est la droite d'équation 
$$ax+by+c=0 \quad \text{ avec } (a;b) \neq (0;0)$$
Expliquer le rôle de l'algorithme ci-contre, dont les variables sont les réels $a$, $b$ et $c$.}
\Algo[Droites]{8cm}{
%\Var{ 
% $a$, $b$ et $c$  sont des nombres réels}
\Deb{
  Saisir  $a$, $b$, $c$. \\
   \IfThenElse{ $a \neq 0$ }
    {    Afficher \og Point $A\left(-\dfrac{c}{a} ; 0 \right)$\fg\, ...}
    {   Afficher \og Pas de point d'intersection.\fg}
    }
}
\end{multicols}

\end{document}
