\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{Variables al\'eatoires}
\newcommand{\Cl}{1SSI}
\newcommand{\num}{2}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}

\usepackage{textcomp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutDsCha

\Exop[\textit{Les questions 1 et 2 sont indépendantes}\hfill 7 points]{
Dans la ville des chats, chaque chat possède ses souris de compagnie. \\
On s'intéresse aux événements suivants :
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
 \item $I=\og$ La souris est de type Ignatz \fg 
 \item $S=\og$ La souris est de type Spiegelman  \fg
 \item $G=\og$ La souris est nourrie au gruyère \fg
\end{itemize}
\end{multicols}
 Croquette possède une souris de compétition, de type Ignatz, spécialement nourrie et entraînée pour le saut à la perche.
\begin{enumerate}
 \item La semaine prochaine, Croquette fait participer sa souris au championnat de saut à la perche de souris, réservé aux souris
de type Ignatz et Spiegelman, nourries au gruyère ou avec Royal Mouse.\\
On sait que :
\begin{itemize}
% \item il n'y aura aucun participant de type J (trop dodue pour gagner)
 \item $60\%$ des participants seront de type Ignatz
 \item $80\%$ des souris de type Ignatz sont nourries au gruyère
 \item $30\%$ des souris de type Spiegelman sont nourries avec Royal Mouse.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
 \item Représenter la situation par un arbre pondéré.
 \item Calculer les probabilités $p(S)$, $p(S \cap G)$ et $p(G)$.
 \item En déduire $p(S\cup G)$.
 \item Traduire en une phrase (dans un français correct) l'événement $\overline{S \cup G}$, puis déduire de la question précédente sa probabilité.
\end{enumerate}
\item 
Croquette possède également deux autres souris, une de type Spiegelman, et une de type Mickey, pour lui tenir compagnie. Il s'en sert
également pour entrainer sa souris de type Ignatz au saut à la perche.
\noindent Le tableau suivant donne la probabilité de gagner de chacune des souris lors d'un saut.
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} Type & Ignatz & Spiegelman & Mickey  \tabularnewline\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} Probabilité  & $p$ & $ p^2 $ & $ 0.04 $ \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item Déterminer $p$.
 \item Aujourd'hui, Croquette organise une séance d'entraînement de 4 sauts consécutifs entre ces 3 souris. 
Quelle est la probabilité que la souris de type Ignatz en remporte au moins un ? \textit{Justifier}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}






\Exop[\hfill 2 points]{
La roue d'une loterie est divisée en cinq secteurs identiques numérotée de 1 à 5.\\
On fait tourner la roue $n$ fois et on note $X$ la variable aléatoire égale au rang de la première apparition du numéro 2, 
ou bien égale à zéro si le 2 n'est pas sorti.\\
Compléter l'algorithme suivant, qui simule l'expérience :}
\Algo[Roulette]{12cm}{
\Var{ 
 .................  sont des nombres entiers}
\Deb{
  Saisir  $n$ \\
 $x$ prend la valeur d'un entier aléatoire de 1 à 5.\\
$j$ prend la valeur $1$.\\
  \While{ .................... et ....................  }
    {$x$ prend la valeur d'un entier aléatoire de 1 à 5\\
    $j$ prend la valeur $j+1$}
  \IfThenElse{ $x==2$ }
    {    Afficher \og Le numéro 2 est apparu au rang \fg\, ...}
    {   Afficher \og Le numéro 2 n'est pas sorti.\fg}
    }
}

\Exop[\hfill 11 points]{En 1984 en Océania, Winston travaille au ministère de la vérité. 
Son travail consiste à remanier les archives 
historiques afin de faire correspondre le passé à la version officielle du parti unique de Big Brother. }

La bibliothèque où il travaille contient $n+5$ archives : 5 à laisser intactes (I) et $n$ à retoucher (R). On a $n \geq 3$.\\
\indent Winston prend tous les jours successivement et sans remise deux archives de la bibliothèque au hasard.\\ 
\indent Retoucher une archive lui fait perdre $1$ souvenir, en laisser une intacte lui permet de retrouver $2$ souvenirs.\\
\indent On définit par $X$ la variable aléatoire égale au gain de souvenirs de Winston à la fin d'une journée de travail.
\begin{enumerate}
 \item Donner une représentation de la situation.
 \item Déterminer en fonction de $n$ la loi de probabilité de $X$. \textit{Justifier par des calculs}.
 \item Calculer en fonction de $n$ l'espérance de $X$.
 \item Y a-t-il une valeur de $n$ pour lequel le travail de Winston est équitable pour sa mémoire ?
 \item Winston sait qu'il ne doit travailler que pour $n\leq 10$ mais il a oublié pourquoi.
 Pouvez-vous lui expliquer  ? \textit{On omettra le facteur fainéantise et l'on considère que plus Winston a de souvenirs, mieux c'est pour lui.}
 \item A partir de maintenant, on sait que $n=10$.
\begin{enumerate}
       \item Donner alors la loi de probabilité de $X$, ainsi que son espérance.
 \item Calculer la variance de $X$ et son écart-type. 
\end{enumerate}
 \item On a toujours $n=10$.\\
Winston se rappelle désormais qu'à chaque fois qu'il va au travail, il gagne deux souvenirs et lorsqu'il revient, il triple son capital acquis dans la bibliothèque.
On note $Y$ la nouvelle variable aléatoire égale au gain de souvenirs de Winston à la fin d'une journée de travail.
\begin{enumerate}
 \item Exprimer $Y$ en fonction de $X$.
\item Donner $E(Y)$, $V(Y)$ et $\sigma(Y)$.
 \item Est-il favorable pour la mémoire de Winston qu'il continue à travailler ? Ce travail est-il risqué ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}







\end{document}
