\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Les suites}
\newcommand{\Cl}{1SSI}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}
\newcommand{\num}{6}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=1.8cm}

\setcounter{NumLecon}{6}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}

\debutDmCha

\Exop[60 p 125]{
\begin{enumerate}
 \item $u_2=\dfrac{2u_1}{2+3u_1}$. Donc on a besoin d'abord de calculer $u_1$.\\
$u_1=\dfrac{2u_0}{2+3u_0}=\dfrac{2\times 1}{2+3 \times 1}=\dfrac{2}{5}$\\
Donc $u_2=\dfrac{\dfrac45}{2+\dfrac65}=\dfrac{4}{5}\times \dfrac{5}{16}=\dfrac14$\\
$u_3=\dfrac{\dfrac24}{2+\dfrac34}=\dfrac12 \times \dfrac{4}{11} = \dfrac{2}{11}$
\item $u_1-u_O=-\dfrac35$ et $u_2-u_1\neq -\dfrac35$\\
Donc la suite $(u_n)$ n'est pas arithmétique.
\item \begin{enumerate}
       \item $v_{n+1}-v_n=\dfrac1{u_{n+1}}-\dfrac1{u_n} = \dfrac{2+3u_n}{2u_n}-\dfrac{2}{2u_n} = 
\dfrac{2+3u_n-2}{2u_n}=\dfrac{3u_n}{2u_n}=\dfrac32$\\
Donc $(v_n)$ est arithmétique de raison $r=\dfrac32$ et de premier terme $v_0=\dfrac1{u_0}=1$.
\item On sait alors que $v_n=v_0+ nr = 1+\dfrac32 n$, pour tout $n\in\N$.
\item On en déduit que $u_n=\dfrac{1}{v_n}=\dfrac1{1+\dfrac32n}$ pour tout $n\in\N$.
      \end{enumerate}
\item On a désormais la suite $(u_n)$ sous sa forme explicite. Etudions les variations de la fonction $f:x
\longmapsto \dfrac1{1+\dfrac32n}$ sur $[0 ; + \infty[$ pour trouver les variations de $(u_n)$.
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/0.5, Variations de $1+\dfrac32x$/1.5, Variations de $\dfrac1{1+\frac32x}$/1.5}
{$0$,$+\infty$}
\tkzTabVar{- /, +/ }
%\tkzTabIma{}{4}{3}{$0$}
\tkzTabVar{+ / , -/ }
\end{tikzpicture}
\end{center}
Donc la suite $(u_n)$ définie par $u_n=f(n)$ est du même sens de variation que $f$, à savoir strictement 
décroissante sur $\N$.
\item Grâce à la forme explicite de $(u_n)$, il est clair que $u_n > 0$ pour tout $n\in\N$.\\
De plus, on a $u_0=1$ et $(u_n)$ strictement décroissante sur $\N$, donc pour tout $n\in\N$, on a 
$$u_{n+1}< u_n < u_0=1$$
D'où : $\forall n \in \N , \, 0 < u_n \leq 1$ .
\end{enumerate}
}

\Exop[84 p 128]{
\begin{enumerate}
 \item On a clairement $N_{p+1}=N_p - \dfrac{1.21}{100}N_p = N_p - 0.0121N_p = 0.9879 N_p$, pour tout $p\in\N$.
 \item Par définition $(N_p)$ est une suite géométrique de raison $q=0.9879$ et de premier terme $N_0$.
 \item On sait alors que pour tout $p\in\N$ on a $N_p=N_0 \times (0.9879)^p$.
\item On doit chercher $p$ tel que $N_p = 0.43 N_0 \iff (0.9879)^p = 0.43$.\\
On fait un tableau de valeur sur la calculatrice ou sur tableur et on trouve :
$$0.9879 ^{70} < 0.43 < 0.9879 ^{69} $$
Donc la mort de l'organisme remonte à environ 69 siècles, soit \nombre{6900} ans.
\item \nombre{10000} ans correspondent à 100 siècles. On calcule donc 
$$N_{100} = N_0 \times (0.9879)^100 \simeq 0.296 N_0$$
Donc il reste environ $29,6\%$ de carbone 14.
\end{enumerate}
}

\Exop[125 p 134]{
\begin{enumerate}
\item $\dfrac1n$ peut être rendu aussi proche de 0 que l'on veut si l'on prend $n$ suffisamment grand. 
Donc $(u_n)$ converge vers 0 quand $n$ tend vers l'infini.\\
De même pour $v_n=\dfrac1{n^2}$ et $w_n=\dfrac{1}{n^3}$.
\item On a donc $\lim\limits_{n \to + \infty} u_n= 0$ \quad  $\lim\limits_{n \to + \infty} v_n= 0$ \quad et 
$\lim\limits_{n \to + \infty} w_n= 0$.
\item On en déduit intuitivement que 
$$\lim\limits_{n \to + \infty} r_n= \lim\limits_{n \to + \infty} 3 + v_n = 3 + \lim\limits_{n \to + \infty} v_n = 3 + 0 = 3$$
Ajouter 3 à une expression aussi proche de 0 que l'on veut nous donne une expression aussi proche que 
l'on veut de 3.
$$\lim\limits_{n \to + \infty} s_n= \lim\limits_{n \to + \infty}2v_n -w_n = 2\lim\limits_{n \to + \infty} v_n - \lim\limits_{n \to + \infty} w_n = 2\times 0 - 0 = 0 $$
On a deux expressions aussi proches de 0 que l'on veut, donc leur différence peut aussi être aussi 
proche de 0 que l'on veut aussi.
\end{enumerate}
}

\Exop[126 p 134]{
\begin{enumerate}
 \item $n$ peut être aussi grand que l'on veut pour $n$ suffisamment grand. Donc
$(u_n)$ diverge vers $+\infty$ quand $n$ tend vers l'infini.\\
De même pour $v_n=n^2$.\\
Par contre, $(-n^3)=-n^3$ peut être rendu aussi grand que l'on veut dans les négatifs pour $n$ suffisamment grand.
Donc $(w_n)$ diverge vers $-\infty$ quand $n$ tend vers l'infini.
\item On a donc $\lim\limits_{n \to + \infty} u_n= +\infty$ \quad  $\lim\limits_{n \to + \infty} v_n= +\infty$
 \quad et $\lim\limits_{n \to + \infty} w_n= -\infty$.
\item On en déduit intuitivement que :
$$\lim\limits_{n \to + \infty} r_n= \lim\limits_{n \to + \infty} -u_n = - \lim\limits_{n \to + \infty} v_n = -\infty$$
On prend l'opposé d'une expression aussi grande que l'on veut, donc cela donne une expression
 aussi grande que l'on veut mais dans les négatifs.
$$\lim\limits_{n \to + \infty} s_n= \lim\limits_{n \to + \infty} -w_n-100 = -\lim\limits_{n \to + \infty} w_n - 100 = +\infty $$
On prend d'abord l'opposé d'une expression aussi grande que l'on veut dans les négatifs, 
donc cela donne une expression aussi
grande que l'on veut dans les positifs. Enlever ensuite 100 à l'expression change rien :
on pourra toujours la rendre aussi grande que l'on veut (il suffit de la choisir \og  100 plus grande dès le départ \fg).
$$\lim\limits_{n \to + \infty} t_n= \lim\limits_{n \to + \infty} u_n+v_n = \lim\limits_{n \to + \infty}u_n + \lim\limits_{n \to + \infty} v_n = +\infty $$
On ajoute deux expressions aussi grandes que l'on veut, leur somme est donc aussi grande que l'on veut aussi.\\
Remarquons que nous n'aurions pas pu connaître si facilement la limite de $u_n-v-n$ !!
\end{enumerate}
}

\Exop[127 p 135]{
$u_n=(-1)^n$ prend alternativement les valeurs $1$ et $-1$. Donc la suite $(u_n)$ oscille entre deux valeurs fixes 
distinctes. Elle diverge (et est non monotone).\\
$v_n=\dfrac{(-1)^n}{n}$ peut être rendu aussi proche de 0 que l'on veut, pour $n$ suffisamment grand. Donc
$\lim\limits_{n\to + \infty} v_n=0$ (et est non monotone, car ses termes sont positifs et négatifs une fois sur 2).\\
$w_n=3+(-1)^n$ prend alternativement les valeurs 2 et 4. Donc la suite $(w_n)$ oscille entre deux valeurs fixes
distinctes. Elle diverge (et est non monotone).\\
}

\end{document}