\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Correction}
\newcommand{\Cl}{1SSI}
\newcommand{\num}{1}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macro_final.tex
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutDsCha

\Exop[4 points]{
%R\'esoudre dans $\R$ les équations suivantes :
On applique simplement les formules :
\begin{enumerate}
\item[a)] $x^2-3=0$ \qquad $\mathscr S = \left\{-\sqrt{3}; \sqrt{3}\right\}$
\item[b)] $3x^2-x+2=0$ \qquad $\Delta=-23$ \qquad $\mathscr S = \emptyset$
\item[c)] $-2x^2+10x-\dfrac{25}{2}=0$ \qquad $\Delta = 0$ \qquad $\mathscr S = \left\{\dfrac52\right\}$
\item[d)] $5x^4+6x^2+1=0$ \\
On pose $X=x^2$ et on doit résoudre $5X^2+6X+1=0$.\\
On calcule : $\Delta = 16$. \qquad Donc $X_1=-1$ et $X_2=-\dfrac15$ sont les racines de l'équation d'inconnue $X$.\\
Mais $X=x^2$ et il n'existe pas dans $\R$ de $x$ tel que $x^2<0$. \\
Donc il n'existe pas de solution à l'équation d'inconnue $x$, ie $\mathscr S = \emptyset$.
\end{enumerate}
}

\Exop[2 points]{
On cherche deux nombres entiers $x$ et $y$ dont la somme est égale à 57 et le produit à 540.
\begin{enumerate}
 \item On sait que $x$ et $y$ vérifient le système :
$$(S):\left\{\begin{array}{l}
          x+y=57 \\ xy=540
         \end{array}\right.$$
 \item On a alors :
$$(S)\iff 
\left\{\begin{array}{l}
          x=57-y \\ (57-y)y=540 \quad 
         \end{array}\right.
\iff
\left\{\begin{array}{l}
         x=57-y  \\ 57y-y^2=540
         \end{array}\right.
\iff \left\{\begin{array}{l}
         x=57-y  \\ y^2-57y+540=0
         \end{array}\right.
$$
\end{enumerate}
}

\Exop[10 points]{
Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=x^2+6x-3$. \\
On note $\mathscr P$ sa repr\'esentation graphique dans un rep\`ere orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item %Donner la forme canonique de $f$.
$f(x)=x^2+6x-3= (x+3)^2-9-3 = (x+3)^2-12$
\item %Calculer l'image de $0$ par $f$.
$f(0)=0^2+6\times 0-3=-3$
\item %R\'esoudre dans $\R$ l'\'equation $f(x)=0$ \textit{(Simplifier les solutions obtenues en \textbf{détaillant} les calculs)}.
$\Delta = 48$. \qquad Donc $x_1 = \dfrac{-6-\sqrt{48}}{2}=\dfrac{-6-\sqrt{16\times 3}}{2}=\dfrac{-6-4\sqrt{3}}{2}=-3-2\sqrt{3}$\\
Et $x_2 = -3+2\sqrt{3}$. \qquad D'où $\mathscr S = \left\{-3-2\sqrt{3}; -3+2\sqrt{3}\right\}$
\item %Dresser le tableau de signes de $f$. 
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.8]{$x$/1, $f(x)$/1}{$-\infty$,$x_1$,$x_2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item %Résoudre l'inéquation $x^2+6x-3>2x-3$.
$x^2+6x-3>2x-3 \iff x^2+4x >0 \iff x(x+4)>0 $.\\
Les solutions de l'équation $x(x+4)=0$ sont $x_1=0$ et $x_2=-4$
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.8]{$x$/1, $x(x+4)$/1}{$-\infty$,$-4$,$0$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Donc $\mathscr S = \left]-\infty ; -4 \right[ \cup \left] 0 ; +\infty\right[$
\end{enumerate}
\item D\'eduire des questions précédentes :
\begin{enumerate}
 \item Les points d'intersection de $\mathscr P$ avec l'axe des abscisses sont $A\left(-3-2\sqrt{3};0\right)$ et $B\left(-3+2\sqrt{3};0\right)$.
 \item Le point d'intersection de $\mathscr P$ avec l'axe des ordonn\'ees est $C(0;-3)$.
 \item On repère les coordonnées du sommet de la parabole sur la forme canonique.\\
Le point $S(-3;-12)$ est le minimum de $\mathscr P$.
 \item La courbe $\mathscr P$ est située au-dessus de l'axe des abscisses pour $x \in \left]-\infty ; -3-2\sqrt{3} \right[ \cup \left] -3+2\sqrt{3} ; +\infty\right[$.
 \item La courbe $\mathscr P$ est située au-dessus de la droite d'\'equation $y=2x-3$ pour  $x \in\left]-\infty ; -4 \right[ \cup \left] 0 ; +\infty\right[$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%}


\Exop[5 points]{
Soit $f$ la fonction trinôme définie par $f(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$) et $\Delta$ son discriminant. \\
On suppose $\Delta \geq 0$. On appelle $x_1$ et $x_2$ les deux racines de $f$ (éventuellement confondues).
\begin{enumerate}
 \item  %Montrer que $x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a}$.
On a :
$$x_1+x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} + \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}-b+ \sqrt{\Delta}}{2a}= \dfrac{-2b}{2a}=-\dfrac{b}{a}$$  
  \item On donne $f(x)=3x^2-14x+8$ et $x_1=4$. \\
%Utiliser la question précédente pour calculer la racine $x_2$ de $f$ sans calculer son discriminant.
On a : $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} \iff x_2=-\dfrac{b}{a}-x_1$.\\
Donc $x_2 = -\dfrac{-14}{3}-4 = \dfrac{14}3 -\dfrac{12}3 = \dfrac23$.\\
L'autre racine de $f(x)$ est $\dfrac23$.
\item Soit $f(x)=(m-2)x^2+5x+7-m$.
\begin{enumerate}
 \item %Vérifier que $x_1=-1$ est une racine de $f(x)$ pour tout $m$.
$f(-1)=(m-2)(-1)^2+5\times (-1) + 7 - m = m-2 - 5 + 7 - m = 0$\\
Donc $ \forall m \in\R$, on a  $x_1=-1$ une racine de $f(x)$.
 \item %Déterminer l'autre racine en fonction de $m$, sans calculer le discriminant de $f$.
Donc $x_2 = -\dfrac{5}{m-2}-(-1) =  -\dfrac{5}{m-2} + 1 = \dfrac{m-7}{m-2}$
 \item %En déduire la forme factorisée de $f$ lorsque $m=3$.% puis quand $m=-\dfrac13$.
On commence par chercher $x_2$. \\
D'après la question précédente, on a : \qquad 
$x_2 = \dfrac{3-7}{3-2}=-4$.\\
De plus, on sait que $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2) = (3-2)\big(x-(-1)\big)\big(x-(-4)\big)$.\\
Donc la forme factorisée de $f$ est $$f(x) = (x+1)(x+4)$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}




\end{document}
