\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{Correction}
\newcommand{\Cl}{1SSI}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}
\newcommand{\num}{3}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
\debutDmCha
 
\Exop[n$^{\circ}$ 48 p 200]{
On appelle $X$, $Y$, $Z$ les variables aléatoires qui calculent le gain du joueur avec respectivement la première, la deuxième et
la troisième roue.\\
On va comparer leur espérance, ie gain moyen espéré de chacune des roues.
\begin{itemize}
 \item La loi de probabilité de $X$ est :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} Valeurs $x_i$ & $-1.5$ & $6.5$  \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $P(X=x_i)$ & $ \dfrac{10}{12}$ & $ \dfrac2{12}$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
On a $E(X)= -1.5 \times  \dfrac{10}{12} + 6.5 \times  \dfrac{2}{12} = -\dfrac{1}{6}$.\\
Le jeu est désavantageux pour le joueur.
\item La loi de probabilité de $Y$ est :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex}Valeurs $y_i$ & $-1$ & $3$  \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $P(Y=y_i)$ & $ \dfrac{9}{12}$ & $ \dfrac3{12}$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
On a $E(Y)= -1 \times  \dfrac{9}{12} + 3 \times  \dfrac{3}{12}=0$.\\
Le jeu est équilibré.
\item La loi de probabilité de $Z$ est :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} Valeurs $z_i$ & $-1$ & $1$  \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $P(Z=z_i)$ & $ \dfrac{7}{12}$ & $ \dfrac5{12}$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
On a $E(Z)= -1 \times  \dfrac{7}{12} \times + 1 \times  \dfrac{5}{12}=-\dfrac16$.\\
Le jeu est désavantageux pour le joueur, autant le celui avec la première roue.
\end{itemize}
\textbf{Conclusion} : il vaut mieux choisir la roue 2.
}

\Exop[n$^{\circ}$ 72 p 205]{
\textbf{Partie A :}
\begin{enumerate}
 \item $X$ prend les valeurs 2 et $-3$.
\item 
\begin{tabular}{|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} Valeurs $x_i$ & $-3$ & $2$  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $P(X=x_i)$ & $ \dfrac{n}{10+n}$ & $ \dfrac{10}{10+n}$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\item $E(X)=-3 \times \dfrac{n}{10+n} + 2 \times \dfrac{10}{10+n}= \dfrac{20-3n}{10+n}$
\item Le jeu est défavorable si et seulement si $E(X)<0$. On étudie donc le signe de $\dfrac{20-3n}{10+n}$.\\
On peut constater que $10+n$ est toujours positif, donc le signe de $\dfrac{20-3n}{10+n}$ est le même que celui de $20-3n$.\\
Or $20-3n <0 \iff 20<3n \iff n>\dfrac{20}{3}\simeq 6.67$\\
Donc le jeu est défavorable à partir de $n=7$ (pour $n \geq 7$).
\end{enumerate}}
\\\\
\textbf{Partie B :}
\begin{enumerate}
 \item On peut s'aider d'un arbre pour répondre à la question.
\begin{center}
 \psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$2$}\taput{\small $\dfrac{10}{10+n}$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$2$}\taput{\small $\frac{9}{9+n}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$X=4$}\taput{\small $ $}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$-3$}\tbput{\small $\frac{n}{9+n}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$X=-1$}\taput{\small $ $}
}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$-3$}\tbput{\small $\frac{n}{10+n}$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$2$}\taput{\small $\frac{10}{9+n}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$X=-1$}\taput{\small $ $}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$-3$}\tbput{\small $\frac{n-1}{9+n}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$X=-6$}\taput{\small $ $}
}
}
}

\end{center}
Donc $X$ peut prendre les valeurs $-6$, $-1$ et $4$.
\item 
\begin{tabular}{|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{3cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} Valeurs $x_i$ & $-6$ & $-1$ & $4$  \tabularnewline\hline
\rule[-4ex]{0pt}{8ex} $P(X=x_i)$ & $ \dfrac{n(n-1)}{(10+n)(9+n)}$ & $ \dfrac{20n}{(10+n)(9+n)}$& $ \dfrac{90}{(10+n)(9+n)}$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\item $
       E(X)=-6 \times  \dfrac{n(n-1)}{(10+n)(9+n)} - 1 \times  \dfrac{20n}{(10+n)(9+n)} + 4 \times  \dfrac{90}{(10+n)(9+n)} 
=\dfrac{-6n(n-1)-20n+360}{(10+n)(9+n)}$\\\\
$E(X)= \dfrac{-6n^2 -14n+360}{(10+n)(9+n)}$
\item Le jeu est défavorable si et seulement si $E(X)<0$. On étudie donc le signe de $\dfrac{-6n^2 -14n+360}{(10+n)(9+n)}$.\\
On peut constater que $(10+n)(9+n)$ est toujours positif, donc le signe de $E(X)$ 
est le même que celui du trinôme $-6n^2-14n+360$.\\
Or $\Delta = (-14)^2-4\times (-6) \times 360 = 8836 = 94^2$. \\\\ 
Donc $n_1=\dfrac{14-94}{-12}=\dfrac{20}{3}\,$ (même valeur critique que précédemment)  
et  $\,n_2=\dfrac{14+94}{-12}<0$ (impossible).\\\\
On a alors que $\dfrac{-6n^2 -14n+360}{(10+n)(9+n)} <0 $ pour $n \geq 7$.\qquad
Donc le jeu est défavorable à partir de $n=7$.
\end{enumerate}


\Exop{
\begin{enumerate}
 \item %Dans ma poche, il y a quatre carambars : un à la fraise, un au citron, un à l'orange et un au caramel. 
%De combien de façons puis-je choisir 2 carambars parmi les 4 ?
On peut s'aider d'un arbre pour répondre à la question, mais comme il tient compte de l'ordre, il faut diviser le nombre d'issues 
trouvées par 2.\\
L'arbre a $4 \times 3 =12$ branches, puisqu'il y a 4 choix possibles pour le premier carambar, et 3 pour le second 
(on en a déjà choisit 1). \qquad\qquad
Donc il y a 6 manières de choisir 2 carambars parmi les 4.
\item %Soit $n$ un entier naturel (supérieur ou égal à 2). En généralisant le raisonnement précédent, déterminer le nombre de façons de choisir 2 objets
%parmi $n$.
On fait un arbre  \og imaginaire \fg. Il possède $n \times (n-1)$ branches. Donc il y a $\dfrac{n(n-1)}{2}$ choix possibles.\\
Remarquons que ce nombre est forcément entier, puisque :
\begin{itemize}
 \item soit $n$ est pair, et dans ce cas $\dfrac{n(n-1)}{2}=\dfrac{n}{2}\times (n-1)$ est entier. 
 \item soit $n$ est impair, et dans ce cas, $(n-1)$ est pair, donc $\dfrac{n(n-1)}{2}=n \times \dfrac{n-1}{2}$ est entier. 
\end{itemize}
\item %Application : Combien y a-t-il de façons de choisir 2 délégués parmi les élèves de votre classe ? 
Il y a 30 élèves dans cette classe et $\,\dfrac{30 \times 29}{2}=435$\\\\
Il y a donc 435 manières possibles de choisir 2 délégués parmi les élèves de votre classe.
\end{enumerate}
}


\end{document}