\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Polyn\^omes du second degr\'e}
\newcommand{\Cl}{1SSI}
\newcommand{\num}{1}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutDmCha

\Exop{
On appelle $x$ la longueur du côté le plus petit (avec $x\in\N$).\\
 Les côtés des deux autres carrés sont donc \quad $x+1$ \qquad  et \qquad  $x+2$.\\
La somme des aires des carrés est alors \qquad $A = x^2 + (x+1)^2 + (x+2)^2 = 3x^2+6x+5$.\\
Ainsi, on cherche à résoudre dans $\N$ l'équation :
$$3x^2+6x+4=15\, 125 \iff 3x^2+6x-15120 = 0$$
On trouve alors $\Delta = 6^2-4\times 3 \times 15120 = 181\, 476 = 426^2$.\\\\
D'où \quad $x_1=\dfrac{-6-426}{6}=-216$ \quad et \quad $x_2=\dfrac{-6+426}{6}=210$ \quad sont solutions de l'équation dans $\R$.\\
Il existe donc une unique solution dans $\N$, à savoir $x=210$.\\
Les trois carrés ont pour longueur de côté $210$, $211$ et $212$.\\

On procède de même pour une aire égale à $15\,127$. Ceci revient donc à résoudre dans $\N$ l'équation 
$$3x^2+6x-15122 = 0$$
Mais dans ce cas, on trouve que $\Delta=181\,500$ , ce qui n'est pas un carré parfait.\\
Les solutions ne seront donc pas entières et il n'y a pas de solution au problème posé.
}

\Exop{
On pose $x$ et $y$ ces deux nombres. On sait que $x$ et $y$ sont strictement positifs et qu'ils vérifient le système :
$$(S):\left\{\begin{array}{l}
          x+y=57 \\ xy=540
         \end{array}\right.$$
On résout ce système par substitution. On a alors :
$$(S)\iff 
\left\{\begin{array}{l}
          x+y=57 \\ x=\dfrac{540}y \quad (y\neq 0)
         \end{array}\right.
\iff
\left\{\begin{array}{l}
          \dfrac{540}y+y=57 \\ x=\dfrac{540}y
         \end{array}\right.
\iff \left\{\begin{array}{l}
          540+y^2=57y \quad (y\neq 0) \\ x=\dfrac{540}y
         \end{array}\right.
\iff \left\{\begin{array}{l}
         y^2-57y+540=0 \\ x=\dfrac{540}y
         \end{array}\right.
$$
On résout la première équation. On trouve $\Delta = 1\,089 = 33^2$.\\\\
Ainsi \quad $y_1=\dfrac{57+33}{2}=45$ \quad et \quad  $y_2=\dfrac{57-33}{2}=12$.\\\\
On en déduit $x_1=\dfrac{540}{45}=12$ et $x_2=\dfrac{540}{12}=45$. \qquad \qquad
Les nombres cherchés sont donc $12$ et $45$.\\\\
\textit{Remarque : Comme les rôles de $x$ et $y$ sont symétriques, il est normal que l'on retrouve les deux solutions de l'équation de degré 2.}
}

\Exop{
On pose $x$ et $y$ les longueurs des deux autres côtés du triangle rectangle. On sait que $x$ et $y$ sont strictement positifs
et qu'ils vérifient le système :
$$(S):\left\{\begin{array}{l}
          x^2+y^2=72.5^2 \\ \dfrac{xy}{2}=429
         \end{array}\right.
\iff 
\left\{\begin{array}{l}
          x^2+y^2=5\,256.25 \\ xy=858
         \end{array}\right.
$$
On résout ce système par substitution. On a alors :
$$(S)\iff 
\left\{\begin{array}{l}
          x^2+y^2=5\,256.25 \\ x=\dfrac{858}y \quad (y\neq 0)
         \end{array}\right.
\iff
\left\{\begin{array}{l}
          \dfrac{736\,164}{y^2}+y^2=5\,256.25 \\ x=\dfrac{858}y
         \end{array}\right.
\iff \left\{\begin{array}{l}
         736\,164+y^4=5\,256.25y^2 \quad (y^2\neq 0) \\ x=\dfrac{858}y
         \end{array}\right.$$
$$\iff \left\{\begin{array}{l}
         y^4-5\,256.25y^2+736\,164=0 \\ x=\dfrac{858}y
         \end{array}\right.
$$
La première équation est une équation bicarré. On pose alors $Y=y^2$ et on est ramené à résoudre :
$$Y^2-5\,256.25Y+736\,164 = 0$$
On trouve $\Delta = (4\,968.25)^2$.
Donc \quad $Y_1=\dfrac{5\,256.25-4\,968.25}{2}=144=12^2$ \qquad et \qquad $Y_2=5\,112.25 = 71.5^2$.\\
Comme $y>0$ on trouve alors \quad $y_1=12$  \qquad et \qquad $y_2 = 71.5$.\\
Les rôles de $x$ et $y$ étant symétriques, on a en fait \quad $x_1=71.5$  \qquad et \qquad $x_2=12$ \quad  ce qui se vérifient facilement sur la deuxième équation de $(S)$.\\
Ainsi, le périmètre du triangle rectangle est $P=12+71.5+72.5 = 156\,$m.
}

\Exop[L'infini ]{
\begin{enumerate}
\item  
\begin{enumerate}
 \item $10a = 9,\underline{9} = 9+0,\underline{9}=9+a$
 \item On résout l'équation ci-dessus. On a : \qquad $10a=9+a \iff 9a = 9 \iff a=1$.\\
Ainsi $0,\underline{9}=1$.
\end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item $x^2=x+1 \iff x^2-x-1=0$.\\
On trouve $\Delta = (-1)^2-4\times 1 \times (-1)=5$ et donc \qquad $x_1 = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=\Phi$ \qquad et \qquad $x_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}<0$
 \item On pose $a=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+ \sqrt{1+\dots}}}}}$.\\
Alors $a^2 = 1+ \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+ \sqrt{1+\dots}}}}} = 1+a$.\\
Or on sait que $a>0$ donc $a$ est la solution positive de l'équation $x^2=1+x $. D'où $a=\Phi$.
 \item On sait que $\Phi^2=\Phi + 1 \iff \Phi=1+\dfrac1{\Phi}$ car $\Phi \neq 0$.
 \item $1+\dfrac1{1+\dfrac1{1+\dfrac1{\Phi}}}= 1+\dfrac1{1+\dfrac1{\Phi}}=1+\dfrac{1}{\Phi}=\Phi$ \qquad\qquad
 puisque $1+\dfrac1{\Phi}=\Phi$.
       \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\end{document}
