\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.1}

\title{Classe de $T^{\text{ale}}$ S }
\author{C. Aup\'erin}
\date{2010-2011}

\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Correction n$^{\circ} 53$ p 135}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
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\setcounter{NumLecon}{6}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}



\debutExoCha

\Exop[46 p 30 question c)]{
\begin{enumerate}
 \item On a $$\dfrac52x(3-2x)=\dfrac{15}{2}x-5x^2$$
Donc $a=-5$, $b=\dfrac{15}{2}$ et $c=0$. D'où :
$$\Delta = \left(\dfrac{15}{2}\right)^2-4 \times (-5) \times 0 = \left(\dfrac{15}{2}\right)^2$$
Donc les racines du trinôme sont :
$$x_1=\dfrac{-\dfrac{15}{2}-\dfrac{15}{2}}{2 \times (-5)}=\dfrac{-15}{-10}=\dfrac32 \qquad \qquad \text{ et } \qquad \qquad x_2 = 0$$
\Rq{On pouvait également résoudre une inéquation produit nul ...}
\item On a $a=-1$, $b=1$ et $c=\dfrac{11}{4}$. Donc 
$$\Delta = 1^2 - 4 \times (-1) \times \dfrac{11}{4} = 1+11 = 12$$
Donc les racines du trinôme sont :
$$x_1=\dfrac{-1-\sqrt{12}}{2 \times (-1)}=\dfrac{-1-2\sqrt{3}}{-2}=\dfrac{1+2\sqrt{3}}{2} \qquad \qquad \text{ et } \qquad \qquad x_2 = \dfrac{1-2\sqrt{3}}{2}$$
\item On a $a=-\dfrac13$, $b=-\dfrac{7}{60}$ et $c=\dfrac{1}{10}$. Donc 
$$\Delta = \left(-\dfrac{7}{60}\right)^2 - 4 \times (-\dfrac13) \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{49}{3600}+\dfrac2{15}=\dfrac{49}{3600}+\dfrac{480}{3600}=\dfrac{49}{3600}+\dfrac{529}{3600}
=\left(\dfrac{23}{60}\right)^2$$
Donc les racines du trinôme sont :
$$x_1=\dfrac{\dfrac{7}{60}-\dfrac{23}{60}}{2 \times \left(-\dfrac13\right)}=\dfrac{-\dfrac{16}{60}}{-\dfrac23}=\dfrac{4}{15}\times \dfrac32 = \dfrac25
 \qquad \qquad \text{ et } \qquad \qquad 
x_2 = \dfrac{\dfrac{7}{60}+\dfrac{23}{60}}{2 \times \left(-\dfrac13\right)}=\dfrac{\dfrac{30}{60}}{-\dfrac23}=-\dfrac{1}{2}\times \dfrac32 = -\dfrac34$$
\item On a $a=-10$, $b=-3$ et $c=27$. Donc 
$$\Delta = (-3)^2 - 4 \times (-10) \times 27 = 9+1080 = 1089=33^2$$
Donc les racines du trinôme sont :
$$x_1=\dfrac{3-33}{2 \times (-10)}=\dfrac{-30}{-20}=\dfrac{3}{2} \qquad \qquad \text{ et } \qquad \qquad 
x_2 = \dfrac{3+33}{2 \times (-10)}=\dfrac{36}{-20}=-\dfrac{9}{5} $$
\end{enumerate}
}

\Exop[56 p 32]{
\begin{enumerate}
 \item On observe sur la représentation graphique que les racines de $f$ sont $x_1=-2$ et $x_2=5$.\\
Donc on sait que $f$ est de la forme $f(x)=a(x-(-2))(x-5)=a(x+2)(x-5)$.\\
Pour trouver le coefficient $a$, on utilise un autre point de la courbe. On voit notamment que $f(0)=2$. \\
Sur l'expression précédente, cela donne $\quad a(0+2)(0-5)=2 \iff -10a = 2 \iff a= -\dfrac15$.\\
Finalement on a :
$$f(x)=-\dfrac15(x+2)(x-5)$$
\item On peut trouver le maximum de la fonction grâce à la forme canonique de $f$. \\
Ceci dit, en seconde, nous avons appris que les paraboles possèdent un axe de symétrie. \\
Or $f(x_1)=f(x_2)=0$ Donc le maximum est atteint quand $x=\dfrac{x_1+x_2}2=\dfrac{-2+5}2=\dfrac32$.\\
\item 
Ce maximum vaut alors 
$$f\left(\dfrac32\right)=-\dfrac15\left(\dfrac32+2\right)\left(\dfrac32-5\right)=-\dfrac15 \times \dfrac72\times\left(-\dfrac72\right)=\dfrac{49}{20}$$
\end{enumerate}
}

\Exop[59 p 32]{
\begin{enumerate}
 \item On cherche $c$ tel que $2\times 1^2-3\times 1+c=0$. Or
$$ 2\times 1^2-3\times 1+c=0 \iff  2-3+c=0 \iff  c=1$$
\item On cherche $c$ tel que $2\times (-2)^2-3\times (-2)+c=0$. Or
$$2\times (-2)^2-3\times (-2)+c=0 \iff 8+6+c=0 \iff c = -14$$
 \item On cherche $c$ tel que $\Delta =0$. Or
$$\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times c = 9-8c$$
Donc $\Delta = 0 \iff 9-8c = 0 \iff c=\dfrac98$
\item On cherche $c$ tel que $\Delta <0$. Or
$$\Delta < 0 \iff 9-8c < 0 \iff -8c<-9 \iff c \mathbb{>} \dfrac98$$
\end{enumerate}
}

\end{document}

