\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 7}
\newcommand{\Ch}{Derivation (1h)}% \linebreak \textit{Calculatrice interdite}}	
\newcommand{\Cl}{1SSI}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
\newcommand{\num}{7}	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.8cm,rmargin=1.8cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutDsCha
	

%\Exop[\textbf{2 points}]{
%Considérons la fonction $f : x\longmapsto \sqrt{x}$ pour $x\in\R^+$.\\
%Montrer que pour tout $x\in\R^{+*}$ on a $f'(x)=\dfrac{1}{2 \sqrt{x} }$
%}

\Exop[\hfill 6 points]{
\begin{enumerate}
\item %Rappeler l'interprétation graphique du nombre $f'(-3)$.
Il s'agit du coefficient directeur de la tangente à $\mathscr C$ au point d'abscisse $-3$.
\item  %Lire, en se servant du quadrillage, les nombres dérivés suivants :
$$ f'(-3)=-2\qquad\qquad f'(-1)=\dfrac32 \qquad\qquad f'(2)=0\qquad\qquad f'(6)=-\dfrac23$$
\item %Donner graphiquement l'équation de la tangente $T_A$ à $\mathscr C$,  %et $T_B$, respectivement 
%en $A(-3;-1)$.% et $B(6;-3)$.
$T_A : y=-2x-7$
 \item %Trouver par le calcul l'équation de la tangente $T_B$ à $\mathscr C$,  %et $T_B$, respectivement 
%en $B(-1;-2)$. \textit{On  pécisera la formule à utiliser}
On sait que $T_B : y = f'(-1)\left(x-(-1)\right)+f(1) \iff T_b: y=\dfrac{3}{2}(x+1)-2 \iff T_B: y=\dfrac32 -\dfrac12 $
\item %Etablir graphiquement le tableau de signes de la fonction $f'$.
\begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /0.8,Signe de $f’(x)$/1}{$-5$ ,$-1.8$,$2$, $6.1$ , $9$ , $10$}% 
\tkzTabLine{ , - , z , + , z, - , z , + , z , -}
\end{tikzpicture}
\end{enumerate}
}

\Exop[\hfill 3 points]{
%Tracer dans un repère orthonormé une représentation graphique possible de la fonction $f$ sur $]-8 : 8[$.\\
%\textit{Unité graphique : 1 cm.} 
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-8,-7)(8,2) 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=3](0,0)(-8,-7)(8,2) 
\psaxes{->}(0,0)(-8,-7)(8,2) 
\HermiteDDL(-8,-10,-4,0)(-7,-6,4,1)(-3,1,0,1)(0,-2,-1,1)(2,-3,0,1)(4,-3.4,-0.5,0)(5,-5,-3,1)%(7,-6,-0.5,0)%(8,-7,-0.1,0) 
\uput[ur](7.6,-2){$\mathscr C_f$}
\uput[dl](-3,-1){$A$}
\uput[dr](-1,-2){$B$}
\end{pspicture*} \\
\end{center} 
}
%\textbf{Bonus : en trouver une deuxième possible}

\Exop[\hfill 3 points]{}
%Dériver les fonctions suivantes sur $I$ :\\
%\textit{Inutile de simplifier les écritures obtenues, mais il faut détailler les calculs} :
\begin{enumerate}
\item $i(x)=\left(x^5-x^2+1\right)\left(\dfrac{x^7}{3}-5\sqrt{x}+100\right)$  sur $I=\R$\\
$\begin{array}{llcl}
       \text{On pose }  & u(x)=x^5-x^2+1 & \text{ et } & v(x)=\dfrac{x^7}{3}-5\sqrt{x}+100\\
	\text{Alors } & u'(x)=5x^4-2x & \text{ et } & v'(x)=\dfrac{7}{3}x^6-\dfrac{5}{2\sqrt{x}}
        \end{array}$\\
$i$ est de la forme $uv$ donc $i'=u'v+v'u$ et on a :
$$i'(x)=\left(5x^4-2x\right) \left(\dfrac{x^7}{3}-5\sqrt{x}+100\right) + \left(\dfrac{7}{3}x^6-\dfrac{5}{2\sqrt{x}}\right)\left(x^5-x^2+1\right)$$
\item $j(x)=\left(-5x^4+1\right)^9$  sur $I=\R$\\
On pose $u(x)=-5x^4+1$. \qquad Alors $u'(x)=-20x^3$.\\
$j$ est de la forme $u^n$ avec $n=9$, donc $j'=n \times u' \times u^{n-1}$ et on a :
$$j'(x)=9 \times \left(-20 x^3\right) \times \left(-5x^4+1\right)^8$$
\item $k(x)=\dfrac{2}{\left(4x-1\right)^3}$  sur $I=\left]\dfrac{1}4 ; + \infty\right[$\\
On pose $v(x)=\left(4x-1\right)^3$. \quad Alors $v'(x)=3 \times 4 \times \left(4x-1\right)^2=12\left(4x-1\right)^2$.\\
$k$ est de la forme $2\times \dfrac1{v}$ donc $k'=2\times \dfrac{-v'}{v^2}$ et on a :
$$k'(x)=-2 \times \dfrac{12\left(4x-1\right)^2}{\left(\left(4x-1\right)^3\right)^2}=\dfrac{-24}{\left(4x-1\right)^4}$$
\end{enumerate}
%}

\Exop[\hfill 3 points]{
%Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)=x^3-3x^2-9x+3$ de courbe représentative $\mathscr C$.
\begin{enumerate}
 \item %Dresser le tableau de variations de la fonction $h$.
$h'(x)=3x^2-6x-9$ pour tout $x\in\R$.\\
Cherchons le signe de ce trinôme : $\Delta = 36-4 \times 3 \times (-9) = 36 + 108 = 144 = 12^2$.\\
Donc $x_1 = \dfrac{6-12}{2\times 3}=-1$ \quad et \quad $x_2 = \dfrac{6+12}{6}=3$.\\
On a alors le tableau suivant : \qquad
\begin{minipage}{11cm}
\begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /0.8,Signe de $h’(x)$/1,Variations de $h$/2}{$-\infty$ ,$-1$,$3$, $+\infty$}% 
\tkzTabLine{ , + , z , - , z, + ,}
\tkzTabVar{- / , +/$8$ , - /$-24$, +/ }
\end{tikzpicture} 
\end{minipage}\\
Car $h(-1)=(-1)^3-3\times (-1)^2-9 \times (-1) + 3 = -1-3+9+3=8$.\\
Et \, $h(3)=27-3 \times 9 - 9 \times 3 + 3 = 27-27-27 + 3 = -24$
 \item %Déterminer l'équation de la tangente $T_{1}$ à  $\mathscr C$ au point d'abscisse $1$.
On sait que $T_1 : y= h'(1)(x-1) + h(1)$.\\
Or $h'(1) = 3 - 6 - 9 = -12$ \quad et  \quad $h(1) = 1-3-9+3 = -8$.\\
 Donc $T_1 : y = -12 (x-1) -8 \iff T_1 : y= -12x+4$
\end{enumerate}
}

\Exop[\hfill 5 points]{
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $I=]-4 ; + \infty[$ par :
$$f(x)=\dfrac{x^3-2}{x+4} \qquad \text{ et }     \qquad g(x)=2(x^3+6x^2+1)$$
\begin{enumerate}
 \item %Calculer la dérivée de $f$ sur $I$.
$f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ donc $f'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$.\\
$\begin{array}{llcl}
       \text{On pose }  & u(x)=x^3-2 & \text{ et } & v(x)=x+4\\
	\text{Alors } & u'(x)=3x^2 & \text{ et } & v'(x)=1
        \end{array}$\\
Alors $f'(x) = \dfrac{3x^2(x+4) - 1 \times \left(x^3-2\right)}{(x+4)^2} = \dfrac{2x^3+12x^2+2}{(x+4)^2} $
 \item  \begin{enumerate}
  \item %Etudier les variations de $g$ sur $I$.
$g'(x) = 2  \left( 3x^2+12x \right)=6x(x+4) $\\
On a alors le tableau suivant : \qquad
\begin{minipage}{11cm}
\begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /0.8,Signe de $6x$/1,Signe de $x+4$/1,Signe de $g’(x)$/1,Variations de $g$/2}{$-4$,$0$,$+\infty$}% 
\tkzTabLine{ t, - ,z, + }
\tkzTabLine{ z, + ,t, + }
\tkzTabLine{ z, - ,z, + }
\tkzTabVar{+ /$66$ , -/$2$, +/}
\end{tikzpicture} 
\end{minipage}
car $g(-4)=2(-64 + 6\times 16 +1)=66$ \qquad et \qquad $g(0)=2$
 \item %En déduire le signe de $g$ sur $I$.
Le minimum de $g$ sur $I$ est 2, donc $g(x)>0$ pour tout $x\in I$.
 \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item %Utiliser ce qui précède pour établir le tableau de variations de $f$ sur $I$.
On remarque que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x+4}$.\\
On a alors le tableau suivant : \qquad
\begin{minipage}{11cm}
\begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /0.8,Signe de $g(x)$/1,Signe de $x+4$/1,Signe de $f’(x)$/1,Variations de $f$/2}{$-4$,$0$,$+\infty$}% 
\tkzTabLine{ t, + ,z, + }
\tkzTabLine{ z, + ,t, + }
\tkzTabLine{ d, + ,z, + }
\tkzTabVar{ D-/ ,R, +/}
\end{tikzpicture} 
\end{minipage}
\end{enumerate}
 \end{enumerate}
}


%\Exop[]{
%Soit $g_1$ la fonction définie sur $\R\setminus\{-2\}$ par : 
%$$g_1(x)=\dfrac{-1}{x+2}$$
%et $g_2$ la fonction définie sur $\R$ par :
%$$g_2(x)=x^2+3x+1$$
%\begin{enumerate}
% \item Démontrer l'égalité suivante :
%$$x^3+5x^2+7x+3 = (x+1)^2(x+3)$$
% \item Déterminer les coordonnées des points d'intersection $A$ et $B$ des courbes $\mathscr H$ et $\mathscr P$,
%représentatives respectivement des fonctions $g_1$ et $g_2$.\\
%\textit{On appellera $A$ le point d'abscisse la plus petite.}
% \item Démontrer alors que les courbes $\mathscr H$ et $\mathscr P$ admettent une tangente commune en leur point d'intersection.
% \item Donner une équation de cette tangente.
%\end{enumerate}
%}



\end{document}
