\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Correction}% \linebreak \textit{Calculatrice interdite}}	
\newcommand{\Cl}{1SSI}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
\newcommand{\num}{6}	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.8cm,rmargin=1.8cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutDsCha

\Exop[3 points]{
$S_1$ est la \textbf{somme} des $n$ premiers entiers naturels avec $n=2012$. Donc 
$$S_1=1+2+3+\dots + 2011+2012=\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{2012 \times 2013}{2}$$
$S_2$ est la \textbf{somme des $n$ premiers termes de la suite} géométrique $(u_n)$ de raison $q=3$ et de premier terme $u_0=7$.\\
Recherchons $n$ : on sait que pour tout $n\geq 0$ on a $u_n=u_0 \times 3^n = 7 \times 3^n$. En particulier :
$$7 \times 3^n = 45927 \iff 3^n = 6561$$
Avec un tableau de valeurs à la calculatrice, on trouve $3^8=6561$ donc $n=8$.
On a alors : $$S_2=7+21+63+\dots +45\,927=u_0+u_1 + \dots + u_n = u_0 \times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}=
7 \times  \dfrac{1-3^{9}}{1-3}$$}


\Exop[4 points]{
%On souhaite construire un château de cartes à $n$ niveaux ($n\geq 1$). 
%On a représenté ci-dessous un château à quatre niveaux. 
%On appelle $(u_n)_{n\geq 1}$ la suite dont chaque terme $u_n$ est égal au 
%nombre de cartes du niveau $n$ en partant d'en haut. Ainsi $u_1=2$ et $u_2=5$.
%}
%\begin{minipage}{13.8cm}
\begin{enumerate}
 \item Sur le dessin on compte $u_3=8$ et $u_4=11$.
 \item La suite $(u_n)$ semble être une suite arithmétique de raison $r=3$ et de premier terme $u_1=2$.
 \item \begin{enumerate}
        \item %Combien de niveaux aura un château dont la dernière rangée est composée de $23$ cartes ? 
On cherche $n$ tel que $u_n=23$. Or on sait que pour tout $n\geq 1$ on a $u_n=u_1 + (n-1)r $. \\
En particulier :
$$23 = 2+3(n-1) \iff 21 = 3n-3 \iff 24=3n \iff  n=8$$
Le château aura donc 8 étages.
 \item %En déduire le nombre de cartes d'un tel château. 
On appelle $S_8$ le nombre de cartes d'un château à 8 étages. On a alors :
$$S_8=\sum_{k=1}^{8}u_k = 8 \times \dfrac{u_1+u_8}{2} = 8 \times  \dfrac{2+23}{2}=100$$
Le château aura 100 cartes.
        \end{enumerate}
% \item \begin{enumerate}
 %      \item Exprimer le nombre $S$ de cartes d'un château à $n$ niveaux en fonction de $n$.\\
%\textit{On prendra soin à n'avoir plus que la lettre $n$ dans l'expression de $S$.}
% \item Quelle est le nombre de niveaux du plus grand château que l'on peut fa\-briquer si l'on dispose de $500$ cartes ?
% \item Quelle sera alors le nombre de cartes de la rangée du bas ?
 %      \end{enumerate}
\end{enumerate}
%\end{minipage}
%\hfill \begin{minipage}{4cm}
% \includegraphics[scale=0.65]{chateau_carte.eps}
%\end{minipage}
}



\Exop[4 points]{
%La suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$. On sait que $u_{20}=10$ et $u_{34}=-18$.
\begin{enumerate}
 \item %Calculer la raison $r$ et $u_0$.
On sait que pour tout $n\geq p \geq 0$ on a $u_n = u_p + (n-p)r $.
En particulier on a :
$$u_{34}=u_{20}+(34-20)\times r \iff -18 = 10 + 14 r \iff r= -2$$
De plus on sait que pour tout $n\geq 0 $ on a $u_n = u_0 + nr$. En particulier on a :
$$u_{20}=u_0 + 20 r \iff 10 = u_0 + 20 \times (-2) \iff u_0 = 50$$
 \item %Calculer la somme $S=u_{50}+u_{51}+ \dots + u_{100}$
On a $S=u_{50}+u_{51}+ \dots + u_{100} = 51 \times \dfrac{u_{50} + u_{100}}{2}$.\\
Or $u_{50}=u_0 + 50 r = 50 + 50 \times (-2) = -50$ \qquad et \qquad $u_{100}=u_0 + 100 r = 50 + 100 \times (-2) = -150$.\\
Donc $S= 51 \times \dfrac{-50 -150}{2} = -5100$.
\end{enumerate}
}

\Exop[4 points]{

\begin{enumerate}
  \begin{minipage}{6cm} \item
$(u_n) : \left\{\begin{array}{l}
u_0=5 \\ u_{n+1}=\dfrac23 u_n+1
 \end{array}\right.$\\\\
Dans un repère orthonormé, on trace :
\begin{itemize}
 \item la droite $\Delta : y=x$
 \item la courbe représentative de la fonction $f$ définissant
par récurrence la suite $(u_n)$, à savoir la droite d'équation $y=\dfrac23 x +1$.\\\\
\end{itemize}
Ensuite on place $u_0$ sur l'axe des abscisses.\\
Puis $u_1$ l'image de $u_0$ par $f$, que l'on reporte sur l'axe des abscisses grâce à la droite $\Delta$, etc.
\end{minipage}
\begin{minipage}{15cm}
\psset{xunit=1.9cm,yunit=1.9cm}
\begin{pspicture*}(-0.30,-0.40)(5.6,5.)
\psgrid[subgriddiv=4,griddots=4,subgriddots=3,gridlabels=0,gridcolor=white,subgridcolor=black](0,0)(0,0)(5.6,5.)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(0,0)(5.6,5.)
\psplot{0}{5.6}{(-0--1*x)/1}
\psplot{0}{5.6}{(--1--0.67*x)/1}
\psline[linecolor=red](5,4.33)(5,0)
\psline[linecolor=red](4.33,4.33)(4.33,3.89)
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](4.33,3.89)(4.33,0)
\psline[linecolor=red](4.33,4.33)(5,4.33)
\psline[linecolor=red](3.89,3.89)(4.33,3.89)
\psline[linecolor=red](3.59,3.59)(3.89,3.59)
\psline[linecolor=red](3.89,3.59)(3.89,3.89)
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](3.89,3.59)(3.89,0)
\psline[linecolor=red](3.59,3.59)(3.59,3.39)
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](3.59,3.39)(3.59,0)
\rput[bl](4.9,-0.4){\blue{$u_0$}}
\rput[bl](4.3,-0.4){\blue{$u_1$}}
\rput[bl](3.85,-0.4){\blue{$u_2$}}
\rput[bl](3.56,-0.4){\blue{$u_3$}}
\end{pspicture*}
\end{minipage}
 \item %Cette suite semble-t-elle converger ? \\
%Si oui, conjecturer graphiquement sa limite et la retrouver par le calcul.
Cette suite semble converger vers l'abscisse du point d'intersection des deux droites, à savoir $3$.\\
Par le calcul, la limite $\ell$ de la suite vérifie l'équation $\ell = \dfrac23 \ell + 1 \iff \dfrac13 \ell = \iff \ell = 3$.

\end{enumerate}
}

\Exop[5 points]{
%Un capital $C_0=10\,000 \euro$ est placé sur un compte coûtant $20 \euro$ par an pour frais de gestion, puis
%rapportant $4\%$ à la fin de chaque année. On nomme $C_n$ le montant disponible sur le compte à la fin de la $n^{eme}$ année, 
%après le versement des intérêts.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item %Calculer $C_1$ puis $C_2$.
On a $C_1= C_0-20 + \dfrac4{100}(C_0-20) = (C_0-20)\times 1.04$.\\
De même $C_2 = C_1-20 + \dfrac4{100}(c_1-20) = (C_1-20)\times 1.04$.
 \item %Justifier que $C_{n+1}=1.04C_n - 20.8$
Pour tout $n\geq 0$ on a $C_{n+1}=C_n - 20 + \dfrac{4}{100} (c_n-20) = (C_n -20 ) \times 1.04 = 1.04 C_n -20.8$.
       \end{enumerate}
 \item %On pose $u_n=C_n-520$ pour tout $n\geq 0$.
 \begin{enumerate}
        \item %Montrer que $u_n$ est géométrique et donner ses éléments caractéristiques.
$\forall n\geq 0 $ on a $u_{n+1}=C_{n+1}-520 =  1.04 C_n -20.8 - 520 = 1.04C_n - 540.8 = 1.04(C_n - 520) = 1.04u_n$.\\
Donc $(u_n)$ est géométrique de raison $q=1.04$ et de premier terme $u_0 = 9480$.
 \item %Exprimer $u_n$ puis $C_n$ en fonction de $n$.
On sait alors que pour tout $n\geq 0$ on a $u_n = u_0 \times q^n = 9480 \times 1.04^n$.\\
Comme $C_n = u_n+520$ on a $C_n = 9480 \times 1.04^n+520$.
       \end{enumerate}
\item %Afficher sur votre calculatrice les premiers termes de la suite $(C_n)$ et en déduire au bout de combien
%d'années le capital aura-t-il au moins doublé ?
A l'aide d'un tableau de valeurs dans lequel on rentre la fonction \fbox{$Y=9480 \times 1.04\textasciicircum X + 520$}
(ou la suite \fbox{$u(n)=9480 \times 1.04\textasciicircum n + 520$}), on trouve que le capital aura doublé au bout de 19 années minimum, car
$u_{18}< 20\,000$ et $u_{19}> 20\,000$.
\end{enumerate}
}

\Exop[2 points]{
\begin{enumerate}
 %\item 
%Etudier le sens de variation des suites de terme général suivant :
 %\begin{enumerate}
%\begin{multicols}{2}
 \item $u_n=n^2-n$ pour $n\in\N$. Alors $u_{n+1}=(n+1)^2 - (n+1) = n^2+2n+1-n-1 = n^2+n$.\\
Donc $u_{n+1}-u_n = n^2+n-(n^2-n)=2n \geq 0$ pour tout $n\geq 0$. Donc la suite $(u_n)$ est croissante sur $\N$.
 \item $v_n=\dfrac{2^n}{n}$ pour $n\geq 2$. Tous les termes de $(v_n)$ sont de même signe, 
donc $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{2^{n+1}}{n+1}\times \dfrac{n}{2^n} = \dfrac{2n}{n+1}$.\\
Pour $n\geq 2$ on a clairement $2n =n+n > n+1$ donc $\dfrac{v_{n+1}}{v_n} >1$ et la suite $(v_n)$ est strictement croissante.
%\end{multicols}
%\end{enumerate}
%\item Etudier la limite des suites de terme général suivant :
%\begin{enumerate}
%\begin{multicols}{2}
% \item $w_n=3 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n$ pour $n\in\N$
%\item $t_n=\dfrac{5n^5-8n^4-9}{6n^5+5n^3-n^2+1}$ pour tout $n\in\N$
%\end{multicols}
\end{enumerate}
%\end{enumerate}
}

%\Exo{\hfill (5 points)\\
%Soit $f:x \mapsto \dfrac{1}{2}\left( x+ \dfrac{4}{x} \right)$ définie sur $\R^*$ et la suite $(u_n)$ définie
%explicitement par $u_n=f(n)$, pour tout entier $n\neq 0$.
%\begin{enumerate}
% \item Calculer les trois premiers termes de la suite $(u_n)$.
% \item \begin{enumerate}
%	\item Etudier le sens de variation de $f$ sur $\R^*$.
%	\item En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.
%      \end{enumerate}
%\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
%\end{enumerate}
%}

%\Exop[6 points]{
%Soit $u$ la suite définie par $u_0=0$ est la relation de récurrence $u_{n+1}=\dfrac{2u_n+3}{u_n+4}$ pour tout entier natuel $n$.\\
%Soit $v$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+3}$.
%\begin{enumerate}
% \item \begin{enumerate}
%	\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
%	\item Calculer $v_0$ et $v_1$.
%	\end{enumerate}
%\item \begin{enumerate}
%	\item Montrer que $v$ est une suite géométrique de raison $-\dfrac{1}{5}$.
%	\item En déduire $v_n$ en fonction de $n$.
%	\end{enumerate}
%\item \begin{enumerate}
%	\item Exprimer $u_n$ en fonction de $v_n$.
%	\item En déduire $u_n$ en fonction de $n$. Que vaut $u_{5}$ ?
%	\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%}



\end{document}
