\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 5}
\newcommand{\Ch}{Correction (1h)}% \linebreak \textit{Calculatrice interdite}}	
\newcommand{\Cl}{1SSI}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
\newcommand{\num}{5}	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.8cm,rmargin=1.8cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutDsCha

\Exop[3 points]{
\begin{enumerate}
 \item %Convertir $\dfrac{\pi}{5}$ en degrés.
On a le tableau de proportionnalité suivant :
\begin{tabular}{c|c|c|c}
 Radians & $\pi$ & $\dfrac{\pi}{5}$ &  \\\hline
 Degrés  & 180 &  & 230 \\
 \end{tabular}\\
Donc $\dfrac{\pi}{5} rad=\dfrac{\dfrac{\pi}{5} \times 180}{\pi} = \dfrac{180}{5} = 36^{\circ}$.
\item %Convertir $230^{\circ}$ en radians, puis donner la mesure principale de cet angle.
Et $ 230^{\circ}=\dfrac{230 \times \pi}{180}= \dfrac{23\pi}{18}$ . \qquad
Or $\pi < \dfrac{23\pi}{18} < 2\pi \iff -\pi < \dfrac{23\pi}{18}-2\pi <0$.\\
La mesure principale de cet angle est $\dfrac{23\pi}{18}-2\pi = -\dfrac{13\pi}{18}$
\end{enumerate}
}

\Exop[4 points]{
%$ABC$ est un triangle rectangle isocèle en $A$, tel que $(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC})= \dfrac{\pi}2 \quad [2\pi]$.\\
%La bissectrice de l'angle $(\overrightarrow{CA} ; \overrightarrow{CB})$ coupe le côté $[AB]$ en $D$.
\begin{enumerate}
 %\item %Faire un schéma codé de la situation
 \item[\textbf{2.}] %Donner la mesure principale des angles  $(\overrightarrow{CA} ; \overrightarrow{CB})$ 
%et $(\overrightarrow{CB} ; \overrightarrow{CD})$. \textit{(Inutile de justifier)}\\
%\textit{\textbf{Pour les questions suivantes, on détaillera les étapes, en utilisant les propriétés sur les angles 
%orientés de vecteurs. Une réponse utilisant les degrés ou les angles géométriques ne rapportera aucun point !!}}
 $ABC$ est un triangle rectangle isocèle direct donc $(\overrightarrow{CA} ; \overrightarrow{CB})=
  \left(\pi - \dfrac{\pi}2\right)\times \dfrac12=\dfrac{\pi}{4} \quad [2\pi]$.\\
Comme $(CD)$ est la bissectrice de l'angle $(\overrightarrow{CB} ; \overrightarrow{CA})$, on a de suite 
$$(\overrightarrow{CB} ; \overrightarrow{CD}) = \dfrac12 \times (\overrightarrow{CB} ; \overrightarrow{CA}) 
=-\dfrac12 \times (\overrightarrow{CA} ; \overrightarrow{CB}) 
=-\dfrac12 \times \dfrac{\pi}4 = -\dfrac{\pi}8 \quad [2\pi]$$
\item[\textbf{3.}] %Calculer la mesure principale de  $(\overrightarrow{DB} ; \overrightarrow{DC})$.
Dans le triangle direct $DBC$ on a :
 $(\overrightarrow{CD} ; \overrightarrow{CB})=- (\overrightarrow{CB} ; \overrightarrow{CD}) = \dfrac{\pi}{8} \quad [2\pi]$ \\
et $ABC$ est rectangle isocèle direct donc $(\overrightarrow{BC} ; \overrightarrow{BD})= (\overrightarrow{CA} ; \overrightarrow{CB})=
\dfrac{\pi}4 \quad [2\pi] $ .\\
Donc $(\overrightarrow{DB} ; \overrightarrow{DC})= \pi - \dfrac{\pi}{8} - \dfrac{\pi}4 = \dfrac{5\pi}8 
\quad [2\pi]$.
 \item[\textbf{4.}] %Calculer une mesure de $(\overrightarrow{AC} ; \overrightarrow{DC})$.
\begin{eqnarray*}
(\overrightarrow{AC} ; \overrightarrow{DC}) &=& (\overrightarrow{AC} ; \overrightarrow{BC})  + (\overrightarrow{BC} ; \overrightarrow{DC}) 
\qquad \text{ D'après la relation de Chasles}\\
&=& (\overrightarrow{CA} ; \overrightarrow{CB}) + (\overrightarrow{CB} ; \overrightarrow{CD}) 
\qquad \text{ car } (-\vec u ; - \vec v) = (u ; v) \quad [2\pi] \\
&=&   \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{8}  \quad [2\pi]\\
&=& \dfrac{\pi}8 \quad [2\pi]
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
}

%\textit{\textbf{Pour les deux exercices suivants, on dessinera au moins un cercle trigonométrique par question, 
%afin de justifier les réponses et on détaillera les calculs lorsqu'il y en a.}}


\Exop[4 points]{
%\textit{\textbf{Pour cet exercice, on dessinera au moins un cercle trigonométrique par question, 
%afin de justifier les réponses et on détaillera les calculs lorsqu'il y en a.}}
\begin{enumerate}
 \item %Exprimer en fonction de $\cos(x)$ et/ou $\sin(x)$, le réel suivant :
%\begin{enumerate}
 %\item 
%$A=\sin(\pi -x)  -\sin(-x) +\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x \right)$
On sait d'après le cercle trigonométrique que 
$$\sin(\pi - x) = \sin(x) \qquad , \qquad \sin(-x)=-\sin(x) \qquad  \text{ et } \qquad \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) = \cos(x)$$
Donc $A = \sin(x)+\sin(x)+\cos(x) = 2\sin(x) + \cos(x)$
%\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
%\begin{multicols}{2}
\item %On donne $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right) = \dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$. En déduire la valeur exacte de 
%$ \cos\left(\dfrac{7\pi}{5}\right) \qquad $ %et $\qquad \cos\left(\dfrac{7\pi}{5}\right) $
 $\dfrac{7\pi}{5} = \dfrac{2\pi}{5} + \pi$. \qquad Or d'après le cercle trigonométrique, on a $\cos(x+\pi)=-\cos(x)$.\\
Donc $\cos\left(\dfrac{7\pi}{5}\right)=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}$.
\item %Montrer que $\sin^2\left(\dfrac{7\pi}{5}\right)= \dfrac{5+ \sqrt{5}}{8}$.
On sait que pour tout $x\in\R$ on a $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1 \iff \sin^2(x)=1-\cos^2(x)$.\\
Or $\cos^2\left(\dfrac{7\pi}{5}\right)=\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}\right)^2 = \dfrac{1 -2\times 1 \times \sqrt{5} + 5}{16}
=\dfrac{6-2\sqrt{5}}{16}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{8}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\begin{enumerate}
\item[] \begin{enumerate} \item []
Donc $\sin^2\left(\dfrac{7\pi}{5}\right)=1-\dfrac{3-\sqrt{5}}{8}=\dfrac{8-3+\sqrt{5}}{8}=\dfrac{5+\sqrt{5}}{8}$ \qquad CQFD.
  \item[\textbf{c.}] %En déduire la valeur exacte de $\sin\left(\dfrac{7\pi}{5}\right)$ %et $\sin\left(-\dfrac{2\pi}{5}\right)$.
On sait que le $\sin\left(\dfrac{7\pi}{5}\right)<0$ car $\pi<\dfrac{7\pi}{5}<2\pi$. \qquad
Donc $\sin\left(\dfrac{7\pi}{5}\right)=-\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{5}}{8}}$
%\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%}

\Exop[9 points]{
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item %Résoudre dans l'intervalle $]-\pi ; \pi]$ l'équation $\cos(x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right)$.
Sur le cercle trigonométrique, on voit que les solutions de cette équation dans $]-\pi ; \pi]$ sont $-\dfrac{\pi}{7}$ et $\dfrac{\pi}{7}$.
 \item %Donner ensuite les solutions de cette équation sur $\R$, puis les solutions dans $[0 ; 2\pi[$.
L'ensemble des solutions sur $\R$ est $S=\left\{\pm \dfrac{\pi}7 + 2k\pi\, ; \text{ avec } k\in\Z\right\}$.\\
D'après le cercle trigonométrique, l'ensemble des solutions sur $[0 ; 2\pi[$ est $S=\left\{\dfrac{\pi}7 ; \dfrac{13\pi}7 \right\}$.
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate} 
 \item %Résoudre dans l'intervalle $]-\pi ; \pi]$ l'équation $\cos(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}2$.
$\cos(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}2 \iff \cos(x)=\cos \left(\dfrac{3\pi}4\right)$ d'après le cercle trigonométrique.\\
Donc les solutions de cette équation sur $]-\pi ; \pi]$ sont $-\dfrac{3\pi}4$ et $\dfrac{3\pi}4$.
 \item %En déduire les solutions de l'inéquation $\cos(x)>-\dfrac{\sqrt{2}}2$ dans $]-\pi ; \pi]$.
L'ensemble des solutions de cette inéquation sur $]-\pi ; \pi]$ est donc $S=\left]-\dfrac{3\pi}4 ; \dfrac{\pi}4\right[$.
 \item %Donner ensuite les solutions de cette inéquation dans $[-2\pi ; 3\pi[$.
L'ensemble des solutions de cette inéquation sur $]-2\pi ; 3\pi]$ est donc 
$$S=\left]-2\pi ; -\dfrac{5\pi}4 \right[ 
\cup \left]-\dfrac{3\pi}4 ; \dfrac{3\pi}4\right[ \cup \left]\dfrac{5\pi}4 ; \dfrac{11\pi}4\right[ $$
\end{enumerate}
\item %On a interrogé le logiciel de calcul formel XCAS en entrant la ligne suivante :
%\begin{center}
%\fbox{\texttt{solve(2*sin(x)\^{}2-sin(x)-1=0,x)}} 
%\end{center}
\begin{enumerate}
       \item %Que demande-t-on au logiciel ?
On demande au logiciel de trouver les mesures principales des angles $x$ tels que $2sin(x)^2-sin(x)-1=0$. 
 \item %Trouver les trois nombres réels que le logiciel renvoie.
On pose $X=\sin(x)$.\\
On doit donc résoudre d'abord $2X^2-X+1=0$.\\
$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 2 \times (-1) = 1+8=9$
D'où $X_1=\dfrac{-(-1)+\sqrt{9}}{2\times 2}=1$ et $X_2=\dfrac{1-3}{4}=-\dfrac12$.
On cherche alors les $x$ tels que $\sin(x)=1$ ou $\sin(x)=-\dfrac12$.\\
La solution sur $]-\pi ; \pi]$ de $\sin(x)=1$ est $x=\dfrac{\pi}2$.\\
Et $\sin(x)=-\dfrac12 \iff \sin(x)=\sin\left(-\dfrac{\pi}6\right)$. Donc les solutions sur $]-\pi ; \pi]$ de cette équation
sont $-\dfrac{5\pi}{6}$ et $-\dfrac{\pi}6$ d'après le cercle trigonométrique.\\
Au final, le logiciel renvoit les nombres $-\dfrac{5\pi}{6}$ , $-\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{2}$.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\end{document}
