\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{Variables al\'eatoires}
\newcommand{\Cl}{1SSI}
\newcommand{\num}{2}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}

\usepackage{textcomp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutDsCha

\Exop[\textit{Les questions 1 et 2 sont indépendantes}\hfill 7 points]{
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item %Représenter la situation par un arbre pondéré.\\
\begin{center}
 \psset{nodesep=0mm,levelsep=15mm,treesep=7mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$I$}\taput{\small $0.6$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G$}\taput{\small $0.8$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{G}$}\tbput{\small $0.2$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$S$}\tbput{\small $0.4$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G$}\taput{\small $0.7$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{G}$}\tbput{\small $0.3$}
}
}
\end{center}

 \item %Calculer les probabilités $p(S)$, $p(S \cap G)$ et $p(G)$.
$$p(S)=1-P(I)=0.4 \qquad p(S\cap G)= 0.4 \times 0.7 = 0.28 \qquad p(G)=0.6 \times 0.8 + 0.28 = 0.76$$
 \item %En déduire $P(S\cup G)$.
$p(S\cup G)= p(S)+p(G)-p(S \cap G) = 0.4 + 0.76 - 0.28 = 0.88$
 \item %Traduire en une phrase (dans un français correct) l'événement $\overline{S \cup G}$, puis déduire de la question précédente sa probabilité.
$S\cup G= \og$ La souris n'est pas de type S \textit{et} n'est pas nourrie au gruyère \fg\\
ou encore \og La souris est de type I et est nourrie avec Royal Mouse \fg\\
On a $p(\overline{S\cup G})=1-p(S \cup G) = 0.12$
\end{enumerate}
\item 
%Croquette possède également deux autres souris, une de type Spiegelman, et une de type Mickey, pour lui tenir compagnie. Il s'en sert
%également pour entrainer sa souris de type Ignatz au saut à la perche.
%\noindent Le tableau suivant donne la probabilité de gagner de chacune des souris lors d'un saut.
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|}
%\hline
%\rule[-1ex]{0pt}{4ex} Type & Ignatz & Spiegelman & Mickey  \tabularnewline\hline
%\rule[-1ex]{0pt}{4ex} Probabilité  & $p$ & $ p^2 $ & $ 0.04 $ \tabularnewline\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
\begin{enumerate}
 \item %Déterminer $p$.
On sait que $p + p^2 + 0.04 = 1 \iff p^2+p-0.96 = 0$\\
Or $\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times (-0.96) = 1 + 3.84 = 4.84=2.2^2$\\
Donc les solutions de cette équation sont $p_1=\dfrac{-1-2.2}{2}<0$ donc impossible ici, \\
et $x_2=\dfrac{-1+2.2}{2}=0.6$.\\
On a alors $p=0.6$. On vérifie : $p+p^2+0.04=0.6+0.36+0.04=1$.
 \item %Aujourd'hui, Croquette organise une séance d'entraînement de 4 sauts consécutifs entre ces 3 souris. 
%Quelle est la probabilité que la souris de type Ignatz en remporte au moins un ? \textit{Justifier}
On appelle $A$ l'événement $\og$ La souris de type Ignatz remporte un saut \og et $B$ l'événement demandé.\\
L'événement contraire de celui demandé est $\overline{B}=\og$ La souris de type Ignatz ne remporte aucun saut \fg.\\
On peut imaginer un arbre contenant à chaque étape $A$ de probabilité $0.6$ et $\overline{A}$ de probabilité $0.4$.
On a donc $p(\overline{B})=(0.4 )^4$ et $p(B)=1-p(\overline{B})=1-0.4^4=1-0.0256=0.9744$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\Exop[\hfill 2 points]{
Voir votre copie}

\Exop[\hfill 11 points]{%En 1984 en Océania, Winston travaille au ministère de la vérité. 
%Son travail consiste à remanier les archives 
%historiques afin de faire correspondre le passé à la version officielle du parti unique de Big Brother. 
}

%La bibliothèque où il travaille contient $n+5$ archives : 5 à laisser intactes (I) et $n$ à retoucher (R). On a $n \geq 3$.\\
%\indent Winston prend tous les jours successivement et sans remise deux archives de la bibliothèque au hasard.\\ 
%\indent Retoucher une archive lui fait perdre $1$ souvenir, en laisser une intacte lui permet de retrouver $2$ souvenirs.\\
%\indent On définit par $X$ la variable aléatoire égale au gain de souvenirs de Winston à la fin d'une journée de travail.
\begin{enumerate}
 \item %Donner une représentation de la situation.
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=15mm,treesep=7mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$I$}\taput{\small $\dfrac{5}{n+5}$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$I$}\taput{\small $\frac{4}{n+4}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$X=4$}\taput{\small }
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$R$}\tbput{\small $\frac{n}{n+4}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$X=1$}\taput{\small }
}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$R$}\tbput{\small $\dfrac{n}{n+5}$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$I$}\taput{\small $\frac{5}{n+4}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$X=1$}\taput{\small }
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$R$}\tbput{\small $\frac{n-1}{n+4}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$X=-2$}\taput{\small }
}
}
}
\end{center}
 \item %Déterminer en fonction de $n$ la loi de probabilité de $X$. \textit{Justifier par des calculs}.
$p(X=4)= \dfrac{5}{n+5}\times \dfrac{4}{n+4}=\dfrac{20}{(n+5)(n+4)}$\\
$$p(X=-2)=\dfrac{n}{n+5}\times \dfrac{n-1}{n+4}=\dfrac{n(n-1)}{(n+5)(n+4)} \qquad \qquad 
p(X=1)=2 \times \dfrac{5}{n+5}\times \dfrac{n}{n+4}=\dfrac{10n}{(n+5)(n+4)}$$
On a donc le tableau :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $x_i$ & $-2$ & 1 & 4  \tabularnewline\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $p(X=x_i)$  & $\dfrac{n(n-1)}{(n+5)(n+4)}$ & $ \dfrac{10n}{(n+5)(n+4)} $ & $\dfrac{20}{(n+5)(n+4)} $ \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
 \item %Calculer en fonction de $n$ l'espérance de $X$.
$E(X)=-2\times \dfrac{n(n-1)}{(n+5)(n+4)} + 1 \times \dfrac{10n}{(n+5)(n+4)} + 4 \times \dfrac{20}{(n+5)(n+4)}= \dfrac{-2n^2+12n+80}{(n+5)(n+4)}$
 \item %Y a-t-il une valeur de $n$ pour lequel le travail de Winston est équitable pour sa mémoire ?
On cherche une valeur qui annule $E(X)$, ie telle que $-2n^2+12n+80=0$.\\
On a $\Delta = 144+640 = 784 = 28^2$.\\
On trouve $n_1=\dfrac{-12-28}{-4}=10$ et $n_2=\dfrac{-12+28}{-4}=-4<0$ donc impossible.\\
Donc le travail est équitable pour $n=10$.
 \item %Winston sait qu'il ne doit travailler que pour $n\leq 10$ mais il a oublié pourquoi.
 %Pouvez-vous lui expliquer  ? \textit{On omettra le facteur fainéantise et l'on considère que plus Winston a de souvenirs, mieux c'est pour lui.}
Winston ne doit travailler que lorsque $E(X)\geq 0$. On $E(X)$ est du signe de $-2n^2+12n+80$ car son dénominateur est positif.\\ 
0r cette expression est positive pour $-4 \leq n \leq 10$. 
\item %A partir de maintenant, on sait que $n=10$.
\begin{enumerate}
       \item %Donner alors la loi de probabilité de $X$, ainsi que son espérance.
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $x_i$ & $-2$ & 1 & 4  \tabularnewline\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $p(X=x_i)$  & $\dfrac{90}{210}$ & $ \dfrac{100}{210} $ & $\dfrac{20}{210} $ \tabularnewline\hline
\end{tabular}
Et on sait déjà que $E(X)=0$, d'après la question 4.
 \item %Calculer la variance de $X$ et son écart-type. 
$V(X)=(-2)^2 \times \dfrac{90}{210} + 1^2 \times \dfrac{100}{210} + 4^2 \times \dfrac{20}{210} - 0^2= \dfrac{360+100+320}{210} =\dfrac{780}{210} = \dfrac{26}{7}$\\
et $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\simeq 1.9$.
 \end{enumerate}
 \item %On a toujours $n=10$.\\
%Winston se rappelle désormais qu'à chaque fois qu'il va au travail, il gagne deux souvenirs et lorsqu'il revient, il triple son capital acquis dans la bibliothèque.
%On note $Y$ la nouvelle variable aléatoire égale au gain de souvenirs de Winston à la fin d'une journée de travail.
\begin{enumerate}
 \item %Exprimer $Y$ en fonction de $X$.
$Y=3X+2$
\item %Donner $E(Y)$, $V(Y)$ et $\sigma(Y)$.
$$E(Y)=3E(X)+2 = 2 \qquad V(Y)= 3^2V(X) = 9 \times \dfrac{26}{7}=\dfrac{234}{7} \qquad \sigma(Y)=\sqrt{V(Y)}=3\sigma(X)\simeq 5.7$$
 \item %Winston doit-il continuer à travailler ? Ce travail est-il risqué ?
L'espérance est positive, donc Winston peut continuer à travailler, par contre, l'écart-type est important comparé à
l'espérance, donc ce travail est risqué.
\end{enumerate}
\end{enumerate}







\end{document}
