\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 4}
\newcommand{\Ch}{Correction du n$^{\circ}$ 108 p 338 (vecteurs)}
\newcommand{\Cl}{1SSI}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}
\newcommand{\num}{4}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
\debutDmCha


\textbf{Partie A :}
\begin{enumerate}
 \item Les vecteurs $\overrightarrow{GS}$ et $\overrightarrow{GL}$ sont de même direction et de sens contraire, 
car les points $S$, $G$ et $L$ sont alignés dans cet ordre.
 \item On sait que l'on doit avoir $m_S \times GS = m_L \times GL$ et comme 
$\overrightarrow{GS}$ et $\overrightarrow{GL}$ sont colinéaires, de sens contraire, on peut affirmer que :
$$m_S \times \overrightarrow{GS} = - m_L \times \overrightarrow{GL} \iff m_S \overrightarrow{GS} + m_L \overrightarrow{GL} = \vec 0$$
\item On a donc 
\begin{eqnarray*}
m_S \overrightarrow{GS} + m_L \overrightarrow{GL} = \vec 0 & \iff &  m_S \overrightarrow{GS} + m_L \left(\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SL}\right)  =  \vec 0 \\
& \iff & (m_S+m_L) \overrightarrow{GS} + m_L \overrightarrow{SL} = \vec 0 \\
& \iff & (m_S+m_L) \overrightarrow{GS} = - m_L \overrightarrow{SL} \\
& \iff & (m_S+m_L) \overrightarrow{SG} = m_L \overrightarrow{SL} \\
& \iff & \overrightarrow{SG} = \dfrac{m_L}{m_S+m_L} \overrightarrow{SL} \qquad (\bigstar)
\end{eqnarray*}
On a $\overrightarrow{SG} = k \overrightarrow{SL} $ avec $k=\dfrac{m_L}{m_S+m_L}$ unique, ainsi que $\overrightarrow{SL}$.\\
Donc il existe une unique position pour le point $G$ pour laquelle l'équilibre est assuré.
\item Si $m_S=m_L$, le point $G$ est situé au milieu de $[SL]$.\\
Ce résultat est connu et évident, mais on peut le redémontrer grâce à la relation $(\bigstar)$ ci-dessus : 
$$(\bigstar)\iff \overrightarrow{SG} = \dfrac{m_L}{m_L+m_L} \overrightarrow{SL}  \iff \overrightarrow{SG} = \dfrac{m_L}{2m_L} \overrightarrow{SL} \iff \overrightarrow{SG} =\dfrac{1}{2} \overrightarrow{SL}$$
\item Si $m_S=30$ g et $m_L=10$ g, alors :
$$(\bigstar) \iff \overrightarrow{SG} = \dfrac{10}{30+10} \overrightarrow{SL} \iff \overrightarrow{SG}=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{SL}$$
Donc $G$ est situé à un quart du segment $[SL]$ en partant du point $S$.
\end{enumerate}
\textbf{Partie B :}
\begin{enumerate}
 \item \begin{eqnarray*}
         m_E \overrightarrow{GE} + m_S \overrightarrow{GS} + m_L \overrightarrow{GL} = \vec 0 
& \iff & m_E \overrightarrow{GE} + m_S \left(\overrightarrow{GE}+ \overrightarrow{ES}\right)
 + m_L \left(\overrightarrow{GE} + \overrightarrow{EL}\right) = \vec 0 \\
& \iff & (m_E+m_S+m_L) \overrightarrow{GE} = -m_S \overrightarrow{ES} - m_L \overrightarrow{EL}\\
& \iff & (m_E+m_S+m_L) \overrightarrow{EG} = m_S \overrightarrow{ES} + m_L \overrightarrow{EL}\\
& \iff & \overrightarrow{EG} = \dfrac{m_S}{m_E+m_S+m_L} \overrightarrow{ES} +\dfrac{m_L}{m_E+m_S+m_L} \overrightarrow{EL}
       \end{eqnarray*}
Comme $\overrightarrow{EG} = a\overrightarrow{ES} + b \overrightarrow{EL}$ avec $a$ et $b$ des réels uniques et que les vecteurs $\overrightarrow{ES}$
et $\overrightarrow{EL}$ sont également uniques, il existe une unique position pour le point $G$ possible.\\

\textit{On peut constater qu'elle ne correspond pas à celle du dessin, car $G$ n'est pas sur le segment $[SL]$. \\
En fait $G$ l'est l'endroit on l'on doit accrocher le mobile,
 non pas pour qu'il soit à la verticale, comme sur le dessin, mais à l'horizotale. \\
Ici il sera forcément forcément à l'intérieur du triangle $SLE$, car les masses (donc les coefficients) sont positives. 
Mais on rencontrera des cas où les coefficients ne seront pas des masses, et pourront 
être négatifs. Le point $G$ ne sera alors pas forcément à l'intérieur du triangle...}
\item Si $m_S=m_L=m_E$.
\begin{enumerate}
 \item On obtient alors :
$$
(1) \iff  m_E\overrightarrow{GE} + m_E \overrightarrow{GS} + m_E \overrightarrow{GL} = \vec 0 
 \iff  \overrightarrow{GE} +  \overrightarrow{GS} +  \overrightarrow{GL} = \vec 0
$$
\item Si $I$ est le milieu du segment $[SL]$ alors $\overrightarrow{SI} = \overrightarrow{IL} 
\iff \overrightarrow{IS} = -\overrightarrow{IL}$ et on a :
\begin{eqnarray*}
 \overrightarrow{GE} +  \overrightarrow{GS} +  \overrightarrow{GL} = \vec 0 
& \iff &  \overrightarrow{GE} + \left( \overrightarrow{GI} + \overrightarrow{IS} \right) + \left( \overrightarrow{GI} + \overrightarrow{IL}\right) = \vec 0\\
& \iff & \overrightarrow{GE} + 2 \overrightarrow{GI} - \overrightarrow{IL} + \overrightarrow{IL} = \vec 0\\
& \iff & \overrightarrow{GE} +  2 \overrightarrow{GI} = \vec 0\\
& \iff & \overrightarrow{GE} +  2 \left(\overrightarrow{GE} + \overrightarrow{EI}\right) = \vec 0\\
& \iff & 3\overrightarrow{GE} + 2\overrightarrow{EI} = \vec 0\\
& \iff & 3\overrightarrow{GE} =- 2\overrightarrow{EI} \\
& \iff & 3\overrightarrow{EG} = 2\overrightarrow{EI} \\
& \iff & \overrightarrow{EG} = \dfrac23 \overrightarrow{EI} 
\end{eqnarray*}
\item Le point $G$ est alors au deux tiers du segment $[EI]$ en partant du point $E$. \\
Comme $[EI]$ est la médiane issue de $E$ du triangle 
$SEL$ ($I$ est le milieu du côté $[SL]$), le point $G$ est le centre de gravité du triangle $SEL$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{document}