\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Ch}{Variations de fonctions}
\newcommand{\Cl}{1SSI}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}
\newcommand{\num}{3bis}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macro_final.tex
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
\debutDmCha
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
$ \qquad f(x)=\sqrt{x^2-6x+10}$
\begin{enumerate}
 \item $x^2-6x+10=(x-3)^2-9+10=(x-3)^2+1$
\item \begin{enumerate}
 \item Soit $h\in \R$. On utilise la forme canonique du trinôme, plus simple pour ces calculs.\\
$f(3-h)=\sqrt{(3-h-3)^2+1}=\sqrt{(-h)^2+1}=\sqrt{h^2+1}$.\\
$f(3+h)=\sqrt{(3+h-3)^2+1}=\sqrt{h^2+1}=f(3-h)$.
 \item Lorsque $h$ parcourt $\R$, on peut donc en déduire que les points donnés sont symétriques par rapport à la droite 
d'équation $x=3$.
\item Ceci étant vrai pour tout $h\in\R$, on en déduit que la courbe représentative de $f$ admet la droite $x=3$ comme axe de symétrie.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
 \item[\textbf{a., b.}] On sait que la fonction $\sqrt{u}$ possède les mêmes variations que $u$, pour toute fonction $u$ positive.\\
De plus, on sait établir les variations de la fonction trinôme $u:x\longmapsto x^2-6x+10$ depuis le premier chapitre. 
On a donc :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=3]{$x$/0.5,Variations de $u$/1.5,Variations de $f=\sqrt{u}$/1.5}{$-\infty$,$3$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+ /, -/$1$, +/ }
\tkzTabVar{+ /, -/$\sqrt{1}=1$, +/ }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item[\textbf{c.}] La fonction $f$ admet pour minimum 1 atteint en $x=3$.
\end{enumerate}
 \item 
Soit $M\in\R$ tel que $M \geq 1$
\begin{enumerate}
 \item $f(x)=M  \iff   \sqrt{x^2-6x+10}=M^2\quad \text{ car } x^2-6x+10 \text{ est toujours positif}$\\
\indent $ \iff  x^2-6x+10-M^2 = 0 $\\
On a $\Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times (10-M^2) = 36 - 40 +4M^2 = -4 + 4 M^2 = 4 (M^2-1)$.\\
Comme $M\geq 1$, on a $\Delta \geq 0$. \\
Donc l'équation donnée admet une quand $M=1$ ou deux solutions quand $M>1$.
 \item La phrase donnée signifie : \og Pour tout $M$ supérieur ou égal à 1, il existe un réel $x$ tel que $f(x)$ soit supérieur ou égal à $M$.\\
On sait que pour tout $M\geq 1$, l'équation $f(x)=M$ admet une ou deux solutions. \\
S'il n'y a qu'une solution, on sait que $M=1$. Il s'agit du minimum de $f$ (qui n'est pas constante), donc il existe un $x$ tel que 
$f(x) \geq M$, par exemple $x=2$.\\
S'il y a deux solutions à cette équation, par symétrie de la courbe, on sait que l'une est dans $]-\infty;3] $ et l'autre 
dans $[3;+\infty[$.
Considérons celle dans l'intervalle $[3;+\infty[$ et appelons-la $x_0$. \\
Alors, d'après le tableau de variations de $f$, on sait que $f(x_0+1) > f(x_0)=M$. Donc on a trouvé un $x=x_0+1$, tel que 
$f(x) > M$ et la proposition est vraie.
\item On peut en déduire que $f(x)$ peut être aussi grand que l'on veut si $x$ est assez grand. De plus, grâce à la symétrie, 
on en déduit le tableau de variations complets suivants :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=3]{$x$/0.5,Variations de $f$/1.5}{$-\infty$,$3$,$+\infty$}
\tkzTabVar{ +/$+\infty$, -/$1$, +/$+\infty$ }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\textbf{On dit que la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$ est $+\infty$. \\
On note ceci ainsi $\lim\limits_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$. \quad On a aussi \,$\dots\dots$}

\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item $\forall x \in \R$, on a :
\begin{eqnarray*}
\dfrac{1}{f(x)+x-3} &= &\dfrac{1}{f(x)+x-3}\times \dfrac{f(x)-(x-3)}{f(x)-(x-3)}\\
&=&\dfrac{f(x)-(x-3)}{f(x)^2-(x-3)^2}\\
&=& \dfrac{f(x)-(x-3)}{x^2-6x+10 - (x^2-6x+9)}\\
&=& \dfrac{f(x)-(x-3)}{1}=f(x)-(x-3) 
\end{eqnarray*}
\item On sait que $f(x)-(x-3)= \dfrac{1}{f(x)+x-3}$.\\
Or $f(x)$ peut être aussi grand que l'on veut, à condition que $x$ positif soit suffisamment grand, donc $f(x)+x-3$ aussi.\\
On en déduit que $\dfrac{1}{f(x)+x-3}$ peut être aussi petit que l'on veut, à 
condition que $x$ positif soit suffisamment grand, et donc $f(x)-(x-3)$ aussi.\\
\textbf{On dit que la limite de la fonction $f(x)-(x-3)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ est $0$. \\
On note ceci ainsi \,$\dots\dots$}\\
      \end{enumerate}
\item 
\begin{center}
 \psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-2.1,-2.1)(8.1,5.1)
\def\xmin{-2} \def\xmax{8} \def\ymin{-2} \def\ymax{5}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psgrid[griddots=4,gridlabels=0pt,gridwidth=1pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-2,-2)(8,5)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 2 exp 6 x mul sub 10 add 0.5 exp}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=2pt,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{8}{\F}
\def\G{0 x sub 3 add}
\psplot[linecolor=green,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{5}{\G}
\def\H{x 3 sub}
\psplot[linecolor=green,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{8}{\H}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](3,\ymin)(3,\ymax)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}

Sur le graphique, on a représenté la courbe représentative de $f$. On constate que ses variations et son minimum sont 
conformes à ce que l'on a démontré en 3.\\
On remarque également son axe de symétrie $x=3$, tracé en pointillés.\\
Graphiquement, on voit clairement qu'il y a une ou deux solutions à l'équation $f(x)=M$, pour tout $M\geq 1$.\\
Enfin, on a représenté les droites d'équation $y=x-3$ et $y=3-x$.\\
Attardons-nous sur la première. La question 5b. nous a fait montrer que $f(x)-(x-3)$ pouvait être aussi petit que l'on voulait,
à condition que $x>0$ soit suffisamment grand. Graphiquement, cela signifie que l'écart entre la courbe représentative de $f$ et la droite 
d'équation $y=x-3$ peut être aussi petit que l'on veut, à condition que $x$ positif soit suffisamment grand.
C'est pourquoi on voit que la courbe en gras se rapproche de plus en plus de la droite (sans jamais la toucher).\\
\textbf{On dit que la droite $y=x-3$ est une asymptote oblique à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$.}\\
Par symétrie, l'écart entre la courbe en gras et la droite d'équation $y=3-x$ devient également aussi petit que l'on veut, à condition
que $x$ soit suffisamment grand dans les négatifs.\\
\textbf{On dit que la droite $y=\dots\dots\dots$ est une asymptote oblique à la courbe représentative de $f$ en $\dots\dots\dots$.}
\end{enumerate}




\end{document}