\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 5}
\newcommand{\Ch}{Activit\'e de Trigonom\'etrie et sur les Suites}
\newcommand{\Cl}{1SSI}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}
\newcommand{\num}{5}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
\debutDmCha
 
%\textbf{Chacun des exercices demandés ci-dessous est une activité introductrice à la suite du cours 
%(ou à un chapitre) et non un exercice d'application du cours. }\\
%Je vous demande donc votre raisonnement, mais surtout pas une formule non encore 
%évoquée en cours (et donc ni expliquée, ni justifiée) ou la copie d'un camarade...
%Et ceci même si vos idées n'ont pas abouti. \\
%Votre démarche et la clarté de vos explications personnelles rentreront en compte dans l'évaluation.



\Exop[Equations trigonométriques]{\textbf{Partie A : Equation $\cos x = a$}}
\begin{enumerate}
 \item %Soit l'équation $\cos x = \dfrac12$ à résoudre dans $\R$.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item %Placer sur le cercle trigonométrique les points $M$ et $M'$ d'abscisse $\dfrac12$
\begin{center}
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.3cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-10.33,-12.11)(15.59,12.54)
\pscircle(0,0){3}
\psline{->}(-10,0)(10,0)
\psline{->}(0,-10)(0,10)
\psline(0,0)(5,8.66)
\psline(0,0)(5,-8.66)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{1.0471975511965979}{2.5*cos(t)+0|2.5*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(2.5,2.5){0}{55.38}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{-1.0471975511965976}{0.0}{2.5*cos(t)+0|2.5*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{<-}(0,0)(2.5,2.5){-60}{-4.62}
\psline[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt](5,-8.66)(5,8.66)
\rput[bl](-1,-1){\darkgray{$O$}}
\rput[bl](10.5,0.17){\xdxdff{$I$}}
\rput[bl](5.11,8.84){\darkgray{$M$}}
\rput[bl](5.35,-9.6){\darkgray{$M'$}}
\rput[bl](0.12,10.5){\xdxdff{$J$}}
\rput[bl](3,1){\qqwuqq{$\frac{\pi}3$}}
\rput[bl](2.5,-2.6){\qqwuqq{$-\frac{\pi}3$}}
\rput[bl](5.2,-1.5){$0.5$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item %Déterminer les mesures principales des angles $(\overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OM})$ et $(\overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OM'})$.\\
D'après le tableau des valeurs remarquables, on a  $(\overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OM})=\dfrac{\pi}3$, et d'après
la configuration du rectangle, on a $(\overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OM'})=-\dfrac{\pi}3$.\\
%En déduire l'ensemble des solutions dans $]-\pi ; \pi]$ de l'équation $\cos x = \dfrac12$.
L'ensemble des solutions dans $]-\pi ; \pi]$ de l'équation $\cos x = \dfrac12$ est donc $\left\{-\dfrac{\pi}3 ; \dfrac{\pi}3 \right\}$.
\item %Résoudre dans $\R$ cette équation.
Dans $\R$, tous les nombres de la forme $\dfrac{\pi}3 + $\og  un multiple de $2\pi$ \fg \, 
ou $-\dfrac{\pi}3 + $ \og un multiple de $2\pi$ \fg \, sont aussi solutions de cette équation.\\
L'ensemble des solutions de cette équation dans $\R$ est donc $\left\{\pm\dfrac{\pi}3 +2k\pi ; \text{ avec } k\in\Z \right\}$.
\end{enumerate} 
\end{multicols}
\item 
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
       \item %Par une méthode analogue, résoudre dans $\R$ l'équation $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}2$.
\begin{center}
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=0.30cm,yunit=0.3cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-10.33,-12.11)(15.59,12.54)
\pscircle(0,0){3}
\psline{->}(-10,0)(10,0)
\psline{->}(0,-10)(0,10)
\psline(0,0)(-7.07,7.07)
\psline(0,0)(-7.07,-7.07)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{2.356194490192345}{2.5*cos(t)+0|2.5*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(2.5,2.5){0}{131.92}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{-2.356194490192345}{0.0}{2.5*cos(t)+0|2.5*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{<-}(0,0)(2.5,2.5){-135}{-3.08}
\psline[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt](-7.07,7.07)(-7.07,-7.07)
\rput[bl](0.5,0.5){\darkgray{$O$}}
\rput[bl](10.5,0.17){\xdxdff{$I$}}
\rput[bl](0.12,10.5){\xdxdff{$J$}}
\rput[bl](-8,8){\darkgray{$N$}}
\rput[bl](-8,-9){\darkgray{$N'$}}
\rput[bl](2,1.5){\qqwuqq{$\frac{3\pi}4$}}
\rput[bl](1.5,-3){\qqwuqq{$-\frac{3\pi}4$}}
\rput[bl](-7,-2){$-\frac{\sqrt{2}}2$}
\end{pspicture*}
\end{center}
On place sur le cercle les points $N$ et $N'$ d'abscisse $-\dfrac{\sqrt{2}}2$.\\
On sait grâce au tableau de valeurs et à la configuration du rectangle que $(\overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{ON})=\dfrac{3\pi}4$
et $(\overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{ON'})=-\dfrac{3\pi}4$.\\
On trouve donc que l'ensemble des solutions dans $\R$ de  l'équation $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}2$ est 
$\left\{\pm\dfrac{3\pi}4 +2k\pi ; \text{ avec } k\in\Z \right\}$.
 \item %En déduire les solutions dans $[0; 2 \pi[$ de cette équation.
Dans $[0; 2 \pi[$, on trouve donc deux solutions, à savoir $\dfrac{3\pi}4$ et $-\dfrac{3\pi}4+2\pi = \dfrac{5\pi}4$.
      \end{enumerate}
\end{multicols}
\item \begin{enumerate}
       \item %Examiner le cas des équations $\cos x = 1.5$ et $\cos x = -3$.
Pour tout $x$ on a $-1 \leq \cos(x)\leq 1$ donc ces deux équations n'ont pas de solutions dans $\R$.
 \item %Donner une condition sur $a$ pour que l'équation $\cos x = a$ puisse admettre des solutions.
L'équation $\cos(x)=a$ admet des solutions dans $\R$ si et seulement si $a \in [-1 ; 1 ]$.
      \end{enumerate}
\newpage
\item %Soit l'équation $\cos x =0.25$.
\begin{enumerate}
       \item %Sur le cercle trigonométrique, placer les images des solutions de l'équation.
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=0.30cm,yunit=0.3cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-10.33,-12.11)(15.59,12.54)
\pscircle(0,0){3}
\psline{->}(-10,0)(10,0)
\psline{->}(0,-10)(0,10)
\psline(0,0)(2.5,9.68)
\psline(0,0)(2.5,-9.68)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{1.318116071652818}{1.81*cos(t)+0|1.81*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(1.81,1.81){0}{73.22}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{-1.318116071652818}{0.0}{1.81*cos(t)+0|1.81*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{<-}(0,0)(1.81,1.81){-75.52}{-2.31}
\psline[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt](2.5,9.68)(2.5,-9.68)
\rput[bl](-1,-1){\darkgray{$O$}}
\rput[bl](10.5,0.17){\xdxdff{$I$}}
\rput[bl](0.12,10.5){\xdxdff{$J$}}
\rput[bl](2.61,9.86){\darkgray{$P$}}
\rput[bl](2.61,-11){\darkgray{$P'$}}
\rput[bl](1.5,1.8){\qqwuqq{$\theta$}}
\rput[bl](0.85,-2.5){\qqwuqq{$-\theta$}}
\rput[bl](3,-1){$0.25$}
\end{pspicture*}
\end{center}
On appelle $P$ et $P'$ les images des solutions de l'équation, ie les points du cercle d'abscisses $0.25$.
\item %On note $\theta$ la solution de cette équation dans $[0; \pi[$.\\
%Exprimer en fonction de $\theta$ les solutions de l'équation $\cos x = 0.25$ sur $\R$.
Les solutions de l'équation $\cos x = 0.25$ sur $\R$ sont les nombres de la forme $\pm\theta + 2k\pi$ avec $k\in\Z$.
\item %Résoudre cette équation dans $[0;2\pi[$.\\
Dans $[0;2\pi]$, les solutions sont $\theta$ et $-\theta + 2\pi$
%Donner, à l'aide de la calculatrice des valeurs approchées de ces solutions à $10^{-4}$ près.
A l'aide de la calculatrice, on trouve $\theta \simeq 1.3181 $ rad et $-\theta + 2 \pi \simeq 4.9651$ rad.
\end{multicols}
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie B : Equation $\sin x = a$}
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
 \item %En suivant la même méthode que dans la partie A, résoudre l'équation $\sin x = \dfrac12$ dans $]-\pi ; \pi]$ 
%puis dans $\R$.
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.3cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-10.5,-12.11)(15.59,12.54)
\pscircle(0,0){3}
\psline{->}(-10,0)(10,0)
\psline{->}(0,-10)(0,10)
\psline(0,0)(-8.66,5)
\psline(0,0)(8.66,5)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{2.6179938779914944}
{2.5*cos(t)+0|2.5*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(2.5,2.5){0}{145.38}
\psline[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt](8.66,5)(-8.66,5)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.5235987755982989}
{2.5*cos(t)+0|2.5*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(2.5,2.5){0}{25.38}
\rput[bl](-1,-1){\darkgray{$O$}}
\rput[bl](10.35,0.11){\xdxdff{$I$}}
\rput[bl](-10,5.17){\darkgray{$M'$}}
\rput[bl](8.91,5.02){\darkgray{$M$}}
\rput[bl](-0.06,10.46){\xdxdff{$J$}}
\rput[bl](-2,5.5){$0.5$}
\rput[bl](-2,2.6){\qqwuqq{$\frac{5\pi}6$}}
\rput[bl](3.2,0.3){\qqwuqq{$\frac{\pi}6$}}
\end{pspicture*}
On place les points $M$ et $M'$ d'ordonnée $0.5$ sur le cercle trigonométrique.\\
D'après le tableau des valeurs remarquables on sait que 
 $(\overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OM})=\dfrac{\pi}6$, et d'après
la configuration du rectangle, on a $(\overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OM'})=\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}6$.\\
L'ensemble des solutions dans $]-\pi ; \pi]$ de l'équation $\sin x = \dfrac12$ est donc $\left\{\dfrac{\pi}6 ~ ; ~ \dfrac{5\pi}6 \right\}$.\\
L'ensemble des solutions de cette équation dans $\R$ est donc $\left\{\dfrac{\pi}6 +2k\pi ~ ; ~ \dfrac{5\pi}{6} + 2k'\pi \text{ avec } k,\, k'\in\Z \right\}$.
\end{multicols}

 
\begin{multicols}{2}
\item %Même question pour $\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}2$. Donner ensuite les solutions de cette équation dans $[0;2\pi[$.
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.3cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-10.5,-12.11)(15.59,12.54)
\pscircle(0,0){3}
\psline{->}(-10,0)(10,0)
\psline{->}(0,-10)(0,10)
\psline(0,0)(-5,-8.66)
\psline(0,0)(5,-8.66)
\psline[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt](-5,-8.66)(5,-8.66)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{-2.0943959099615084}{0.0}{2.5*cos(t)+0|2.5*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{<-}(0,0)(2.5,2.5){-120}{-3.08}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{-1.0471967436282852}{0.0}{2.5*cos(t)+0|2.5*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{<-}(0,0)(2.5,2.5){-60}{-3.08}
\rput[bl](0.8,0.8){\darkgray{$O$}}
\rput[bl](10.35,0.11){\xdxdff{$I$}}
\rput[bl](-0.06,10.46){\xdxdff{$J$}}
\rput[bl](-6,-10){\darkgray{$N'$}}
\rput[bl](6,-10){\darkgray{$N$}}
\rput[bl](-2.5,-8){$-\frac{\sqrt{3}}2$}
\rput[bl](3,-2){\qqwuqq{$-\frac{\pi}3$}}
\rput[bl](0,-5){\qqwuqq{$-\frac{2\pi}3$}}
\end{pspicture*}
On place les points $N$ et $N'$ d'ordonnée $-\dfrac{\sqrt{3}}2$ sur le cercle trigonométrique.\\
D'après la configuration du rectangle, on sait que 
 $(\overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{ON})=-\dfrac{\pi}3$ et $(\overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{ON'})=-\dfrac{2\pi}3$.\\
L'ensemble des solutions dans $]-\pi ; \pi]$ de l'équation $\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}2$ est donc $\left\{-\dfrac{\pi}3 ~ ; ~ -\dfrac{2\pi}3 \right\}$.\\
L'ensemble des solutions de cette équation dans $\R$ est donc $\left\{-\dfrac{\pi}3 +2k\pi ~ ; ~ -\dfrac{2\pi}{3} + 2k'\pi \text{ avec } k,\, k'\in\Z \right\}$.\\
Les solutions de cette équation dans $[0; 2\pi[$ sont donc :
$-\dfrac{\pi}3 +2\pi = \dfrac{5\pi}3 \qquad \text{ et } \qquad -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi =\dfrac{4\pi}{3}$
\end{multicols}
\begin{multicols}{2}
 \item %Soit l'équation $\sin x = 0.3$. On note $\alpha$ la solution de cette équation dans $\left]-\dfrac{\pi}2 ; \dfrac{\pi}2 \right]$.\\
%Exprimer en fonction de $\alpha$ les solutions sur $\R$ de l'équation $\sin x = 0.3$.
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.3cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-10.5,-12.11)(15.59,12.54)
\pscircle(0,0){3}
\psline{->}(-10,0)(10,0)
\psline{->}(0,-10)(0,10)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{2.8368999995743955}
{2.5*cos(t)+0|2.5*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(2.5,2.5){0}{160.24}
\psline(0,0)(-9.54,3)
\psline(0,0)(9.54,3)
\psline[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt](-9.54,3)(9.54,3)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.3046926540153975}
{2.5*cos(t)+0|2.5*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(2.5,2.5){0}{15.15}
\rput[bl](-1,-1){\darkgray{$O$}}
\rput[bl](10.35,0.11){\xdxdff{$I$}}
\rput[bl](-0.06,10.46){\xdxdff{$J$}}
\rput[bl](-10.53,3.18){\darkgray{$P'$}}
\rput[bl](9.66,3.18){\darkgray{$P$}}
\rput[bl](-4.5,2){\qqwuqq{$\pi-\alpha$}}
\rput[bl](3,0.02){\qqwuqq{$\alpha$}}
\rput[bl](-2,3.3){$0.3$}
\end{pspicture*}
On place les points $P$ et $P'$ d'ordonnée $0.3$ sur le cercle trigonométrique.\\
L'ensemble des solutions dans $]-\pi ; \pi]$ de l'équation $\sin x = 0.3$ est donc $\left\{\alpha ; \pi-\alpha \right\}$.\\
L'ensemble des solutions de cette équation dans $\R$ est donc $\left\{\alpha +2k\pi ~ ; ~\pi-\alpha + 2k'\pi \text{ avec } k,\, k'\in\Z \right\}$.
\end{multicols} 
\end{enumerate}


\Exop[Suite arithmétique \hfill Activité 3 p 101 : Les moines copistes]{}
\begin{enumerate}
 \item $u_1$ représente le nombre de manuscrits produits en octobre 1321. L'énoncé nous dit que $u_1 = 231$.\\
$u_2$ représente le nombre de manuscrits produits en novembre 1321. On a donc $u_2 = 231 + 17 = 248$.\\
$u_3$ représente le nombre de manuscrits produits en décembre 1321. Donc $u_3 = 248 + 17 = 265$.\\
$u_4$ représente le nombre de manuscrits produits en janvier 1322. Donc $u_4 = 265 + 17 = 282$.
\item On voit clairement que chaque terme est égal à la somme du précédent et de 17. Donc $\forall n \in\N$ : 
$$u_{n+1}=u_n + 17$$
\item $u_p$ représente la production au mois de janvier 1323. Or $u_4$ représente celle de janvier 1322. \\
Donc $p=4+12=16$.\\
Pour avoir $u_{16}$, on peut bien sûr calculer $u_5$ à partir de $u_4$ que l'on connait déjà, puis $u_6$ à partir de $u_5$, 
etc \dots  jusqu'à $u_{16}$.
Mais il est plus judiscieux et moins fastidieux de réfléchir avant de calculer (comme toujours d'ailleurs !).
On a 
$$\begin{array}{ccclccl}
 u_p=u_{16} & = & u_{15} & +17  %& = & u_{15} & + 17 \times 1 & = & u_{15} + 17 \times (16-15) 
\\
            & = & (u_{14} + 17 ) & + 17 & =& u_{14} & + 17 \times 2 %& = & u_{14} + 17 \times (16-14) 
\\
            & = & (u_{13} + 17) & + 17 \times 2 & = &u_{13} & + 17 \times 3 \\
	    & = & \dots\dots    & \dots\dots    & = &\dots\dots  & \dots\dots \\
&=& \dots\dots &\dots\dots  & = &%u_5 & +17 \times (16-5) \\
%&=& (u_4 +17) &+ 17 \times 11 & = &
u_4 &+ 17 \times (16-4)\\
u_{16}&=& u_4 &+ 17 \times 12 
\end{array}
$$
 
On trouve donc que \fbox{$u_p=u_4 + 17 \times (p-4)$}$= 282 + 17 \times 12 = 486$.
\item On appelle $S$ la production de l'année 1322. On a 
$$S = u_4 + u_5 + \dots + u_{15} = \sum_{k=4}^{15} u_k$$
\item On peut faire ce calcul \og à la main \fg, tant que nous n'avons pas la formule. 
Mais on peut encore une fois réfléchir pour éviter les calculs fastidieux.\\
On constate que chaque $u_k$ de la somme peut se calculer à partir de $u_4$ que nous connaissons déjà. 
En particulier on a :
 $$u_5 = u_4 + 17 \times 1$$
$$u_6 = u_4 + 17 \times 2$$
$$u_7 = u_4 + 17 \times 3$$
$$\dots \dots $$
$$u_{15} = u_4 + 17 \times 11$$
En ajoutant membre à membre les onze égalités ainsi que $u_4$, on trouve :
$$S = \sum_{k=4}^{15} u_k = u_4 + 11 \times u_4 + 17\times (1+2+ 3+ \dots + 10 + 11) = 12 \times u_4 + 17\sum_{k=1}^{11} k $$
Par un calcul asticieux on trouve sans difficulté 
$$1+2+ 3+ \dots 10 + 11 = (1+11) + (2 + 10) + (3+9) + ... + (5+7) + 6 = 5 \times 12 + 6 = 60+6=66$$
Donc au final on a $S=12 \times 282 + 17 \times 66 = 3384 + 1122 = 4506$.\\
L'abbaye a produit $4506$ manuscrits en l'an 1322.
\end{enumerate}




\Exop[Suite récurente et explicite \hfill Activité 4 p 101 : Suite Logique]{
\begin{enumerate}
 \item Après quelques tests basiques, on constate que 
$$\begin{array}{ccccccccccccc}
  v_1 & = & 2 & v_0 & - & 1 & ; & v_2 & = & 2 & v_1 & - & 1 \\
  v_3 & = & 2 & v_2 & - & 1 & ; & v_4 & = & 2 & v_3 & - & 1 
 \end{array}
$$
Donc je propose $v_5 = 2 v_4 - 1 = 2 \times 17 - 1 = 33$
\item De même je propose $v_6 = 2 v_5 - 1 = 2 \times 33 - 1 = 65$\\
Et $v_7 = 2 v_6 - 1 = 2 \times 65 - 1 = 129$ \qquad et \qquad $v_8 = 2 v_7 - 1 = 2 \times 129 - 1 = 257$
\item Pour tout $n \in \N$ on a $v_{n+1}=2v_n - 1$.
\item Il est alors clair que $f$ est définie sur $\N$ par $f(x) = 2x-1$.
\item On constate que les valeurs des $v_n$ sont très proches des puissances de $2$.\\
En effet, on a  
$$\begin{array}{ccccccccccccc}
  v_0 & = & 1 & + 1 & = & 2^0 + 1 &  ; & v_1 & = & 2 & + 1 & = & 2^1+1 \\
  v_2 & = & 4 & +1 & = & 2^2+1 & ; & v_3 & = & 8 & +1 & = & 2^3+1 \\ 
v_4 & = & 16 & +1 & = & 2^4+1 & ; & v_5 & = & 32 & +1 & = & 2^5+1 \\ 
v_6 & = & 64 & +1 & = & 2^6+1 & ; & v_7 & = & 256 & +1 & = & 2^7+1 
\end{array}
$$
On conjecture donc :
$$v_n = 2^n +1$$
\item On a donc $v_{n+1}=2^{n+1}+1$.\\
Il est alors clair que la fonction $g$ est définie sur $\N$ par $g(x)= 2^{x+1}+1$
\end{enumerate}

}





\end{document}