\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 7}
\newcommand{\Ch}{D\'erivation et applications}
\newcommand{\Cl}{1SSI}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2cm}

\setcounter{NumLecon}{7}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\debutCha{Riuk.eps}{Death Note}{Oba et Obata}  					% Image + titre + Auteur
{Si les gens ne croient pas que les mathématiques sont simples, c’est seulement parce qu’ils ne réalisent pas combien la vie est compliquée !}{John Louis von Neumann}		% Citation + Auteur
{\textit{Death Note} est un manga de type shônen, créé par le scénariste Tsugumi Oba et le dessinateur Takeshi Obata. 
Il a été prépublié dans un journal de 2003 à 2006, et par la suite publiée en douze tankôbon de 2004 à 2006.\\
L’histoire est centrée sur \textit{Raito Yagami}, un lycéen surdoué qui juge le monde actuel criminel et corrompu.
Sa vie change du tout au tout le jour où il ramasse par hasard un mystérieux cahier intitulé « Death Note ».
Ancienne propriété d’un dieu de la mort, le Death Note permet à son utilisateur de tuer toute personne dont il connaît le nom et
le visage. Raito décide d’utiliser le Death Note pour exterminer les criminels, dans le but d’éradiquer le Mal et de bâtir un monde parfait 
dont il sera le dieu.\\
Mais les nombreuses morts inexpliquées de criminels à travers le monde attirent l’attention d’Interpol et 
du mystérieux \textit{L}, un détective capable de résoudre n’importe quelle énigme, mais dont personne ne connaît ni 
le visage ni le nom. L décide d’enquêter pour capturer le tueur en série, surnommé par le grand public \og Kira \fg.
Entre Raito et L, tous deux persuadés d’agir pour la justice, s’engage un combat acharné pour découvrir 
en premier l’identité de l’autre...
} 						% Présentation auteur
{0.9}		% Ratio portrait
{0.8}		% Ratio Image

\TITRE{L.eps}{0.7} 						% Image 1ere page + ratio
%\begin{abstract}
 

\begin{Intro}{Au fil du temps}{
En mathématiques, la dérivation élémentaire est le calcul permettant de définir une variation de phénomène par 
unité de temps ou par unité géométrique. La dérivée $f'$ d'une fonction $f$ en un point $x_0$ ne fait rien d'autre que 
d'indiquer la valeur de la pente de la fonction en ce point : par exemple, si la pente au point $x_0$, appelé nombre dérivé de $f$ en $x_0$ et
que l'on note $f'(x_0)$, est positive, alors c'est que la courbe de la fonction est orientée \og vers le haut\fg en ce point 
(elle est croissante) et la valeur de $f'(x_0)$ indique si cette montée est plutôt douce ou forte. De même,
si $f'(x_0)$ est négative, la courbe est \og descendante\fg en ce point, et si $f'(x_0)=0$, la courbe y connaît un répit
horizontal. 
En bref, la fonction dérivée $f'$ n'a pour rôle que de donner toutes les informations sur les variations de $f$ ...\\
Pourtant, la découverte des fonctions dérivées ne se fit qu'au XVII$^e$ et a été l'un des moments forts des 
mathématiques. \newline
Ceci a obligé les mathématiciens à raisonner en termes de sommes infinies d'éléments 
\og infiniment petits \fg , pour lesquels il a fallu inventer des règles et des opérations. La dérivation a 
également été une extraordinaire découverte pour la Physique : la connaissance des variations d'une fonction s'est révélée
essentielles à la description des phénomènes naturels car les théories physiques parlent avant tout des variations 
de la nature.\\

Il faut dire que, dès les premières décennies du XVII$^e$, l'étude des \og courbes \fg géométriques, inaugurée par les Grecs
anciens, s'est déjà transformée en l'étude de fonctions plus générales.
C'est Blaise Pascal qui, le premier, mène des études sur la notion de tangente à une courbe - lui-même les appelait \og touchantes \fg.
Grâce aux travaux de Fermat, on sait également qu'une fonction (continue) change son mode de variation en passant par un 
point où sa tangente a une pente nulle,
l'extremum, ce qui renseigne sur la forme géométrique de cette fonction. Mais l'ambition des mathématiciens du XVII$^e$ siècle est bien plus générale : il s'agit pour eux de montrer qu'une fonction contient dans son expression mathématique
toutes les informations sur ses tangentes et, inversement, que les informations données par les tangentes à une fonction 
inconnue doivent permettre de reconstruire celle-ci (ce qui équivaut à reconstruire un trajet en voiture à partir uniquement
de ses variations de vitesse et de direction).\\
Mais cette intuition sur le lien entre la fonction et ses tangentes se heurte à un problème : le nombre de tangentes
à une courbe est infini car chaque point à la sienne ! Comme les mathématiciens de l'époque ne savent pas raisonner
avec l'infini, il leur parait impossible de calculer la pente exacte d'une tangente au point $(x; f(x))$, d'autant plus
qu'au sens géométrique un point n'a pas de tangente ! \\

Cependant, dès la seconde moitié du XVII$^e$ siècle, le domaine mathématique de l'analyse numérique connait une avancée 
prodigieuse grâce aux travaux de Newton et de Leibniz en matière de calcul différentiel et intégral.
La notion de nombre dérivée se retrouve pour la première fois dans leurs écrits, 
sous le nom \og fluxion \fg, et défini comme \og le quotient ultime de deux accroissements évanescents \fg .\\
Entre 1660 et 1675, Leibniz et Newton découvrent, chacun de leur côté et indépendamment, une nouvelle mathématique qui permet de raisonner
sur des segments \og infiniment petits \fg d'une fonction $f$.
L'idée essentielle est que si l'on considère des segments de plus en plus proche de sa courbe, alors leur tangente tend 
à se confondre avec le segment lui-même : du coup, sa pente se déduit directement de l'expression de la fonction $f$.\\
%En termes mathématiques : quand on prend deux valeurs de $x$ très proches, $x_1$ et $x_2$, et que l'on considère 
%les points $A_1$ et $A_2$ de la courbe représentative de $f$ d'abscisse $x_1$ et $x_2$, 
%alors la pente du micro-segment $[A_1A_2]$ vaut $\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$.\\
%La formalisation des opérations sur les segments infiniment petits de la courbe conduit les deux savants à tirer de l'expression de $f$ 
%celle d'une nouvelle fonction $f'$, qui donne la pente de la tangente de $f$ en tout point $x$ où elle est existe. \\
%Notons que le marquis de l'Hôpital participe 
%aussi, à la fin du XVII$^e$ siècle, à étoffer cette nouvelle théorie de l'infiniment petit, 
%notamment en utilisant la dérivée pour calculer une limite dans le cas de formes indéterminées particulières 
%(voir Règle de L'Hôpital). Et citons également Wallis, mathématicien anglais (surtout connu pour la suite d'intégrales 
%qui porte son nom) qui contribue largement à l'essor de l'analyse différentielle.\newline
Néanmoins la théorie du calcul infinitésimal, tout juste éclose, n'est pas encore pourvue de toute la rigueur mathématique qu'elle aurait 
exigée, et notamment la notion d'infiniment petit qui tient plus de l'intuitif, et qui 
pourrait engendrer des erreurs dès lors que l'on ne s'entend pas bien sur ce qui est ou non négligeable. \\

Au XVIII$^e$ siècle Lagrange utilise la notation $f'(x)$, aujourd'hui tout à fait usuelle, 
pour désigner le nombre dérivé de $f$ en $x$, tandis que d'Alembert introduit la définition plus rigoureuse du 
nombre dérivé en tant que limite du taux d'accroissement - sous une forme semblable à celle qui est utilisée et 
enseignée de nos jours. 
Cependant, à l'époque de d'Alembert, c'est la notion de limite qui pose problème :  elle n'est pas encore 
construite formellement ! \\
C'est seulement avec les travaux de Weierstrass au milieu du XIX$^e$ siècle que le 
concept de dérivée sera entièrement formalisé.
}
\end{Intro}






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours
\section{Nombre dérivé}
\subsection{Limite du taux de variation d'une fonction}
\Act{\\
\textbf{Introduction} : 
En Syldavie, on aime passer le temps en lâchant des billes sans vitesse initiale du haut des balcons, des tours, des falaises, 
etc ... et observer ce qui se passe.\\ 
En cinématique, chacun a appris que la distance parcourue en mètres par une au bout de $t$ secondes  est : 
$$d(t)=\dfrac12 gt^2  \qquad \qquad \text{ où } g \simeq 9.8 m.s^{-2}$$
\begin{enumerate}
 \item Calculer la vitesse moyenne d'une bille dans les intervalles de temps $[0;1]$, $[1;4.5]$ et $[4.5;5]$.
\item Proposer une méthode pour trouver une valeur approchée de la vitesse instantanée de la bille au bout de $2$ s. 
\end{enumerate}
\medskip
On veut en réalité évaluer la vitesse instantanée de la bille au bout de $t$ secondes. %\newpage
\textbf{Partie A : Le point de vue cinématique}
 \begin{enumerate}
 \item Soit $h$ un réel strictement positif. \\
Calculer la vitesse moyenne de la bille en chute libre dans les intervalles de temps $[t ; t + h]$ et $[t-h ; t]$. \\
Vérifier les résultats sur : $ t_0 = 2$s et $h = 0,1$s.
\item \og La vitesse instantanée à l'instant $t$ est $v(t) = 9.8 t$ m.s$^{-1}$ \fg. Expliquer cette affirmation. 
\item \textbf{Application} : une bille est lâchée sans vitesse initiale d'une altitude de 25 mètres. Quelle est, en km/h, sa 
vitesse au moment de l'impact avec le sol ? 
\end{enumerate}
\Rq{La quantité $\quad  \dfrac{d(t+h)-d(t)}{h} \quad $ s'appelle le \textbf{taux de variation} (ou d'\textbf{accroissement}) de la fonction $d$ entre $t$ et $t+h$.\\
Cette quantité est définie pour $h$ non nul et tel que $t+h$ soit dans l'intervalle de définition de $d$.
}
}

Dans tout ce qui suit, on appelle $a$ un nombre réel, $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant $a$
et $\mathscr C_f$ sa courbe représentative dans un repère $(0; \vec i ; \vec j)$.\\

\Defc{
On dit que $f$ est dérivable en $a$ si le taux de variation (ou d'accroissement) $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ devient aussi
proche que l'on veut d'un nombre réel $\ell$ lorsque $h$ est suffisamment proche de 0.\\
Autrement dit, $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers un réel $\ell$ lorsque $h$ tend vers $0$ et on note 
$$\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = \ell  $$
Le nombre $\ell$ est alors appelé le nombre dérivé de la fonction $f$ en $a$. On le note $f'(a)$.
}

%\Rq{La quantité $ \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ s'appelle le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$}

\Expls{Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $f(x)=x^3-5$ et $g(x)=x^2+3x-4$.\\
$f$ est-elle dérivable en $2$ ?\\
$g$ est-elle dérivable pour tout réel $a$ ?
}
 
\Sol{
Cherchons $ \lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}  $ : 
$$ \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\dfrac{(2+h)^3-5-2^3+5}{h}=\dfrac{12h+6h^2+h^3}{h}=12+6h+h^2$$
Comme $\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=12$, $f$ est dérivable en $2$ et on a $f'(2)=12$.\\

Cherchons le taux de variation de $g$ entre $a$ et $a+h$ :
$$ g(a+h)-g(a)=(a+h)^2+3(a+h)-4-\left(a^2+3a-4\right)=a^2+2ah+h^2+3a+3h-4-a^2-3a+4=h(2a+3)+h^2$$
$$ \dfrac{g(a+h)-g(a)}{h}=\dfrac{h(2a+3)+h^2}{h}=2a+3+h \qquad \text{ et } \qquad \lim\limits_{h \to 0}2a+3+h =2a+3 $$
Par conséquent la fonction $g$ est dérivable pour tout réel $a$ et on a $g'(a)=2a+3$.\\
Par exemple, le nombre dérivé de $g$ en 5 est $g'(5)=13$.
}

\Exos{n$^{\circ}$ 40 p 74 + 48 p 76}

%\newpage
\subsection{Interprétation graphique}
\Act{On reprend l'activité précédente, d'un point de vue graphique.
\begin{multicols}{2}
\textbf{Partie B : Le point de vue graphique}\\
Dans géogébra, on a créé :
\begin{itemize}
 \item la courbe $\mathscr C$, représentative de la fonction $d$ sur l'intervalle $[0;5]$
(échelle : X:Y = 1:20). 
\item un point $M$ quelconque sur la courbe $\mathscr C$, d'abs\-cisse $t$,
\item un curseur $h$ allant de $-5$ à $5$, d'incrémentation $0.01$, 
 \item le point $M_h$ de la courbe $\mathscr C$ et d'abscisse $t+h$, 
 \item la droite $(MM_h)$, \\\\
\textit{A ce stade, on fait varier le curseur $h$ pour observer le comportement de la droite $(MM_h)$}.
\end{itemize}
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=0.09cm}
\begin{pspicture*}(-1,-8)(4,80)
\psset{algebraic=true,dotstyle=x,dotsize=8pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,
arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=10,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)
(0,0)(4,80)
\psplot[linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{0.0}{5.0}{4.9*x^2}
\psline(0.19,186.65)(1.83,186.65)
\psplot{0}{5}{(-42.88--55.13*x)/2.5}
%\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red]{0}{5}{(--4.9-9.8*x)/-1}
\psline[linestyle=dotted,dash=15pt 15pt](0,60.03)(3.5,60.03)
\psline[linestyle=dotted,dash=15pt 15pt](3.5,60.03)(3.5,0)
\psline[linestyle=dotted,dash=15pt 15pt](1,0)(1,4.9)
\psline[linestyle=dotted,dash=15pt 15pt](1,4.9)(0,4.9)
\rput[bl](1.18,0.95){$M$}
\rput[bl](3.62,55.74){$M_h$}
\rput[bl](3.7,74){\blue{$\mathscr C$}}
\rput[b](1,-8){$t$}
\rput[bl](3.3,-5){$t+h$}
\rput[br](-0.1,3){$d(t)$}
\rput[br](-0.1,55){$d(t+h)$}
%\rput[br](3.9,25){\red{$\Delta(t)$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
\begin{enumerate}
\item Calculer le coefficient directeur de la droite $(MM_h)$. Quel lien peut-on établir avec la partie A ?
\item On appelle $\Delta(t)$ la droite qui passe par $M$ et de coefficient directeur $9.8t$.\\ 
Sur le graphique ci-dessous, construire la droite $\Delta(t)$ lorsque $t=0,5$ ; puis lorsque $t=1$ et $t=3$. \\
Que constate-t-on ? Quel lien peut-on établir avec la partie A ?
\\\\
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=2.cm,yunit=0.08cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-1,-5)(4,80)
\psgrid[xunit=0.5cm,yunit=0.4cm, subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(26,20)
\psset{algebraic=true,dotstyle=x,dotsize=8pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,
arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=10,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)
(0,0)(4,80)
\psplot[linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{0.0}{5.0}{4.9*x^2}
\psline(0.19,186.65)(1.83,186.65)
\rput[bl](3.7,74){\blue{$\mathscr C$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
\Rq{La quantité $ \Delta(t)$ de pente $v(t)$ et passant par $M$ est tangente à la courbe $\mathscr C$.
}
}

\begin{multicols}{2}
\Ptec{
Soit $f$ une fonction dérivable en $a$ et $A$ le point de $\mathscr C_f$ d'abscisse $a$.\\
Le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente $T_a$ à la courbe $\mathscr C_f$ au point $A$ 
d'abscisse $a$.
}

\begin{center}
\psset{xunit=1.4cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1.5)(5.1,6.1)
\def\xmin{-1} \def\xmax{5} \def\ymin{-1} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{2.6 x 3 sub exp 2 add}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-0.5}{4.5}{\F}
\def\G{1.15 x mul 0.1 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-0.5}{5}{\G}
\def\H{0.34657 x mul 1.68 add}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-0.5}{5}{\H}
 \uput[ur](4,5.45){\blue{$\mathscr C$}}
 \uput[ur](4.3,2.5){\red{$T_a$}}
\uput[ur](1.7,2.4){$A$}
\psline[linestyle=dotted](2,0)(2,2.4)(0,2.4)
\uput[ur](3.7,4.8){$M$}
\psline[linestyle=dotted](4.1,0)(4.1,4.8)(0,4.8)
 \uput[ur](1.8,-0.5){$a$}
 \uput[ur](3.6,-0.5){$a+h$}
\uput[ur](-0.7,2.1){$f(a)$}
 \uput[ur](-1.1,4.5){$f(a+h)$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
\Expl{$f$ est la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{1}{x}$$
Dans le repère ci-contre, $\mathscr C$ est la représentation graphique de $f$ et $T_2$ la tangente à 
$\mathscr C$ au point $A$ d'abscisse $2$. \newline
Lire sur le graphique le nombre dérivé de $f$ en $2$.}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.6,-1.5)(7.1,3.5)
\def\xmin{-1.5} \def\xmax{7} \def\ymin{-1} \def\ymax{3.5}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.6,-1.5)(7.1,3.5)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 x div}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.2}{4.5}{\F}
\def\G{0 0.25 x mul sub 1 add}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-0.5}{5}{\G}
 \uput[ur](0.6,3){$\mathscr C$}
 \uput[ur](5,-0.5){\red{$T_2$}}
\uput[ur](1.8,0.5){$A$}
\psline[linestyle=dotted](2,0)(2,0.5)(0,0.5)
 \uput[ur](1.8,-0.5){$2$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\frac{1}{2}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

\Exop{
\begin{multicols}{2}
 La représentation graphique $\mathscr C_f$ d'une fonction $f$ est donnée ci-contre. 
En chacun des points indiqués, $\mathscr C_f$ admet une tangente qui est tracée.\newline
Lisez, en vous servant du quadrillage, les nombres dérivés  :
$$ f'(-5)\qquad f'(-3)\qquad f'(-1) \qquad f'(0)   $$
$$ f'(2)\qquad f'(4)\qquad f'(6)\qquad f'(9)$$
puis retrouver les équations de chacune des tangentes tracées.
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-5,-5.5)(10.5,4.5) 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=3](0,0)(-5,-5)(10,5) 
\psaxes{->}(0,0)(-5,-5.5)(10,5) 
\psaxes(0,0)(-5,-3)(9,5) 
\HermiteDDL(-5,1,1,1)(-3,2,-2,1)(-1,-2,3,1)(0,2,1,1)(2,1,0,1)(4,0,0.666,3)(6,-2,-2,1)(9,2,0.5,1)(10,-1,-4,0) 
\uput[ur](7.6,-1.7){$\mathscr C_f$}
\end{pspicture*} 
\end{center} 
\end{multicols}
}

\Exos{n$^{\circ}$ 42-43-44-45 p 74}


\subsection{Equation de la tangente}
On considère une fonction $f$ dérivable en $a\in\R$.
Soit $A$ le point d'abscisse $a$ de $\mathscr C_f$. \\
D'après la partie précédente, l'équation de la tangente $T_a$ à $\mathscr C$ passant par $A$ est de la forme : 
$$ y=mx+p\qquad \text{ avec }m=f'(a)$$
De plus, comme $A(a;f(a))$ est un point de $T_a$, les coordonnées de $A$ vérifient l'équation de $T_a$ :
$$ f(a)=f'(a)a+p\Longleftrightarrow p=f(a)-f'(a)a$$
Au final l'équation de $T_a$ est $y=f'(a)x+f(a)-f'(a)a\Longleftrightarrow y=f'(a)(x-a)+f(a)$

\Ptec{Une équation de la tangente au point d'abscisse $a$ d'une fonction $f$ dérivable en $a$ est : 
$$y=f'(a)(x-a)+f(a) $$}\\


\Exos{
n$^{\circ}$ 49-50 p 76
}


\section{Fonction dérivée}
\subsection{Définitions}
\Defc{On dit qu'une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ si $f$ est dérivable pour tout $a\in I$.}
\Expl{Nous avons vu dans un exemple précédent, que la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2 + 3x-4$ est dérivable pour 
tout réel $a$ et que son nombre dérivé en $a$ est $f'(a) = 2a + 3$. \newline
On dit donc que cette fonction est dérivable sur $\R$.
\newline 
Il est donc naturel de définir une nouvelle 
fonction qui à $x$ associe le nombre dérivé $f'(x)$. Cette fonction s'appelle la dérivée de $f$ et se note $f'$. \newline
La dérivée de la fonction $f : x \longmapsto x^2 + 3x-4$ est donc $f' : x \longmapsto 2x +3$ qui est définie sur $\R$.
}
\Defc{Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$. On appelle fonction dérivée, que l'on note $f'$, 
la fonction qui à $x\in I$ associe $f'(x)$.
}


\subsection{D\'eriv\'ees des fonctions de r\'ef\'erences}


\Act{
Calculer (s'il existe) le nombre dérivé $f'(a)$ d'une fonction constante $f(x)=k$, d'une fonction affine $g(x)=mx+p$,
de la fonction \og carré \fg $h(x)=x^2$, 
 et enfin de la fonction \og racine carrée \fg $s(x)=\sqrt{x}$.\\
En déduire les fonctions dérivées de chacune, en précisant leur ensemble de définition.
}

%\begin{table}[h]
%\center
%\caption{Tableau des d\'eriv\'ees des fonctions de r\'ef\'erences}
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{5cm}|>{\centering}p{4cm}|>{\centering}p{4cm}|}
\hline
\multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $f(x)$} & 
\multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {$f'(x)$} & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} 
{Domaine de d\'erivabilit\'e} \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $k$ (nombre fix\'e) & 0 & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $x$ & 1 & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $x^2$ (fonction carr\'ee) & $2x$ & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $\dfrac{1}{x}$ (fonction inverse) & $-\dfrac{1}{x^2}$ & $\R\textbackslash\{0\}$ \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $x^n$, $n \in \Z^*$ (fonction puissance) & $nx^{n-1}$ & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $\sqrt{x}$ (fonction racine) & $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ & $\R^{+*}$ \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
%\end{table}
%\newpage
\Dem{A titre d'exemple, démontrons le pour le cas de la fonction inverse :
\newline
Pour tous réels $a\neq0$ et $h\neq 0$ avec $a+h\neq0$,
$$ \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{\dfrac{1}{a+h}-\dfrac{1}{a} }{h}=\dfrac{a-(a+h)}{ha(a+h)}=\dfrac{-1}{a(a+h)}$$
ce qui tend vers $-\dfrac{1}{a^2}$ lorsque $h$ tend vers $0$.}

\Expls{Calculer la dérivée de la fonction cube et la dérivée de l'inverse de la fonction carré.}

%\newpage

\subsection{Op\'erations sur les d\'eriv\'ees}
Dans le tableau suivant, $u$ et $v$ sont deux \textbf{fonctions} d\'erivables sur un intervalle I et $k$ d\'esigne un nombre r\'eel.\newline
Remarquons que les fonctions ci-dessous sont d\'erivables sur I.

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{13cm}|}
\hline
\multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-2ex]{0pt}{6ex} Fonctions} & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {D\'eriv\'ees} & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {Exemples}\tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $ku$ & $ku'$ & Si $f(x)=5x^3$ \quad alors \quad $f'(x)=5\times 3x^2 = 15x^2$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $u+v$ & $u'+v'$ & Si $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ \quad alors \quad  $f'(x)=1+\left(-\dfrac1{x^2} \right) = 1-\dfrac{1}{x^2}$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $u\times v$ &  $u'v+uv'$ & Si $f(x)=x\sqrt{x}$ \quad alors \quad  $f'(x)=1 \times \sqrt{x}+x \times\dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \dfrac{x}{2\sqrt{x}} = \dfrac{2x+x}{2\sqrt{x}} = \dfrac32\sqrt{x}$  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $u^n$, $n \in \Z^*$ &  $nu'u^{n-1}$ & Si $f(x)=(5x+3)^7$ \quad alors \quad  $f'(x)=7\times 5 \times (5x+3)^6 = 35(5x+3)^6$  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $\dfrac{1}{v}$ & $-\dfrac{v'}{v^2}$ & Si $f(x)=\dfrac{1}{x^2-1}$ \quad alors \quad  $f'(x)=-\dfrac{2x}{(x^2-1)^2}$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $\dfrac{u}{v}$ &$\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ & Si $f(x)=\dfrac{3x+2}{4-2x}$ \quad alors \quad  $f'(x)=\dfrac{3(4-2x)-(3x+2)\times(-2)}{(4-2x)^2}=\dfrac{16}{(4-2x)^2}$ \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\textit{Donner ci-dessous les calculs intermédiaires de chaque exemple ...}

\Dem[HP]{\begin{enumerate}
\item Pour tous réels $a$ et $a+h$ de l'intervalle $I$, avec $h\neq 0$ on a :
$$ \dfrac{(ku)(a+h)-(ku)(a)}{h}=\dfrac{ku(a+h)-ku(a)}{h}=k \dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}$$
ce qui tend vers $ku'(a)$ quand $h\longrightarrow 0$
\item Pour tous réels $a$ et $a+h$ de l'intervalle $I$, avec $h\neq 0$ on a :
$$ \dfrac{(u+v)(a+h)-(u+v)(a)}{h}= \dfrac{u(a+h)+v(a+h)-u(a)-v(a)}{h}=\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}+\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}$$
ce qui tend vers $u'(a)+v'(a)$ quand $h\longrightarrow 0$
\item Pour tous réels $a$ et $a+h$ de l'intervalle $I$, avec $h\neq 0$ on a :
\begin{eqnarray*}
 \dfrac{(uv)(a+h)-(uv)(a)}{h}&=& \dfrac{u(a+h)\times v(a+h)-u(a)\times v(a)}{h}\\
&=&\dfrac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)-v(a)u(a+h)+v(a)u(a+h)}{h}\\
&=&v(a)\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}+u(a)\dfrac{v(a+h)+v(a)}{h}
\end{eqnarray*}
ce qui tend vers $u'(a)v(a)+u(a)v'(a)$ lorsque $h\longrightarrow 0$
 \item[\textbf{4.}] Seul le cas $n=2$ est faisable en $1S$. En effet la démonstration dans le cas où $n$ désigne 
un entier naturel supérieur ou égal à $3$ et beaucoup moins facile et utilise des arguments que nous n'avons 
pas encore abordés$\dots$\newline
Pour $n=2$, donc si $f=u^2=u\times u$, on applique la formule pour la dérivée du produit et on obtient (donc en prenant $v=u$) :
$$ f'=u'u+uu'=2uu'$$
Pour $n=3$, donc lorsque $f=u^3=u^2\times u$, on applique le résultat précédent et la formule du produit (en prenant cette fois $v=u^2$) et on obtient :
$$ f'=u'u^2+u\times 2uu'=u^2u'+2u^2u'=3u^2u'$$
On procéderait de même pour le cas $n=4$, puis pour le cas $n=5$, $\dots$. Cette technique ne permet néanmoins pas de généraliser dans le cas où $n$ est quelconque, c'est pourquoi on utilisera en terminale S un nouveau type de raisonnement (le raisonnement par récurrence), pour généraliser ce type de propriété !!
\item[\textbf{5.}] Pour tous réels $a$ et $a+h$ de l'intervalle $I$, avec $h\neq 0$ on a :
\begin{eqnarray*}
  \dfrac{\dfrac{1}{v}(a+h)-\dfrac{1}{v}(a) }{h}&=&\dfrac{ \dfrac{1}{v(a+h)}-\dfrac{1}{v(a)} }{h}\\
&=& \left(\dfrac{1}{v(a+h)}-\dfrac{1}{v(a)} \right)\times \dfrac1h\\
&=&\dfrac{v(a)-v(a+h)}{v(a+h)v(a)} \times \dfrac1h \\
&=& -\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h} \times \dfrac{1}{v(a+h)v(a)}
\end{eqnarray*}
ce qui tend vers $-v'(a) \times \dfrac1{v(a) \times v(a)} = -\dfrac{v'(a)}{v^2(a)}$ lorsque $h\longrightarrow 0$
\end{enumerate}}
\DemS{
\begin{enumerate}
\item[\textbf{6.}] On déduit $(\dfrac{u}{v})'$ de la formule précédente et de celle du produit, pour obtenir : 
$$ \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\left(u\times \dfrac{1}{v}\right)'=u'\times \dfrac{1}{v}+u\times \left(-\dfrac{v'}{v^2}\right)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$$
\end{enumerate}
}

\Rq{Notons que nous ne savons pas encore dériver n'importe quelle type de fonction connue. 
Par exemple, nous ne savons pas 
dériver les fonctions trigonométriques, ni les fonctions du type $\sqrt{3x-1}$.\\
Et pour les fonctions contenant une valeur absolue, on doit les écrire sans, ou alors distinguer les cas.
}


\Exop{Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^4-2x+1$. Soit $\mathscr C_f$ sa représentation graphique.\\
Donner (en justifiant) l'équation de la tangente à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $0$.
}

\Exop{Soit $f$ la fonction définie sur $\R-\{1\}$ par $f(x)=\dfrac{2x+3}{x-1}$. On note $\mathscr C_f$ 
sa représentation graphique.
\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$
\item Soit $A$ le point d'intersection de $\mathscr C_f$ avec l'axe des abscisses. Calculer les coordonnées de $A$, puis une équation de la tangente $T_A$ à la courbe $\mathscr C_f$ en $A$
\item Soit $B$ le point d'intersection de $\mathscr C_f$ avec l'axe des ordonnées. Calculer les coordonnées de $B$, puis une équation de la tangente $T_B$ à la courbe $\mathscr C_f$ en $B$
\item Tracer sur un même repère $T_A$, $T_B$ et $C_f$.
\end{enumerate}
}


\Exop{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=x^3-3x-3$. On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique.
\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$ puis étudier son signe.
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $0$.
\item Tracer $T$ et $\mathscr C_f$ (dans un même repère).
\item Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[2;3]$.
\item Donner une valeur approchée de $\alpha$, par défaut, à $10^{-1}$ près.
\end{enumerate}
}


\Exop{Le but de cet exercice est de calculer la limite suivante :
$$ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{(1+h)^{2005}-1}{h}$$
Pour cela, on considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(1+x)^{2005}$
\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$. Puis calculer $f'(0)$.
\item Calculer le taux de variation de la fonction $f$ entre $0$ et $h$. 
\item Conclure.
\end{enumerate}
}\\


\Exop{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $ f(x)=\dfrac{x}{1+\mid x \mid}$.\\
Etudier la dérivabilité de $f$ en $0$.
}

\Exop{Une parabole $P$ admet, dans un repère $(O;\vec i, \vec j)$, une équation du type :
$$y=ax^2+bx+c \qquad a\neq 0 $$
Déterminer les coefficients $a$, $b$ et $c$ sachant que $P$ coupe l'axe des abscisses $(O;\vec i)$ au point $A$ 
d'abscisse $3$, l'axe des ordonnées $(O;\vec j)$ au point $B$ d'ordonnée $2$ et qu'elle admette 
en ce point la droite d'équation $y=x+2$ pour tangente. Contrôler graphiquement vos résultats.\newline
Indiquer l'abscisse du second point d'intersection de $P$ avec $(O;\vec i)$ .
}

\Exos{
n$^{\circ}$ 56-57 + 59-60-61 p 77 (calculs) \qquad + \qquad 
n$^{\circ}$ 65-66-67-70-74 p 78
}



\section{Applications}
\subsection{Signe de la dérivée et variation}
\Thc{Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$
\begin{enumerate}
\item $f$ est croissante sur $I$ si, et seulement si pour tout réel $x$ de $I$, $f'(x)\geq 0$
\item $f$ est constante sur $I$ si, et seulement si pour tout réel $x$ de $I$, $f'(x)=0$
\item $f$ est décroissante sur $I$ si, et seulement si pour tout réel $x$ de $I$, $f'(x)\leq 0$
\end{enumerate}}

\Dem{\begin{itemize}
\item[$ \Rightarrow$)] Soit $x$ un réel de $I$ et $h$ un réel non nul tels que $x+h\in I$.
\begin{enumerate}
\item  \begin{itemize}
\item Si $h>0$, alors $x+h\geq x$ et comme $f$ est croissante sur $I$, $f(x+h)\geq f(x)\Longleftrightarrow f(x+h)-f(x) \geq 0$
\item Si $h<0$, alors $x+h\leq x$ et comme $f$ est croissante sur $I$, $f(x+h)\leq f(x)\Longleftrightarrow f(x+h)-f(x)\leq 0$
\end{itemize}
Dans tous les cas, $f(x+h)-f(x)$ et $h$ sont de mêmes signes, donc : 
$$ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\geq 0$$
$f$ est dérivable en $x$ donc $ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ a une limite réeel $f'(x)$ lorsque $h$ tend vers $0$\newline
Si l'on donne à $h$ des valeurs proches de $0$, alors $ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ prend des valeurs positives, on admet ici que sa limite en $0$ est aussi positive, i.e que $f'(x)\geq 0$
\item $f$ est constante sur $I$, donc $f(x+h)=f(x)$ et $ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=0$, par conséquent $f'(x)=0$
\end{enumerate}\end{itemize}}
\DemS{
\begin{itemize} \item[\quad]\begin{enumerate}
\item[\textbf{3.}] De façon analogue à la première partie, on démontre cette fois que $f(x+h)-f(x)$ et $h$ sont de signes contraires. Ainsi $ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\leq 0$
Si l'on donne à $h$ des valeurs proches de $0$, alors $ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ prend des valeurs négatives, on admet ici que sa limite en $0$ est aussi négative, i.e que $f'(x)\leq 0$
\end{enumerate}

\item[$\Leftarrow$)] 
\begin{enumerate}
\item  On suppose ici que $f'(a)\geq 0$ pour tout $a\in I$, montrons que la fonction $f$ est croissante sur $I$ :
\newline Soit $a \in I$, par définition $f(a+h)=f(a)+f'(a)h+h\varphi(h) \qquad \text{ avec }\lim\limits_{h \to 0}\varphi(h) =0 $. 
\begin{itemize}
\item Si $h>0$, alors $a+h\geq a$ et on veut montrer que $f(a+h)-f(a)>0$, pour $h$ suffisament petit. Or :
$$f(a+h)-f(a)=f'(a)h+h\varphi(h) \qquad \text{ avec }\lim\limits_{h \to 0}\varphi(h) =0 $$
$f'(a)h\geq 0$ et comme $\lim\limits_{h \to 0}\varphi(h) =0$, il existe un nombre $H$ tel que pour $h<H$, $f'(a)h+h\varphi(h)\geq 0$, ce qui montre que pour $h<H$, $f(a+h)>f(a)$
\item Si $h<0$, alors alors $a+h\geq a$ et on veut montrer que $f(a+h)-f(a)<0$, pour $h$ suffisament petit. Or :
$$f(a+h)-f(a)=f'(a)h+h\varphi(h) \qquad \text{ avec }\lim\limits_{h \to 0}\varphi(h) =0 $$
$f'(a)h\leq 0$ et comme $\lim\limits_{h \to 0}\varphi(h) =0$, il existe un nombre $H$ tel que pour $h<H$, $f'(a)h+h\varphi(h)\leq 0$, ce qui montre que pour $h<H$, $f(a+h)<f(a)$
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{itemize}
Par conséquent comme ce qu'on vient de faire est vraie pour tout $a\in I$ la fonction $f$ est croissante sur $I$. (La démonstration n'est pas au programme de 1S, car on utilise la définition formelle des limites qui n'est pas au programme $\dots$)\newline
Pour les autres cas on procède de même.
}

\Expl{Etablir les tableaux de variations des fonctions $f$, $g$ et $h$ définies par : 
$$f(x) = -3 x^2 + 2x-1 \qquad\qquad g(x)=\dfrac{3x+4}{5x-7} \qquad\qquad h(x)=\dfrac{-3x^2+2x-3}{x^2+1}$$}

\Exos{
n$^{\circ}$ 77 à 81 p 80 (graphiques) \qquad + \qquad n$^{\circ}$ 84-85-88-89-90-92-94 p 83 (calculs)
}

\subsection{Extremum local}
\Defc{On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de $I$.
\begin{enumerate}
\item Dire $f(a)$ est un \underline{maximum local} (resp. \underline{minimum local}) de $f$ signifie que l'on peut trouver un intervalle \textbf{ouvert $J$} inclus dans $I$ et contenant $a$ tel que pour tout $x$ de $J$ on ait $f(x)\leq f(a)$ (resp. $f(x)\geq f(a)$)
\item Dire que $f(a)$ est un \underline{extremum local} signifie soit que $f(a)$ est un maximum local, soit que $f(a)$ est un minimum local.
\end{enumerate}}
\newpage
\begin{multicols}{2}
\Expl{Ci-contre $\mathscr C$ la représentation graphique d'une fonction définie sur $[-3;2]$. \newline
On constate que $2,1$ est un extremum local car pour tout $x\in [-2;0]$ on a $f(x)\leq 2,1=f(-1,2)$ \newline
De même, $f(0,6)=-0,6$ est un minimul locar car pour tout $x\in[0;1]$ on a $f(x)\geq -0,6$}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-2.1)(2.1,3.1)
\def\xmin{-3} \def\xmax{2} \def\ymin{-2} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.1,-2.1)(2.1,3.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 1 sub x 2 add mul x mul}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-5}{5}{\F}
 \uput[ur](1.2,1){$\mathscr C$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}


\Ptec{On considère une fonction $f$ dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $a$ est un réel de $I$.\newline
Si $f(a)$ est un extremum local de $f$, alors $f'(a)=0$}

\begin{multicols}{2}
\Rq{La réciproque de ce théorème est fausse. \newline 
Considérons par exemple le cas de la fonction cube, dont la dérivée s'annule en $0$ qui n'est pourtant pas un extremum local. 
\newline
Il faut ajouter une hypothèse pour avoir le résultat réciproque, comme suit :}
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-2.6,-3.1)(4,3.1)
\def\xmin{-2.5} \def\xmax{4} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.6,-3.1)(4,3.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 3 exp}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1.5}{1.5}{\F}
 \uput[ur](1,1){$\mathscr C : y=x^3$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

\Ptec{On considère une fonction $f$ dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $a$ un réel de $I$.\newline
Si $f'$ s'annule en $a$ \textbf{en changeant de signe}, alors $f(a)$ est un extremum local.}

\Rq{Nous admettrons ces deux propriétés.}

\begin{multicols}{2}
\begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /1,$f’(x)$/1,$f$/2}{$ $,$a$,$ $}% 
\tkzTabLine{ , + , z , - , }% 
\tkzTabVar{+/ $ $ , -/ , +/$ $ } 
\tkzTabTan[]{1}{2}{2}{$ f(a) $} 
\end{tikzpicture} 

\begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /1,$f’(x)$/1,$f$/2}{$ $,$a$,$ $}% 
\tkzTabLine{ , - , z , + , }% 
\tkzTabVar{-/ $ $ , +/ , -/$ $ } 
\tkzTabTan[pos=below]{1}{2}{2}{$ f(a) $} 
\end{tikzpicture} 
\end{multicols}

\Exop{On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ sur $\R$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f$ est une fonction impaire, ie : 
$\left\{
\begin{array}{l}
 \text{L'ensemble } D_f \text{ de définition de }  f   \text{ est symétrique par rapport à } 0\\
 \text{ Pour tout } x\in D_f \text{ , on a } f(-x)=-f(x)
  \end{array} \right.$
\item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$
\item Quel est le signe du dénominateur de $f'(x)$ ?
\item Résoudre l'inéquation $f'(x) \geq 0$
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ en précisant la valeur $M$ de son maximum et la valeur $m$ de son minimum
\item Tracer (soigneusement) la représentation graphique de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-4;4]$
\end{enumerate} }

\Exos{
n$^{\circ}$ 95-96-97 p 80 
}

\epigraphe{La physique est bien trop dure pour les phycisiens} 
{David Hilbert} 
{mathématicien} 




\end{document}