\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Les suites num\'eriques}
\newcommand{\Cl}{1SSI}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2cm}

\setcounter{NumLecon}{6}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\debutCha{Riuk.eps}{Death Note}{Oba et Obata}  					% Image + titre + Auteur
{Si les gens ne croient pas que les mathématiques sont simples, c’est seulement parce qu’ils ne réalisent pas combien la vie est compliquée !}{John Louis von Neumann}		% Citation + Auteur
{\textit{Death Note} est un manga de type shônen, créé par le scénariste Tsugumi Oba et le dessinateur Takeshi Obata. 
Il a été prépublié dans un journal de 2003 à 2006, et par la suite publiée en douze tankôbon de 2004 à 2006.\\
L’histoire est centrée sur \textit{Raito Yagami}, un lycéen surdoué qui juge le monde actuel criminel et corrompu.
Sa vie change du tout au tout le jour où il ramasse par hasard un mystérieux cahier intitulé « Death Note ».
Ancienne propriété d’un dieu de la mort, le Death Note permet à son utilisateur de tuer toute personne dont il connaît le nom et
le visage. Raito décide d’utiliser le Death Note pour exterminer les criminels, dans le but d’éradiquer le Mal et de bâtir un monde parfait 
dont il sera le dieu.\\
Mais les nombreuses morts inexpliquées de criminels à travers le monde attirent l’attention d’Interpol et 
du mystérieux \textit{L}, un détective capable de résoudre n’importe quelle énigme, mais dont personne ne connaît ni 
le visage ni le nom. L décide d’enquêter pour capturer le tueur en série, surnommé par le grand public \og Kira \fg.
Entre Raito et L, tous deux persuadés d’agir pour la justice, s’engage un combat acharné pour découvrir 
en premier l’identité de l’autre...
} 						% Présentation auteur
{0.9}		% Ratio portrait
{0.8}		% Ratio Image

\TITRE{L.eps}{0.7} 						% Image 1ere page + ratio
%\begin{abstract}
 

\begin{Intro}{Au fil du temps}{
Vous allez dans ce chapitre, découvrir les suites, qui sont présentes dans bien des sciences, par exemple en biologie
des populations pour décrire le cycle de reproduction des lapins, en astronomie dans les loirs de répartition
des planètes, en physique dans la théorie des particules élémentaires, en informatique dans les algorithmes
et simulations (et via les ordinateurs, dans toutes nos activités numériques). Mais cette omniprésence n'est pas
un hasard, car tous ces domaines se servent d'équations mathématiques. Or les suites occupent une place de choix
en mathématiques depuis plus de 2000 ans.\\

Pourquoi un tel intêret, alors qu'il s'agit simplement de ranger une succession de nombres liés par un loi, comme
quand on énumère les jours du mois ? Parce que cette simplicité n'est qu'apparente : l'étrange n'est jamais loin.\\
Prenons par exemple la suite des \og puissances de un demi \fg : $1 ; \dfrac12 ; \dfrac14 ; \dfrac18 ; \dfrac1{16} ; \dots ; \dfrac1{2n} ; \dots$
et la série associée $1 + \dfrac12 + \dfrac14 + \dfrac18 + \dfrac1{16} + \dots + \dfrac1{2n} + \dots$ Si ces nombres
représentaient des tiges en bois mesurant chacune la moitié de la précédente (en commençant par 1 mètre), n'est-ce
pas étonnant que la longueur maximale qu'on puisse atteindre en les mettant bout à bout ne dépasse pas 2 mètres,
même avec une infinité de tiges ? Cela a stupéfait les savants qui l'ont découvert au $XVIII^e$ siècle.
Comment admettre que l'infini (le nombre de tiges) puisse être contenu dans le fini (2 mètres) ?
Il s'en est suivi de violentes disputes entre les pro-infini et les contre, qui n'ont fait que s'amplifier
jusqu'au $XX^e$ siècle. Bref, ce sont les suites qui ont introduit l'infini dans l'arithmétique et l'analyse ...\\

Mais si le $XVIII^e$ siècle est un tournant dans l'histoire des suites et de l'infini, leur origine remonte à Archimède
de Syracuse, le mathématicien grec du $III^e$ siècle avant JC. Archimède voulait résoudre une question qui n'avait rien
à voir avec l'infini, le problème de la quadrature du cercle, grande énigme des maths anciennes  : étant donné un cercle,
comment construire une figure de même surface mais composée de carrés ou de triangles (figures que les Grecs savaient 
bien mesurer). Tel était le but d'Archimède ... Mais à la place, il a découvert les suites et, sans le savoir,
il a mis les mathématiciens sur la voie de l'infini.\\
Comment cela s'est-il produit ? Archimède pensait que la bonne méthode pour \og quarrer \fg le cercle était 
de l'encadrer entre deux figures faites de triangles, puis de faire converger la taille de ces triangles jusqu'à
les faire coïncider (comme si l'on cherchait à emprisonner un objet entre des murs qui se rapprochent). Archimède
choisit comme figures connues et quarrables pour coïncer le cercle, les polygones réguliers, faits de triangles
disposés en pétales de fleur, en commençant par l'hexagone (six côtés, six triangles équilatéraux) : il encadre le cercle
entre l'hexagone inscrit et l'hexagone circonscrit. Ensuite, il passe au dodécagone (12 côtés), puis  il enchaîne
sur le polygone à 24 côtés, puis 48 et enfin 96. A chaque pas, les mesures se rapprochent, mais jamais elles
ne s'égalent ... Il obtient ainsi une suite illimitée de nombres 
connus dont la limite est $2\pi$ et qui fournissent très rapidement une bonne approximation de $\pi$.\\
Las, Archimède ne résoudra jamais le problème de la quadrature du cercle, et pour cause. Les mathématiciens
du $XIX^e$ siècle démontreront qu'il n'a pas de solution, d'où l'expression \og C'est la quadrature du cercle ! \fg.
Mais Archimède a bel et bien inauguré l'histoire des suites, car dans sa méthode, il montre comment calculer
la surface du polygone $n$ en fonction de celui qui précède (le $n-1^{eme}$). 
Le terme $u_n$ défini par le terme $u_{n-1}$, c'est bien là une suite, la première du genre, et qui peut être
prolongée autant que l'on veut ... jusque dans l'infini.\\

Plus tard, les suites furent formalisées par Cauchy, la maîtrise de cet outil a été grandement facilitée 
par l'adoption de la notation indicielle au $XIX^e$ siècle qui consiste à noter chaque nombre d'une suite 
par une même lettre affectée d'un indice. \newline
On doit à Péano la définition d'une suite numérique telle qu'elle est enseigné en première S.
}
\end{Intro}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune



\section{Notion de suites numériques}

\subsection{Définition}

\Act{Repère, activité 4 p 101}

\Defc{
Une \textbf{suite numérique}  est une \textbf{liste infinie et ordonn\'ee de nombres r\'eels}. \\
Soit $p\in\N$. Une suite $u$ est en fait une fonction de $\N$ dans $\R$ définie à partir d'un certain
entier $p$. A chaque entier $n\geq p$, la suite $u$ associe un réel $u(n)$, que l'on note $u_n$.\\
$u_n$ est appelé \textbf{terme d'indice} $n$ ou \textbf{de rang} $n$ de la suite.\\
$u_p$ est le premier terme, ou le \textbf{terme initial} de la suite.
On note $\left(u_n\right)_{n\geq p}$ ou $(u_n)$ l'ensemble des termes de la suite.
}

\Expl{
Il arrive que l'on demande, lors de tests psychotechniques par exemple, de compl\'eter "logiquement" une suite de nombres, comme par exemple:
$$1  ,  2  ,  4 ,  8  ,  16  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots$$
$$1  ,  4  ,  9  ,  16  ,  25  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots$$
$$-3  ,  1  ,  5  ,  9  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots$$
On pourrait alors décrire plus généralement ces suites de nombres ainsi :
$u_n=2^n$ pour $n\in\N$ , $v_n=n^2$ pour $n\geq 1$ et $w_{n+1}=w_n+4$ avec $w_0=-3$.
}

\Expl{
Déterminer le rang à partir duquel la suite $(u_n)$ suivante est définie, puis calculer ces 3 premiers termes :
$$ u_n=\sqrt{n-4}$$
}

\Rq{
\begin{center}
Le $1^{er}$ terme de la suite $u$ est souvent not\'e $u_0$ (ou $u_1$),\\
Le $2^{\`eme}$ terme de la suite $u$ est souvent not\'e $u_1$ (ou $u_2$)\\ 
\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots \dots\dots\dots\dots\dots \\
\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots \dots\dots\dots\dots\dots \\
Le $n^{\`eme}$ terme de la suite $u$ est souvent not\'e $u_{n-1}$ (ou $u_{n}$)\\ 
\end{center}

%Le terme pr\'ec\`edent $u_n$ est $u_{n-1}$, le suivant $u_{n+1}$.\\
Attention à ne pas confondre $u_{n+1}$ qui est le terme d'indice $(n+1)$, donc le terme qui suit le terme 
d'indice $n$, à savoir $u_n$, 
avec $u_n+1$, qui est la somme de $u_n$, ie du terme d'indice $n$, et de 1.

On a :

\begin{center}
$\underbrace{\left(u_n\right)_{n\in\N}}_{\text{nom de la suite}}=\quad\left(\underbrace{u_0}_{\text{1\up{er} terme}};
\underbrace{u_1}_{\text{2\up{nd} terme}};\hspace{.5cm}u_2\hspace{.5cm};\hspace{.5cm}\dots\hspace{.5cm};
\hspace{.5cm}\overbrace{u_{n-1}\hspace{.5cm};\underbrace{u_n}_{\text{terme de rang $n$}};
\hspace{.5cm}u_{n+1}}^{\text{Trois termes consécutifs}}\hspace{.5cm};\hspace{.5cm}\dots\hspace{.5cm}\right)$
\end{center}
}

\newpage

\subsection{Modes de génération}

On distingue principalement deux manières de définir les suites : de manière explicite ou par récurrence. \\

\Defc[Formule explicite]{
Soit $p\in\N$. Une suite $(u_n)_{n\geq p}$ est définie de manière explicite lorsqu'il existe une fonction $f$
définie sur $[p ; +\infty[$ telle que :
\begin{center}
$\forall n \geq p$, on a  $u_n=f(n)$
\end{center}
}

\Expl{
On se donne $u_n=-2n+1$ pour $n \geqslant0$  \qquad (ici $u_n=f(n)$ avec $f$ d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=-2x+1$.)\\
On a ainsi $u_0=-2 \times 0 +1 = 1$, $u_1=-2 \times 1 + 1 = -1$, $u_2 = -2\times 2 +1 = -3$, 
$u_3 = -6+1 = -5$, $u_4=-8 +1 = -7$, \dots $u_{100}=-199\dots$, etc
}

\Rq{
On peut alors calculer chaque terme de la suite par rapport à son indice.
}

\Defc[Par récurrence]
{Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $I$ telle que si $x\in I$ alors $f(x)\in I$.\\
Soit $a$ un nombre réel de $I$ et $p \in \N$.\\
On peut alors définir une suite $u$ en posant :
$\left\{ \begin{array}{l} u_p=a \\ u_{n+1}=f(u_n)\quad  \forall n \geq p \end{array} \right.$
}

\Expl{
On se donne $\left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \\ u_{n+1}=-2u_n+1 \end{array} \right.$
\qquad (ici $u_n=f(n)$ avec $f$ d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=-2x+1$.)\\
On a ainsi $u_1=-2u_0+1=-2\times 1+1=-1$, $ u_2=-2u_1+1=-2\times(-1)+1=3$ , $u_3=-2u_2+1=-2\times 3+1=-5$,
etc
}

\Rqs{
\item En fait on se donne la valeur du premier terme et un procédé appelé \textbf{relation de récurrence} qui permet
de calculer un terme à partir du précédent.
\item On visualise ainsi facilement le lien logique entre les termes.
\item Dans l'exemple pr\'ec\'edent, pour calculer $u_{100}$, il faut conna\^itre $u_{99}$, et pour calculer $u_{99}$, il faut conna\^itre $u_{98}$, ainsi de suite \dots Il est alors pr\'ef\'erable d'exprimer $u_n$ en fonction de $n$ pour calculer $u_{100}$ directement.
}

\Cadre[Avec une calculatrice]{
\begin{tabular}{cc|cc}
\begin{minipage}[t]{7.5cm}
\begin{center}
\textbf{Avec une TI :}
\end{center}
Par défaut, la calculatrice est en mode fonction. Il faut passer en mode \textit{suite} en appuyant sur 
\fbox{\textbf{Mode}} puis mettre \fbox{\texttt{Suite}} en surbrillance.\\
Pour entrer l'expression de la suite $(u_n)$, on procède désormais comme pour une fonction :
on appuie sur \fbox{$f(x)$} ce qui nous permet d'entrer le premier 
indice, l'expression de la suite et éventuellement son premier terme. \\
\textit{Le $n$ s'obtient avec la touche \fbox{$x$, $t$, $\theta$, $n$} et le $u$ s'obtient
en appuyant sur \fbox{\textbf{2nde}} + \fbox{$7$} (on met l'indice entre parenthèses).}\\
On obtient le tableau de valeurs dans 
\begin{center}
\fbox{\textbf{Table}}= \fbox{\textbf{2nde}} + \fbox{\textbf{Graphe}}.
\end{center}
\end{minipage}
&&&
\begin{minipage}[t]{7.5cm}
\begin{center}
\textbf{Avec une Casio :}
\end{center}
On choisit le mode \textit{suite} en sélectionnant le menu \fbox{\textbf{\texttt{Recur}}}.\\
On choisit ensuite le type de suite (explicite ou récurrente) grâce à la touche \fbox{\textbf{F3 : \texttt{Type}}} 
puis la touche \fbox{\textbf{F1}} (explicite) ou \fbox{\textbf{F2}} (récurrente).\\
On entre ensuite l'expression de la suite et on appuie sur \fbox{\textbf{F5 : \texttt{SET}}} 
pour paramétrer le tableau, notamment donner le premier indice et/ou premier terme si nécessaire.\\
\textit{Le $n$ s'obtient avec la touche \fbox{\textbf{F1 : $n$}} et le $a_n$ s'obtient
avec la touche \fbox{\textbf{F2 : $a_n$}}}\\
On peut alors afficher les valeurs de la table grâce à \fbox{\textbf{F6 : \texttt{TABL}}}
\end{minipage}
\\
\end{tabular}
}



%\Exop{Soit la suite $(u_n)_{\N^*}$ définie par $u_n= n^2-n$.
%\begin{enumerate}
% \item Calculer $u_0$, $u_{10}$ et $u_{50}$.
% \item Exprimer $u_{n-1}$, $u_{n+1}$, $u_{2n}$ et $u_{3n-1}$ en fonction de $n$.
% \item Démontrer que pour tout entier $n$ on a $u_{n+1}=u_n+2n$.
%\end{enumerate}
%}

\Exop{Soit la suite $(v_n)_{\N}$ par 
$\left\{ \begin{array}{l} v_0=2 \\ v_{n+1}=2v_n+3n\quad  \forall n \in\N \end{array} \right.$.
\begin{enumerate}
 \item Calculer $v_1$, $v_{2}$ et $v_{3}$.
 \item Exprimer $v_{n}$, $v_{n-1}$, $v_{2n}$ et $v_{3n-1}$ en fonction du terme approprié de la suite $(v_n)$.
\end{enumerate}
}

\Exop{Soit la suite $(u_n)_{\N}$ définie par $u_n= (-2)^n+3$ et la suite $(v_n)_{\N}$ par 
$\left\{ \begin{array}{l} v_0=4 \\ v_{n+1}=-2v_n+9\quad  \forall n \in\N \end{array} \right.$.
\begin{enumerate}
 \item Pour chacune des suites $u$ et $v$ :
\begin{enumerate}
 \item Déterminer les valeurs des trois premiers termes.
 \item Vérifier à la calculatrice les réponses de la question précédente.
\end{enumerate}
\item Quelle conjecture peut-on émettre sur les suites $u$ et $v$ ? Démontrer cette conjecture.
\end{enumerate}
}

\Exos{Repère : 41-42-44 p 124 (travail sur les indices)\\
Repère : 28-29-31-32-34 p 122 (Calculs de termes et algo)\\
TP info en AP : Symbole p 108 (Fibonacci)
}

\section{Comportement d'une suite}
\subsection{Représentation graphique}
\subsubsection{Suites explicites}
\Defc{
On se place dans un repère $(O;\vec i, \vec j)$. 
La représentation graphique d'une suite définie explicitement $(u_n)$ est l'ensemble des points de 
coordonnées $(n;u_n)$
}

\Expl{Soit $(u_n)$ la suite définie, pour $n\geq 1$, par $$u_n=\dfrac{1}{n} $$
Sa représentation graphique est donc l'ensemble des points \textbf{isolés} de coordonnées $\left(1;1\right)$,
$\left(2,\dfrac{1}{2}\right)$, $\left(3,\dfrac{1}{3}\right)$, $\left(4,\dfrac{1}{4}\right)$, 
$\left(5,\dfrac{1}{5}\right)$, etc$\dots$}
\begin{center}
\psset{xunit=2cm , yunit=3cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-0.35)(5.35,1.2)
\def\xmin{-1} \def\xmax{5.25} \def\ymin{-0.25} \def\ymax{1.2}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.1,-0.35)(5.35,1.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psdot(1,1) 
\psdot(2,0.5)
\psdot(3,0.33)
\psdot(4,0.25)
\psdot(5,0.2)    
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Exop{
\begin{multicols}{2}
Soit $f$ la fonction définie par sa courbe représentative $\mathscr C_f$ ci-contre et la suite $u$ de terme général $u_n=f(n)$.
\begin{enumerate}
 \item Lire une valeur approchée des termes de  $u_0$ à $u_5$.
\item Que peut-on dire du comportement des premiers termes de $u$ ?
\end{enumerate}
\begin{center}
%\scalebox{0.8} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(-1,-0.50)(7.02,4.0)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.7cm}
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-1)(7,7)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-1,-1)(7,7)
\pscustom[linewidth=0.04]
{
\newpath
\moveto(0,1)
\curveto(0,1)(0.25,0.1)(0.5,1.)
\curveto(0.6,1.7)(1,2)
\curveto(1.1,2.1)(1.4,4.4)(1.5,4.5)
\curveto(1.6,4.4)(1.7,4)(2,3.5)
\curveto(2.5,2.75)(2.75,3.8)(3,4)
\curveto(3.5,4.2)(3.7,4.3)(4,4.5)
\curveto(4.5,4.2)(4.8,4.5)(5,5)
\curveto(5.2,5.5)(5.5,6.5)(6,6)
}
\end{pspicture} 
}
\end{center}
\end{multicols}
}


\Exos{
Repère : n$^{\circ}$ 35-36 p 123 (tracé)
}

\subsubsection{Suites récurrentes}

\Act{
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$.\\
La suite $(u_n)$ est définie par $u_0=3$ et pour tout $n\geq 0$ on a $u_{n+1}=f(u_n)=\sqrt{u_n}$.\\
\textbf{Partie A : Tracer les premiers termes sur l'axe des abscisses}
\begin{enumerate}
 \item Tracer soigneusement la courbe $\mathscr C$ représentant $f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ sur $[0;3]$ 
dans un repère orthonormé avec pour unité 5 cm.
\item \begin{enumerate}
 \item Placer $u_0$ sur l'axe des abscisses. Placer $u_1=f(u_0)$ sur l'axe des ordonnées.
 \item Placer le point $A_1$ de $\Delta$ d'ordonnée $u_1$. Quelle est son abscisse ?\\
Placer alors $u_1$ sur l'axe des abscisses.
\item Sachant que $u_2=f(u_1)$, expliquer comment construire $u_2$ sur l'axe des abscisses. Le construire.
\end{enumerate}
\item Construire ainsi, pas à pas, sur l'axe des abscisses, les premiers termes de la suite jusqu'à $u_5$.
 \item Comment se poursuivrait le tracé si on pouvait agrandir le graphique ?\\
 Emettre des conjectures sur le comportement de la suite $(u_n)$.
%Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation de $(u_n)$ et sur sa limite éventuelle ?
\end{enumerate}
\textbf{Partie B : Influence du premier terme}
\begin{enumerate}
 \item Sur votre calculatrice, afficher de même les premiers termes de la suite $(v_n)$ définie par $v_0=0.1$ et 
pour tout $n$, $v_{n+1}=f(v_n)$.\\
\textit{Dans }\fbox{\textbf{Fenêtre}}, \textit{choisir $X$ et $Y$ entre 0 et 1.}
\item Emettre des conjectures sur le comportement de la suite $(v_n)$.
\end{enumerate}
}


Dans le cas d'une suite récurrente, on ne cherche pas en général à représenter graphiquement la suite 
comme pour les suites explicites (mais on pourrait très bien le faire). \\
On préfère représenter ses premiers termes sur l'axe des abscisses en s'appuyant sur la représentation 
graphique de la fonction définissant la relation de récurrence. \\
On obtient alors un diagramme \og en escalier \fg ou en \og en escargot \fg. 
%On peut alors faire des conjectures sur le sens de variation, etc.

\Expl{On considère la suite $(u_n)$ définie pour $n\geq 0$ par $u_{n+1}=2 \sqrt{u_n}+2$ et $u_0=1$\newline
On considère la fonction $f$ vérifiant $u_{n+1}=f(u_n)$ définie par $f : x\longmapsto 2 \sqrt{x}+2$. 
}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item On trace la courbe $\mathscr C_f$ représentative de $f$ 
 \item On place $u_0$ sur l'axe des abscisses et $u_1$, image de $u_0$ par $f$, sur l'axe des ordonnées
 \item Comme $u_2$ est l'image de $u_1$ par $f$, on veut avoir $u_1$ sur l'axe des abscisses.\\
Pour cela, on utilise la droite $\Delta$ d'équation $y=x$, que l'on prendra soin de tracer.
\item On reporte alors $u_1$ sur l'axe des abscisses, à l'aide de $\Delta$
\item On place $u_2$ image de $u_1$ par $f$, puis on reporte $u_2$ sur l'axe des abscisses, etc.
\end{enumerate} 
\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.6)(8.5,8.6)
\def\xmin{0} \def\xmax{8} \def\ymin{0} \def\ymax{8}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-0.5,-0.6)(8.5,8.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,0)(1,4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(1,0)(1,4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4)(4,4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(1,4)(4,4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4,0)(4,6)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(4,4)(4,6)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(4,6)(6,6)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,6)(6,6)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(6,6)(6,6.89897)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(6,0)(6,6.89897)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(6,6.89897)(6.89897,6.89897)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(6.89897,6.89897)(6.89897,7.25318)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,6.89897)(6.89897,6.89897)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(6.89897,7.25318)(7.25318,7.25318)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(6.89897,0)(6.89897,7.25318)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,7.25318)(7.25318,7.25318)(7.25318,0)
\def\F{2 x sqrt mul 2 add}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{0}{8}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{8}{\F}
\uput[0](3,6.5){$\mathscr C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\uput[-90](1,0){\small $u_0$}
\uput[180](0,4){\small $u_1$}
\uput[-90](4,0){\small $u_1$}
\uput[180](0,6){\small $u_2$}
\uput[-90](6,0){\small $u_2$}
\uput[180](0,6.89897){\small $u_3$}
\uput[-90](6.89897,0){\small $u_3$}
\uput[180](0,7.25318){\small $u_4$}
\uput[-90](7.25318,0){\small $u_4$}
\uput[ur](7.5,8){\small $\Delta$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

\Rq{Dans l'exemple précédent, on constate que les termes de la suite semblent augmenter et se rapprocher
 d'une valeur \og limite \fg : celle de l'abscisse du point d'intersection entre $\mathscr C_f$ et de $\Delta$. \\
On dira que la suite est croissante et qu'elle \textit{converge} vers cette valeur $l$, appelée limite de la suite $(u_n)$.\\
Pour la trouver, on résout l'équation $f(l)=l$ :
$$f(l)=l \iff 2\sqrt{l}+2=l \iff 2\sqrt{l}=l-2 \iff 4l=l^2-4l+4 \quad\text{ et }\quad \left\{\begin{array}{l}
                                                                                              l>0 \\ l-2>0
                                                                                             \end{array}\right.
\iff l^2 -8l+4=0\quad \text{ et } \quad l>2$$
$\Delta = 64-4\times 1 \times 4 = 48$. \quad  Donc $l_1=\dfrac{8+4\sqrt{3}}{2}=4+2\sqrt{3}$ et $l_2=4-2\sqrt{3}<2$.
Donc $l=4+2\sqrt{3}$. \\
On note $\lim\limits_{n \to + \infty} u_n = 4+2\sqrt{3}$
}

\Expl{On considère la suite $(u_n)$ définie pour $n\geq 0$ par $u_{n+1}=-\dfrac{2}{3} u_n-1$ et 
$u_0=7$\newline
On considère la fonction $f$ vérifiant $u_{n+1}=f(u_n)$ définie par $f : x\longmapsto -\dfrac{2}{3}x-1$. \\
On a représenté ci-dessous la représentation graphique $\mathscr C_f$ de $f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y=x$, 
puis on a suivi les mêmes étapes que pour l'exemple précédent.}
\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-8.5,-6.6)(8.5,4.6)
\def\xmin{-8} \def\xmax{8} \def\ymin{-6} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-8.5,-6.6)(8.5,4.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(7,0)(7,-5.66667)(-5.66667,-5.66667)
(-5.66667,2.77777)(2.77777,2.77777)(2.77777,-2.85186)(-2.85186,-2.85186)(-2.85186,0.90123)(0.90123,0.90123)
(0.90123,-1.60083)(-1.60083,-1.60083)(-1.60083,0.06721)(0.06721,0.06721)(0.06721,-1.04482)
(-1.04482,-1.04482)(-1.04482,0)
\def\F{0 2 x mul 3 div sub 1 sub}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-8}{8}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-8}{8}{\F}
\uput[0](4.2,-3.5){$\mathscr C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\uput[u](7,0){\small $u_0$}
\uput[ul](0,-5.66667){\small $u_1$}
\uput[dl](-5.66667,0){\small $u_1$}
\uput[ul](0,2.77777){\small $u_2$}
\uput[dr](2.77777,0){\small $u_2$}
\uput[dr](0,-2.85186){\small $u_3$}
\uput[dl](-2.85186,0){\small $u_3$}
\uput[ul](0,0.90123){\small $u_4$}
\uput[dr](0.90123,0){\small $u_4$}
\uput[dl](0,-1.60083){\small $u_5$}
\uput[u](-1.60083,0){\small $u_5$}
\uput[dl](4.5,4){\small $\Delta$}
%\uput[130](0,0.06721){\small $u_6$}
%\uput[-30](0.06721,0){\small $u_6$}
%\uput[130](0,-1.04482){\small $u_7$}
%\uput[-30](-1.04482,0){\small $u_7$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Rq{Contrairement à l'exemple précédent, les éléments de la suite ne semblent pas faire qu'augmenter ou diminuer. Cette
suite n'est ni croissante, ni décroissante. Mais cette suite semblent également convergente vers l'abscisse $l$ du point d'intersection 
de $\mathscr C_f$ et $\Delta$.\\
Pour trouver $l$, on résout $f(l)=l \iff -\dfrac23l-1=l \iff \dfrac53l=-1 \iff l=-\dfrac35$.
}

\Exop{
\begin{multicols}{2}
On a tracé ci-contre la courbe représentative d'une fonction $g$ et la droite $\Delta : y=x$.\\
On a représenté les quatre premiers termes de la suite $t$ définie par son terme initial $t_0$ et la relation 
$$t_{n+1}=g(t_n) \qquad \text{ 
pour tout entier } n\geq 0$$
Donner le terme initial $t_0$ et lire des valeurs approchées de $t_1$, $t_2$ et $t_3$.
\begin{center}
 \newrgbcolor{ttttff}{0.2 0.2 1}
\newrgbcolor{qqzzqq}{0 0.6 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-6,-1)(4,4)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-6,-1)(4,4)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-6,-1)(4,4)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red]{-6}{4}{(-0--1*x)/1}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=ttttff,plotpoints=200]{-6.0}{4.0}{sqrt(x+6)}
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=qqzzqq](-5,0)(-5,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=qqzzqq](-5,1)(1,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=qqzzqq](1,1)(1,2.65)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=qqzzqq](1,2.65)(2.65,2.65)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=qqzzqq](2.65,2.65)(2.65,2.94)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=qqzzqq](2.65,2.94)(2.94,2.94)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=qqzzqq](1,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=qqzzqq](2.65,2.65)(2.65,0)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=qqzzqq](2.94,2.94)(2.94,0)
\rput[bl](2,3.5){\red{$\Delta:y=x$}}
\rput[bl](-5.64,1.13){\ttttff{$\mathscr C_g$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{multicols}
}

\Cadre[Avec une calculatrice]{
%\begin{tabular}{cc|cc}
%\begin{minipage}[t]{10cm}
\begin{center}
\textbf{Avec une TI : } 
\end{center} 
Se mettre en Mode \fbox{\texttt{Suite}}.
\begin{itemize}
 \item[$\blacktriangleright$] \textbf{Pour une suite explicite} :
 \begin{itemize}
 \item Mettre en surbrillance le Mode \fbox{\texttt{NonRelié}} 
afin que les points ne soient pas reliés entre eux.
\item Rentrer la suite  dans \fbox{$f(x)$} en précisant l'indice de départ.
\item Dans \fbox{\textbf{Format} : 2nde + Zoom} mettre en surbrillance  \fbox{\texttt{f(n)}}.\\
\end{itemize}
\item[$\blacktriangleright$] \textbf{Pour une suite récurrente} :
 \begin{itemize}
\item Mettre en surbrillance le \textit{Mode} \fbox{\texttt{Relié}}.
\item Rentrer la suite  dans \fbox{$f(x)$} en précisant l'indice de départ, \texttt{u(n)} en fonction des termes précédents appropriés
et le premier terme.
\item Aller dans \fbox{\textbf{Format} : 2nde + Zoom} et mettre en surbrillance  \fbox{\texttt{Esc}} (en escalier).\\
\end{itemize}
\end{itemize}
Ensuite, appuyer sur \fbox{\textbf{Graphe}}, puis \fbox{\textbf{Trace}} et les flèches \fbox{$\rhd$} et \fbox{$\lhd$}
pour voir les termes de la suite.\\
Afin d'ajuster la fenêtre automatiquement, appuyer sur \fbox{\textbf{Zoom}} et choisir \fbox{\texttt{ZMinMax}}.\\
%\end{minipage}
%&&&
%\begin{minipage}[t]{5cm}
\begin{center}
\textbf{Avec une Casio :}
\end{center}
Se mettre en \textit{Mode} \textit{suite}.\\
Enregistrer la suite dans le bon \textit{Type}. \\
Appuyer ensuite sur la touche  \fbox{\textbf{F4 : \texttt{WEB}}} 
ou encore \fbox{\textbf{F6 : \texttt{TABL}}} + \fbox{\textbf{F6 : \texttt{G-PLT}}}.\\

Afin d'ajuster la fenêtre automatiquement, appuyer sur \fbox{\textbf{F2 : \texttt{Zoom}}} et choisir \fbox{\texttt{AUTO}}.
%\end{minipage}
%\\
%\end{tabular}
}

\Exop{\begin{enumerate}
       \item Soit la suite $u$ définie sur $\N$ par $\left\{\begin{array}{l}
                                                u_0=-1 \\ u_{n+1}=\sqrt{2u_n+6}
                                               \end{array}\right.$\\
Afficher sur votre calculatrice une représentation graphique de la suite $u$.
 \item Même question pour la suite $v$ définie sur $\N$ par $v_{n}=\sqrt{2n+6}$.
      \end{enumerate}
}



\Exos{Repère : n$^{\circ}$ 37-38-39 p 123 (tracé + reconnaissance)
}


\subsection{Sens de variation}

\Act{Soient les suites $(u_n)$, $(v_n)$, $(w_n)$  et $(t_n)$ définies sur $\N$ par :
$$u_n=2n+3 \qquad \qquad v_n=5 \times 0.8^n \qquad \qquad w_n=5 \times (-0.8)^n \qquad \text{ et } \qquad 
\left\{\begin{array}{l}
t_0=4 \\ t_{n+1}= t_n-3
 \end{array}\right.
$$
Comparer pour tout $n\in\N$ les termes suivants :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
  \item $u_{n+1}$ et $u_n$.
 \item $v_{n+1}$ et $v_n$.
 \item $w_{n+1}$ et $w_n$.  
\item $t_{n+1}$ et $t_n$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
}

\Defc{Soit $(u_n)$ une suite de nombre réels. On dit que la suite $(u_n)$ est 
\begin{itemize}
\item \textbf{croissante} (à partir du rang $p$) si et seulement $u_n\leq u_{n+1}$, $\forall n\geq p$.
\item \textbf{décroissante} (à partir du rang $p$) si et seulement $u_n\geq u_{n+1}$, $\forall n\geq p$.
\item \textbf{monotone} (à partir du rang $p$) si et seulement elle est croissante ou décroissante 
(à partir du rang $p$)
\item \textbf{stationnaire} (à partir du rang $p$) si et seulement si $u_n=u_{n+1}$ pour tout entier 
$n\geq p$ (si la suite est définie à partir du rang $p$ alors on dit que la suite est \textbf{constante})
\end{itemize} 
}

\Rq{
%\item 
On définit la stricte croissance ou décroissance à l'aide des inégalités strictes suivantes : 
$$u_n<u_{n+1} \text{ ou } u_n>u_{n+1}$$
%\item Les intervalles d'entiers sont souvent notés à l'aide de crochets doubles. Par exemple 
%$\text{\textlbrackdbl  2,5  \textrbrackdbl}=\{2;3;4;5\}$.
%Si bien qu'on pourra écrire, par exemple, qu'une suite est croissante sur \textlbrackdbl  $0,+\infty[$  
}

\Cadre[Méthodes pour étudier les variations d'une suite]{
\begin{itemize}
\item[$\blacktriangleright$] On \'etudie g\'en\'eralement le signe de $u_{n+1}-u_n$ selon les valeurs de $n$.
\item[$\blacktriangleright$] Si tous les termes de la suite $u$ sont \textbf{strictement positifs}, 
on peut comparer le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ avec 1.\\
\textit{Ceci se révèle souvent pratique dans le cas où il y a des exposants $n$ dans l'expression de la suite.}
\end{itemize}}



\Expls{
\begin{enumerate}
\item Soit la suite $(u_n)_{n\in\N}$ est d\'efinie par $u_n=n^2+2$, alors on a
$$u_{n+1}=(n+1)^2+2=n^2+2n+3$$
Ainsi pour tout $n$ on a $u_{n+1}-u_n=2n+1 > 0$ pour tout $n>0$.\\
Donc $u_{n+1} > u_n$ pour tout $n$ : la suite est donc strictement croissante sur $\N$.
\item Soit $(v_n)_{n\in\N}$ d\'efinie par $v_n=2\times5^n$. \\
On a $v_n>0$ pour tout entier naturel $n$ et $$v_{n+1}=2\times 5^{n+1}$$
Ainsi pour tout $n$ on a $$\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\cfrac{5^{n+1}}{5^{n} }=5 >1$$
Donc $v_{n+1}>v_n$ pour tout $n$ : la suite est donc strictement croissante sur \textlbrackdbl  $0,+\infty[$   
\item Etudier de deux manières différentes le sens de variation de la suite $(w_n)_{n\geq 3}$ définie par $$ w_n=\dfrac{3n-1}{n+2}$$ 
 %\item On considère la suite $u$ définie par $u_n=2n+\sin n$\newline
%Étudions, pour tout entier $n$, le signe de la différence de deux termes consécutifs : 
%$$ u_{n+1}-u_n=2(n+1)+\sin (n+1)-2n-\sin n=2+\sin (n+1) - \sin n$$
%Or, $\forall x\in \R$ on a : $-1\leq \sin x \leq 1$, par conséquent :
%$$ 2+\sin (n+1)-\sin n>0\Longleftrightarrow u_{n+1}>u_n$$
%La suite $u$ est donc strictement croissante.
\end{enumerate}
}

\Thc{On considère la suite $(u_n)_{n\geq p}$ définie \textbf{explicitement} par $u_n=f(n)$, avec $f$ définie sur 
l'intervalle $[p;+\infty[$.\newline
Si la fonction $f$ est monotone (resp. strictement monotone) sur $[p;+\infty[$ alors la suite $(u_n)$ est monotone
 (resp. strictement monotone) et possède le même sens de variation que la fonction $f$}

\Rqs{
\item On a déjà vu graphiquement que ce théorème était faux pour les suites définies par récurrence.
\item La réciproque de ce théorème est fausse i.e que l'on peut trouver une suite croissante, 
par exemple, définie par une fonction non croissante, comme sur le dessin ci-dessous :
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-0.50)(7,4.50)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.6cm}
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-1)(7,7)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-1,-1)(7,7)
\pscustom[linewidth=0.04]
{
\newpath
\moveto(0,1)
\curveto(0,1)(0.25,0.1)(0.5,1.)
\curveto(0.6,1.7)(1,2)
\curveto(1.1,2.1)(1.4,4.4)(1.5,4.5)
\curveto(1.6,4.4)(1.7,4)(2,3.5)
\curveto(2.5,2.75)(2.75,3.8)(3,4)
\curveto(3.5,4.2)(3.7,4.3)(4,4.5)
\curveto(4.5,4.2)(4.8,4.5)(5,5)
\curveto(5.2,5.5)(5.5,6.5)(6,6)
}
\end{pspicture} 
\end{center}
}

\Dem{On a $p \leq n <n+1$ donc si $f$ est strictement croissante sur $[p;+\infty[$, on a par définition :
$$f(n)<f(n+1)\Longleftrightarrow u_n<u_{n+1}$$
Par conséquent, $(u_n)$ est strictement croissante.\\
De la même manière, si $f$ est strictement décroissante sur $[p;+\infty[$, on a 
$$f(n)>f(n+1)\Longleftrightarrow u_n>u_{n+1}$$
Par conséquent, $(u_n)$ est strictement décroissante.
}

\Expls{Etudier avec cette troisième méthode le sens de variation des suites $(u_n)_{n\in\N}$ et $(w_n)_{n\geq 3}$ définies 
dans l'exemple précédent.
\begin{itemize}
 \item Soit $f : x \longmapsto x^2+2$ ; définie sur $[0 ; + \infty[$.\\
$f$ est une fonction trinôme et sait qu'elle est strictement croissante sur $[0 ; + \infty[$.\\
Donc $(u_n)$ est aussi strictement croissante sur $\N$.
\item Soit $g:x\longmapsto \dfrac{3x-1}{x+2}$ ; définie sur $[3 ; +\infty[$.\\
On a $g(x)=\dfrac{3x}{x+2}-\dfrac1{x+2}=3\dfrac1{1+\dfrac{2}{x}}+\left(-\dfrac1{x+2}\right)$.\\
Or on a 
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/0.5, Variations de $1+\dfrac2x$/1.5, Variations de $\dfrac1{1+\frac2x}$/1.5,
Variations de $3\dfrac1{1+\frac2x}$/1.5}{$3$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+ /, -/ }
%\tkzTabIma{}{4}{3}{$0$}
\tkzTabVar{- / , +/ }
\tkzTabVar{- / , +/ }
\end{tikzpicture}
et 
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/0.5, Variations de $x+2$/1.5, Variations de $\dfrac1{x+2}$/1.5, 
Variations de $-\dfrac1{x+2}$/1.5}{$3$,$+\infty$}
\tkzTabVar{- /, +/ }
%\tkzTabIma{}{4}{3}{$0$}
\tkzTabVar{+ / , -/ }
\tkzTabVar{- /, +/ }
\end{tikzpicture}
\end{center}
Or la somme de fonctions croissantes est croissante. Donc $g$ est croissante sur $[3 ; + \infty[$.
On en conclut que $(w_n)_{n\geq 3}$ est aussi strictement croissante pour $n\geq 3$.
\end{itemize}
}


\subsection{Notion de convergence}


\Act{Soient les suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ définies sur $\N$ par :
$$u_n=\dfrac1n \qquad \qquad v_n=n^2-3 \qquad \qquad w_n=(-1)^n$$
\begin{enumerate}
 \item Etudier le sens de variation de chacune de ces suites.
 \item %Calculer pour chacune des suites les termes de rang $100$, $1000$, $10^6$ et $10^{6}+1$.\\
Conjecturer graphiquement le \og comportement à l'infini \fg de ces suites.
\item \begin{enumerate}
       \item Déterminer un entier $p$ tel que pour tout entier $n\geq p$, on ait $0 \leq u_n \leq 10^{-6}$.
\item Peut-on faire de même en remplaçant $10^{-6}$ par n'importe quel réel $\varepsilon >0$ ?
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item Déterminer un entier $p'$ tel que pour tout entier $n\geq p'$, on ait $v_n \geq 10^{10}$.
\item Peut-on faire de même en remplaçant $10^{10}$ par n'importe quel réel $M$ ?
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\Defc{On dit qu'une suite \textbf{admet une limite réelle $\ell$} (ou \textbf{converge vers le réel $\ell$}) lorsque tous les termes de
la suite $(u_n)$ sont aussi proches de $\ell$ que l'on veut à partir d'un certain rang.
$$\forall \varepsilon >0, \exists N \in\N , \forall n \geq N \quad \text{ on a } |u_n-\ell| <\varepsilon$$
On note $\lim\limits_{n \to + \infty} u_n = \ell$.
}

\Rq{Autrement dit, quelque soit le nombre $\varepsilon$ choisi (aussi petit que l'on veut), 
il existe un rang $N$  (dépendant de $\varepsilon$) à partir duquel 
tous les termes de la suite $(u_n)$ sont contenus dans l'intervalle $]\ell-\varepsilon ; \ell+ \varepsilon[ $).
}
\Expl{
Graphiquement, cela se traduit ainsi : 
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=0.7cm , yunit=10cm}
\begin{pspicture*}(0,0.95)(25.1,1.8)
\def\xmin{-1} \def\xmax{25} \def\ymin{1} \def\ymax{1.8}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1.5}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{25}{\F}
\def\G{1.55}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{25}{\G}
\def\H{1.45}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{25}{\H}
\pscustom[fillstyle=hlines,hatchwidth=0.3pt,hatchsep=12pt,hatchcolor=gray,linestyle=solid]
{
\psplot{0}{25}{\G}
\psplot{25}{0}{\H}
}
\psdot(1,1)
\psdot(2,1.75)
\psdot(3,1.33)
\psdot(4,1.625)
\psdot(5,1.4)
\psdot(6,1.58)
\psdot(7,1.42)
\psdot(8,1.56)
\psdot(9,1.44)
\psdot(10,1.55)
\psdot(11,1.45)
\psdot(12,1.54)
\psdot(13,1.46)
\psdot(14,1.53)
\psdot(15,1.47)
\psdot(16,1.53125)
\psdot(17,1.471)
\psdot(18,1.527)
\psdot(19,1.473)
\psdot(20,1.525)
\psdot(21,1.476)
\psdot(22,1.522)
\psdot(23,1.478)
\psdot(24,1.52)
\psdot(25,1.48)
\psdot(26,1.519)
\uput[ur](-0.7,1.48){$\ell$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=black](10,0)(10,1.53)
\psline[linecolor=black]{<->}(1,1.45)(1,1.5)
\psline[linecolor=black]{<->}(1,1.5)(1,1.55)
\uput[ul](1,1.5){$\varepsilon$}
\uput[ul](1,1.45){$\varepsilon$}
\uput[ur](10,1.3){$10$ est le rang à partir duquel tous les termes}
\uput[ur](10,1.2){de la suite sont dans la bande hachurée dépaisseur choisie}
 \uput[ur](5,1.7){Illustration avec la suite définie pour tout $n\geq 1$ par $u_n=\dfrac{3n+(-1)^n}{2n}$ }
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=0.2,Ox=0,Oy=1]{->}(0,1)(\xmax,\ymax)
\end{pspicture*}
\end{center}
}
\begin{itemize}
\item Le graphique permet de conjecturer que la suite $(u_n)$ converge vers $\ell= \dfrac{3}{2}$
\item Ici on a choisi $\varepsilon = 0.05$ et on a trouvé que pour $N=10$, tous les termes de la suite $(u_n)$ 
étaient dans l'intervalle $]1.45; 1.55[$ pour $n\geq 10$.
\item Si on avait choisi $\varepsilon = 0.1$, on aurait trouvé que pour $N=5$, tous les termes de la suite $(u_n)$
étaient dans l'intervalle $]1.4; 1.6[$ pour $n\geq 5$.
\item Si on avait choisi $\varepsilon = 0.04$, on aurait trouvé que pour $N=13$, tous les termes de la suite $(u_n)$
étaient dans l'intervalle $]1.46; 1.54[$ pour $n\geq 13$.\\
\end{itemize}


\Defc{On dit qu'une suite est \textbf{divergente} si elle n'est pas convergente.\\
C'est le cas des suites qui n'admettent pas de limite, et des suites qui sont 
aussi grandes que l'on veut, dans les positifs ou négatifs, à partir d'un certain rang.\\
Dans ce dernier cas, on dit que la suite diverge vers $+ \infty$ ou $-\infty$ et on note $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ ou 
$\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.
}

\Expls{
Conjecturer graphiquement les limites éventuelles des suites $(u_n)$, $(v_n)$, $(w_n)$ et $(t_n)$ définies sur $\N$ par :
$$u_n=4n^2+5n-1 \qquad \qquad v_n=-\dfrac{1}{n+2}+1  \qquad \qquad w_n=-2n^2+2 \qquad \text{ et } \qquad 
t_n=\cos(n)+1$$
%Déterminer par le calcul le rang à partir duquel : $u_n \geq 10^{6}$.
}


\Exos[Repère]{
n$^{\circ}$ 119 p 133 + 121 à 127 p 135\\
DM sur la suite de Fibonacci : TP livre Symbole p 108 + théorie livre repère n$^{\circ} 133 $ p 136
}


\section{Suites arithmétiques}
\subsection{Généralités}
\Act{Repère 3 p 101}

\Defc{Une suite $(u_n)$ est dite \textbf{arithmétique} lorsque l'on ajoute \textbf{toujours} le même nombre $r$ 
pour passer d'un terme au suivant : $$ u_{n+1}=u_n+r \qquad \forall n$$
Ce nombre $r$ s'appelle la \textbf{raison} de la suite $(u_n)$. }

\Expl{La suite des entiers naturels pairs est une suite arithmétique de premier terme $0$ et de raison $2$ }

\Cadre[Méthode pour reconna\^itre une suite arithm\'etique]{
Pour qu'une suite $u$ soit arithm\'etique, il faut et il suffit que, pour tout $n\in\N$, 
la diff\`erence $u_{n+1}-u_n$ soit constante : $$u_{n+1}-u_n=r\in\R$$
Le nombre $r$ est la raison de la suite $u$.
}

\Expl{Les suites suivantes sont-elles arithmétiques ?
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $u_n=3n-2$
\item $v_n=n^2-3$
\item $w_n=-4n+1$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Rqs{
\item En fait, toute suite $(u_n)$ définie par $u_n=an+b$ où $a$ et $b$ sont deux réels 
est une suite arithmétique de raison $a$ et de premier terme $u_0=b$.
En effet, on a alors :
$$ u_{n+1}-u_n=a(n+1)+b-(an+b)=a$$
De plus $u_0=a\times 0 + b = b$.\\
C'est effectivement ce que nous avons pu constater sur les suite $(u_n)$ et $(w_n)$ précédemment.
\item Le sens de variation et la limite d'une suite arithmétique  $(u_n)$ dépend uniquement du signe de sa 
raison $r$. 
\begin{itemize}
\item[\textbullet] Si $r>0$ alors la suite $(u_n)$ est strictement croissante et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ ;
\item[\textbullet] Si $r=0$ alors la suite $(u_n)$ est constante ;
\item[\textbullet] Si $r<0$ alors la suite $(u_n)$ est strictement décroissante et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.
\end{itemize}
}

\Expl{La suite $(u_n)$ définie par $u_n=-\sqrt{2} n+54$ est une suite arithmétique de raison $-\sqrt{2}$ 
et de terme initial $u_0=54$. Elle est donc décroissante et et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.
}

\Exos{n$^{\circ}$ 53  p 124}

\subsection{Formules explicites}

La définition par récurrence d'une suite arithmétique, rend fastidieux le calcul
des termes de grand indice.
Il est donc intéressant d'avoir une formule donnant explicitement $u_n$ en fonction de $n$.\\


\Thc{Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$, alors $\forall n \in\N$ on a 
$$u_n=u_0+nr$$}

\Dem{$(u_n)$ étant une suite arithmétique, on a  $u_1=u_0+r$, puis $u_2=u_1+r=u_0+2r$, et ainsi de proche en 
proche on a :
$$u_0 \stackrel{+r}{\longmapsto} u_1 \stackrel{+r}{\longmapsto} u_2 \stackrel{+r}{\longmapsto} u_3 \stackrel{+r}{\longmapsto}
\dots \stackrel{+r}{\longmapsto}  u_n$$
On a ajouté $n$ fois le nombre $r$ pour obtenir $u_n$ en partant de $u_0$.\\
Donc $u_n=u_0 + nr$.
}

\Expl{$(u_n)$ est la suite arithmétique de premier terme $u_0=3$ et de raison $2$. Calculer $u_{2010}$.
}

\Thc{Soit $(u_n)$ une suite arithmétique  et de raison $r$, alors pour tous $p$ et $n$ 
de $\N$  :
$$ u_n=u_p+(n-p)r$$}

\Dem{
$$u_p \stackrel{+r}{\longmapsto} u_{p+1} \stackrel{+r}{\longmapsto} u_{p+2 }\stackrel{+r}{\longmapsto} u_{p+3}
 \stackrel{+r}{\longmapsto} \dots \stackrel{+r}{\longmapsto}  u_{p+k}$$
On a ajouté $k$ fois le nombre $r$ pour obtenir $u_{p+k}$ en partant de $u_p$.\\
Donc pour $n=p+k$, on ajoute $k=n-p$ fois le nombre $r$ pour obtenir $u_n$ à partir de $u_p$.\\
D'où $u_n=u_p + (n-p)r$.
}

\Expl{Considérons une suite arithmétique $(v_n)_{n\in\N}$ telle que $v_{27}=6$ et $v_{39}=10$.
\begin{enumerate}
 \item Retrouver la raison $r$ de cette suite puis son terme initial.
 \item Calculer alors $v_7$ et $v_{74}$.
\end{enumerate}
}

\Exos{n$^{\circ}$ 55  p 124 (calculs simples) \\
 n$^{\circ}$ 60 et 63 p 125 (suites composées)}

\subsection{Sommes de termes consécutifs}

\Thc[Somme des $n$ premiers entiers]{$$ 1+2+\dots+(n-1)+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$$}

\Dem{Notons $S=1+2+\dots+n-1+n$. On a 
$$\begin{array}{cccccccccccccccc}
& S & = &  1 & + & 2 & + & 3 & + & \dots & + & (n-2) & + & (n-1) & + & n \\
\text{ et } & S & = & n & + & (n-1) & + & (n-2) & + & \dots & + & 3 & + & 2 & + & 1 
\end{array}$$
En ajoutant membre à membre les deux égalités, on a :
\begin{eqnarray*}
2S &=& (1+n)+(2+n-1)+(3+n-2) +\dots +(n-2+3)+(n-1+2)+(n+1) \\
&=& \underbrace{(n+1) + (n+1) + (n+1) + \dots + (n+1) + (n+1) + (n+1)}_{n \text{ fois}} \\
&=& n(n+1)
\end{eqnarray*}
Donc $S=\dfrac{n(n+1)}{2}$}

\Expl{La somme des $100$ premiers entiers est donc :
$$ \dfrac{100\times 101}{2}=\dfrac{10100}{2}=5050$$}

%\Act{
%Soit $(u_n)$ une suite et $p<q$ deux entiers naturels. 
%\begin{enumerate}
% \item  Combien de termes comporte les sommes suivantes : 
%\begin{enumerate}
% \begin{multicols}{4}
%\item   $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5}u_k$ 
% \item $\displaystyle\sum_{k=0}^{5}u_k$ 
%  \item $\displaystyle\sum_{k=1}^{p}u_k$ 
% \item $\displaystyle\sum_{k=0}^{p}u_k$ 
% \end{multicols}
%\end{enumerate}
% \item \begin{enumerate}
% \item Conjecturer intuitivement le nombre de terme de la somme $\displaystyle\sum_{k=14}^{25}u_k$
%\item  Réécrire cette somme  sous la forme  $\displaystyle\sum_{k=1}^{\dots}u_{k+\dots}$
% \item En déduire son nombre de termes. Votre intuition était-elle bonne ?
%\item Comment retrouver le nombre de termes de cette somme à partir des indices de départ et d'arrivée ?
%\end{enumerate}
% \item Combien de termes contient la somme $\displaystyle\sum_{k=p}^{q}u_k$  ?
%\end{enumerate}
%}  



\Thc{On considère une suite arithmétique $(u_n)$.
On a  :
$$ \text{Somme de termes consécutifs } = \text{ nombre de termes } \times \dfrac{\text{ premier terme } +
\text{ dernier terme } }{2}$$
En particulier :
$$\sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1) \dfrac{u_0+u_n}{2}$$}


\Att{
Soit $p$ et $q$ deux nombres entiers naturels tels que $p<q$.\\
La somme $u_p+u_{p+1}+\dots+u_q$ comporte donc $q-p+1$ termes.
}

\Dem{Dans le cas particulier (le cas général se traite de la même façon en utilisant la remarque précédente). On a :
$$\begin{array}{ccccccccccccc}
S & = &  u_0 & + &\underbrace{ u_1 }& + & \underbrace{ u_2 }& + & \dots & + & \underbrace{ u_{n-1} }& + & \underbrace{u_n} \\
 & = & u_0 & + & u_0 + r & + & u_0+2r & + & \dots & + & u_0 + (n-1)r  & + & u_0+nr
\end{array}$$
Donc 
\begin{eqnarray*}
S & = & (n+1)u_0  + (1+2+3 +\dots + n)r \\
& = & (n+1)u_0 + \dfrac{n(n+1)}{2}\times r\\
& = & (n+1) \times \left(u_0 + \dfrac{n}2 r \right)  
 =  (n+1) \left( \dfrac{2u_0 + nr }{2} \right)\\
& = & (n+1) \left(\dfrac{u_0 + (u_0 + nr)}{2}\right)
 =  (n+1) \left(\dfrac{u_0 + u_n}{2}\right)\\
\end{eqnarray*}
}

\Expl{
\begin{enumerate}
\item Calculer la somme des $50$ premiers entiers impairs.
\item Calculer la somme des $50$ premiers entiers pairs en partant de $12$.
\end{enumerate}}

\Exos{n$^{\circ}$ 54-56  p 124 (calculs simples) + 95 p 130 (somme)\\
Exo challenge : 58 p 125}

\section{Suites Géométriques}
\subsection{Généralités}

\Defc{Une suite $(u_n)$ est dite \textbf{géométrique} lorsque l'on multiplie \textbf{toujours} par le même nombre $q$
pour passer d'un terme au suivant :  $$u_{n+1}=q \times u_{n} \qquad \forall n$$
Ce nombre $q$ s'appelle la \textbf{raison} de la suite $(u_n)$. 
}

\Expl{La suite des puissances de $2$ est une suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $2$.
}

\Cadre[Méthode pour reconna\^itre une suite g\'eom\'etrique]{
Pour qu'une suite $u$ soit g\'eom\'etrique, il faut et il suffit que, pour tout $n\in\N$, 
les termes $u_n$ soient non nuls et que le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ soit constant : 
$$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q\in\R^*$$
Le nombre $q$ est la raison de la suite $u$.
}

\Expl{Les suites $(u_n)$, $(v_n)$, $(w_n)$ et $(t_n)$ définies ci-dessous sur $\N$
 sont-elles géométriques ?
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $u_n=\dfrac{2}{3^n}$ 
\item $v_n=2\times (-1)^n$ 
\item $\left\{\begin{array}{l}
w_0=6 \\                w_{n+1}=3v_n+4 
              \end{array}\right.$
 \item $t_n=w_n+2$ 
\end{multicols}
\end{enumerate}
}


\Rqs{
\item En fait, toute suite $(u_n)$ définie par $u_n=aq^n$ où $a$ et $q$ sont deux réels non nuls est une suite 
géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0=a$. En effet, on a alors :
$$u_{n+1}=aq^{n+1}=aq^n \times q= u_n \times q  $$
Par conséquent la suite est géométrique de raison $q$.
De plus $u_0 = a \times q^0 = a \times 1 = a$.\\
C'est effectivement ce que nous avons pu constater sur les suites précédentes.
\item Le sens de variation et la limite d'une suite géométrique  $(u_n)$ dépend uniquement de la valeur
 de sa raison $q$. 
\begin{itemize}
\item[\textbullet] Si $q>1$ alors la suite $(u_n)$ est strictement croissante et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ ;
\item[\textbullet] Si $0<q<1$ alors la suite $(u_n)$ est strictement décroissante et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$ ;
\item[\textbullet] Si $-1<q<0$ alors la suite $(u_n)$ n'est pas monotone et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$ ;
\item[\textbullet] Si $q<-1$ alors la suite $(u_n)$ n'est pas monotone et n'a pas de limite.
\end{itemize}
}

\Expl{La suite $(u_n)$ définie par $u_n=(-0.8)^n \times 7$ est géométrique de raison $q=-0.8$ et de premier 
terme $u_0=7$. Elle n'est pas monotone et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$.
}

\Exos[Repère]{
n$^{\circ}$ 71-74-76 p 126 + 109 p 131 (arith + géom)
}

\subsection{Formules explicites}

\Thc{Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q\neq 0$ et de premier terme $u_0$ alors 
$$u_n=u_0 \times q^n$$}

\Dem{$(u_n)$ étant une suite arithmétique, on a  $u_1=u_0\times q $, puis $u_2=u_1 \times q =u_0 \times q^2$, 
et ainsi de proche en proche on a :
$$u_0 \stackrel{\times q }{\longmapsto} u_1 \stackrel{\times q }{\longmapsto} u_2 \stackrel{\times q }{\longmapsto}
 u_3 \stackrel{\times q }{\longmapsto} \dots \stackrel{\times q }{\longmapsto}  u_n$$
On a multiplié $n$ fois par le nombre $q$ pour obtenir $u_n$ en partant de $u_0$.\\
Donc $u_n=u_0 \times q^n$.
}

\Expl{Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0=2$ et de raison $3$. On a alors :
$$ u_n=2 \times 3^n$$
On peut, par exemple calculer directement $u_5=2\times 3^5=2\times 243=486$}

\Thc{$(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q\neq 0$ alors quels que soient les entiers naturels $n$ et $p$ 
on a :
$$u_n=u_p \times q^{n-p}$$ }

\Dem{
$$u_p \stackrel{\times q}{\longmapsto} u_{p+1} \stackrel{\times q}{\longmapsto} u_{p+2 }\stackrel{\times q}{\longmapsto} 
u_{p+3}  \stackrel{\times q}{\longmapsto} \dots \stackrel{\times q}{\longmapsto}  u_{p+k}$$
On a multiplié $k$ fois par le nombre $q$ pour obtenir $u_{p+k}$ en partant de $u_p$.\\
Donc pour $n=p+k$, on multiplie $k=n-p$ fois par le nombre $q$ pour obtenir $u_n$ à partir de $u_p$.\\
D'où $u_n=u_p \times q^{n-p}$.
}

\Expl{$(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites géométriques. Déterminer $u_5$, $u_8$, $v_7$ et $v_{15}$ sachant que :
\begin{enumerate}
\item $u_0=6$ et $q=-\dfrac{1}{3}$
\item $v_5=1$ et $v_{10}=32$
\end{enumerate}
}

\Exos[Repère]{
n$^{\circ}$ 75-84 p 127 (calculs simples)
n$^{\circ}$ 80 p 128 (suites composées)
}

\subsection{Sommes de termes}

\Thc[Cas particulier $u_n=q^n$, avec $q\neq 1$]{
$$ 1+q+q^2+\dots+q^{n}=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$$}

\Dem{Notons $S=1+q+q^2+\dots+q^{n-1}+q^{n}$.\\
On a alors $qS=q+q^2+\dots+q^{n-2}+q^{n}+q^{n+1}$.\\
Par conséquent :
\begin{eqnarray*}
S-qS & = & 1+q+q^2+\dots+q^{n-1}+q^{n}-\left(q+q^2+\dots+q^{n-2}+q^{n}+q^{n+1}\right) \\
\iff (1-q)S & = & 1-q^{n+1} \\
\iff S & = & \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q} 
\end{eqnarray*}
}


\Expl{La somme des $10$ première puissance de 2 est donc :
$$\sum_{k=0}^{9} 2^k = 2^0 + 2^1 +  \dots + 2^9 =  \dfrac{1-2^{10}}{1-2}=1023$$}

\Thc{On considère une suite géométrique $(u_n)$ de raison $q\neq 1$. \\
On a  :
$$ \text{Somme de termes consécutifs } = \text{ premier terme } \times \dfrac{1-q^\text{ nombre de termes }}{1-q}$$
En particulier :
$$\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0   \times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$$}


\Dem{Dans le cas particulier (le cas général se traite de la même façon). On a \\
$$\begin{array}{ccccccccccccc}
S & = &  u_0 & + &\underbrace{ u_1 }& + & \underbrace{ u_2 }& + & \dots & + & \underbrace{ u_{n-1} }& + & \underbrace{u_n} \\
 & = & u_0 & + & u_0 \times q & + & u_0 \times q^2 & + & \dots & + & u_0  \times q^{n-1}  & + & u_0 \times q^n
\end{array}$$
$$ S=u_0\left(1+q+q^2+\dots+q^{n-1}+q^{n}\right)=u_0 \times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$$
}

\Rq{Le cas $q=1$ est trivial :
$$u_0+u_0\times q+u_0\times q^2+\dots +u_0\times q^{n}=\underbrace{u_0+u_0+\dots+u_0}_{(n+1) \text{ fois }}=u_0 \times (n+1)$$}

\Expl{
 Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0=\dfrac{1}{2}$ et de raison $q=\dfrac{3}{2}$. \\
Calculer $S=u_4+u_5+\dots+u_{14}$}

\Exos[Repère]{118 p 133
A trouver !!}

\epigraphe{La vie est faite de hasard contraire au destinée.}{Johan Sfar}{Issu du film \og Gainsbourg, vie héroïque \fg} 


\end{document}