\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 5}
\newcommand{\Ch}{Trigonom\'etrie}
\newcommand{\Cl}{1SSI}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2cm}

\setcounter{NumLecon}{5}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\debutCha{Riuk.eps}{Death Note}{Oba et Obata}  					% Image + titre + Auteur
{Si les gens ne croient pas que les mathématiques sont simples, c’est seulement parce qu’ils ne réalisent pas combien la vie est compliquée !}{John Louis von Neumann}		% Citation + Auteur
{\textit{Death Note} est un manga de type shônen, créé par le scénariste Tsugumi Oba et le dessinateur Takeshi Obata. 
Il a été prépublié dans un journal de 2003 à 2006, et par la suite publiée en douze tankôbon de 2004 à 2006.\\
L’histoire est centrée sur \textit{Raito Yagami}, un lycéen surdoué qui juge le monde actuel criminel et corrompu.
Sa vie change du tout au tout le jour où il ramasse par hasard un mystérieux cahier intitulé « Death Note ».
Ancienne propriété d’un dieu de la mort, le Death Note permet à son utilisateur de tuer toute personne dont il connaît le nom et
le visage. Raito décide d’utiliser le Death Note pour exterminer les criminels, dans le but d’éradiquer le Mal et de bâtir un monde parfait 
dont il sera le dieu.\\
Mais les nombreuses morts inexpliquées de criminels à travers le monde attirent l’attention d’Interpol et 
du mystérieux \textit{L}, un détective capable de résoudre n’importe quelle énigme, mais dont personne ne connaît ni 
le visage ni le nom. L décide d’enquêter pour capturer le tueur en série, surnommé par le grand public \og Kira \fg.
Entre Raito et L, tous deux persuadés d’agir pour la justice, s’engage un combat acharné pour découvrir 
en premier l’identité de l’autre...
} 						% Présentation auteur
{0.9}		% Ratio portrait
{0.8}		% Ratio Image

\TITRE{L.eps}{0.7} 						% Image 1ere page + ratio
%\begin{abstract}
 

\begin{Intro}{Au fil du temps}{Odyssé p 216
}
\end{Intro}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 0. Position du pb
\newpage

\section{Le cercle trigonométrique}
\subsection{Enroulement de la droite des réels et notations}
\Act{Cf AP trigonométrie (rappels cercle trigonométrique, radians, mesure principale, configuration du rectangle, construction sur Géogébra des courbes sinus et cosinus,
tableau de variations ...)\\
Cf DM 3 (conversion d'angles, mesures principales, configuration du rectangle ...)
}

Une unit\'e de longueur est choisie dans le plan. \\
Pour tout le chapitre, $\mathscr C$ est le cercle trigonométrique de 
centre $O$ et d'origine $I$ (donc de rayon $1$, et orienté positivement), $J$ désigne le point du cercle 
tel que $(O; \overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OJ}) $ est un repère orthonormé (direct, comme sur la figure ci-dessous).
%et $M$ un point quelconque du cercle.

Soit $\mathscr D$ la tangente à $\mathscr C$ en $I$, muni du repère $(I; \overrightarrow{OJ})$.\\

Alors, tout point $N$ de la droite $\mathscr D$ est repérée par son abscisse $x\in\R$. \\
Selon l'algorithme d'\og enroulement de la droite des réels \fg, décrit en classe de seconde, on associe à tout point $N$
(donc à tout réel $x$) un unique point $M(x)$ du cercle $\mathscr C$, tel que la longueur de l'arc 
$\wideparen{IM}$ vaut $x$.

\begin{center}
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.3cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-11,-11)(13,13)
\pscircle(0,0){3}
\psline(10,-11)(10,13)
\parametricplot{0.0}{1.1969172715896446}{1*10*cos(t)+0*10*sin(t)+0|0*10*cos(t)+1*10*sin(t)+0}
%\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{1.1969172715896446}{1*cos(t)+0|1*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=red,linestyle=dashed]{\parametricplot{1.3784501448043294}{2.5650278488693794}{1*6.17*cos(t)+0*6.17*sin(t)+8.82|0*6.17*cos(t)+1*6.17*sin(t)+5.95}}
\parametricplot[linecolor=red]{0.0}{1.1969172715896446}{1*10*cos(t)+0*10*sin(t)+0|0*10*cos(t)+1*10*sin(t)+0}
\rput[tl](8.5,-10){$\mathscr D$}
\psline[linewidth=1pt](6.700,7.4000)(6.700,6.800)
\psline[linewidth=1pt](6.7000,7.4000)(7.30,7.400)
\psline(0,0)(3.65,9.31)
\psline{->}(0,0)(0,10)
\psline{->}(0,0)(10,0)
\psline{->}(0,0)(3.65,9.31)
\psline{->}(10,0)(10,10)
\psline[linecolor=red](10,0)(10,12)
\rput[tl](-10.,7.55){$\mathscr C$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](-1.2,-1.2){$O$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](10,0)
\rput[bl](10.5,-0.3){$I$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](10,10)
\rput[bl](10.5,9.6){$1$}
\rput[bl](5,-1.5){$1$}
\psdots[dotstyle=x](10,12)
\rput[bl](10.5,12){$N(x)$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](3.65,9.31)
\rput[bl](5,9){$M(x)$}
\rput[bl](8,7){\red{$x$}}
\psdots[dotstyle=x,](10,-10)
\rput[bl](10.2,-10.2){$-1$}
\rput[bl](-0.1,10.5){$J$}
\end{pspicture*}
\end{center}


\Ptec{
Pour tout réel $x$ et tout entier relatif $k$, les points $M(x)$ et $M(x+2k\pi)$ sont confondus sur $\mathscr C$.
}

\Dem{
Le périmètre du cercle $\mathscr C$ vaut $2\pi R = 2\pi$.
}

\Rq{
On peut désormais décrire la position d'un point $M$ sur le cercle en donnant l'un des réels qui lui sont associés, cependant
ce n'est pas la manière la plus simple ...
}

\subsection{Le radian}


\Defc{\begin{multicols}{2}
Soit $A$ le point de $\mathscr C$ associé au réel 1. On définit le radian (symbole rad) comme la mesure de l'angle
$\widehat{IOA}$ ainsi construit.\\

Ainsi, la mesure d'un angle $\widehat{IOM}$ en radians est la longueur de son arc associé $\wideparen{IM}$.
\begin{center}
%\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(11,6.5)
\pscustom[linecolor=zzttqq]{\parametricplot{0.0}{0.6073641476410545}{1*10*cos(t)+0*10*sin(t)+0|0*10*cos(t)+1*10*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.6073641476410545}{1*cos(t)+0|1*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\rput[tl](4.84,-0.3){$1$}
\rput[tl](9.8,3.5){$\alpha$}
\rput[bl](-1,-0.3){$O$}
\rput[bl](10.2,-0.3){$I$}
\rput[bl](8.22,5.82){$M$}
\rput[bl](1.53,0.37){$\alpha$ rad}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
}

\Rqs{
\begin{multicols}{2}
\item Au collège, le degré comme unité d'angle convenait parfaitement, même pour la trigonométrie (dans un triangle rectangle).
Mais pour mettre en oeuvre des notions qui seront abordées dans les classes ultérieures, il est plus pratique d'utiliser désormais
le radian.
\item Cette définition ne dépend pas de l'unité de longueur choisie. En fait, dans un cercle de rayon $R$, 1 radian est la mesure d'un angle qui intercepte un arc de longueur égale au rayon $R$.
\begin{center}
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(11,10)
\pscustom[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{1.0043052892581679}{1*10*cos(t)+0*10*sin(t)+0|0*10*cos(t)+1*10*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{1.0043052892581679}{1*cos(t)+0|1*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\rput[tl](4.71,-0.3){$R$}
\rput[tl](8.98,5.38){$R$}
\rput[bl](0.2,-0.96){\darkgray{$O$}}
\rput[bl](10.12,0.2){$A$}
\rput[bl](5.58,8.76){$B$}
\rput[bl](1.23,0.64){\qqwuqq{$1 rad$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
}

\Ptec{
Les mesures d'angles en degrés et en radians sont proportionnelles.
}
\Dem{Les longueurs d'arc sont proportionnelles aux angles en degrés.}

\Expls{
Le périmètre de $\mathscr C$ valant $2\pi$, on en déduit facilement qu'un angle plat mesure $\pi$ radians ; un angle droit $\dfrac{\pi}2$ rad.\\
Avec le tableau de proportionnalité suivant, on trouve convertit n'importe quelle mesure.
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
 Mesure en degrés & $180$ & d \\ \hline
 Mesure en radians & $\pi$ & $\alpha$  \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
Ainsi pour convertir $60^{\circ}$ en radian on calcule $\alpha=\dfrac{60\pi}{180}=\dfrac{\pi}3$ rad.\\\\
Pour convertir $\dfrac{5\pi}{6}$ rad en degré, on calcule $d=\dfrac{\frac{5\pi}{6} \times 180}{\pi} = \dfrac{5 \times 180}{6}=5\times 30 = 150^{\circ}$
}

\Rq{
On pourrait désormais décrire la position d'un point $M$ sur le cercle en donnant la valeur de l'angle $\widehat{IOM}$, 
cependant, sans précision supplémentaire, nous aurions le choix entre deux points $M$ ...\\
Il devient donc important de préciser un \og sens \fg pour les angles et une nouvelle désignation, afin de savoir que l'on tient compte de l'orientation.
}


\Exos{n$^{\circ}$ 40-54 p 288 (conversions et placer des points)
}

\section{Angles orientés de vecteurs}
\subsection{Définition}

On conserve les notations précédentes. De plus, $\vec u$ et $\vec v$ désignent deux vecteurs non nuls.

\Defc{
Le couple $(\vec u ; \vec v)$ est appelé \textbf{angle orienté de vecteurs} en radians.\\
Soient $A$ et $B$ deux points tels que $\vec u=\overrightarrow{OA}$ et 
$\vec v = \overrightarrow{OB}$.\\
On note $A'$ et $B'$ les points d'intersection de $\mathscr C$ avec respectivement les demi-droites $[OA)$ et $[OB)$.\\
Si $A'$ est associé au réel $a$ et $B'$ est associé au réel $b$, alors on appelle \textbf{mesure de l'angle orienté}
 $(\vec u ; \vec v)$ le réel $b-a$.
}

\begin{multicols}{2}
 
\begin{center}
 \newrgbcolor{qqccqq}{0 0.8 0}
\newrgbcolor{zzffzz}{0.6 1 0.6}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-8.5,-5)(7.5,6)
\pscircle(0,0){3}
\psline[linecolor=qqccqq]{->}(6,2)(7,4)
\psline[linecolor=qqccqq]{->}(-3,-4.98)(-8,-1.98)
\psline[linecolor=qqccqq]{->}(0,0)(1,2)
\psline[linecolor=qqccqq]{->}(0,0)(-5,3)
\psplot[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=zzffzz]{0}{7.5}{(-0--2*x)/1}
\psplot[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=zzffzz]{-8.5}{0}{(-0--3*x)/-5}
\psline{->}(0,0)(5,0)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{1.1071487177940904}{1*cos(t)+0|1*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(1,1){0}{59.48}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{2.601173153319209}{0.6*cos(t)+0|0.6*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(0.6,0.6){0}{142.1}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{1.1071487177940904}{2.601173153319209}{1.4*cos(t)+0|1.4*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(1.4,1.4){63.43}{146.27}
\rput[bl](-0.5,-0.5){$O$}
\rput[bl](5.08,0.12){$I$}
\rput[bl](6.,3.04){\qqccqq{$\vec u$}}
\rput[bl](-5.34,-3.38){\qqccqq{$\vec v$}}
\rput[bl](1.18,1.9){\darkgray{$A$}}
%\rput[bl](0.64,0.8){\qqccqq{$\vec u$}}
\rput[bl](-4.92,3.12){\darkgray{$B$}}
%\rput[bl](-2.76,1.22){\qqccqq{$\vec v$}}
\rput[bl](2.5,4.52){\darkgray{$A'(a)$}}
\rput[bl](-3.94,2.6){\darkgray{$B'(b)$}}
\rput[bl](1.1,0.38){\qqwuqq{$a$}}
\rput[bl](-0.18,0.72){\qqwuqq{$b$}}
\rput[bl](-1,1.6){\qqwuqq{$b-a$}}
\end{pspicture*}
\end{center}


\Rqs{\item On a évidemment : $$(\vec u ; \vec v)=(\overrightarrow{OA} ; \overrightarrow{OB}) = 
(\overrightarrow{OA'} ; \overrightarrow{OB'})= (\overrightarrow{OA} ; \overrightarrow{OB'}) \dots$$
\item Les mesures de $(\overrightarrow{OA} ; \overrightarrow{OB}) $ sont en fait les mesures en radians de l'angle orient\'e $\widehat{AOB}$, 
mais cette nouvelle définition nous permet de savoir que l'unité est le radian, et que l'on tient compte de l'orientation 
du plan, sans le préciser à chaque fois. De plus, elle va s'avérer très pratique pour les manipulations algébriques.
}

\end{multicols}

\Expl{On a la figure suivante, où $ABCD$ est un rectangle direct.
\begin{multicols}{3}
\begin{center}
\underline{Angles g\'eom\'etriques } 
 \newline
 \newline
$$\widehat{ADB}=\widehat{BDA}=\dfrac{\pi}{3}$$ 
$$\widehat{ADc}=\widehat{CDA}=\dfrac{\pi}{2}$$
$$\widehat{BDC}=\widehat{CDB}=\dfrac{\pi}{6}$$
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.95cm,yunit=0.95cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.3,-0.3)(5.5,3.4)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](0,0)(5.2,0)(5.2,3)(0,3)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{-1.5707963267948966}{-0.5235987755982989}{0.41*cos(t)+0|0.41*sin(t)+3}\lineto(0,3)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,3)(0.41,0.41){-90}{-33.46}
\psline(5.2,0)(5.2,3)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(5.2,0)
\psline[linecolor=zzttqq](5.2,0)(5.2,3)
\psline[linecolor=zzttqq](5.2,3)(0,3)
\psline[linecolor=zzttqq](0,3)(0,0)
\psline(0,3)(5.2,0)
\rput[bl](-0.2,-0.3){$A$}
\rput[bl](0.04,3.06){$D$}
\rput[bl](0.11,1.7){$\dfrac{\pi}3$}
\rput[bl](5.24,-0.3){$B$}
\rput[bl](5.24,3.06){$C$}
\end{pspicture*}
\underline{Angles orient\'es } %(angle entre 2 vecteurs)
\newline
\newline
$(\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DA})=-\dfrac{\pi}{3}$ et $( \overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DB} )=\dfrac{\pi}{3}$\\

$(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DA})=-\dfrac{\pi}{2}$ et $( \overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC} )=\dfrac{\pi}{2}$\\

$(\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC})=\dfrac{\pi}{6}$ et $( \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DB} )=-\dfrac{\pi}{6}$
\end{center}
\end{multicols}
Donner des mesures des angles orientés suivants :
$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$ ; $(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BD}) $ ; $(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{CD})$
}

\Expl{
$ABC$ est un triangle équilatérale direct. \\
Lire graphiquement une mesure de chacun des angles ci-dessous :
$$( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \qquad \qquad ( \overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CA}) 
\qquad \qquad ( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CB}) \qquad \qquad ( \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{AC})$$
}\\


\Ptec[Définition]{
Un angle $(\vec u ; \vec v)$ possède une infinité de mesures mais une unique dans l'intervalle $]-\pi ; \pi]$, appelée \textbf{mesure principale}.
}

\Dem{Avec les notations précédentes, comme $A'$ et $B'$ sont associés à une infinité de réels, donc il existe une infinité de 
mesures de l'angle $(\vec u ; \vec v)$.\\
Si $\alpha$ est l'une d'elle, alors $\alpha + 2k\pi$ en est une aussi, pour tout $k\in\Z$.\\
De plus, deux mesures en radians d'un même angle sont au moins distantes de $2\pi$, puisque le périmètre de $\mathscr C$ vaut $2\pi$.
Donc il existe une unique mesure de $(\vec u ; \vec v )$ dans l'intervalle $[- \pi ; \pi ]$ (d'(amplitude $2\pi$).}

\Rqs{
\item Si $A$ et $B$ sont deux points du cercle $\mathscr C$, la mesure principale de $(\overrightarrow{OA} ; \overrightarrow{OB})$ 
correspond à la longueur du plus petit arc orienté allant de $A$ vers $B$ sur le cercle $\mathscr C$.
\item Si $\alpha$ est la mesure principale d'un angle $(\overrightarrow{OA} ; \overrightarrow{OB})$, alors 
ses autres mesures sont les réels
$\alpha + k \times 2\pi$ où $k\in\Z$. On note $(\overrightarrow{OA} ; \overrightarrow{OB}) = \alpha \quad [2\pi]$, 
(se lit \og égal $\alpha$ modulo $2\pi$ \fg ).\\
De plus, la mesure en radians de l'angle géométrique $\widehat{AOB}$ est égale à $|\alpha|$.
\item Pour trouver la mesure principale d'un angle, il faut retrancher ou ajouter un multiple suffisant de $2\pi$.
}

\Expls{Trouver les mesures principales de $\dfrac{5\pi}3$, $-\dfrac{19\pi}5$ et $\dfrac{51\pi}6$.\\
$$\pi<\dfrac{5\pi}{3}<2\pi \quad \text{ , donc } \quad -\pi<\dfrac{5\pi}{3}-2\pi<0 \quad \text{ et } \quad\dfrac{5\pi}{3}-2\pi =- \dfrac{\pi}{3}$$
Donc la mesure principale de $\dfrac{5\pi}3$ est $-\dfrac{\pi}3$.
$$-4\pi < -\dfrac{19\pi}5 < -3\pi \quad\text{, donc }\quad 0 < -\dfrac{19\pi}5 + 4\pi < \pi\quad \text{ et }\quad -\dfrac{19\pi}5 + 4\pi = \dfrac{\pi}5$$
Donc la mesure principale de $-\dfrac{19\pi}5$ est $\dfrac{\pi}{5}$.
$$8\pi < \dfrac{51\pi}6 < 9\pi \quad\text{ , donc }\quad 0 < \dfrac{51\pi}6 - 8\pi < \pi \quad\text{ et }\quad \dfrac{51\pi}6 - 8\pi = \dfrac{3\pi}6=\dfrac{\pi}{2}$$
Donc la mesure principale de $\dfrac{51\pi}6$ est $\dfrac{\pi}{2}$.
}

\Expl{Sans calculatrice, dire si les r\'eels suivants sont des mesures principales en radians d'angles orientés
$$ \dfrac{7\pi}{5} \qquad \qquad  -\dfrac{13\pi}{5} \qquad \qquad  \dfrac{\pi}{4} \qquad \qquad  -\dfrac{3\pi}{4} 
\qquad \qquad  \dfrac{3\pi}{2} \qquad \qquad  -\dfrac{2\pi}{3} \qquad \qquad  -\dfrac{7\pi}{6} \qquad \qquad  \dfrac{37\pi}{36} $$
}\\


\Exos{n$^{\circ}$ 48-50-51-53 ?  p 288 (mesure principale)
}

\subsection{Propriétés}

\Act{
$ABCD$ est un carré direct de centre $O$. Lire graphiquement une mesure de chacun des angles orientés ci-dessous :
$$( \overrightarrow{CD}, \overrightarrow{CA}) \qquad \qquad ( \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{OB}) 
\qquad \qquad ( \overrightarrow{DO}, \overrightarrow{AC}) \qquad \qquad ( \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{AC})
\qquad \qquad ( \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{CD}) \qquad \qquad ( \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{AD})$$
}

\Cadre[Conséquences immédiates]{$\vec u$ et $\vec v$ sont deux vecteurs non nuls. Alors :
 \begin{itemize}
\item $(\vec u ; \vec u)=0 \quad [2\pi] \quad \text{ (angle nul) }$
\item $(\vec u ; -\vec u)=(-\vec u ; \vec u)=\pi \quad [2\pi]  \quad \text{ (angle plat) }$
\item $\vec u $ et $\vec v$ sont colinéaires de même sens si et seulement si $(\vec u ; \vec v)=0 \quad [2\pi]$.
 \item $\vec u $ et $\vec v$ sont colinéaires de sens contraires si et seulement si $(\vec u ; \vec v)=\pi \quad [2\pi]$.
\item On peut donc dire que $\vec u $ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si $(\vec u ; \vec v)=0 \quad [\pi]$.
   \end{itemize}
 %$\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux si et seulement si $(\vec u ; \vec v)=\dfrac{\pi}{2} \quad [\pi]  \quad \text{ (angle droit) }$  
}


\Ptec[Relation de Chasles (admise)]{
Soit $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ trois vecteurs non nuls. On a :
$$ (\vec u, \vec v)+ (\vec v, \vec w)= (\vec u, \vec w) \quad [2\pi]$$}

\underline{Illustration} :
\begin{center}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-0.4)(4.5,3)
\psline{->}(0,0)(3,0)
\psline{->}(0,0)(4,3)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.6435011087932844}{1.2*cos(t)+0|1.2*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(1.2,1.2){0}{34.56}
\psline{->}(0,0)(-2,1)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.6435011087932844}{2.677945044588987}{0.8*cos(t)+0|0.8*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(0.8,0.8){36.87}{149.97}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{2.677945044588987}{1.4*cos(t)+0|1.4*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(1.4,1.4){0}{151.46}
\rput[bl](1.46,-0.38){$\vec u$}
\rput[bl](1.62,1.54){$\vec v$}
\rput[bl](-1.42,0.3){$\vec w$}
\end{pspicture*}
\end{center}


\Corc{Pour tous vecteurs non nuls $\vec u$ et $\vec v$ et pour tout $k\neq 0$ on a :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $(\vec u ; \vec v)=-(\vec v ; \vec u) \quad [2\pi]$
\item $( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{-v} )=( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} )+\pi  \quad [2\pi]$
\item $( k\overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} )=( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} ) \quad [2\pi]$
\item  $( -\overrightarrow{u} , -\overrightarrow{v} )=( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} ) \quad [2\pi]$
\end{enumerate}
\end{multicols}}


\underline{Illustrations de cas particuliers} :
\begin{multicols}{3}
 \begin{center}
Angles Opposés :
$$(\vec u ; \vec v)=-(\vec v ; \vec u) \quad [2\pi]$$
  \newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-3)(9.5,3.5)
\psline{->}(0,0)(3,0)
\psline{->}(0,0)(4,3)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.6435011087932844}{1.2*cos(t)+0|1.2*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(1.2,1.2){0}{34.56}
\psline{->}(5,0)(8,0)
\psline{->}(5,0)(9,3)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.6435011087932844}{1.2*cos(t)+5|1.2*sin(t)+0}\lineto(5,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{<-}(5,0)(1.2,1.2){0}{34.56}
\rput[bl](1.46,-0.5){$\vec u$}
\rput[bl](1.62,1.55){$\vec v$}
\rput[bl](6.6,-0.5){$\vec u$}
\rput[bl](6.64,1.55){$\vec v$}
\end{pspicture*}\\

Angles égaux :
$$(-\vec u ; -\vec v)=(\vec v ; \vec u) \quad [2\pi]$$
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.5,-3.5)(4.5,3.5)
\psline{->}(0,0)(3,0)
\psline{->}(0,0)(4,3)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.6435011087932844}{1.2*cos(t)+0|1.2*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(1.2,1.2){0}{34.56}
\psline{->}(0,0)(-3,0)
\psline{->}(0,0)(-4,-3)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{3.141592653589793}{3.7850937623830774}{1.2*cos(t)+0|1.2*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(1.2,1.2){180}{214.56}
\rput[bl](1.46,-0.7){$\vec u$}
\rput[bl](1.62,1.54){$\vec v$}
\rput[bl](-1.6,0.2){$-\vec u$}
\rput[bl](-2.2,-2){$-\vec v$}
\end{pspicture*}\\

Angles supplémentaires :
$$(-\vec u ; \vec v)=\pi + (\vec u ; \vec v) \quad [2\pi]$$
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.5,-2)(4.5,3.5)
\psline{->}(0,0)(3,0)
\psline{->}(0,0)(4,3)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.6435011087932844}{1.2*cos(t)+0|1.2*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(1.2,1.2){0}{34.56}
\psline{->}(0,0)(-3,0)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{3.141592653589793}{6.9266864159728705}{1.6*cos(t)+0|1.6*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(1.6,1.6){180}{395.14}
\rput[bl](1.6,-0.5){$\vec u$}
\rput[bl](1.62,1.54){$\vec v$}
\rput[bl](-1.6,0.2){$-\vec u$}
\end{pspicture*}

 \end{center}

\end{multicols}
\Dem[Facultative car relativement évidente avec la définition]{
\begin{enumerate}
\item D'apr\`es la relation de Chasles on a : 
$$ (\vec u,\vec v)+(\vec v,\vec u)=(\vec u,\vec u) \quad [2\pi]$$
Or $ (\vec u,\vec u) =0  \quad [2\pi]$ d'o\`u : $\qquad (\vec u,\vec v)+(\vec v,\vec u)=0 \quad [2\pi]$, et finalement :
$$  ( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} )=-( \overrightarrow{v} , \overrightarrow{u} ) \quad [2\pi]$$
\item D'apr\`es la relation de Chasles on a : 
$$ (-\vec u,\vec v)+(\vec v,\vec u)=(-\vec u,\vec u) \quad [2\pi]$$
Or $ (-\vec u,\vec u)=\pi \quad [2\pi]$ d'o\`u : $\qquad (-\vec u,\vec v)+(\vec v,\vec u)=\pi \quad [2\pi]$, et finalement :
$( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{-v} )=( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} )+\pi \quad [2\pi]$
\item On applique deux fois la propri\'et\'e pr\'ec\'edente.
\item En utilisant deux fois la relation de Chasles on a :
$$ (k\vec u,\vec v)=(k\vec u,\vec u)+(\vec u,\vec v)  \quad [2\pi]$$
\underline{Cas 1} : $ k>0$ \newline
Dans ce cas, les vecteurs $k\vec u$ et $\vec u$ ont le m\^eme sens et donc : $(k\vec u,\vec u)=0  \quad [2\pi] $.\\ 
De m\^eme $(\vec v; k\vec v)=0\quad [2\pi] $, et donc :
$$ (k\vec u,k\vec v)=(\vec u,\vec v)\quad [2\pi]$$ 
\underline{Cas 2} : $ k<0$ \newline
Dans ce cas, les vecteurs $k\vec u$ et $\vec u$ n'ont pas le m\^eme sens et donc : $(k\vec u,\vec u)=\pi\quad [2\pi]$. \\
De m\^eme $(\vec v; k\vec v)=\pi\quad [2\pi] $, et donc :
$$ (k\vec u,k\vec v)=2\pi + (\vec u,\vec v) \quad [2\pi]$$ 
ce qui donne : $$  (k\vec u,k\vec v)=(\vec u,\vec v) \quad [2\pi]$$
\end{enumerate}}


\Expl{$ABC$ est un triangle de sens direct (ie que $( \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC} )$ est de mesure positive). D\'emontrer que la somme de ses angles orient\'es est \'egales \`a $\pi$.\newline
Notons $\theta$ la somme des trois angles dans le sens direct. On a :
 $$\theta=( \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC} )+( \overrightarrow{BC} , \overrightarrow{BA} )+( \overrightarrow{CA} , \overrightarrow{CB} )$$
Comme $ ( \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC} )=( \overrightarrow{BA} , \overrightarrow{CA} ) \quad [2\pi]$,
 on peut \'ecrire : 
$$ \theta=( \overrightarrow{BC} , \overrightarrow{BA} )+( \overrightarrow{BA} , \overrightarrow{CA} )+
( \overrightarrow{CA} , \overrightarrow{CB} ) \quad [2\pi] \iff  \theta=( \overrightarrow{BC}  , \overrightarrow{CB} )(2\pi)=\pi  \quad [2\pi]$$}

\Expl{Sachant que $(\vec u ; \vec v)=\dfrac{3\pi}{4}$, déterminer la mesure principale de :
\qquad $(2\vec u ; \vec v) \qquad \qquad (-\vec v ; 2\vec u) \qquad \qquad (3\vec v ; -2\vec u) 
$}

\Rq{On peut désormais décrire la position d'un point $M$ sur le cercle grâce à la mesure de l'angle $(\overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OM})$.
}

\Exos[Repère]{%Exercices corrigé p 271\\
n$^{\circ}$ 58 ? 59-60 p 289 (figures)\\
n$^{\circ}$ 65-66 p 289 (propriétés)
}

\Exop{ABCD est un carr\'e tel que $( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})=\dfrac{\pi}{2}$\newline
$AEB$ et $BCF$ sont des triangles \'equilat\'eraux tels que $ (\overrightarrow{EA}, \overrightarrow{EB})=\dfrac{\pi}{3}$ et  $ (\overrightarrow{FC}, \overrightarrow{FB})=\dfrac{\pi}{3}$
\newline
On se propose de d\'emontrer que les points D, E et F sont align\'es en utilisant les angles orient\'es
\begin{enumerate}
 \item Faire un schéma de la situation.
\item \begin{enumerate}
\item D\'emontrer que le triangle ADE est isoc\`ele
\item D\'emontrer que $ (\overrightarrow{ED}, \overrightarrow{EA})=\dfrac{5\pi}{12}$ 
\end{enumerate}
\item D\'eterminer une mesure de $ (\overrightarrow{BE}, \overrightarrow{BF})$ et en d\'eduire une mesure de $ (\overrightarrow{EB}, \overrightarrow{EF})$
\item \begin{enumerate}
\item Utiliser la relation de Chasles pour calculer une mesure de $ (\overrightarrow{ED}, \overrightarrow{EF})$
\item Que peut-on en déduire sur les points $D$ , $E$ et $F$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


%\Exop{
%$A$, $B$, $C$ et $D$ sont des points tels que :
%$( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})=-\dfrac{\pi}{12}\quad [2\pi]$ et $( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})=\dfrac{5\pi}{12}\quad [2\pi]$.\\
%Démontrer que $ACD$ est rectangle.
%}



\section{Trigonométrie}
\subsection{Cosinus et Sinus d'un réel et d'un angle orienté}

\Defc{
Soit $x\in\R$ et $M$ son point associé sur le cercle $\mathscr C$ .\\
On appelle \textbf{cosinus} de $x$, noté $\cos(x)$ l'abscisse de $M$ dans le repère $(O; \overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OJ})$.\\
On appelle \textbf{sinus} de $x$, noté $\sin(x)$ son ordonnée dans le même repère.\\
Le cosinus et le sinus d'un angle orienté sont le cosinus et sinus d'une quelconque de ses mesures.
}

\begin{center}
 \psset{xunit=1.5cm , yunit=1.5cm,algebraic=true,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(2.5,2.5)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.2,-3.2)(3.2,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pscustom[linecolor=blue,linewidth=1pt]{\parametricplot{0.0}{1.07989761327778}{0.4*cos(t)+0|0.4*sin(t)+0}}%\lineto(0,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{\parametricplot{0.0}{1.07989761327778}{2*cos(t)+0|2*sin(t)+0}}%\lineto(0,0)\closepath}
\psline(2.0000,0.0000)(-2.0000,0.0000)
\psline(0.0000,2.0000)(0.0000,-2.0000)
\pscircle(0.0000,0.0000){3.0000}
\uput{0.3000}[0.0000](2.0000,0.0000){$I$}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,2.0000){$J$}
\uput{0.3000}[220.0000](0.0000,0.0000){$O$}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=red](0.94,1.76)
\rput[bl](1.1,1.9){$M$}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](1.4000,1.4000)
\psline[linewidth=1pt](1.4000,1.4000)(1.400,1.2000)
\psline[linewidth=1pt](1.4000,1.4000)(1.600,1.400)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](0.94,1.76)(0.94,0)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](0.94,1.76)(0,1.76)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](0,0)(0.94,1.76)
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(2,0)
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,2)
%\rput[bl](1,-0.5){$\vec i$}
%\rput[bl](-0.4,0.9){$\vec j$}
\rput[bl](0.8,-0.25){\darkgray{$\cos(x)$}}
\rput[bl](-0.7,1.5){\darkgray{$\sin(x)$}}
\rput[bl](0.15,0.08){\blue{$x$}}
\rput[bl](1.9,1){\blue{$x$}}
%\uput{0.3000}[0.0000](1.4500,1.4500){$\mathbb{+}$}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}

\Expl{
Le nombre réel $\dfrac{\pi}2$ est associé au point $J$ de coordonnées $(0,1)$ dans le repère $(O; \overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OJ})$.\\
Donc $\cos \dfrac{\pi}2 = 0$ et $\sin \dfrac{\pi}2 = 1$
}

\Ptec[Immédiates]{
Pour tout nombre réel $x$ on a :
$$-1 \leq \cos(x) \leq 1\quad \text{ et } \quad  -1 \leq \sin(x) \leq 1$$
 $$\cos(x+2k\pi)=\cos(x) \quad  \text{ et } \quad  \sin(x+2k\pi)=\sin(x) \quad  \text{ o\`u } k\in\Z$$
 $$\cos^2(x)+\sin^2(x)=1 \quad \text{ (Pythagore)} $$
}

\Rq{On dispose désormais d'une troisème méthode pour décrire la position d'un point $M$ sur le cercle $\mathscr C$.}

\Expl{On donne $ \cos \dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$. On cherche la valeur de  $ \sin \dfrac{\pi}{12}$.\\
On sait que $\cos^2 \dfrac{\pi}{12} + \sin^2 \dfrac{\pi}{12} = 1 \iff \sin^2 \dfrac{\pi}{12} = 1- \left(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)^2$
Donc $$\sin^2 \dfrac{\pi}{12}=1-\dfrac{6+2\sqrt{12}+2}{16}= \dfrac{16-8-2\times 2\sqrt{3}}{16}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}$$
De plus $0 < \dfrac{\pi}{12} < \dfrac{\pi}2$ donc $\sin \dfrac{\pi}{12} >0$. On en déduit :
$$\sin \dfrac{\pi}{12} = \sqrt{\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}} = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$$
On peut également montrer que $ \sin \dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ est une autre écriture du sinus, plus simple .\\

}


\Exos{
n$^{\circ}$ 79-80 p 291
}

\subsection{Valeurs remarquables et angles associés}

Le tableau ci-dessous rappelle les valeurs remarquables du cosinus et du sinus pour des valeurs particuli\`eres d'un angle orienté $\theta$ (en radians).\\
Il est connaître par coeur.
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{*{7}{|>{\centering}m{1.5cm}} |}
\hline 
Angle $\theta$  & $0$ & $\dfrac{\pi}{6}$ & $\dfrac{\pi}{4}$ &  $\dfrac{\pi}{3}$ & $\dfrac{\pi}{2}$ & $\pi$  \tabularnewline\hline
$\cos \theta$ & 1 & $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ & $\dfrac{1}{2}$ & 0  & $-1$ \tabularnewline\hline
$\sin \theta$ & 0 & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ & 1 & 0  \tabularnewline\hline
%$\tan \theta $ & 0 & $ \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ & 1 & $\sqrt{3}$ & n'existe pas & 0 \tabularnewline \hline
\end{tabular}
\end{center}

\Dem{
\begin{multicols}{2}
Pour calculer les valeurs de $\sin \dfrac{\pi}{4}$ et de $\cos \dfrac{\pi}{4}$ on 
se place dans le quadrilatère $OHMK$ ci-contre, de diagonale $OM=1$.\\

On sait que $OHMK$ est un carré, car il possède 4 angles droits et que l'angle $(\overrightarrow{OH} ; \overrightarrow{OM})$ mesure $\dfrac{\pi}{4}$.\\
On appelle $a$ la mesure de son côté.\\

Par définition du cosinus et sinus d'un nombre réel, on a $a=\cos \dfrac{\pi}4=\sin\dfrac{\pi}4$. Cherchons cette valeur.\\
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-11,-1.2)(11,11)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](0,0)(7.07,0)(7.07,7.07)(0,7.07)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](7.07,0.71)(6.36,0.71)(6.36,0)(7.07,0)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,6.36)(0.71,6.36)(0.71,7.07)(0,7.07)
\pscircle(0,0){4}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.7853981633974482}{1.5*cos(t)+0|1.5*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(1.5,1.5){0}{40.38}
\psline(0,0)(7.07,7.07)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(7.07,0)
\psline[linecolor=zzttqq](7.07,0)(7.07,7.07)
\psline[linecolor=zzttqq](7.07,7.07)(0,7.07)
\psline[linecolor=zzttqq](0,7.07)(0,0)
\psline{->}(0,-1)(0,10)
\psline{->}(-10,0)(10,0)
\rput[bl](-0.8,-0.8){$O$}
\rput[bl](10.2,-0.2){$I$}
\rput[bl](7.35,7.22){$M$}
\rput[bl](2,0.2){\qqwuqq{$\dfrac{\pi}4$}}
\rput[bl](0.13,10.19){$J$}
\rput[bl](6.8,-0.8){$H$}
\rput[bl](-0.9,7){$K$}
\rput[bl](3.5,-0.7){\darkgray{$a$}}
\rput[bl](-1.2,3.5){\darkgray{$a$}}
\rput[bl](3.4,4){\darkgray{$1$}}
\end{pspicture*}
\end{center} 
\end{multicols}
Dans le triangle $OHM$ rectangle en $H$, d'après le théorème de Pythagore, on a :
$$OM^2=OH^2 + MH^2 \iff 1^2 =2 a^2 + a^2 \iff a^2 = \dfrac{1}{2} \stackrel{a>0}{\iff} a = \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $$
Donc \fbox{$\cos \dfrac{\pi}{4} =\sin \dfrac{\pi}{4}= \dfrac{\sqrt{2}}{2} $}.\\

\begin{multicols}{2}
Pour calculer les valeurs du cosinus et du sinus de $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{6}$,
 on se place dans le triangle $OIM$ ci-contre, de côté $OM=1$. \\

On cherche $OH=\cos\dfrac{\pi}3$ et $OK=\sin\dfrac{\pi}3$.\\

On sait que le triangle $OIM$ est équilatéral car\\
 $OM=OI$ et que $(\overrightarrow{OH} ; \overrightarrow{OM})$ mesure $\dfrac{\pi}{3}$.
\begin{center}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-11,-1.2)(11,11)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](0,0)(10,0)(5,8.66)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](5,0.71)(4.29,0.71)(4.29,0)(5,0)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,7.95)(0.71,7.95)(0.71,8.66)(0,8.66)
\pscircle(0,0){4}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{-2.0943951023931957}{-1.5707963267948966}{2*cos(t)+5|2*sin(t)+8.66}\lineto(5,8.66)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(5,8.66)(2,2){-120}{-94.62}
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(10,0)
\psline[linecolor=zzttqq](10,0)(5,8.66)
\psline[linecolor=zzttqq](5,8.66)(0,0)
\psline{->}(0,0)(0,10)
\psline{->}(0,0)(10,0)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{1.0471975511965976}{1*cos(t)+0|1*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(1,1){0}{55.38}
\psline(5,8.66)(5,0)
\psline(0,8.66)(5,8.66)
\psline(0,0)(-10,0)
\psline(0,0)(0,-10)
\rput[bl](-0.8,-0.8){$O$}
\rput[bl](10.42,-0.2){$I$}
\rput[bl](-0.17,10.3){$J$}
\rput[bl](5.14,8.86){$M$}
\rput[bl](1.3,0.5){\qqwuqq{$\dfrac{\pi}3$}}
\rput[bl](4.77,-0.8){$H$}
\rput[bl](-0.9,8.62){$K$}
\rput[bl](2.,4.62){$1$}
\rput[bl](3.9,4.7){\qqwuqq{$\dfrac{\pi}6$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
Donc sa hauteur $[MH]$ est aussi sa médiane. D'où $H$ est le milieu de $[OI]$ et\quad  $OH=$\fbox{$\cos\dfrac{\pi}3=\dfrac12$}.\\ 
De plus, d'après le théorème de Pythagore dans le triangle $OHM$ rectangle en $H$ on a :
$$OM^2 = OH^2 + MH^2 \iff 1^2 = \left(\dfrac12\right)^2 + OK^2 \iff OK^2 = 1-\dfrac14 = \dfrac34 \stackrel{OK>0}{\iff} OK = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
Donc \fbox{$\sin\dfrac{\pi}3 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$}.\\

De plus la hauteur $[MH]$ du triangle $OIM$ est aussi sa bissectrice donc $(\overrightarrow{MO} ; \overrightarrow{MI})=\dfrac{\pi}6 \quad [2\pi]$.\\
On en déduit dans le triangle $OHM$ rectangle  en $H$ que \quad \fbox{ $\cos\dfrac{\pi}6 = \dfrac{MH}{OM} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ }\quad  et \quad 
\fbox{$\sin\dfrac{\pi}6 = \dfrac{OH}{OM} = \dfrac{1}{2}$ }
}

\newpage
Soit $M$ le point associé à un réel $x$. Dans le repère $(O ; \overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OJ})$ on a 
$M(\cos(x) ; \sin(x))$.  \\
Grâce à de nombreuses propriétés de symétrie sur le cercle $\mathscr C$, 
on peut déduire les coordonnées des points associés aux réels  $-x$, $\pi-x$, $\pi+x$, $\dfrac{\pi}{2}-x$ et $\dfrac{\pi}{2}+x$
(donc la valeur de leur cosinus et sinus).\\
Sur le schéma ci-dessous, ces points permettent de définir ce que l'on appelle des angles associés.
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-10,-5.5)(10,7)
\pscircle(0,0){5}
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(4.57,2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(-4.57,2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(-4.57,-2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(4.57,-2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(2.02,4.57)
%\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(-2.02,4.57)
\psplot[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red]{-4.5}{4.5}{(-0--0.71*x)/0.71}
\psline{->}(-5,0)(5,0)
\psline{->}(0,-5)(0,5)
\rput[lt](5.5,-1.8){\fcolorbox{black}{yellow}{\parbox{2.9 cm}{$\cos(-x)=\cos(x)\\ \sin(-x)=-\sin(x)$}}}
\rput[lt](-9.7,-1.8){\fcolorbox{black}{yellow}{\parbox{3.4 cm}{$\cos(\pi+x)=-\cos(x)\\ \sin(\pi+x)=-\sin(x)$}}}
\rput[lt](-9.7,2.7){\fcolorbox{black}{yellow}{\parbox{3.4 cm}{$\cos(\pi-x)=-\cos(x)\\ \sin(\pi-x)=\sin(x)$}}}
\rput[lt](3.5,6.5){\fcolorbox{black}{yellow}{\parbox{3.4 cm}{$\cos\left(\dfrac{\pi}2-x\right)=\sin(x)\\ \sin\left(\dfrac{\pi}2-x\right)=\cos(x)$}}}
%\rput[lt](-6.5,6.5){\fcolorbox{black}{yellow}{\parbox{3.4 cm}{$\cos\left(\dfrac{\pi}2+x\right)=-\sin(x)\\ \sin\left(\dfrac{\pi}2+x\right)=\cos(x)$}}}
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red](-4.57,2.02)(4.57,2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red](4.57,2.02)(4.57,-2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red](4.57,-2.02)(-4.57,-2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red](-4.57,-2.02)(-4.57,2.02)
\rput[bl](-0.3,-0.68){$O$}
\rput[bl](5.2,-0.56){$I$}
\rput[bl](4.84,2.14){$x$}
\rput[bl](0.16,5.1){$J$}
\rput[bl](4.84,-2.2){$-x$}
\rput[bl](-5.6,2.16){$\pi-x$}
\rput[bl](-5.6,-2.2){$\pi+x$}
\rput[bl](2.1,4.7){$\dfrac{\pi}{2}-x$}
%\rput[bl](-2.38,4.7){$\dfrac{\pi}{2}+x$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{multicols}{2}
\Expl{
Grâce aux angles associés, trouver les valeurs des cosinus et sinus des angles suivants :
$$\dfrac{3\pi}4 \qquad \qquad \dfrac{5\pi}4 \qquad \qquad -\dfrac{\pi}4 \qquad \qquad \dfrac{7\pi}4 $$
$$-\dfrac{\pi}3 \qquad \qquad \dfrac{2\pi}3 \qquad \qquad -\dfrac{2\pi}3 \qquad \qquad \dfrac{5\pi}3$$
$$\dfrac{5\pi}6 \qquad \qquad \dfrac{11\pi}6 \qquad \qquad -\dfrac{\pi}6 \qquad \qquad -\dfrac{5\pi}6 $$
}

\begin{center}
\psset{xunit=3.7cm , yunit=3.7cm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-1.2)(1.2,1.3)
\def\xmin{-2} \def\xmax{2} \def\ymin{-2} \def\ymax{2}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-2.2)(2.2,2.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pscircle(0.0000,0.0000){3.70000}
\uput{0.3000}[0.0000](1.0000,0.0000){0}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,1.0000){$\dfrac{\pi}{2}$}
\uput{0.3000}[180.0000](-1.0000,0.0000){$\pi$}
%\uput{0.3000}[-90.0000](0.0000,-1.0000){$-\frac{\pi}{2}$}
\psline(1.0000,0.0000)(-1.0000,0.0000)
\psline(0.0000,1.0000)(0.0000,-1.0000)
\uput{0.3000}[30.0000](0.8600,0.5000){$\dfrac{\pi}{6}$}
\psline(0.8600,0.5000)(-0.8600,-0.5000)
\uput{0.3000}[45.0000](0.7070,0.7070){$\dfrac{\pi}{4}$}
\psline(0.7070,0.7070)(-0.7070,-0.7070)
\uput{0.3000}[60.0000](0.5000,0.8600){$\dfrac{\pi}{3}$}
\psline(0.5000,0.8600)(-0.5000,-0.8600)
\psline(-0.7070,0.7070)(0.7070,-0.7070)
\psline(-0.8600,0.5000)(0.8600,-0.5000)
\psline(-0.5000,0.8600)(0.5000,-0.8600)
	
\endpsclip
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.09,0.86)(0.5,0.86)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.09,0.707)(0.707,0.707)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.09,0.5)(0.86,0.5)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](0.86,-0.09)(0.86,0.5)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](0.707,-0.09)(0.707,0.707)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](0.5,-0.09)(0.5,0.86)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.5,-0.86)(0.5,-0.86)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.707,-0.707)(0.707,-0.707)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.86,-0.5)(0.86,-0.5)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.86,0.5)(-0.86,-0.5)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.707,0.707)(-0.707,-0.707)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.5,0.86)(-0.5,-0.86)
\uput{0.3000}[-90.0000](0.5000,0.0000){$\frac{1}{2}$}
\uput{0.3000}[-90.0000](0.7070,0.0000){$\frac{\sqrt{2}}{2}$}
\uput{0.3000}[-90.0000](0.8600,0.0000){$\frac{\sqrt{3}}{2}$}
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](0.86,-0.22)(0.86,-0.5)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](0.707,-0.22)(0.707,-0.707)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](0.5,-0.22)(0.5,-0.86)
\uput{0.3000}[180.0000](0.000,0.5000){$\frac{1}{2}$}
\uput{0.3000}[180.0000](0.0,0.707){$\frac{\sqrt{2}}{2}$}
\uput{0.3000}[180.0000](0.0,0.8600){$\frac{\sqrt{3}}{2}$}
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.15,0.86)(-0.5,0.86)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.19,0.707)(-0.707,0.707)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.19,0.5)(-0.86,0.5)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

\Expls{
$$\cos (-\pi-\theta)=\cos\big(-(\pi+\theta)\big)=\cos(\pi+\theta)=-\cos \theta$$
 $$\sin\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin\left(-\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=-\cos x$$
$$\cos^2(-x)+\sin^2(\pi-x)=\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$$
}


\Exos{
n$^{\circ}$ 73-81-82-83 p 291
}

\subsection{Equations trigonométriques}

\Act{\\
\textbf{Partie A : Equation $\cos x = a$}
\begin{enumerate}
 \item Soit l'équation $\cos x = \dfrac12$ à résoudre dans $\R$.
\begin{enumerate}
 \item Placer sur le cercle trigonométrique les points $M$ et $M'$ d'abscisse $\dfrac12$
\item Déterminer les mesures principales des angles $(\overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OM})$ et $(\overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OM'})$.\\
En déduire l'ensemble des solutions dans $]-\pi ; \pi]$ de l'équation $\cos x = \dfrac12$.
\item Résoudre dans $\R$ cette équation.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item Par une méthode analogue, résoudre dans $\R$ l'équation $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}2$.
 \item En déduire les solutions dans $[0; 2 \pi[$ de cette équation.
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item Examiner le cas des équations $\cos x = 1.5$ et $\cos x = -3$.
 \item Donner une condition sur $a$ pour que l'équation $\cos x = a$ puisse admettre des solutions.
      \end{enumerate}
\item Soit l'équation $\cos x =0.25$.
\begin{enumerate}
       \item Sur le cercle trigonométrique, placer les images des solutions de l'équation.
\item On note $\theta$ la solution de cette équation dans $[0; \pi[$.\\
Exprimer en fonction de $\theta$ les solutions de l'équation $\cos x = 0.25$ sur $\R$.
\item Résoudre cette équation dans $[0;2\pi[$.\\
Donner, à l'aide de la calculatrice des valeurs approchées de ces solutions à $10^{-4}$ près.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie B : Equation $\sin x = a$}
\begin{enumerate}
 \item En suivant la même méthode que dans la partie A, résoudre l'équation $\sin x = \dfrac12$ dans $]-\pi ; \pi]$ puis dans $\R$.
 \item Même question pour $\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}2$. Donner ensuite les solutions de cette équation dans $[0;2\pi[$.
 \item Soit l'équation $\sin x = 0.3$. On note $\alpha$ la solution de cette équation dans $\left]-\dfrac{\pi}2 ; \dfrac{\pi}2 \right]$.\\
Exprimer en fonction de $\alpha$ les solutions sur $\R$ de l'équation $\sin x = 0.3$.
\end{enumerate}
}

Le cercle trigonométrique et la configuration des angles associés nous permettent de résoudre des équations 
du type $\cos x = \cos a$ et $\sin x = \sin a$ où $a$ est un réel connu.

\Ptec{
L'équation $\cos x = \cos a$ où $a\in\R$ admet pour solutions les nombres réels $x=a+2k\pi$ et $x=-a+2k'\pi$ où $k$ et $k'$ sont des entiers relatifs.\\
L'équation $\sin x = \sin a$ où $a\in\R$ admet pour solutions les nombres réels $x=a+2k\pi$ et $x=\pi-a+2k'\pi$ où $k$ et $k'$ sont des entiers relatifs.
}

\Expl{
Résoudre dans $]-\pi; \pi]$, puis dans $\R$ et enfin dans $[0;2\pi[$ les équations suivantes :
$$\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \qquad \qquad \sin x = -\dfrac{1}{2} \qquad \qquad \cos (x) = \sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)  
 \qquad \qquad \cos (2x) = \dfrac{1}{2}   \qquad \qquad \sin \left(x-\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} 
$$
}

\Exos{
n$^{\circ}$ 113 (classiques)  + 121-123 (changement de variable) + 132 (inéquations) p 294
}

\end{document}
