\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 4}
\newcommand{\Ch}{Vecteurs et droites}
\newcommand{\Cl}{1SSI}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2cm}

\setcounter{NumLecon}{4}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\debutCha{Riuk.eps}{Death Note}{Oba et Obata}  					% Image + titre + Auteur
{Si les gens ne croient pas que les mathématiques sont simples, c’est seulement parce qu’ils ne réalisent pas combien la vie est compliquée !}{John Louis von Neumann}		% Citation + Auteur
{\textit{Death Note} est un manga de type shônen, créé par le scénariste Tsugumi Oba et le dessinateur Takeshi Obata. 
Il a été prépublié dans un journal de 2003 à 2006, et par la suite publiée en douze tankôbon de 2004 à 2006.\\
L’histoire est centrée sur \textit{Raito Yagami}, un lycéen surdoué qui juge le monde actuel criminel et corrompu.
Sa vie change du tout au tout le jour où il ramasse par hasard un mystérieux cahier intitulé « Death Note ».
Ancienne propriété d’un dieu de la mort, le Death Note permet à son utilisateur de tuer toute personne dont il connaît le nom et
le visage. Raito décide d’utiliser le Death Note pour exterminer les criminels, dans le but d’éradiquer le Mal et de bâtir un monde parfait 
dont il sera le dieu.\\
Mais les nombreuses morts inexpliquées de criminels à travers le monde attirent l’attention d’Interpol et 
du mystérieux \textit{L}, un détective capable de résoudre n’importe quelle énigme, mais dont personne ne connaît ni 
le visage ni le nom. L décide d’enquêter pour capturer le tueur en série, surnommé par le grand public \og Kira \fg.
Entre Raito et L, tous deux persuadés d’agir pour la justice, s’engage un combat acharné pour découvrir 
en premier l’identité de l’autre...
} 						% Présentation auteur
{0.9}		% Ratio portrait
{0.8}		% Ratio Image

\TITRE{L.eps}{0.7} 						% Image 1ere page + ratio
%\begin{abstract}
 

\begin{Intro}{Au fil du temps}{
On désigne un vecteur par une flèche, plus ou moins longue, qui point dans une direction. Elle n'est ancrée à rien, même
si elle peut se fixer sur un point précis d'un objet physique ...\\
Telle est l'essence étrange des vecteurs, à mi-chemin entre une droite bien concrète et une représentation abstraite. 
Représentation de quoi ? 
D'un mouvement ou d'une force physique, comme la gravité qui nous rive au sol ...\\
Le mot vecteur vient du latin ``vector'', d\'eriv\'e du verbe ``vehere'', qui signifie transporter. 
Un vector pourrait donc désigner un v\'ehicule, par exemple un chariot, son point de d\'epart n'ayant pas d'importance sur 
sa nature.\\
De fait, c'est le caractère abstrait des vecteurs qui explique qu'ils aient mis des siècles pour passer de la notion
intuitive à un concept mathématique et physique formel, au XIX$^e$ siècle.\\
En particulier, c'est la nature peu maniable de la droite géométrique, telle que l'avait définie le grec Euclide au III$^e$ avant JC,
qui a progressivement conduit à la formalisation des vecteurs. En effet, Euclide décrit dans son ouvrage  L\textit{es Elements} 
 la droite comme \og une longueur sans largeur \fg, dont \og les limites sont des points \fg et \og qui est placée de manière égale
par rapport aux points qui sont sur elle \fg .
Si ces définitions conduisent à l'idée de distance entre points, cela laisse peut de place aux opérations mathématiques... 
Quelles manipulations sont permises ??\\
Mais l'oeuvre d'Euclide traverse les siècles et progressivement les manipulations de figures sont associées à des équations algébriques
qui libèrent la droite de ses contraintes géométriques, notamment au XI$^e$ sicèle, grâce au le poète, philosophe et mathématicien
perse Omar Khayyâm. La symbiose entre la géométrie et l'algèbre se fera au XVII$^e$ siècle, grâce à René Descartes et son 
invention des coordonnées (dites cartésiennes).\\
Pourtant c'est la physique, entre $1604$ et $1687$, qui rendra les vecteurs indispensables, car ils incarneront les notions
de vitesse, d'accélération et de force s'exerçant sur un solide. C'est Galilée qui lance ce processus, par la découverte des 
premières lois du mouvement d'un solide. \\
Chez Galilée, les notions de vitesse et d'accélération restent informelles, tout comme celle de force qui attire les corps 
vers le sol, mais elles conduiront l'anglais Isaac Newton, en 1687, à leur donner un sens clair via le concept de vecteur.\\
Newton instaure également les règles d'addition entre forces, entre accélérations, entre vitesses ... qui sont celles des vecteurs tels qu'on 
les connait aujourd'hui.\\
Pour finir, disons que les savants du XIX$^e$ incluront les vecteurs dans un cadre plus large, celui des tenseurs, dont Einstein
fera grand usage dans sa théorie de la relativité, qui généralise la théorie de Newton.
 }
\end{Intro}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 0. Position du pb
\newpage

\section{Vecteurs}
\subsection{Rappels}
\Act{Dans Géogébra, on a créé la figure suivante (montrée au vidéo-projecteur, la figure est distribuée aux élèves).
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-14,-7)(13,7)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-14,-7)(13,7)
\psset{algebraic=true,dotstyle=x,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-14,-7)(13,7)
\psline{->}(2,2)(10,6)
\psline{->}(8,-6)(12,-4)
\psline{->}(1,0)(-3,-2)
\psline{->}(-4,2)(-13,-2.5)
\psline{->}(-6,4)(-2,6)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2,2)
\rput[bl](1.6,2.2){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](10,6)
\rput[bl](10.07,6.11){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](8,-6)
\rput[bl](7.78,-5.7){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](12,-4)
\rput[bl](12.07,-3.8){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,0)
\rput[bl](1.09,0.12){\blue{$E$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-3,-2)
\rput[bl](-3.19,-1.8){\blue{$F$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-4,2)
\rput[bl](-3.92,2.12){\blue{$G$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-13,-2.5)
\rput[bl](-12.85,-3){\blue{$H$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-6,4)
\rput[bl](-5.85,3.5){\blue{$I$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-2,6)
\rput[bl](-1.85,5.5){\blue{$J$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Caractérisation de vecteurs}
\begin{enumerate}
        \item Que possèdent en commun les vecteurs créés ?
 \item Que possèdent en plus les vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{GH}$ ?\\
  Et les vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{CD}$ ?\\
  Que dire des vecteurs $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{IJ}$ ?\\
 Quel quadrilatère est alors un parallélogramme ?
\item Quel mot traduit le fait que des vecteurs aient la même direction ?\\
\textit{Regarder dans Géogébra la relation entre deux vecteurs de la figure de même direction.}
\item Ecrire les égalités vectorielles qui existent entre $\overrightarrow{AB}$ et chacun des autres vecteurs.
       \end{enumerate}
\item \textbf{Coordonnées de vecteurs}
\begin{enumerate}
 \item Que représente les coordonnées de chacun des vecteurs créés que Géogébra inscrit dans sa colonne de gauche ?
 \item Comment peut-on les retrouver pour chaque vecteur à partir des coordonnées de ses points extrêmes ?
\item Ecrire sous la forme de système les égalités vectorielles de la question 1.d.
\item Que cela signifie-t-il sur les coordonnées des vecteurs ?
\end{enumerate}
\item \textbf{Application}\\
Les vecteurs suivants sont-ils colinéaires ? Si oui, préciser le coefficient de colinéarité :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
  \item $ \vec u \left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array}\right) \quad \text{ et } \quad \vec v \left(\begin{array}{c} 3\\12 \end{array}\right) $
 \item $ \vec w \left(\begin{array}{c} 5\\3 \end{array}\right) \quad \text{ et } \quad \vec z \left(\begin{array}{c} -6 \\-4 \end{array}\right) $
 \item $ \overrightarrow{Lolo} \left(\begin{array}{c} -12 \\ 4 \end{array}\right) \quad \text{ et } \quad \overrightarrow{N\'{e}n\'{e}} \left(\begin{array}{c} 135\\-45 \end{array}\right) $
 \item $ \overrightarrow{Fabrice} \left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \end{array}\right) \quad \text{ et } \quad \overrightarrow{Cl\'{e}ment} \left(\begin{array}{c} -2 \\ \dfrac43 \end{array}\right) $
\end{multicols}
\end{enumerate}
\item \textbf{Condition nécessaire et suffisante}\\
On veut s'affranchir de la recherche du coefficient de colinéarité $k$ et trouver un test numérique simple pour 
prouver la colinéarité de deux vecteurs.\\
Soient $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs non nuls, dont on connait les coordonnées respectives 
$\left(\begin{array}{c} x \\y \end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{c} x'\\ y' \end{array}\right)$.
\begin{enumerate}
 \item \underline{Condition nécessaire} : on suppose que $\vec u $ et $\vec v$ sont colinéaires.\\
Traduire ce que cela signifie à l'aide des coordonnées de ces vecteurs.\\
Montrer qu'en combinant les égalités obtenues, on obtient :\\
Si $\vec u $ et $\vec v $  sont colinéaires, alors $xy'-yx'=0$.
\item \underline{Condition suffisante} : on suppose que l'on a l'égalité $xy'-yx'=0$.\\
Comme $\vec u$ est non nul, l'une de ses coordonnées est non nulle, par exemple son abscisse $x$. 
Posons alors $k=\dfrac{x'}{x}$ (si $x$ est nul, on prendra alors $k=\dfrac{x}{x'}$ et la méthode restera la même).\\
Exprimer alors $y'$ en fonction de $y$.\\
Que peut-on alors dire sur les coordonnées des deux vecteurs ? Conclure.
\item \textit{Cas particulier} : Que peut-on dire du vecteur $\vec 0$ ? Vérifier que la condition fonctionne aussi avec ce vecteur.
\end{enumerate}
\item \textbf{Application}\\
Dire si les vecteurs suivants sont colinéaires, en utilisant la condition nécessaire et suffisante démontrée ci-dessus.
\begin{enumerate}
 \begin{multicols}{2}
 \item $ \overrightarrow{Wanda} \left(\begin{array}{c} 4\\-9 \end{array}\right) \quad \text{ et } \quad \overrightarrow{Nouki} \left(\begin{array}{c} 3.5 \\ -7.8 \end{array}\right) $
 \item $ \overrightarrow{Ana} \left(\begin{array}{c}6.4 \\3.1 \end{array}\right) \quad \text{ et } \quad \overrightarrow{Gui} \left(\begin{array}{c} 22.4 \\ 10.85 \end{array}\right) $
 \item $ \overrightarrow{Dounia} \left(\begin{array}{c}\dfrac12 \\ -6 \end{array}\right)\quad \text{ et } \quad \overrightarrow{Nejema} \left(\begin{array}{c} -\dfrac53 \\ 20 \end{array}\right) $ 
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Defc[Translation de vecteur]{
Le \textbf{vecteur} $\overrightarrow{AB}$ symbolise le déplacement rectiligne de $A$ vers $B$. On l'associe à la
translation qui transforme $A$ en $B$, noté $t_{\overrightarrow{AB}}$. 
}


\Cadre[Caract\'erisation d'un vecteur]{Un vecteur non nul du plan est caract\'eris\'e par :
\begin{center}
  Sa direction \qquad\qquad\qquad Son sens \qquad\qquad\qquad Sa longueur
\end{center}
}

\Rqs{
\item Un vecteur est ind\'ependant de son point de son origine (point de départ)
\item Si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ son \'egaux, on peut leur donner un m\^eme nom, 
par exemple $\vec u$. \\
On dit que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont des repr\'esentants du 
vecteur $\vec u$.
\item Il existe un vecteur qui n'a ni direction, ni sens, et de la longueur 0. On l'appelle le \textit{vecteur nul} 
et on le note $\vec 0$.
\item Deux vecteurs sont dits oppos\'es lorsqu'ils ont la m\^eme direction, la m\^eme norme, mais des sens oppos\'es.\\
On note $-\vec u $ l'oppos\'e du vecteur $\vec u$. Ainsi l'oppos\'e de $\overrightarrow{AB}$ est $-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}$
\item La longueur d'un vecteur $\vec u$ est aussi appel\'ee norme. C'est un donc nombre positif ou nul. On le note $||\vec u||$. \\
En particulier : $||\overrightarrow{AB}||=AB$
}

\Ptec{
Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points avec $A$ et $B$ distincts. \newline
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont \'egaux si et seulement si $ABDC$ est un parallélogramme.
}



\Defc{Soit $\vec u $ un vecteur du plan muni d'un repère  $(O; \vec i; \vec j)$.
On appelle coordonnées du vecteur $\vec u$ les coordonnées du point $M$ tel que $\vec u = \overrightarrow{OM}$.
Si $M(x;y)$, on note $\vec u(x;y)$ ou encore $\vec u\left(\begin{array}{c}
                                  x \\ y
                                 \end{array}\right)$
}

\Rqs{
\item Le couple $\vec u\left(\begin{array}{c}
                                  x \\ y
                                 \end{array}\right)$
correspond également au déplacement effectué sur le quadrillage.
\item Celles-ci sont donc indépendantes de l'origine du repère.
\item A partir de maintenant, on se place dans un repère $(O; \vec i ; \vec j )$ du plan.
\item On en déduit facilement que deux vecteurs sont égaux ssi ils ont les mêmes coordonnées dans un repère.
$$\vec u\left(\begin{array}{c}
                                  x \\ y
                                 \end{array}\right) = \vec v\left(\begin{array}{c}
                                  x' \\ y'
                                 \end{array}\right) \Longleftrightarrow   x=x \textrm{  et } y=y' $$
}

\Ptec{
Soit $\vec u\left(\begin{array}{c}
                                  x \\ y
                                 \end{array}\right)$ un vecteur dans un rep\`ere \textbf{orthonormal} $(O;\vec i; \vec j )$. 
Grâce au théorème de Pythagore, on montre que :
$$||\vec u||=\sqrt{x^2+y^2}$$
}

\Ptec{
Si $A$ et $B$ sont deux points de coordonn\'ees respectives $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ alors les coordonn\'ees du vecteur
 $\overrightarrow{AB}$ sont 
$$\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}
                                  x_B-x_A \\ y_B-y_A
                                 \end{array}\right)$$
On a donc aussi : $$AB=||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$$
}



\Defc[Somme de vecteurs]{
La \textbf{somme de deux vecteurs} $\vec u$ et $\vec v$ est le vecteur associé à la translation résultant
 de l'enchaînement des translations de vecteurs $\vec u$ et de vecteur $\vec v$. On le note $\vec u + \vec v$.
}

\Rq{
On retiendra l'idée que l'on met \og bout à bout \fg les vecteurs puis que les \og détours \fg ne comptent pas, 
puisque le vecteur somme est le chemin \textit{rectiligne} entre le point de départ du chemin fomé et son point d'arrivée.
}

On en déduit immédiatement le résultat suivant.\\

\Ptec[Relation de Chasles]{
Pour tous points $A$, $B$ et $C$, on a : 
$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$$
}

\Defc[Produit d'un vecteur par nombre réel]{
Soit $k\in\R^*$.
Le produit d'un vecteur $\vec u$ par $k$ est le vecteur not\'e $k\vec u$. Il est défini comme le vecteur ayant :
\begin{itemize}
 \item la même direction que $\vec u$
 \item le même sens que $\vec u$ si $k>0$, le sens contraire si $k<0$.
 \item une norme égale à $k$ fois celle de $\vec u$. 
\end{itemize}
}

\Rq{
Soient deux vecteurs $\vec u( x ; y)$ et $\vec v( x' ; y')$ et $k$ un nombre réel. On a  :
\begin{center}
$\vec u + \vec v$ a pour coordonn\'ees $\left(\begin{array}{c} x+x' \\ y+y' \end{array} \right)$\qquad et \qquad 
 $k\vec u$ a pour coordonn\'ees $\left(\begin{array}{c}  kx \\ ky \end{array} \right)$
\end{center}
}


\subsection{Colinéarité de deux vecteurs}

\Defc{
Deux vecteurs non nuls $\vec u$ et $\vec v$ sont dits colinéaires lorsqu'ils ont la même direction.
}

\Thc{
Soient deux vecteurs $\vec u  \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ 
et $\vec v  \left(\begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right)$. \\
On a les équivalences suivantes : $\vec u $ et $\vec v$ sont colinéaires
\begin{itemize}
 \item[$\iff$] il existe un r\'eel $k$ tel que $\vec u =k \vec v$.
 \item[$\iff$] leurs coordonnées sont proportionnelles ($x=kx'$ et $y=ky'$ avec $k\in\R$).
 \item[$\iff$] $xy'-x'y = 0$
\end{itemize}
}

\Dem{Voir activité.
}

\Expls{
\begin{enumerate}
 \item On considère les vecteurs $\vec u_1\left(\begin{array}{c}
                                                 -2 \\ 7
                                                \end{array}\right)$, $\vec u_2\left(\begin{array}{c}
                                                 5.2 \\ -18.2
                                                \end{array}\right)$ et $\vec u_3\left(\begin{array}{c}
                                                 -6.4 \\ 22.5
                                                \end{array}\right)$. Lesquels sont colinéaires ?
\item Calculer le réel $\alpha$ pour que les vecteurs  $\vec u\left(\begin{array}{c}
                                                 \alpha \\ -4
                                                \end{array}\right)$ et $\vec v\left(\begin{array}{c}
                                                 -5 \\ 14
                                                \end{array}\right)$ soient colinéaires.
\end{enumerate}
}

\Exos[Repère]{
n$^{\circ}$ 21-23-24 p 328 \\
Algo : n$^{\circ}$ 39-40-41 p 329
}

\Exop{Déterminer le(s) valeur(s) de $k$ telle(s) que les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ soient colinéaires :
\begin{enumerate}
 \item $\vec u  \left(\begin{array}{c} k \\ 1 \end{array} \right) \qquad 
\vec v  \left(\begin{array}{c} 5 \\ k+1 \end{array} \right)$
 \item $\vec u  \left(\begin{array}{c} -k+1 \\ -2 \end{array} \right) \qquad 
\vec v  \left(\begin{array}{c} k^2+17 \\ 5k-4 \end{array} \right)$
\end{enumerate}
}

\Exop{
\begin{enumerate}
 \item Trouver un réel $x$ tel que les vecteurs 
$\vec u  \left(\begin{array}{c} \cos^2(x) \\ -3\sin(x)+6 \end{array} \right) \qquad 
\vec v  \left(\begin{array}{c} \sin(x) \\ 3 \end{array} \right)$ soient colinéaires
\item L'opposé de la valeur trouvée précédemment est-elle aussi une solution ?
\item Etes-vous capable de donner d'autres solutions ? toutes les solutions ?
\end{enumerate}
}

\Exop{ Vrai ou Faux :
\begin{enumerate}
 \item Les vecteurs  $\vec u  \left(\begin{array}{c} 3^{22} \\ \dfrac1{3^{25}} \end{array} \right)$
et $\vec v  \left(\begin{array}{c} 3^{71} \\ 9^{12} \end{array} \right)$ sont colinéaires.
 \item Si $\vec u = k \vec v$ alors il existe $k'$ tel que $\vec v = k' \vec u$.
 \item $\vec 0 = k \vec 0$
 \item $\vec 0 = 0 \vec u$
\item Le vecteur $\vec u  \left(\begin{array}{c} k \\ -k \end{array} \right)$  avec $k\in\R^*$ est colinéaire au(x) vecteur(s)
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
 \item $\vec u  \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$ 
\item $\vec v  \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right)$ 
\item $\vec w  \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ 
\item $\vec z  \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)$ 
\end{multicols}
\end{enumerate}
\item Si deux vecteurs $\vec u  \left(\begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)$ et 
$\vec v  \left(\begin{array}{c} a' \\ b' \end{array} \right)$ sont colinéaires alors :
 \begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
  \item $a'b-ab'=0$ \item $ab'-a'b=0$ \item $ab'=a'b$
 \item $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a'}{b'}$ \item $\dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}$
\end{multicols} 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\subsection{Applications directes}

\Ptec{Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan  deux à deux distincts.\\
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles ssi  les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
}

\Corc{Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan deux à deux distincts.\\
Les points $A$, $B$ et $C$  sont alignés ssi  les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
}

\Cadre[M\'ethode]{Pour d\'emontrer que trois points sont align\'es, il suffit de d\'emontrer que deux des vecteurs form\'es par les trois points sont colin\'eaires.
}

\Expl{
On donne $A(-4;-1)$, $B(-1;1)$, $C(3;3)$, $D(-1;-3)$ et $E(5;1)$.
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DE}$ sont colinéaires.
\item En déduire la nature du quadrilatère $ABED$
\item Les points $A$, $B$, $C$ sont-ils alignés ?
\end{enumerate}

}

\Expl{
Soit ABC un triangle et M tel que $\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ et N tel que 
$\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$. Montrer que $A$, $M$ et $N$ sont align\'es.
}

\Exos{Avec les coordonnées : n$^{\circ}$ 25 - 27 à 29 - 31 à 38 p 328\\ 
Sans coordonnées  : n$^{\circ}$ 72 à 74 - 81 - 86 à 91 - 95 - 96 p 333\\
Algo : n$^{\circ}$ 79 - 97 p 333\\
DM : n$^{\circ}$ 83 (théorème du trapèze) ?? ou Barycentre 108-110 p 338 + Centre de gravité 107 p 337 + Droite d'Euler 109 p 338 }

\Exop{
\begin{enumerate}
 \item Tracer un quadrilatère quelconque $ABCD$.\\
Placer les milieux respectifs $I$, $J$, $K$ et $L$ des côtés $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[AD]$.
\item Prouver que le quadrilatère $IJKL$ est un parallélogramme.
\end{enumerate}
}


%\Exop{
%Soient $A$ et $B$ deux points distinct du plan. On définit le point $C$ tel que $4\overrightarrow{CA}-5\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$.
%\begin{enumerate}
% \item Exprimer le vecteur $\overrightarrow{AC}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
% \item Justifier que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
% \item Faire une figure.
%\end{enumerate}
%}

%\Exop{
%$ABC$ est un triangle. Soient $D$ et $E$ les points tels que $\overrightarrow{AD}=2 \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$
%et $\overrightarrow{BE}=\dfrac13\overrightarrow{BC}$.
%\begin{enumerate}
% \item Démontrer que $\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AE}$.
% \item En déduire que $D$ appartient à la droite $(AE)$.
%\end{enumerate}
%}

\subsection{Décomposition de vecteur}

\Act{
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Lecture.}\\
Dès lors que l'on choisit deux vecteurs non colinéaires du plan, on crée un moyen de repérer tous les autres vecteurs
de ce plan : on a choisi une base.\\
On considère les deux figure suivantes :
\begin{multicols}{2}
 \begin{center}
  Figure 1 \\
\newrgbcolor{zzzzzz}{0.6 0.6 0.6}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.65cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(1,0.5)(13.5,7)
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-0--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--8--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-0--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-8--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-16--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-24--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-32--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-40--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-48--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-56--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-64--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-72--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--1-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--2-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--3-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--4-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--5-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--6-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--7-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--8-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--9-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--10-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--11-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--12-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-80--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-88--8*x)/4}
\psline[linecolor=red,linewidth=1.8pt]{->}(2,2)(4,2)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.8pt]{->}(1.5,3)(2,4)
\psline[linecolor=blue]{->}(5,6)(9,6)
\psline[linecolor=blue]{->}(8.5,3)(6.5,5)
\psline[linecolor=blue]{->}(9.5,3)(8.5,1)
\psline[linecolor=blue]{->}(3,6)(3,4)
\psline[linecolor=blue]{->}(10.5,5)(13,6)
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-96--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-104--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--8--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--16--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--24--8*x)/4}
\rput[bl](2.6,2.22){$\vec u$}
\rput[bl](1.,3.3){$\vec v$}
\rput[bl](6.74,6.16){$\vec w_1$}
\rput[bl](7.54,4.26){$\vec w_4$}
\rput[bl](9.1,1.52){$\vec w_2$}
\rput[bl](3.12,5.24){$\vec w_5$}
\rput[bl](11,5.58){$\vec w_3$}
\end{pspicture*}\\
Figure 2 :\\
\newrgbcolor{zzzzzz}{0.6 0.6 0.6}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(3,-4)(10,4)
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-0--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--8--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-0--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-8--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-16--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-24--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-32--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-40--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-48--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-56--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-64--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-72--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--1-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--2-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--3-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--4-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--5-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--6-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--7-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--8-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--9-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--10-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--11-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--12-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-80--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-88--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-96--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-104--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--8--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--16--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--24--8*x)/4}
\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{->}(4,0)(3.73,0.54)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{->}(7.5,-3)(8.5,-1)
\psline[linecolor=blue]{->}(5,2)(5.5,1)
\psline[linecolor=blue]{->}(6.5,3)(4.02,3)
\psline[linecolor=blue]{->}(5.5,-1)(7,0)
\rput[bl](4.22,0){$\vec v$}
\rput[bl](7.62,-2){$\vec u$}
\rput[bl](5.34,1.7){$\vec w_7$}
\rput[bl](4.94,3.22){$\vec w_9$}
\rput[bl](5.94,-1.4){$\vec w_8$}
\end{pspicture*}
 \end{center}
\end{multicols}
Ecrire chaque vecteur $\vec w_i$ sous la forme d'une somme vectorielle du type : $\vec w_i =  \spadesuit \vec u +\clubsuit \vec v$
(où le coeur et le trèfle désignent des réels à déterminer). 
\item \textbf{Utilisation de la décomposition.}
\begin{enumerate}
 \item Construire un parallélogramme $ABCD$.\\
Placer les points $I$ et $J$ tels que $\overrightarrow{BI}=\dfrac12 \overrightarrow{AB}$ et 
$\overrightarrow{AJ}=2\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{CD}$.
\item On désire prouver l'alignement des points $I$, $J$ et $C$ à l'aide de relations vectorielles.
\begin{enumerate}
 \item Exprimer $\overrightarrow{AC}$ dans la base $\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AD}\right)$ et montrer
que $\overrightarrow{AI}=\dfrac32\overrightarrow{AB}$ et que $\overrightarrow{AJ}=3\overrightarrow{AD}$.
\item En déduire l'expression des vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IC}$ dans la base 
$\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AD}\right)$.
\item En comparant les deux composition obtenues, prouver que les vecteurs  $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IC}$ 
sont colinéaires. Conclure.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Defc{On appelle base du plan tout couple de deux vecteurs non colinéaires. }

\Expl{
Voir l'activité.
}

\Ptec{
Lorsqu'une base $(\vec u ; \vec v)$ est définie, tout vecteur $\vec w$ du plan s'exprime de manière unique comme la 
somme de deux multiples de $\vec u $ et $\vec v$ (on dit que l'on a obtenu une combinaison linéaire des vecteurs
$\vec u $ et $ \vec v $) :
$$ \vec w = x \vec u + y \vec v $$
où $x$ et $y$ sont des réels à déterminer.
}

\Dem{
A faire ... Symbole p 186
}
\begin{multicols}{2}
\Expl{
\begin{center}
\psset{xunit=0.65cm , yunit=0.65cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-4)(6.2,3.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{6} \def\ymin{-5} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-4)(6.2,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(1.0000,1.0000)(4.5000,0.0000)
\uput{0.3000}[30.0000](1.0000,1.0000){$\vec w$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue]{->}(1.0000,1.0000)(3.0000,-3.0000)
\uput{0.8000}[-80.0000](1,0.5){$2\vec u$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green]{->}(3.0000,-3.0000)(4.5000,0.0000)
\uput{0.5000}[20.0000](3.6,-1.700){$1.5\vec v$}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue]{->}(0.0000,0.0000)(1.0000,-2.0000)
\uput{0.5000}[-75.0000](-0.2000,0.0000){$\vec u$}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=green]{->}(0.0000,0.0000)(1.0000,2.0000)
\uput{0.5000}[90.0000](0.,0.0000){$\vec v$}
\uput{0.3000}[180.0000](0.0000,0.0000){O}
\psline(2.0000,-4.0000)(-2.0000,4.0000)
\psline(-1.0000,-2.0000)(3.0000,6.0000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
}
\Rqs{
\item $x$ et $y$ sont en fait les coordonnées de $\vec w$ dans un repère d'origine quelconque et de vecteurs directeurs $\vec u$
et $\vec v$ (on a déjà dit que les coordonnées d'un vecteur ne dépendaient pas de l'origine du repère).\\
\item On représente souvent les vecteurs avec une même origine pour plus de lisibilité.
}
\end{multicols}

\Cadre[Relations utiles à connaître]{
Dans un parallélogramme $ABCD$ on a :
$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}  \qquad \qquad \qquad 
 \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}$$
}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(2,-1)(10,5)
\psline[linecolor=zzttqq](3,2)(8,2)
\psline[linecolor=zzttqq](8,2)(9,4)
\psline[linecolor=zzttqq](9,4)(4,4)
\psline[linecolor=zzttqq](4,4)(3,2)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{->}(3,2)(8,2)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{->}(3,2)(4,4)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red]{->}(3,2)(9,4)
%\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red]{->}(3,2)(8,0)
%\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red]{->}(4,4)(8,2)
\rput[bl](3.08,1.5){\blue{$A$}}
\rput[bl](8.08,1.5){\blue{$B$}}
\rput[bl](9.08,4.12){\blue{$C$}}
\rput[bl](4.08,4.12){\blue{$D$}}
\rput[bl](5.5,1.5){\blue{$\vec u$}}
\rput[bl](3.2,3.04){\blue{$\vec v$}}
\rput[bl](5.5,3.08){\rotatebox{20}{\red{$\vec u+\vec v$}}}
\end{pspicture*}\\
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(2,-1)(10,5)
\psline[linecolor=zzttqq](3,2)(8,2)
\psline[linecolor=zzttqq](8,2)(9,4)
\psline[linecolor=zzttqq](9,4)(4,4)
\psline[linecolor=zzttqq](4,4)(3,2)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{->}(3,2)(8,2)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{->}(3,2)(4,4)
%\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red]{->}(3,2)(9,4)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red]{->}(3,2)(7,0)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red]{->}(4,4)(8,2)
\rput[bl](3.08,1.5){\blue{$A$}}
\rput[bl](8.08,1.5){\blue{$B$}}
\rput[bl](9.08,4.12){\blue{$C$}}
\rput[bl](4.08,4.12){\blue{$D$}}
\rput[bl](5.5,1.5){\blue{$\vec u$}}
\rput[bl](3.2,3.04){\blue{$\vec v$}}
\rput[bl](5.1,0.8){\rotatebox{-20}{\red{$\vec u - \vec v$}}}
\rput[bl](5.52,3.08){\rotatebox{-20}{\red{$\vec u - \vec v$}}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

\Exop{Soit $EFG$ un triangle. Le point $I$ est tel que $\overrightarrow{GI}=\dfrac13 \overrightarrow{GF}$ et $H$ est 
l'image de $E$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{FE}$. Le point $O$ est le milieu de $[EG]$.
\begin{enumerate}
 \item Faire une figure.
 \item Expliquer pourquoi $\left(F ; \overrightarrow{FG} ; \overrightarrow{FE}\right)$ est un repère du plan.
\item En se plaçant dans ce repère, démontrer que 
les points $I$, $O$ et $H$ sont alignés.
\end{enumerate}
}


\Exop{
Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$ tel que $AB=6$ cm.
\begin{enumerate}
 \item Placer les points $E$ et $F$ tels que $\overrightarrow{CE}=-\dfrac13\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{FB}=\dfrac12\overrightarrow{AC}$
 \item Donner les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AO}$, $\overrightarrow{DF}$
et $\overrightarrow{OE}$ dans les repères suivants :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
 \item $\left(D; \overrightarrow{DC} ; \overrightarrow {DA}\right)$
 \item $\left(A; \overrightarrow{DC} ; \overrightarrow {DA}\right)$
\item $\left(C; \overrightarrow{CA} ; \overrightarrow {CB}\right)$
\item $\left(C; \overrightarrow{CB} ; \overrightarrow {CA}\right)$
\item $\left(O; \overrightarrow{OB} ; \overrightarrow {OA}\right)$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exop{
Soit $ABCD$ un carré de côté $a$ ($a>0$). On considère les deux triangles équilatéraux $DCE$ et $DAF$ extérieurs au carré $ABCD$.\\
Démontrer que les droites $(AC)$ et $(EF)$ sont parallèles, en vous plaçant dans le repère orthormé 
$\left(A ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AD}\right)$.
}

\Exop{$ABCD$ est un tétraèdre.
Dans le plan $(ABC)$ on définit le point $K$ par $\overrightarrow{AK}=\dfrac23 \overrightarrow{AB} + \dfrac13 \overrightarrow{AC}$.
\begin{enumerate}
 \item Faire un figure dans l'espace, puis une figure dans le plan $(ABC)$.
 \item En choisissant un repère du plan $(ABC)$, démontrer que $K$ appartient à $[BC]$.
\end{enumerate}
}

\Exop{
$ABC$ est un triangle. $I$ est le milieu de $[BC]$ et $M$ est un point de la parallèle à $(AB)$ passant par $I$.\\
La parallèle à $(AC)$ passant par $I$ coupe la parallèle à $(BC)$ passant par $M$ en $N$.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Réaliser une figure avec un logiciel de géométrie.
\item Semble-t-il exister une position du point $M$ pour laquelle :
\begin{itemize}
 \item $M=N$ ?
 \item $BCMN$ est un parallélogramme ?
\item $BCNM$ est un parallélogramme ?
\end{itemize}
       \end{enumerate}
\item On se place dans le repère $\left(A ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right)$.
\begin{enumerate}
 \item Justifier que les coordonnées du point $M$ peuvent s'écrire $\left(k ; \dfrac12 \right)$ où $k$ désigne un nombre réel.
 \item Exprimer les coordonnées de $N$ en fonction de $k$.
 \item Justifier les conjectures émises à la question 1.b..
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exos[Repère]{
82 p 333 + 92 p 335
}



\section{Vecteurs et Droites}


\subsection{Vecteurs directeurs d'une droite}
\subsection{Equation cartésienne d'une droite}
\subsection{Position relative de deux droites}

%\section{Vecteurs et plan}



\end{document}
