\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
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\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{Variables al\'eatoires}
\newcommand{\Cl}{1SSI}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

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\setcounter{NumLecon}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\setcounter{NumLecon}{1}
\debutCha{cuisine.eps}{Et maintenant on va où ?}{Nadine Labaki}{Si les gens ne croient pas que les mathématiques sont simples, c’est seulement parce qu’ils ne 
réalisent pas combien la vie est compliquée !}{John Louis von Neumann (réaliste$\dots$)}{
Nominé pour plusieurs prix \og \textit{Et maintenant on va où ?} \fg\, , de \textbf{Nadine Labaki}, a remporté le prix du Jury 
Oecuménique – Mention Spéciale à Cannes. Après \og \textit{Caramel} \fg\,, film déjà primé, 
la réalisatrice revient sur un thème extrêmement contemporain : la cohabitation religieuse.\\
Le film s’ouvre sur une scène originale, où, des femmes, drapées de noir, endeuillées, entament une danse 
esthétiquement précise et émotionnellement forte. Les femmes nous regardent comme si elles assistaient à un 
spectacle et que donc nous étions le film ce qui renforce l’aspect contemporain du sujet. 
Il s’agit des femmes d’un village, divisé en deux confessions avec d’un côté les musulmans regroupés derrière leur Cheikh, 
et de l’autre, les catholiques et leur Prêtre. Lors d’une soirée où ils sont tous regroupés devant la télévision, 
les habitants regardent le journal télévisé qui leur apprend des affrontements entre catholiques et musulmans. 
Dès lors, les tensions du passé sont ravivées
 et les hommes ne jurent plus que par leurs religions laissant les femmes abattues par cette situation, mais cherchant
des solutions plus originales les unes que les autres pour garder la paix..
  }{0.75}{0.7}

\TITRE{enterrement.eps}{0.7}


\begin{Intro}{Au fil du temps}
Alors que les êtres humains se sont intéressés à la géométrie depuis la nuit des temps, et qu’une première 
présentation rigoureuse ( les mathématiciens disent axiomatique ) en a été proposée trois siécles avant JC par le 
grec Euclide, il a fallu attendre le 
XVI$^e$ siècle pour qu'on s'intéresse enfin aux probabilités, et encore était-ce pour aider les princes à améliorer 
leurs gains au jeu (c'est d'ailleurs pourquoi on en a gardé le vocabulaire). \newline

Parmi toutes les définitions possibles du hasard, nous en retiendrons deux qui ont influencé la théorie des 
probabilités :
\begin{itemize}
\item pour certains, tout a une cause, et le hasard n'est le reflet que de l'ignorance que nous avons des lois de la 
Nature. Cet esprit souffla particulièrement au XVIII ème siècle au moment où Laplace posa les bases d'une première 
théorisation des probabilités. 
Les probabilités sont alors déterminées a priori, par des considérations non expérimentales. Par exemple, un dé a 
six faces, donc, on peut poser 
d’avance que l’événement \og obtenir 5 \fg\, a une probabilité de $\dfrac16$. Cette symétrie, cette \og
géométrie du hasard \fg\, selon les 
termes de Pascal, permet de calculer sans ressentir le besoin de recourrir à l’expérience. 
Elle implique la notion centrale d'équiprobabilité : une probabilité est égale au rapport du nombre de cas 
favorables sur le nombre de cas possibles. \newline
Cette conception peut apparaître assez naïve : il est illusoire de penser qu’un dé puisse être parfaitement 
équilibré, mais doit-on être gêné pour autant ? 
\item pour d’autres, le hasard constitue notre univers, i.e qu'il n'est pas qu'une abstraction mathématiques mais 
une réalité physique. 
La théorie du chaos mise en forme par René Thom en 1955 montre en 
effet que dans certaines situations, on aura beau observer un phénomène pendant un temps très long, on ne pourra 
prévoir son évolution. De même en physique quantique, la connaissance du passé et du présent ne permettent pas 
de prévoir mieux des états possibles futurs. 
\end{itemize}
Alors, le hasard, une réalité physique ou une invention mathématiques ?
Au lieu de s’opposer, ces deux visions se complètent et il faut les avoir en tête.
Ces deux notions ont en commun de postuler que l’issue de l’expérience (le jeté d’un dé)
est indépendant de l’observateur, mais ceci peut ne plus être vrai dans certains domaines, comme par exemple 
l’économie ou la physique quantique.\\

Dans ce chapitre, nous allons revoir les bases des probabilités, à savoir la construction de modèles
pour décrire des expériences aléatoires, ainsi que le vocabulaire et les propriétés de base. 
Le besoin d'avoir une méthode systématique de modélisation est justifié 
par le fait que certains résultats nous semblent parfois intuitivement 
évidents mais sont en réalité faux, comme en témoignent les problèmes d'introduction ci-dessous.\\
Ensuite, nous découvrirons les variables aléatoires, qui associent des résultats 
d'expériences aléatoires à des variables telles qu'un gain éventuel. Nous apprendrons alors à déterminer certains paramètres
de ces expériences, telles que le gain que l'on peut espérer gagner ou le risque d'un jeu,
sans avoir à le réaliser.
\end{Intro}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 0. Position du pb
%\newpage


\section{Notion de hasard}
\subsection{Quelques problèmes d'introduction}


\Pbl{A votre avis, quelle est la probabilité que dans un groupe de 30 personnes, deux personnes aient leur 
anniversaire le même jour de l'année ? ($\simeq 70 \%$) Dans un groupe de 60 personnes ? ($\simeq 99 \%$)\newline 
A votre avis, combien doit-on réunir de personnes pour avoir au moins une chance sur deux que deux personnes de ce groupe
aient leur anniversaire le même jour de l'année ? (23 personnes)
} \\


\Pbl{Un jeu t\'el\'evis\'e se d\'eroule de la mani\`ere suivante : il y a trois portes, derri\`ere l'une d'entre elles
se trouve $10 000\euro$ et rien derri\`ere les deux autres. Un candidat choisit au hasard l'une des trois. 
Ensuite le pr\'esentateur \'elimine une des deux mauvaises portes, tout en conservant celle choisie par le candidat. 
Le candidat peut alors conserver son choix ou le changer. 
\newline 
Que vaut-il mieux faire pour le candidat, changer ou conserver son choix ? 
Quelles sont ses chances de gagner dans le premier cas, et dans le deuxi\`eme ?
}\\


\textbf{\underline{Objectifs} :} établir une discussion au sein de la classe, percevoir les intuitions de chacun et éveiller
la curiosité. \\
Il n'est absolumment pas prévu de les faire répondre rigoureusement, simplement de trouver des pistes de solution, et 
de constater l'utilité d'une modélisation mathématique.

\subsection{Expérience aléatoire et événements}

\Act{
Au XVI$^e$ siècle, le Grand Duc de Toscane demanda au vénérable Galilée pourquoi il était plus difficile d'obtenir 9 que 10 
au jeu de passe-dix (jeu consistant à jeter 3 dés et à faire plus que 10), même s'il n'y a dans les deux cas que 6 
combinaisons pour les obtenir. \\
La grande expérience du Duc en matière de jeu lui avait permis de remarquer ce phénomène, alors que théoriquement, 
\og sur le papier \fg, il aurait dû y avoir la même fréquence d’apparition des deux nombres, puisqu’il y a dans 
chaque cas 6 manières de les obtenir. Y aurait-il plusieurs réalités (la physique et la mathématique) ?\\\\
Modéliser cette expérience aléatoire et proposer une explication à ce phénomène.\\\\
\textbf{\underline{Objectifs} :} Rappeler ce qu'est une modélisation, le vocabulaire, ainsi que quelques bases
sur les probabilités.
}

Lors de la \textit{modélisation} d'une expérience aléatoire, on est amené à choisir successivement :
\begin{itemize}
 \item Un univers,
 \item Des parties de cet univers,
 \item Une loi de probabilité sur cet univers.\\
\end{itemize}

\Defc{\begin{itemize}
 \item Une \textbf{expérience aléatoire} est une expérience dont on ne connait pas l'issue a priori, mais dont on peut prévoir le type.
       \item Un des r\'esultats possibles d'une exp\'erience al\'eatoire est appel\'e \textbf{\'eventualit\'e}, 
\textbf{événement élémentaire} ou encore \textbf{issue}.
\item L'ensemble de toutes les issues possibles \textit{a priori} d'une expérience aléatoire est appelé \textbf{univers}. 
On a pour habitude de noter cet ensemble $\Omega$.
\item Lorsque $\Omega$ est un ensemble fini, on appelle \textbf{cardinal} son nombre d'éléments, noté Card$(\Omega)$ 
ou $\#\Omega$.
\item Une partie de $\Omega$ est appel\'e \textbf{\'ev\'enement}. C'est un sous-ensemble constitu\'e d'issues de l'univers.
      \end{itemize}
}

\Expls{
\begin{itemize}
 \item On lance une pièce de monnaie et on s'intéresse à la face obtenue : $\Omega=\{P,F\}$ et Card$(\Omega)=2$\\
Remarquons que rien n'empêche d'ajouter l'issue \og Tranche \fg\, à cet univers. 
C'est l'énoncé qui définit l'univers. En l'absence d'indication, on considère tacitement qu'il s'agit de 
l'univers usuellement utilisé dans telle ou telle situation.
 %\item On lance un dé à $6$ faces et on regarde la face obtenue : $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$ et $\#\Omega=6$.
 \item On lance un dé à $6$ faces on regarde si le numéro obtenu est pair ou impair : 
$\Omega=\{P,I\}$ et $\#\Omega=2$.\\
On remarque que l'univers dépend de l'observation qui est faite.
\item On lance deux dés et on fait le produit $P$ des nombres obtenus :\\
$ \Omega_P=\{1;2;3;4;5;6;8;9;10;12;14;15;16;18;20;24;25;30;36\}$
et Card$(\Omega)=19$.\\
La partie $A=\{6,12,18,24,30,36\}$ de l'univers est un événement qui peut se décrire par la phrase : \og Obtenir un multiple de 6 \fg.
\end{itemize}
}

\Expls{
Il existe aussi des expériences aléatoires qui comportent une infinité d'issues :
\begin{itemize}
 \item Choisir au hasard un entier naturel $\Omega = \N$ (ce type d'ensemble est dit \textit{infini dénombrable})
 \item Choisir au hasard un réel entre 0 et 1 : $\Omega=[0;1]$ (\textit{infini non dénombrable})
 \item Choisir un nombre premier au hasard : $\Omega=\{\text{Nombres premiers}\}$ (\textit{infini dénombrable})
\end{itemize}
}

\noindent \textit{Dans tout ce chapitre, on considère désormais expérience aléatoire d'univers fini $\Omega=\left\{\omega_1;\omega_2;\dots ; \omega_n\right\}$ (Card$(\Omega)=n$).
}

\subsection{Loi de probabilité}

\Defc{
Définir une loi de probabilité $P$ sur $\Omega $ c'est associer à chaque éventualité $\omega_i \in \Omega$ un nombre 
$p_i\in [0;1]$ de sorte que :
\begin{itemize}
  \item $\overset{n}{\underset{i=1}{\begin{Large}\Sigma \end{Large}}} p_i=p_1+p_2+\dots+p_n=1$
 \item La probabilité d'un événement $A$, notée $P(A)$, est la somme des probabilités des 
événements élémentaires qui le composent.
\end{itemize}
}

\Rqs{
\item Les nombres $p_i$ sont les probabilités des événements élémentaires $\omega_i$. On a $p_i=P\left({\omega_i}\right)$.
\item On a $P(\Omega)=1$.
%\item Par convention, on pose $P(\emptyset)=0$.
 \item  Pour tout événement $A$, on a $0\leq P(A) \leq 1$.
\item L'univers peut contenir des événements impossibles, à partir du moment où l'on définit la loi $P$ de
telle sorte que leur probabilité soit nulle.
\item \underline{Loi des Grands Nombres} :\\
Quand on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire pouvant conduire à des issues
$\omega_1, \omega_2, \dots , \omega_n$ la fréquence de réalisation de chaque événement élémentaire
$\{\omega_i\}$ se stabilise aux environs d’un nombre $p_i$ compris entre 0 et 1.
Ce nombre peut être considéré comme la probabilité de réalisation de l’événement $\{\omega_i\}$ 
}

\Expl{Soit un dé truqué dont les probabilités des faces d'apparitions sont données par le tableau suivant :}
%\begin{table}[h]
%\center
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|}
\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} Eventualité & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} Probabilité & $ 0,05$ & $ 0,05 $ & $ 0,1$ & $ 0,1 $ & $ 0,2 $ & $a$ \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
%\end{table}
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'éventualité : \og le dé tombe sur 6 \fg.
\item Calculer la probabilité de l'événement $A=$\og obtenir un résultat inférieur ou égal à 4 \fg.
\item Calculer la probabilité de l'événement $B=$\og obtenir un nombre premier \fg.
\item Calculer la probabilité de l'événement $C=$ \og obtenir un nombre pair \fg.\\
\end{enumerate} 


\Expl{
Dans le cas d'un dé parfaitement cubique, chaque face a autant de chances qu'une autre d'apparaître et on choisira comme loi de probabilité celle qui a chaque éventualité associe le nombre $ \dfrac{1}{6}$\newline
Considérons un dé où tous les nombres ont les mêmes chances d'apparitions sauf $1$ et $2$ qui apparaîssent deux fois plus souvent. La loi de probabilité convenant à cette expérience est telle que : 
$$ p_1=p_2 = 2 p_3 = 2p_4=2p_5=2p_6\qquad \text{Notons $a=p_3$, alors $p_1=2a$}$$
Comme   \begin{displaymath}
  \overset{n}{\underset{i=1}{\begin{Large}\Sigma \end{Large}}} p_i=1
\end{displaymath} on a $ 2a+2a+a+a+a+a=1\Longleftrightarrow 8a=1\Longleftrightarrow a=\dfrac{1}{8}$
\newline
Au final on peut résumer la loi de probabilité que l'on choisira pour modéliser cette expérience dans le tableau suivant :
}
\begin{table}[h]
\center
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{2cm}|}
\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} Eventualité & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & Total \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} Probabilité & $ \dfrac{1}{4} $ & $ \dfrac{1}{4} $ & $ \dfrac{1}{8} $ & $ \dfrac{1}{8} $ & $ \dfrac{1}{8} $ & $ \dfrac{1}{8}  $ & $1$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\Exos{n$^{\circ}$ 29 p 198}

\subsection{Equiprobabilité}

\Defc{Lorsque toutes les issues d'une expérience aléatoire ont même probabilité, on dit qu'il y a \underline{équiprobabilité} ou que 
la loi de probabilité est \underline{équirépartie}. }

\Ptec{Lorsque la loi de probabilité est équirépartie, la probabilité d'un événement $A$ est :
$$ P(A)=\dfrac{\text{nombre d'éventualités favorables}}{\text{nombre d'éventualités possibles}}=\dfrac{\text{Card} (A)}{\text{Card} (\varOmega)}$$}

\Expls{
\begin{enumerate}
 \item Dans un jeu de 32 cartes, la probabilité de tirer le valet de coeur est $\dfrac{1}{32}$. \\
Celle de tirer un valet est $\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}$.\\
Celle de tirer un coeur est $\dfrac{8}{32}=\dfrac{1}{4}$.
 \item On lance deux fois une pièce équilibrée et l’on note les faces obtenues. \\
L'univers $\varOmega$ est $ \varOmega=\{PP;PF;FP;FF\}$ et 
chaque éventualité a la même probabilité $\dfrac{1}{4}$.\\
La probabilité de l'événement A \og obtenir Pile et Face \fg $=\{PF;FP\}$ est donc $P(A)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$.\\
La probabilité de l'événement B \og obtenir au plus une fois pile \fg\, $=\{FF, PF,FP\}$ est $P(B)=\dfrac34$. 
\end{enumerate}
}


\section{Probabilité d'événement}
\subsection{Base de la théorie des ensembles}
Les mathématiques utilisent toutes sortes d'ensembles (finis, infinis dénombrables, infinis non dénombrables). 
Le but de cette partie n'est pas de faire une étude complète de la théorie des ensembles (trop complexe) 
mais de proposer une approche intuitives des notions les plus utilisées de cette théorie dans le domaine des probabilités.\newline
Ainsi, nous ne tenterons pas de définir rigoureusement ce qu'est un ensemble. Disons simplement qu'un ensemble 
s'apparente à une liste (finie ou non) d'objet distincts possédant un certain nombre de propriétés communes 
(par exemple l'ensemble des nombres entiers naturels multiples de 2, ou encore l'ensemble des polynômes de degré 2,
 $\dots$). 
Un ensemble se note avec des accolades. On considère ces objets dans leur globalité sans tenir compte d'un ordre éventuel.
Par exemple si $E$ est l'ensemble des entiers naturels pairs inférieurs à 
$9$ alors : $$ E=\{0;2;4;6;8\} = \{2;8;4;6;0\}$$
On utilisera les symboles $\in$ et $\notin$ pour signifier qu'un élément appartient ou non à un ensemble :
$$ 2\in E \qquad \text{ et }3 \notin E$$
Enfin nous noterons $\emptyset $ l'ensemble qui n'a pas d'éléments (ensemble vide).

\Act{Une urne contient deux jetons rouges marquées $R_1$ et $R_2$ et deux jetons jaunes marquées $J_2$ et $J_3$.\\
On tire au hasard un premier jeton dans l'urne, puis, sans le remettre, on tire au hasard un deuxième jeton.\\
On note à chaque tirage la couleur et le numéro obtenu.
\begin{enumerate}
 \item Quel est l'univers de cet expérience ?
 \item Ecrire sous forme d'ensemble les événements suivants, puis déterminer leur probabilité :
\begin{itemize}
 \item A:\og Obtenir deux jetons de même couleur ou de même numéro \fg
 \item B : \og Obtenir deux jetons portant des numéros ayant un écart de 1 \fg
\item C : \og Obtenir A et B \fg
\end{itemize}
\end{enumerate}
\textbf{\underline{Objectifs} : } Réinvestir le vocabulaire vu précédemment, ainsi que l'équiprobabilité.\\
Travailler sur les ensembles.\\
Utiliser les arbres de probabilité vu en seconde.
}


\begin{center}
\newcolumntype{C}[1]{>{\center}m{#1}}
\begin{tabular}{|C{4cm}|C{4cm}|C{4cm}|C{4cm}|} \hline 
$A\cap B$ & $A\cup B$  & $\overline{A}$ &  $A\cap B = \emptyset$ \tabularnewline\hline
\textbf{Intersection de $A$ et $B$ :} Eléments communs de $A$ et $B$
 & \textbf{Réunion de $A$ et $B$ : } Eléments de $A$ ou $B$ (voire les deux)
& \textbf{Complémentaire de $A$ :} Eléments de $\Omega$ non dans $A$
& \textbf{ $A$ et $B$ sont disjoints} : Aucun élément commun à $A$ et $B$ \tabularnewline\hline
 \begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.50,0.2) circle (1cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.5,-0.1) circle (0.8cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)}
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleO; 
\begin{scope} 
\clip \cercleA; 
\draw[color=black,fill=red] \cercleB; 
\end{scope} 
\node at (-1,1) {$\Omega$};
\node at (-0.9,0) {$B$};
\node at (0.7,0.7) {$A$};
\end{tikzpicture}
 &
\begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.5,0.2) circle (1cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.5,-0.1) circle (0.8cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)} 
\draw[color=black,fill=yellow] \cercleA; 
\draw[color=black,fill=yellow] \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB;
\draw[color=black] \cercleO; 
\node at (-1,1) {$\Omega$};
\node at (-0.9,0) {$B$};
\node at (0.7,0.7) {$A$};
\end{tikzpicture} 
&\begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.50,0.2) circle (1cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)}
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleO; 
\draw[color=black,fill=blue!50] \cercleO; 
\begin{scope} 
\clip \cercleA; 
\draw[color=black,fill=white] \cercleO; 
\end{scope} 
\node at (-1,1) {$\Omega$};
\node at (0.7,0.7) {$A$};
\node at (-0.9,-0.5) {$\overline{A}$};
\end{tikzpicture}
 & \begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.6,0.5) circle (0.9cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.7,-0.7) circle (0.7cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)}
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleO; 
\node at (-1,1) {$\Omega$};
\node at (-0.9,-0.5) {$B$};
\node at (0.7,0.9) {$A$};
\end{tikzpicture}
\tabularnewline\hline
 \end{tabular}
\end{center}

\Expls{
On considère les ensembles suivants :
\begin{multicols}{2}
 \begin{itemize}
\item $\Omega=\{0;1;2;3;4;5;6;7;8\}$
 \item $ A=\{2;4;6;8\}$ 
 \item $B=\{1;2;3;4;7\}$
 \item $C=\{2;6\}$
 \item $D=$\og Tirer un roi  (dans un jeu de cartes) \fg
 \item $E=$ \og Tirer un coeur (dans un jeu de cartes) \fg 
 \item $F=$ \og Tirer une figure  (dans un jeu de cartes) \fg
\end{itemize}
\end{multicols}
Alors :
\begin{enumerate}
 \item $C\subset A$ \qquad \qquad $D\subset F  $
 \item $A\cap B=\{2;4\}$ \qquad \qquad \qquad  
$B\cap C=\emptyset$ donc $B$ et $C$ sont disjoints (ou incompatibles) \\
$D\cap E = $\og Tirer le roi de coeur \fg
 \item $A\cup B=\{1;2;3;4;6;7;8\}$\qquad \qquad\qquad   $A\cup C = A$ \\
$D\cup E = $\og Tirer un coeur ou un roi  \fg (15 cartes)
 \item $ \overline{A}=\{0;1;3;5;7\}$ 
 \qquad \qquad \qquad $\overline{E}= $\og Tirer un pique, un carreau ou un trèfle \fg
\end{enumerate}
}

\Rq{On a toujours
$$\emptyset \subset A \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad A\cup \overline{A}=\Omega \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 
A\cap \overline{A}=\emptyset$$
}
\Exos{n$^{\circ}$ 24 p 196 (symboles)
}

\subsection{Quelques propriétés}

\Act{
Test de confiance p 180\\\\
\textbf{\underline{Objectifs} :}
Réinvestir les rappels précédents (vocabulaire, propabilité, théorie des ensembles).\\
Utiliser un tableau, comme appris en seconde.\\
Retrouver les formules apprises en seconde (probabilité du complémentaire, de la réunion).
}

\Ptec{Si deux événements $A$ et $B$ sont \textbf{incompatibles}, alors la probabilité de leur réunion est égale à la somme 
de leurs probabilités :
$$ \text{Si } A\cap B=\emptyset \text{ alors }P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$}

\Dem{Si l'un des événements $A$ et $B$ est l'ensemble vide, alors la relation précédente est évidente.\newline
Dans le cas contraire, $P(A)$ est la somme des probabilités des éléments de $A$ et $P(B)$ est la somme des probabilités des éléments de $B$. Puisque $A$ et $B$ sont disjoints, $A\cup B$ contient exactement tous les éléments de $A$ et tous ceux de $B$. Par conséquent $P(A)+P(B)$ est égal à la somme des probabilités des élements de $A\cup B$, i.e $P(A\cup B)$}

\Propc{Pour tous événements $A$ et $B$ de $\Omega$ on a :
$$P(\emptyset)=0 \qquad \qquad \qquad P(\overline{A})=1-P(A) 
\qquad \qquad \qquad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$$
}

\Dem{
\begin{enumerate}
\item  $$1=P(\Omega)=P(\emptyset \cup \Omega) = P(\emptyset) + P(\Omega) = P(\emptyset) +  1 $$
D'où $P(\emptyset) =0$.
 \item $$1=P(\Omega)=P(A \cup \overline{A})=P(A)+P(\overline{A})$$
D'où $P(\overline{A})=1-P(A)$
 \item Tout repose sur ces découpages en événements disjoints deux à deux :
\begin{multicols}{2}
   $$ A =  \left( A\setminus B \right)\cup \left(A \cap B  \right)$$
$$ B =  \left( B\setminus A \right)\cup \left(A \cap B  \right)$$
$$A \cup B =  \left( A\setminus B \right)\cup \left(A \cap B  \right) \cup \left( B \setminus A \right)$$
\begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.5,0.2) circle (1.2cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.5,-0.3) circle (1cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)} 
\draw[color=black,fill=red] \cercleA; 
\draw[color=black,fill=yellow] \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleO; 
\node at (-1,1) {$\Omega$};
\node at (-0.8,-0.75) {$B\setminus A$};
\node at (0.7,0.7) {$A\setminus B $};
\begin{scope} 
\clip \cercleA; 
\draw[color=black,fill=orange] \cercleB; 
\end{scope} 
\node at (-0.1,-0.1) {$A\cap  B $};
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB;
\end{tikzpicture} 
\end{multicols}
\end{enumerate}
Ainsi 
\begin{eqnarray*}
P(A) + P(B) - P(A\cap B) & = & P\bigg(\left( A\setminus B \right)\cup \left(A \cap B  \right)\bigg) + P\bigg( \left( B\setminus A \right)\cup \left(A \cap B  \right) \bigg) - P(A\cap B)\\
& = &  P\bigg(A\setminus B \bigg)+ P\bigg(A \cap B  \bigg) + P\bigg( B\setminus A \bigg)+P\bigg(A \cap B  \bigg) - P(A\cap B)\\
& = & P\bigg(A\setminus B \bigg)+ P\bigg(A \cap B  \bigg) + P\bigg( B\setminus A \bigg)\\
& = & P \bigg(\left( A\setminus B \right)\cup \left(A \cap B  \right) \cup \left( B \setminus A \right) \bigg) \\
& = & P(A\cup B)
\end{eqnarray*}
D'où $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$
}


\Expl{Dans une classe, $10\%$ des élèves jouent d’un instrument à cordes, $20\%$
jouent d’un instrument à vent et $5\%$ jouent d’un instrument à corde et d’un instrument à vent. On
choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité qu’il joue d’un instrument à cordes ou à vent ?
}

\Expl{Dans un club, plusieurs activités sont proposés dont le tir à l'arc et le golf. Parmi les $50$ adhérents, $30$ pratiquent le tir à l'arc, $18$ le golf et $6$ les deux sports. Quelle est la probabilité pour qu'un adhérent choisi au hasard :
\begin{enumerate}
\item pratique le tir à l'arc ? le golf ?
\item pratique l'un au moins des deux sports ?
\item ne pratique ni le tir à l'arc, ni le golf ?
\end{enumerate}
}\\
 
\Exop{
Dans un univers $\Omega$, on donne deux événements $A$ et $B$ incompatibles tels que $p(A) = 0,2$ et $p(B) = 0,7$.\\
Calculer $p(A \cap B)$, $p(A \cup B)$, $p ( \overline{A} )$ et $p ( \overline{B} )$.
}

\Exop{
Les résultats au bac 2009 ont battu des records de réussite, voici quelques chiffres :\\
%\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{4cm}|>{\centering}p{4cm}|>{\centering}p{4cm}|>{\centering}p{3cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} \textbf{Séries} & \textbf{Effectifs des reçus} & \textbf{Effectifs des filles reçues} & \textbf{Taux de réussite} \tabularnewline\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} \textbf{Littéraire} & $47\,765$  & $37\, 878$  & $87.1$ \tabularnewline\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} \textbf{Economique} & $90\,466$  & $56\, 994$  & $88.5$ \tabularnewline\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} \textbf{Scientifique} & $148\,531$  & $69\, 810$  & $89.6$ \tabularnewline\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} \textbf{Total} & $286\,762$  & $164\, 682$  & $88.8$ \tabularnewline\hline
\end{tabular}
%\end{center}
\begin{enumerate}
 \item On édite le diplôme d'un bachelier (fille ou garçon) de la session 2009. Quelle est la probabilité pour que ce soit celui 
d'un bachelier scientifique ?
 \item On édite le diplôme d'un bachelier de la session 2009 de la série économique. Quelle est la probabilité pour que ce soit celui 
d'une bachelière ?
 \item On édite le diplôme d'une bachelière de la session 2009. Quelle est la probabilité pour que ce soit celui d'une bachelière
littéraire ?
\end{enumerate}
}

\Exop{On lance $n$ dés ($n\geq 1)$. On note $A$ l'événement \og obtenir au moins un $6$\fg
\begin{enumerate}
\item Décrire $\bar{A}$ puis exprimer en fonction de $n$ la probabilité $P(\bar{A})$
\item En déduire que $P(A)=1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^6$
\item Compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} gain $n$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$  & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ \tabularnewline\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $P(A)$ &  &  &   &   & & & &\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Combien de dés faut-il lancer pour que la probabilité d'obtenir au moins un six soit supérieure à $ \dfrac{3}{4}$ ?
\end{enumerate}
}\\

\Exop{
On souhaite répondre à la question suivante : dans une même classe, y a-t-il plus d'une chance sur deux pour qu'au moins deux élèves de la classe
ainent la même date d'anniversaire ?\\
On considérera une classe de $30$ élèves et, pour simplifier, on dira qu'une année comporte 365 jours.
\begin{enumerate}
 \item Combien existe-t-il de listes différentes contenant $30$ dates d'anniversaire (identiques ou non) ? %\\
%\textit{On pourra raisonner à l'aide d'un arbre, sans toutefois le réaliser !}
\item Notons $A$ l'événement \og au moins deux élèves de la classe ont la même date d'anniversaire \fg.
\begin{enumerate}
 \item Exprimer en français l'événement $\overline{A}$.
\item Quel est le nombre de cas favorables à $\overline{A}$ ?%\\
%\textit{On pourra à nouveau raisonner à l'aide d'un arbre.}
\item Répondre à la question posée en début d'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exos{n$^{\circ}$ 27 p 197 (algobox + aire sous parabole)\\
}

\section{Variable aléatoire}

\subsection{Définition}
\Act{
L'éducation coûte trop cher. Afin de réaliser des économies, le
gouvernement syldave  a décidé de se passer à la fois de
correcteurs et d'élèves. Tout est simulé dans les bureaux du
ministère, le but étant d'obtenir une moyenne nationale
satisfaisante à présenter aux investisseurs étrangers qui se
rueront en Syldavie pour profiter d'une main d'\oe uvre aussi
qualifiée.\\
 Le candidat virtuel jette un dé virtuel~: s'il sort un 6, il a 20, s'il
tombe sur un autre numéro pair il a 10, s'il tombe sur un numéro
impair, il a 5.\\
Quelle moyenne nationale peut \textsl{espérer} obtenir le
ministre~? Cette moyenne est-elle une moyenne~? Cette moyenne
sera-t-elle effectivement atteinte~?\\\\
Les derniers syldaves touchant  un salaire pour leur travail
coûtent encore trop cher aux entreprises. Un nouveau système de
rémunération a donc été mis au point par l'ancien ministre de
l'éducation syldave installé aujourd'hui au ministère des
finances.\\
Pour garder son emploi, le salarié doit chaque mois verser 1000
neurones à l'entreprise puis doit lancer un dé. S'il sort un 6, il
touche 3000 neurones~: les 1000 versés au départ par le salarié
plus 2000 versés par l'entreprise. Dans les autres cas,
l'entreprise garde les 1000 neurones.\\
Quelle salaire un employé peut-il espérer toucher~?\\
Que se passera-t-il si l'entreprise propose 5000 neurones au lieu
des 2000~? Et si elle propose 1\,000\,000\,000 de neurones avec un
dé à 100 faces pour un versement initial de 1\,000\,000 de
neurones~?
}


\textbf{\underline{Objectifs} :} 
\begin{itemize}
 \item Introduire la notion de variable aléatoire, la présentation d'une loi de probabilité ...
 \item Donner du sens à la notion d'espérance, critiquer la valeur trouvée (atteinte ou non, ce qu'elle n'indique pas ...)
\end{itemize}

\medskip

\Defc{On appelle \textbf{variable aléatoire} toute fonction de $\Omega$ dans $\R$, notée en général $X$.\\
Autrement dit, définir une variable aléatoire sur $\Omega$ c'est à associer un réel $x_i$ à chaque éventualité $\omega_i$.
}

\Rq{
 Soit $x_i$ le réel associé à l'issue $\omega_i$ de l'univers. On note $(X=x_i)$ l'événement \og la variable 
aléatoire $X$ prend la valeur $x_i$ \fg 
}

\Expl{On lance trois pièces de monnaie, que l'on numérote $1$ ; $2$ et $3$. Le jeu qui consiste à gagner $1$ $\euro$ chaque fois que $F$ apparaît et à perdre $1$ $\euro$ chaque fois que $P$ apparaît\newline
La fonction $X$ qui, à chaque issue, associe le gain (positif ou négatif) correspondant, est une variable aléatoire sur $\Omega$.}

\Defc[Proposition (Admise)]{La \textbf{loi de probabilité} d'une variable aléatoire $X$ est la fonction de $X(\Omega)$ dans $[0;1]$,
qui à chaque $x_i\in X(\Omega)$ associe le nombre $P(X=x_i)$.
}

\Rqs{\item Il s'agit bien d'une probabilité sur $X(\Omega)$.
\item On représente cette loi à l'aide du tableau ci-dessous :
\begin{table}[h]
\center
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{2cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} Valeurs $x_i$ & $x_1$ & $x_2$ & $\dots$ & $x_m$  & Total \tabularnewline\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $P(X=x_i)$ & $ p_1$ & $ p_2 $ & $ \dots $ & $ p_m $  & $1$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
}
\noindent \textit{Nous utiliserons désormais toutes ces notations.}

\Expl{Dans l'exemple ci-dessus, la loi de probabilité du gain $X$ est résumée dans le tableau suivant :}
\begin{table}[h]
\center
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{2cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} gain $x_i$ & $-3$ & $-1$ & $1$ & $3$  & Total \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $P(X=x_i)$ & $ \dfrac{1}{8}$ & $ \dfrac{3}{8} $ & $ \dfrac{3}{8} $ & $ \dfrac{1}{8} $  & $1$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\Exos{
n$^{\circ}$ 36 (arbres) + 41 (cartes) + 42 (tennis) p 199 + 44 (arbres) p 200
}

\subsection{Paramètres : espérance et variance}

\Act{
On reprend l'activité précédente sur les élèves de Syldavie. \\
Pour rentrer à l'université de Springfield, ils sont mis en compétition avec les élèves de Groland. \\
Cette université privilégie les élèves du pays au meilleur résultat moyen espéré et la sa régularité.\\
A Groland également, on a décidé de tirer les résultats du baccalauréat aux dés. Voici la règle :
Lorsqu'on obtient 6 au dé, l'élève a 20. Un autre nombre pair fournit un 5 à l'élève. Ensuite s'il sort 1, l'élève a 
0, s'il sort 3, l'élève a 10 et enfin, s'il sort 5, l'élève a 15.
\begin{enumerate}
 \item Calculer la moyenne nationale que peut espérer obtenir Groland.
 \item De quels moyens dispose-t-on pour comparer la régularité de chacun des pays ?
\end{enumerate}
}

\textbf{\underline{Objectifs} :} 
\begin{itemize}
 \item Réinvestir ce que les élèves viennent d'apprendre sur les variables aléatoires.
 \item Parler d'étendue, écart interquartile, écart à la moyenne (sans valeur absolue, avec) ... suivant leurs idées (recherche en groupe)
 \item Introduire le sens de la variance et de l'écart-type.
\end{itemize}


\Defc{L'espérance mathématique de $X$ est le nombre $E(X)$ définie par : 
$$ E(X)=\ds\sum_{i=1}^mx_i\times p(X=x_i)= \ds\sum_{i=1}^mx_ipi= p_1x_1+p_2x_2+\dots +p_mx_m $$
La variance de $X$ est le nombre $V(X)$ définie par : 
$$ V(X)=\ds\sum_{i=1}^m [x_i-E(X)]^2 p(X=x_i) =\ds\sum_{i=1}^m  [x_i-E(X)]^2 pi=[x_1-E(X)]^2p_1+\dots +[x_m-E(X)]^2p_m$$
L'écart-type de $X$ est le nombre $\sigma(X)$ définie par : 
$$ \sigma(X)=\sqrt{V(X)}$$
}


\Rqs{
\item On a choisi d'utiliser les carrés pour la variance de manière arbitraire pour ne pas avoir de problèmes de signes ; 
on aurait pu choisir une autre méthode, mais celle-ci a l'avantage de rappeler la distance euclidienne bien connue.
La variance est en ce sens homogène au carré d'une distance. L'écart-type définit donc une distance proprement 
dite.
\item Lorsque $X$ représente le gain du joueur à un jeu de hasard,
$E(X)$ représente le gain moyen qu’il peut espérer par partie, lorsqu’on joue un grand nombre de fois. 
L’écart type est une caractéristique de la dispersion des valeurs de $X$, autrement dit, cela représente le risque du jeu.
\item Vous pouvez obtenir ces valeurs très facilement à l'aide de vos calculatrices. Il suffit de rentrer les valeurs prises par la variable
aléatoire en liste 1, et les probabilités en liste 2.
}

\Expls{Dans l'exemple précédent et calculer l'espérance, la variance et l'écart-type. Interpréter vos résultats.\\
Mêmes questions pour les deux exemples de l'activité.}

\Ptec{La variance se calcule plus facilement grâce à la formule :
$$V(X)=\ds\sum_{i=1}^mx_i^2pi-\big(E(X)\big)^2$$
}
\Rq{
On note encore $V(X)=E(X^2)-\left(E(X)\right)^2$
}

\Dem{
\begin{eqnarray*}
 V(X) & = & \sum_{i=1}^m \big(x_1-E(X)\big)^2p_i \\
&=& \sum_{i=1}^m \left(x_i^2-2x_i E(X) + \left(E(X)\right)^2 \right) p_i\\
&=& \sum_{i=1}^m x_i^2p_i-2E(X)\sum_{i=1}^m x_ip_i + \big(E(X)\big)^2 \sum_{i=1}^m  p_i
\end{eqnarray*}
}
\DemS{
\begin{eqnarray*}
 V(X) &=& \sum_{i=1}^m x_i^2p_i-2E(X)E(X) + \big(E(X)\big)^2 \times 1\\
&=& E(X^2)-2\big(E(X)\big)^2 + \big(E(X)\big)^2 \\
&=& E\big(X^2\big)-\big(E(X)\big)^2
\end{eqnarray*}
}

\Exos{48 ou 50 p 200 (classiques) + 61 p 202 (TI et somme de va) + 68 p 204 (arbres)\\
+ 72 p 205 (avec $n$) + 59 p 202 (implication) + 74 p 206 (algo) + 2 p 213 (tableur) + Odyssée p 298 (sur TI)}

\Ptec{Soient $a$ et $b$ deux réels.\\% et $Y$ une variable aléatoire sur $\Omega$.\\
L'espérance est linéaire : $E(aX+b)=aE(X)+b$ %et $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
\\
On en dédut la formule : $V(aX+b)=a^2V(X)$
} 

\Dem{
\begin{eqnarray*}
 E(aX+b)&=&Card  \big(ax_i+b\big)p_i = \sum_{i=1}^m \big(ax_ip_i + bp_i \big) \\
&=& a\sum_{i=1}^m x_ip_i + b\sum_{i=1}^m p_i \\
&=& a E(X) + b
\end{eqnarray*}
%$$  E(X+Y) = \sum_{i=1}^m(x_i+y_i)pi = \sum_{i=1}^mx_ipi + \sum_{i=1}^my_ipi = E(X)+E(Y) $$
\begin{eqnarray*}
 V(aX+b)&=&\sum_{i=1}^m \big(ax_i+b)^2pi-\big(E(aX+b)\big)^2\\
&=& \sum_{i=1}^m \big(a^2x_i^2+2abx_i+b^2)pi-\big(aE(X)+b\big)^2\\
&=& \sum_{i=1}^m a^2x_i^2p_i + 2ab\sum_{i=1}^m x_ip_i+b^2\sum_{i=1}^m pi-\big(a^2E^2(X)+2abE(X)+b^2\big)\\
&=& a^2\sum_{i=1}^m x_i^2p_i + 2abE(X)+b^2-a^2E^2(X)-2abE(X)-b^2\\
&=& a^2\left(\sum_{i=1}^m x_i^2p_i-E^2(X) \right)\\
&=& a^2V(X)
\end{eqnarray*}
}



\Exos{
79 p 206 + 84 p 207
}

\Exos{DM : 81 p 207 (équivalence) + 82 p 207}

\Exop[Challenge]{Combien y a-t-il de façons de choisir 2 délégués parmi les élèves de votre classe ?
}


\end{document}
