\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Polyn\^omes de degr\'e 2}
\newcommand{\Cl}{1SSI}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2cm}

\setcounter{NumLecon}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


\setcounter{NumLecon}{1}
\debutCha{larmes.eps}{Les larmes}{Man Ray}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{
Man Ray, né Emmanuel Rudzitsky en 1890, à Philadelphie, est un peintre, 
photographe et réalisateur de films, acteur du dadaïsme à New York, puis du surréalisme à Paris. \\
Sa carrière commence à New York, avec son ami proche Marcel Duchamp. Ils forment la branche américaine du mouvement 
Dada. Après quelques expériences artistiques infructueuses, Man Ray conclut que « Dada ne peut pas vivre à New York ».\\
En 1921 Man Ray arrive à Paris où il rencontre divers surréalistes. 
Il s'installe dans le quartier du Montparnasse, rencontre 
et tombe amoureux de la chanteuse française et modèle Kiki de Montparnasse. Man Ray révolutionne l'art photographique. \\
Avec notamment Max Ernst, Joan Miró et Pablo Picasso, il présente ses oeuvres à la première exposition surréaliste 
de la galerie Pierre à Paris en 1925.
En 1928, il tourne son troisième film Les Mystères du château de Dé.\\
En 1940, après la défaite de la France, Man Ray s'embarque pour les États-Unis 
en compagnie du couple Dalí et du cinéaste René Clair.  
A Hollywood, il reçoit des propositions d'exposition, rencontre une femme, Juliet, et décide de se remettre 
à peindre.\\
Man Ray est mort le 18 novembre 1976, à Paris. 
Inhumé au cimetière du Montparnasse), on peut lire sur sa tombe son épitaphe : « Unconcerned, but not indifferent » (« Détaché, mais pas indifférent »).
  }{0.7}{0.8}

\TITRE{violon_Ingres.eps}{1}


\begin{Intro}{Au fil du temps}
Nous allons étudier les polynômes du second degré, ie de la forme $ax^2+bx+c$, 
où $a$, $b$ et $c$ sont des constantes connues (et $a\neq 0$).\\
La représentation graphique de ce genre de fonction est une parabole, courbe que l'on retrouve dans la nature, comme par exemple 
la trajectoire des jets d'eau d'une fontaine, des astres, les rebonds d'une balle de tennis, les dunes de sables dans le désert ... 
Les antennes pour le câble sont également en forme de parabole, d'où leur nom.\\
On a découvert les paraboles dès l'antiquité, grâce à \textit{Appolonius de Perga}, qui étudiait les sections planes du cône.
Au V$^{\text{\`e}me}$ si\`ecle, la pens\'ee math\'ematique s'\'epanouit dans le moyen orient, sous l'impulsion 
g\'eniale d'\textit{Al Khwarizmi}. Son nom est \`a la base du mot algorithme. En effet, c'est lui qui le premier
s'intéressa à mettre en place une méthode générale de résolution d'équations en fonction de leur type.\\
La nouveaut\'e apport\'ee par Al-Khwarizmi correspond \`a une v\'eritable \'evolution des mentalit\'es : 
il ne s'agit plus de r\'esoudre des probl\`emes arithm\'etiques
ou g\'eom\'etriques que l'on peut traduire en \'equations, mais de partir des \'equations, dont chacune recouvre 
une classe infinie de probl\`emes vari\'es.\\
Il est également le premier \`a r\'esoudre couramment des \'equations du second degr\'e dans $\R$. 
Autrement dit, \textit{Al Khwarizmi} à trouver un algorithme permettant de résoudre toutes les \'equations de la forme 
$ax^2+bx+c=0$, et lorsque l'on a sur un probl\`eme qui aboutit \`a une telle \'equation, 
il n'y a plus qu'\`a le suivre ! C'est cet algorithme que nous allons découvrir.\\
Au XVII$^e$ siècle, \textit{Newton} démontre que la trajectoire d'un corps seulement soumis à son poids est une parabole.
A cette époque, on sait déjà résoudre depuis environ un siècle les équations du second degré dans un ensemble de 
nombres que vous découvrirez, contenant $\R$ et de nouveaux nombres, appelés imaginaires (par opposition à réels) ou encore complexes.\\

\end{Intro}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 0. Position du pb
\newpage
%\section{Polynôme du second degr\'e}
\section{Définition}
\Act{ Un rectangle a pour p\'erim\`etre $P=14$ m et pour aire $S=12$ $m^2$. Quels sont les dimensions
de ce rectangle ? 
}
\textbf{Objectifs et commentaires :} 
\begin{itemize}
 \item Faire mod\'elisation la situation aux élèves : \\
 Poser $x$ et $y$ les dimensions de ce rectangle, et obtenir : $x+y=7 \text{ et }xy=12$
 \item Manipuler les écritures littérales et le système pour aboutir à l'équation $x^2-7x+12=0$
 \item Les faire s'interroger sur les diverses manières de résoudre une telle équation.\\
 Graphiquement ? Tableau de valeurs ? Calculs ?
\item Dans cette activité, il se trouve que $x=3$ et $y=4$ sont solutions. On peut préférer proposer le même exercice avvec $P=21$ et $S=27$ pour 
trouver des solutions moins évidentes ($4.5$ et $6$)\\
\end{itemize}
 


\Defc{On appelle \textbf{polyn\^ome du second degr\'e} ou encore \textbf{trinôme} toute expression pouvant s'\'ecrire 
$ax^2+bx+c$ o\`u $a$, $b$ et $c$ sont des r\'eels avec $a\neq0$}

\Expls{\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $x^2-4x+1$ \hspace{8mm}$(a=1;b=-4;c=1)$
\item $-7x^2+4x$ \hspace{8mm}$(a=-7;b=4;c=0)$
\item $\sqrt{2}x^2$ \hspace{8mm}$(a=\sqrt{2};b=0;c=0)$
\item $(x+1)^2$ \hspace{8mm}$(a=1;b=2;c=1)$ 
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Cexpl{
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $3x+1$ est un bin\^ome du premier degr\'e
\item $x^3+2x+3$ est un polyn\^ome du $3^{\text{\`e}me}$ degr\'e
\item $(x+1)^2-x^2$ est un bin\^ome du premier degr\'e.
\item $2x^2+\dfrac{1}{x}$ n'est pas un trin\^ome du $2^{nde}$ degr\'e.
\end{enumerate}
\end{multicols}
}\\

\Ptec{Soit $P(x)=ax^2+bx+c$ et $Q(x)=a'x^2+b'x+c'$ deux trin\^omes.\newline
$P$ et $Q$ sont \'egaux si, et seulement si $\left\{\begin{array}{l}
                                                     a=a' \\ b=b' \\ c=c'
                                                    \end{array}\right. $
}

\Rq{
On dit que $P=Q$ si, et seulement si $P(x)=Q(x)$ pour tout $x\in\R$.\\
A partir de cette année, on notera par le symbole $\forall$  l'expression \og pour tout \fg\,.\\
On peut donc écrire de manière plus condensée :
$$P=Q \iff P(x)=Q(x), \quad \forall x\in\R$$
}

\Dem{
\fbox{$\Longleftarrow$} Supposons que $\left\{\begin{array}{l}
                                                     a=a' \\ b=b' \\ c=c'
                                                    \end{array}\right. $. \qquad \qquad \qquad 
Il est alors clair que $P=Q$.\\

\fbox{$\Longrightarrow$} Supposons maintenant que $P=Q$.\\
On a alors : \qquad \qquad \qquad 
$ ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c', \quad \forall x\in\R$\\
}
\DemS{
Si l'égalité est vraie pour tout réel $x$, elle l'est en particulier pour $x=0$. \\
On obtient alors que $c=c'$.\\
L'égalité devient donc :
$$ ax^2+bx=a'x^2+b'x, \quad \forall x\in\R$$
En particulier, si on choisit $x=1$ on obtient : \quad $a+b=a'+b'$\newline
Si on choisit maintenant $x=-1$ on obtient : \quad $a-b=a'-b'$\newline

On a donc le système $\left\{\begin{array}{l}
                              a+b=a'+b' \\ a-b=a'-b'
                             \end{array}\right.$
formé par les deux conditions trouvées sur les coefficients. \\

En ajoutant membre \`a membre les deux lignes, on obtient : \quad  $2a=2a' \iff a=a'$.\\
En soustrayant désormais membre à membre les deux lignes, on obtient : \quad  $2b=2b' \iff b=b'$.\\

Donc si $P=Q$ alors $\left\{\begin{array}{l}
                                                     a=a' \\ b=b' \\ c=c'
                                                    \end{array}\right. $

Au final, on a montré que :
$$P=Q \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
                                                     a=a' \\ b=b' \\ c=c'
                                                    \end{array}\right. '$$
\flushright{\textbf{CQFD}}
}


\Expl{Soit $P(x)=x^2-x-1$ et $Q(x)=\left(x-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\left(x-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)$. D\'emontrer que $P=Q$}

\Defc{Soit $P(x)=ax^2+bx+c$ un trin\^ome. On appelle \textbf{racine} de $P$ 
toute valeur de la variable $x$ solution de l'\'equation du second degr\'e :
$$ ax^2+bx+c=0$$}

\Expls{
\begin{enumerate}
 \item $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ et $\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ sont des racines du trinôme de l'exemple précédent.
 \item Vérifier que $3$ est racine du trin\^ome $2x^2-5x-3=0$
 \item Trouver les racines du polyn\^ome $x^2-7=0$
     \end{enumerate}
}

\Pbl{D'une mani\`ere g\'en\'erale, comment trouver les racines du polyn\^ome $ax^2+bx+c$ ? Existe-t-il un algorithme permettant de 
trouver les racines de n'importe quel trin\^ome ?}

\newpage

\section{Forme canonique d'un trin\^ome}


\Act{\begin{itemize}
      \item Soit l'activité \og Garder la forme \fg\, du Repère p 8 (les questions 1 et 2 peuvent être traitées entièrement sans le professeur)
 \item Soit l'exercice 42 p 30 (1er exemple fait ensemble au tableau ) + 1 factorisation où $a\neq 1$.
     \end{itemize}
}

\textbf{Objectifs et commentaires :} 
\begin{itemize}
 \item L'activité p 8 est bien pour les rappels sur les différentes écritures du trinôme, et le lien avec la courbe représentative, mais peu appropriée pour la découverte de la factorisation.
 \item Par contre, l'exercice p 42 ne nécessite pas de rappels, mais on peut en profiter sur le 1er exemple pour  
revenir sur les avantages des trois écritures : racine(s) du trinôme, tableau de signes et tableau de variations.\\
\end{itemize}

A partir de maintenant, on note $P(x)=ax^2+bx+c$ un trinôme quelconque.\\

\Cadre[Méthode pour transformer l'écriture de $P(x)$]{
On factorise par $a$ ($a\neq0$) : \hspace{20mm} $P(x)=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right)$\newline

On écrit le début de la parenthèse à l'aide de deux carrés, 
grâce à l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :
$$x^2+\dfrac{b}{a}x=\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}$$
On remplace et on réduit : \hspace{20mm} $P(x)=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}\right]=
a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\mathbf{b^2-4ac}}{4a^2}\right)$
}\\

\Defc{Cette derni\`ere expression, de la forme $a\left((x+\alpha)^2+\beta\right)$ s'appelle la 
\textbf{forme canonique} du trin\^ome $P$.\\
On appelle \textbf{discriminant} du trin\^ome, le nombre r\'eel not\'e $\Delta$, d\'efini par : $$\Delta=b^2-4ac$$
On peut alors écrire : 
$$ax^2+bx+c=a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right)$$}

\Rq{Les intérêts de cette écriture sont nombreux :
\begin{itemize}
\item Factoriser le trin\^ome lorsque ce sera possible (on pourra alors dire si le polyn\^ome poss\`ede 
ou non des racines, et lesquelles, ainsi que connaître son signe)
\item Dresser le tableau de variations de la fonction d\'efinie par $f(x)=ax^2+bx+c$ et tracer sa 
repr\'esentation graphique avec pr\'ecision.
\end{itemize}
} 

\Expl{\og Canoniser \fg le trin\^ome $x^2-7x+12$. Le factoriser si c'est possible.}

\Exos{\textit{Repères} : 42 à 46 p 30 (mettre sous forme canonique des trinômes, les factoriser si possible)\\
+ 58 p 32 (système $3 \times 3$ pour trouver l'expression d'un trinôme)\\
+ 66 p 34 (quelques propriétés sur les coefficients d'un trinôme)}

\section{Factorisation d'un trinôme et résolution de  l'équation $P(x)=0$}

On a vu que : \qquad  $ ax^2+bx+c=a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right)$\\
\begin{enumerate}
 \item Si $\Delta<0$, cette expression ne se factorise pas dans $\R$ (voir l'activité pour le raisonnement, question 3b.)\\
Dans ce cas, l'équation r\'esoudre $ax^2+bx+c=0$ revient \`a r\'esoudre 
$$a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right)=0 \iff  
\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}= 0 \iff \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$$
Comme $\Delta <0$ on voit clairement que l'équation $ax^2+bx+c=0$ n'a pas de solution.\\

\item Si $\Delta = 0$, on a alors l'expression factorisée : \qquad
$ax^2+bx+c=a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2\right)$\\
Dans ce cas, l'équation r\'esoudre $ax^2+bx+c=0$ revient \`a r\'esoudre 
$$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0 \iff x+\dfrac{b}{2a}=0 \iff x=-\dfrac{b}{2a}$$
L'équation $ax^2+bx+c=0$ possède alors une solution réelle (dite double) $x=-\dfrac{b}{2a}$.\\

\item Enfin si $\Delta>0$, on peut utiliser l'identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. On obtient alors :
\begin{eqnarray*}
ax^2+bx+c & = & \left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)-
\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)=0 \\ 
&=& \left(x+\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\dfrac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right) 
\end{eqnarray*}
Dans ce cas, l'équation r\'esoudre $ax^2+bx+c=0$ revient \`a r\'esoudre :
\begin{eqnarray*}
ax^2+bx+c=0 & \iff & \left(x+\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\dfrac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right) =0\\
& \iff & x=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \text{ ou } \qquad x=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}
\end{eqnarray*}
L'équation $ax^2+bx+c=0$ possède alors deux solutions réelles $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.\\
\end{enumerate}



\Propc{Soit $\Delta=b^2-4ac$ le discriminant d'un trin\^ome $ax^2+bx+c$. \\
\begin{itemize}
\item Si $\Delta <0$ le trinôme ne se factorise pas dans $\R$. 
\item Si $\Delta=0$ alors $ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$
\item Si $\Delta>0$ alors $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ o\`u $x_1$ et $x_2$ sont les racines du trin\^ome
\end{itemize}
}

\Dem{Voir ci-dessus
}

\Thc{
\begin{enumerate}
\item Si $\mathbf{\Delta<0}$ : l'\'equation n'a pas de solution r\'eelle
\item Si $\mathbf{\Delta=0}$ : l'\'equation a une solution $x_0=-\dfrac{b}{2a}$
\item Si $\mathbf{\Delta>0}$ : l'\'equation a deux solutions r\'eelles : 
$$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{ et } \quad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$
\end{enumerate}
}

\Dem{Voir ci-dessus
}

\Rqs{
\item Les formules obtenues pour $\Delta>0$ s'\'etendent \`a $\Delta\geq0$
\item Si les coefficients $a$ et $c$ sont de signes oppos\'es, alors le trin\^ome admet 
deux racines ; en effet, dans ce cas $\Delta=b^2-4ac>0$
}

\Expl{R\'esoudre dans $\R$ les \'equations suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $x^2-4x+4=0$
\item $-6x^2+x+1=0$
\item $5x^2+6x+2=0$
\item R\'epondre au probl\`eme initial
\item $x^2-2x=0$
\item $x^2-5=0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Exos{\textit{Repères : } 37 à 41 p 30 (calculs simples du discriminant)\\
+ 49-50 p 31 + 59 p 32 (discussion avec paramètres) \\
+ 56 p 32 (trouver l'expression d'un trinôme à partir de sa courbe représentative)\\
+ 68-69-71 p 34 (liens entre les racines d'un polynômes)}

\section{Signe d'un trin\^ome}
On cherche à connaître le signe d'un trinôme $P(x)=ax^2+bx+c$ suivant les valeurs de $x$.\newline

\begin{enumerate}
 \item Si $\Delta < 0$, on utilise la forme canonique. On sait que :
$$ P(x)=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$$
Comme $\Delta$ est n\'egatif, l'expression entre crochets est positive, le signe de $P(x)$ est donc le m\^eme que 
celui de $a$.
\item Si $\Delta = 0 $, on a  : 
$$P(x)=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$$
Le signe de $P(x)$ est donc le m\^eme que celui de $a$.
\item Si $\Delta>0$ alors en notant $x_1$ et $x_2$ ses racines, telles que $x_1<x_2$, on a :
$$ P(x)=ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$ 
\'Etablissons le tableau de signe :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.8]{$x$/1, $x-x_1$/1, $x-x_2$/1, $(x-x_1)(x-x_2)$/1,$P(x)$/1}{$-\infty$,$x_1$,$x_2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+}
\tkzTabLine{,-,t,-,z,+}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\tkzTabLine{,\text{Signe de }a,z,\text{Opposé de }a,z,\text{Signe de }a}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\Thc{Le trin\^ome $ax^2+bx+c$ est toujours du signe de $a$ sauf entre les racines lorsqu'elles existent. 
En particulier, lorsque $\Delta<0$, le trin\^ome est de signe constant.}

\Dem{Cf ci-dessus}

\Expl{R\'esoudre l'in\'equation $x^2-4x+1\leqslant0$}

\Exos{72-73 p 35 (lien expression/courbe/signe)\\
+ 75 p 36 (signe d'un trinôme)}

\section{Représentation graphique d'une fonction polyn\^ome de degr\'e 2}

\Defc{On appelle \textbf{fonction polyn\^ome du second degr\'e} toute fonction $f$, 
d\'efinie sur $\R$, pouvant se ramener \`a la forme :$$ f(x)=ax^2+bx+c \text{ o\`u $a$, $b$ et $c$ sont des 
r\'eels avec $a\neq 0$}$$}

%, notons $C_P$ la courbe d'\'equation $y=ax^2+bx+c$.\\

\Thc{Dans un rep\^ere $(O;\vec i, \vec j)$, la repr\'esentation graphique d'une fonction polyn\^ome du second 
degr\'e est une \textbf{parabole}. 
Elle est tourn\'ee vers le haut si $a>0$ et vers le bas si $a<0$. \\
Son axe de sym\'etrie est la droite verticale d'\'equation $x=-\dfrac{b}{2a}$.\\
Son sommet est le point $S$ de coordonnées $S\left(-\dfrac{b}{2a};-\dfrac{\Delta}{4a}\right)$}

\Dem[partielle]{D'apr\`es la forme canonique l'\'equation de la courbe s'\'ecrit encore :
$$ y=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$$
ce qui s'\'ecrit encore $Y=aX^2$ dans le rep\`ere o\`u $Y=y+\dfrac{\Delta}{4a}$ et $X=x+\dfrac{b}{2a}$. Ceci est donc l'\'equation d'une parabole.\newline
Le signe de $a$ conditionne donc l'orientation de cette parabole.\newline
La forme canonique nous permet aussi de lire les coordonnées de $S$.\\
La courbe représentative d'une fonction dans un repère orthogonal admet l'axe de symétrie vertical $x=-\dfrac{b}{2a}$ si et seulement
si pour tout $h \in \R$ on a $f\left(-\dfrac{b}{2a}+h\right)=f\left(-\dfrac{b}{2a}-h\right)$.\\
Or, $\forall h \in \R$ on a :\\
\begin{minipage}{9cm}
\begin{eqnarray*}
f\left(-\dfrac{b}{2a}+h\right)&=&a\left(-\dfrac{b}{2a}+h\right)^2+b\left(-\dfrac{b}{2a}+h\right)+c \\
&=& a\left(\dfrac{b^2}{4a^2}-2\dfrac{b}{2a}h+h^2\right)-\dfrac{b^2}{2a}+bh+c\\
&=& \dfrac{b^2}{4a}-bh+ah^2-\dfrac{b^2}{2a}+bh+c\\
&=& \dfrac{b^2}{4a}+ah^2-\dfrac{b^2}{2a}+c
\end{eqnarray*}
\end{minipage}
et 
\begin{minipage}{9cm}
\begin{eqnarray*}
 f\left(-\dfrac{b}{2a}-h\right)&=&a\left(-\dfrac{b}{2a}-h\right)^2+b\left(-\dfrac{b}{2a}-h\right)+c \\
&=& a\left(\dfrac{b^2}{4a^2}+2\dfrac{b}{2a}h+h^2\right)-\dfrac{b^2}{2a}-bh+c\\
&=& \dfrac{b^2}{4a}+bh+ah^2-\dfrac{b^2}{2a}-bh+c\\
&=& \dfrac{b^2}{4a}+ah^2-\dfrac{b^2}{2a}+c
\end{eqnarray*}
\end{minipage}

Donc $\forall h \in \R$ on a bien $f\left(-\dfrac{b}{2a}+h\right)=f\left(-\dfrac{b}{2a}-h\right)$.\\
D'où l'axe de symétrie vertical $x=-\dfrac{b}{2a}$ est un axe de symétrie de la courbe représentative de la fonction $f(x)$.
%Comme $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2>0$, on a : $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\geqslant-\dfrac{\Delta}{4a^2}$. On conclut en multipliant par $a$ suivant le signe de $a$
}

\Exos{51 à 55 p 31 (lien expression/courbe/signe)\\
+ 63 p 33 (choix de méthode pour trouver l'extremum) \\
+ 74 p 36 (signe à partir de la symétrie de la courbe)\\
\textbf{Approfondissement} : 67 p 34 (résolutions d'équations avec racines carrés, penser aux ensemble de définition !!)\\}

\newpage
\thispagestyle{empty}
\begin{landscape}
\begin{center}
\large{\textbf{R\'esum\'e} : $ P(x)=ax^2+bx+c $ avec $a \neq 0 \qquad \qquad \qquad \Delta=b^2-4ac$}
\end{center}
%\vspace{2mm}
%\newline
    \begin{large}
  \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}%{|>{\centering}p{1.5cm}|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{4cm}|>{\centering}p{5cm}|
%>{\centering}p{4cm}|}
  \hline
  $\Delta$ & \textbf{Factorisation} & \textbf{Racines} & \textbf{Signe} de $P(x)$ & \textbf{Parabole}  \\ 
  \hline
$\Delta >0$ &  $a(x-x_1)(x-x_2)$ 
& 
\begin{tabular}{c} Deux racines : \\\\$x_{1}=\dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}  $ \\\\$x_{2}=\dfrac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a}  $
\end{tabular} 
& 
\begin{tabular}{c} \\
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\tkzTabInit{$x$/1,\text{Signe de } $P(x)$/2}{$-\infty$,$x_1$,$x_2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,\text{Signe de }a,z,\text{Opposé de } a,z,\text{Signe de } a}
\end{tikzpicture}
\end{tabular}
 &
 \begin{small}
 \begin{tabular}{c} 
  \psset{xunit=0.6cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-3.3)(3,3)
\def\xmin{-3.7} \def\xmax{4} \def\ymin{-3.3} \def\ymax{3}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.1,-2.1)(4.1,3.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 1 sub x 1 add mul}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\uput[u](-3,2){$a>0$}

%\uput[ur](-1,0){$$}
\uput[ur](-2.2,0){$x_1$}
 \uput[ur](1.2,0){$x_2$}
 \uput[l](2,-2){$S\left(-\dfrac{b}{2a} ; \dfrac{\Delta}{4a^2}\right)$}

\endpsclip
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-3,0)(3,0) \uput[d](3,0){\small $x$}
\end{pspicture*}
\\
\psset{xunit=0.6cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-3.7,-2)(3,1)
\def\xmin{-3.7} \def\xmax{4} \def\ymin{-2} \def\ymax{1}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.1,-2.1)(4.1,1.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0 x 1 sub x 1 add mul sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\uput[u](-3,-2){$a<0$}


% \uput[ur](-0.3,1){S}
\uput[ur](-2.2,0){$x_1$}
 \uput[ur](1.2,0){$x_2$}
\endpsclip

\pcline[linewidth=1pt]{->}(-3,0)(3,0) \uput[d](3,0){\small $x$}

\end{pspicture*}
\end{tabular} 

\end{small}

 \\
\hline

$\Delta = 0$ &   $a(x-x_0)^2$ &
\begin{tabular}{c} \\ Une racine : \\\\$x_0=\dfrac{-b}{2a}  $\\
\end{tabular} 
& \begin{tabular}{c} \\
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\tkzTabInit{$x$/1,\text{Signe de } $P(x)$/2}{$-\infty$,$x_0$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,\text{Signe de }a,z,\text{Signe de } a}
\end{tikzpicture}
\end{tabular}
 & 
 \begin{small}
 \begin{tabular}{c} 
 \\
   \psset{xunit=0.6cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(3.5,3)
\def\xmin{-3} \def\xmax{5} \def\ymin{-3} \def\ymax{4}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2,-2.1)(4,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 1 sub x 1 sub mul}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\uput[ur](-3,2){$a>0$}

\psdot(1,0) \uput[r](-1.2,-1.4){$S\left(-\dfrac{b}{2a}; \dfrac{\Delta}{4a^2}\right)$}

\endpsclip
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-3,0)(4,0) \uput[d](3.6,0){\small $x$}
\end{pspicture*}
 \\
  \psset{xunit=0.6cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-3,-2.5)(3.5,0.1)
\def\xmin{-3} \def\xmax{5} \def\ymin{-2.5} \def\ymax{0.1}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2,-2.1)(4,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0 x 1 sub x 1 sub mul sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\uput[ur](-3,-2){$a<0$}

\psdot(1,0) 
%\uput[ur](-1,0){$x_0=-\dfrac{b}{2a}$}

\endpsclip
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-3,0)(4,0) \uput[d](3.6,0){\small $x$}
\end{pspicture*}
\end{tabular} 

\end{small}

 \\
\hline

$\Delta <0$  &  \begin{tabular}{c} pas  \\de \\  factorisation
\end{tabular}  
&
\begin{tabular}{c} Aucune  \\ racine \\  r\'eelle
\end{tabular} 
& \begin{tabular}{c} \\
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\tkzTabInit{$x$/1,\text{Signe de } $P(x)$/2}{$-\infty$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,\text{Signe de }a,}
\end{tikzpicture}
\end{tabular}
 & 
\begin{small}
 \begin{tabular}{c}  \\  
\psset{xunit=0.6cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(3.5,3)
\def\xmin{-3} \def\xmax{5} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2,-2.1)(4,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 1 sub x 1 sub mul 1 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\def\G{0}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{4}{\G}
\uput[ur](-3,2){$a>0$}

\uput[ur](-1.2,-2){$S\left(-\dfrac{b}{2a}; \dfrac{\Delta}{4a^2}\right)$}

\endpsclip
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-2,0)(4,0) \uput[d](3.6,0){\small $x$}
\end{pspicture*}
 \\
  \psset{xunit=0.6cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(3.5,0.1)
\def\xmin{-3} \def\xmax{5} \def\ymin{-5} \def\ymax{0.1}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2,-5.1)(4,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0 x 1 sub x 1 sub mul sub 1 sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\def\G{0}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{4}{\G}
\uput[ur](-3,-2.5){$a<0$}

%\psdot(1,0) \uput[ur](-0.5,0){$-\dfrac{b}{2a}$}

\endpsclip
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-2,0)(4,0) \uput[d](3.6,0){\small $x$}
\end{pspicture*}
\end{tabular}
 \end{small}

 \\
\hline
  \end{tabular}  
  \end{large}
%\end{tiny}
\end{landscape}

\section{Algorithmie et programmation}


\Cadre[Un peu d'histoire]{

\noindent Dans l'antiquit\'e, les math\'ematiques sont utilis\'ees pour les besoins quotidiens, tels que des calculs 
d'aires de champs, d'imp\^ots lors des crues du Nil, de constructions.
Elles servent aussi \`a r\'esoudre des probl\`emes dans lesquels figure une (ou plusieurs) quantit\'e inconnue \`a trouver. \\
Vers 1800-1500 avant JC, les Babyloniens savent déjà résoudre des équations du $1^{er}$ et du $2^{nd}$ degré.
On parle de ''chose'' à trouver et on suit un discours logique phrasé (peu clair pour nous aujourd'hui) pour arriver à une solution.\\
Ce n'est qu'au VIII$^e$ si\`ecle, avec l'introduction de la num\'eration positionnelle, des chiffres arabes et du z\'ero, 
que la th\'eorie générale prend place peu \`a peu. Le point de d\'epart est de d\'esigner dans des calculs l'inconnue 
par un symbole (aujourd'hui souvent la lettre $x$)  puis de mettre en \'equation les probl\`emes. \\
Rapidement, on comprend l'int\'er\^et d'une telle m\'ethode. C'est \textit{Al-Khawarizmi} qui le premier s'int\'eresse \`a cela et
classifie les différents types d'équations, afin que dans chaque problème, 
on n'ait plus qu'à reconnaitre le type d'équation et suivre la méthode générale appropriée, menant à la solution.
Le mot \textit{\textbf{algorithme}} découle de son nom et d\'esigne aujourd'hui \textbf{\textit{une proc\'edure \`a suivre, \`a partir d'un 
\'el\'ement donn\'e, pour arriver \`a une solution unique}}. \\
\noindent Jusqu'au d\'ebut du XIX$^e$, trouver des algorithmes de r\'esolutions d'\'equations constituent la 
pr\'eoccupation principale des alg\'ebristes. Ils d\'eveloppent la notation symbolique et la conventionnent :
au XVI$^e$ Viete s\'epare l'alphabet en deux, le d\'ebut d\'esignant plut\^ot 
les param\`etres, la fin les inconnues, ce qui est encore utilisé de nos jours. 
On cat\'egorise les \'equations suivants leurs param\`etres, leur degr\'e et 
leur nombre d'inconnues, afin de g\'en\'eraliser le plus possible leur r\'esolution.Parallèlement, la notion de fonction prend forme.\\
Les équations de degré 3 sont résolues par les italiens Tartaglia et Cardan au XVI$^e$ si\`ecle, et celles de degré 4
par l'élève de ce dernier, Ferrari. 
L'histoire des formules de résolution s'arrête là, car le français Evariste Galois (1811-1832) montre au XIX$^e$ qu'il
est impossible de trouver des formules de résolution pour les équations de degré supérieur ou égal à 5.\\
}\\


\Defc{
Un \textbf{algorithme} est une suite d'instructions, qui, une fois ex\'ecut\'ee correctement, conduit \`a un unique 
résultat.
}

\Expls{Indiquer un itinéraire allant d'un lieu à un autre, télécharger un ficher, compresser des données, les jeux vidéos,
les feux tricolores, les lumières de la tour Eifel, le pilote automatique des avions, la cryptographie ...\\
En mathématiques, vous connaissez déjà l'algorithme d'Euclide qui  permet de trouver le pgcd de deux nombres entiers positifs. \\
Les Babyloniens suivaient un algorithme très performant pour trouver une valeur approchée de la racine carré d'un nombre.\\
}

\Rqs{
\item 
Pour fonctionner, un algorithme doit contenir uniquement des instructions compr\'ehensibles par celui qui devra 
l'ex\'ecuter %(sinon il suffirait de dire pour indiquer un chemin d'aller de l\`a o\`u l'on est \`a l'endroit d\'esir\'e !).\\
\item En math\'ematiques, les algorithmes consistent par exemple en des suites d'op\'erations \`a effectuer (pour les 
fonctions notamment), 
ou des suites de manipulations \`a faire (pour construire une figure g\'eom\'etrique). \\
}

\Expl[Vocabulaire, démarche et rédaction]{
On souhaite un algorithme qui donne le type d'extremum d'une fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$f(x)=ax^2+bx+c$, sa valeur approchée et quand il est atteint. }
\begin{enumerate} \item \textbf{Détermination des variables : analyse préliminaire}
\begin{enumerate}
 \item Quelles sont les informations initiales dont nous avons besoin ?\\
On les appelle les \textit{entrées} de l'algorithme.
 \item Quelle condition avons-nous sur l'une de ces entrées ?
 \item Que doit-on calculer ?\\
% \item Que doit-on obtenir à la fin ?\\
On prendra l'habitude de faire afficher le(s) résultat(s) de l'algorithme, que l'on appelle \textit{sortie(s)}.\\
L'ensemble des données de l'algorithme pouvant variées (entrées-sorties) sont les \textit{variables}. 
\end{enumerate}
\item \textbf{Rédaction du processus français : l'algorithme}\\
On commence toujours un algorithme en énonçant les variables mises en jeu (désignées par des lettres), et en 
précisant leur nature (nombre, mot ...)\\
\textit{Saisir} une donnée permet à l'utilisateur d'attribuer une valeur à une variable (ce sont les entrées).\\
Lorsque la donnée remplie par l'utilisateur ne remplit pas l'une des conditions initiales, il faut 
lui redemander. 
On utilisera la boucle \og \textit{Tant que} \fg \, pour le faire jusqu'à ce que la donnée satisfasse 
toutes les conditions nécessaires.\\
\textit{Affecter} à une donnée une certaine valeur permet d'attribuer une valeur à une variable.\\
\textit{Afficher} permet à l'utilisateur de voir un texte entre guillemets ou la valeur d'une variable à l'écran.\\
La boucle \textit{Si} sert à différencier des cas.\\
 Compléter l'algorithme suivant  :
\Algo[Extremum d'un trinôme]{12cm}{
\Entree{ 
 ...., ...., ...., ...., ....  sont des nombres réels}
\Deb{
  Saisir  .... \\
  \While{ ......... }
    {Afficher "Erreur : ........................................................"\\
    Saisir ....}
  Saisir  ........ et ........\\
  Affecter à ........ la valeur .....\\
  Affecter à ........ la valeur .....\\
  \IfThenElse{ ........ }
    {    Afficher "La fonction f admet pour  ............ "}
    {    Afficher "La fonction f admet pour   ............ "}
  Afficher ...... " atteint en " ......
}
}
\item \textbf{La programmation : sur Algobox et sur TI}\\
Trouver comment programmer cet algorithme sur Algobox et sur votre calculatrice (ie avec le vocabulaire 
adapté au support) .\\
\end{enumerate}


\Exop{Ecrire un algorithme qui donne la valeur du $\Delta$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$f(x)=ax^2+bx+c$, ainsi que son nombre de racines éventuelles et leurs valeurs. \\
Le programmer sur votre calculatrice.
}


%\section{Deux autres fonctions de référence}

%\subsection{La fonction \og racine carré \fg}

%\subsection{La fonction \og valeur absolue \fg}

%\section{Etude des variations}

\end{document}
