\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 7}
\newcommand{\Ch}{D\'erivation et applications}
\newcommand{\Cl}{1SSI}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=1.8cm}

\setcounter{NumLecon}{7}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 
\debutSsCadreCha

\textbf{Introduction} : 
En Syldavie, on aime passer le temps en lâchant des billes sans vitesse initiale du haut des balcons, des tours, des falaises, 
etc ... et observer ce qui se passe.\\ 
En cinématique, chacun a appris que la distance parcourue en mètres par une au bout de $t$ secondes  est : 
$$d(t)=\dfrac12 gt^2  \qquad \qquad \text{ où } g \simeq 9.8 m.s^{-2}$$
\begin{enumerate}
 \item Calculer la vitesse moyenne d'une bille dans les intervalles de temps $[0;1]$, $[1;4.5]$ et $[4.5;5]$.
\item Proposer une méthode pour trouver une valeur approchée de la vitesse instantanée d'une bille au bout de $2$s. 
\end{enumerate}
\medskip
On veut en réalité évaluer la vitesse instantanée de la bille au bout de $t$ secondes. \\

\textbf{Partie A : Le point de vue cinématique}
 \begin{enumerate}
 \item Soit $h$ un réel strictement positif. \\
Calculer la vitesse moyenne de la bille en chute libre dans les intervalles de temps $[t ; t + h]$ et $[t-h ; t]$. \\
Vérifier les résultats sur : $ t_0 = 2$s et $h = 0,1$s.
\item \og La vitesse instantanée à l'instant $t$ est $v(t) = 9.8 t$ m.s$^{-1}$ \fg. Expliquer cette affirmation. 
\item \textbf{Application} : une bille est lâchée sans vitesse initiale d'une altitude de 25 mètres. Quelle est, en km/h, sa 
vitesse au moment de l'impact avec le sol ? 
\end{enumerate}   
\vspace{3cm}                
\begin{multicols}{2}
\textbf{Partie B : Le point de vue graphique}\\
Dans géogébra, on a créé 
\begin{itemize}
 \item la courbe $\mathscr C$, représentative de la fonction $d$ sur l'intervalle $[0;5]$
(échelle : X:Y = 1:20). 
\item un point $M$ quelconque sur la courbe $\mathscr C$, d'abs\-cisse $t$,
\item un curseur $h$ allant de $-5$ à $5$, d'incrémentation $0.01$, 
 \item le point $M_h$ de la courbe $\mathscr C$ et d'abscisse $t+h$, 
 \item la droite $(MM_h)$, \\
\textit{A ce stade, on fait varier le curseur $h$ pour observer le comportement de la droite $(MM_h)$}.\\
% \item la droite $\Delta(t)$ qui passe par $M$ et de coefficient directeur $9.8t$.\\
%\textit{A ce stade, on déplace $M$ pour observer le comportement de la droite $\Delta$.}
\end{itemize}

\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-8)(4,80)
\psset{algebraic=true,dotstyle=x,dotsize=8pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,
arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=10,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)
(0,0)(4,80)
\psplot[linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{0.0}{5.0}{4.9*x^2}
\psline(0.19,186.65)(1.83,186.65)
\psplot{0}{5}{(-42.88--55.13*x)/2.5}
%\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red]{0}{5}{(--4.9-9.8*x)/-1}
\psline[linestyle=dotted,dash=15pt 15pt](0,60.03)(3.5,60.03)
\psline[linestyle=dotted,dash=15pt 15pt](3.5,60.03)(3.5,0)
\psline[linestyle=dotted,dash=15pt 15pt](1,0)(1,4.9)
\psline[linestyle=dotted,dash=15pt 15pt](1,4.9)(0,4.9)
\rput[bl](1.18,0.95){$M$}
\rput[bl](3.62,55.74){$M_h$}
\rput[bl](3.7,74){\blue{$\mathscr C$}}
\rput[b](1,-8){$t$}
\rput[bl](3.3,-5){$t+h$}
\rput[br](-0.1,3){$d(t)$}
\rput[br](-0.1,55){$d(t+h)$}
%\rput[br](3.9,25){\red{$\Delta(t)$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

\begin{enumerate}
\item Calculer le coefficient directeur de la droite $(MM_h)$. Quel lien peut-on établir avec la partie A ?
\item On appelle $\Delta(t)$ la droite qui passe par $M$ et de coefficient directeur $9.8t$.\\ 
Sur le graphique ci-dessous, construire la droite $\Delta(t)$ lorsque $t=0,5$ ; puis lorsque $t=1$ et $t=3$. \\
Que constate-t-on ? Quel lien peut-on établir avec la partie A ?
\end{enumerate}
\newpage
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=2.8cm,yunit=0.14cm}
\begin{pspicture*}(-1,-5)(4,80)
\psgrid[xunit=0.7cm,yunit=0.7cm, subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(26,20)
\psset{algebraic=true,dotstyle=x,dotsize=8pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,
arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=10,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)
(0,0)(4,80)
\psplot[linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{0.0}{5.0}{4.9*x^2}
\psline(0.19,186.65)(1.83,186.65)
\rput[bl](3.7,74){\blue{$\mathscr C$}}
\end{pspicture*}
\\\\
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=2.8cm,yunit=0.14cm}
\begin{pspicture*}(-1,-5)(4,80)
\psgrid[xunit=0.7cm,yunit=0.70cm, subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(26,20)
\psset{algebraic=true,dotstyle=x,dotsize=8pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,
arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=10,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)
(0,0)(4,80)
\psplot[linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{0.0}{5.0}{4.9*x^2}
\psline(0.19,186.65)(1.83,186.65)
\rput[bl](3.7,74){\blue{$\mathscr C$}}
\end{pspicture*}

\newpage

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{5.2cm}|>{\centering}p{4cm}|>{\centering}p{4cm}|}
\hline
\multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $f(x)$} & 
\multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {$f'(x)$} & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} 
{Domaine de d\'erivabilit\'e} \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $k$ (nombre fix\'e) &  &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $x$ &  &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $x^2$ (fonction carr\'ee) &  &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $\dfrac{1}{x}$ (fonction inverse) &  &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $x^n$, $n \in \Z^*$ (fonction puissance) &  &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $\sqrt{x}$ (fonction racine) &  &  \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{1cm}

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|p{13cm}|}
\hline
\multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-3ex]{0pt}{8ex} Fonctions} & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {D\'eriv\'ees} & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {Exemples}\tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $ku$ & $ku'$ & Si $f_1(x)=5x^3$ \quad alors \quad $f_1'(x)=$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $u+v$ & $u'+v'$ & Si $f_2(x)=x+\dfrac{1}{x}$ \quad alors \quad  $f_2'(x)=$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $u\times v$ &  $u'v+uv'$ & Si $f_3(x)=x\sqrt{x}$ \quad alors \quad  $f_3'(x)= $  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $u^n$, $n \in \Z^*$ &  $nu'u^{n-1}$ & Si $f_4(x)=(5x+3)^7$ \quad alors \quad  $f_4'(x)= $  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $\dfrac{1}{v}$ & $-\dfrac{v'}{v^2}$ & Si $f_5(x)=\dfrac{1}{x^2-1}$ \quad alors \quad  $f_5'(x)=$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $\dfrac{u}{v}$ &$\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ & Si $f_6(x)=\dfrac{3x+2}{4-2x}$ \quad alors \quad  $f_6'(x)=$ \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\textit{Donner ci-dessous les calculs intermédiaires de chaque exemple ...}
\end{document}