\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Les suites}
\newcommand{\Cl}{1SSI}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=1.8cm}

\setcounter{NumLecon}{6}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 
\debutSsCadreCha

\Expl{On considère la suite $(u_n)$ définie pour $n\geq 0$ par $u_{n+1}=2 \sqrt{u_n}+2$ et $u_0=1$\newline
On considère la fonction $f$ vérifiant $u_{n+1}=f(u_n)$ définie par $f : x\longmapsto 2 \sqrt{x}+2$. \\
On a représenté ci-dessous la représentation graphique $\mathscr C_f$ de $f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y=x$, 
puis on a suivi les mêmes étapes que pour l'exemple précédent.
\begin{center}
\psset{xunit=2cm , yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.6)(8.5,8.6)
\def\xmin{0} \def\xmax{8} \def\ymin{0} \def\ymax{8}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-0.5,-0.6)(8.5,8.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{2 x sqrt mul 2 add}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=1pt,linestyle=solid]{0}{8}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{8}{\F}
\uput[0](3,6.5){$\mathscr C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,linewidth=1pt,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\uput[ur](7.5,8){\small $\Delta$}
\end{pspicture*}
\end{center}
}

\Expl{On considère la suite $(u_n)$ définie pour $n\geq 0$ par $u_{n+1}=-\dfrac{2}{3} u_n-1$ et 
$u_0=7$\newline
On considère la fonction $f$ vérifiant $u_{n+1}=f(u_n)$ définie par $f : x\longmapsto -\dfrac{2}{3}x-1$. \\
On a représenté ci-dessous la représentation graphique $\mathscr C_f$ de $f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y=x$, 
puis on a suivi les mêmes étapes que pour l'exemple précédent.
\begin{center}
\psset{xunit=1.3cm , yunit=1.3cm}
\begin{pspicture*}(-6.5,-6.6)(7.5,4.6)
\def\xmin{-6.5} \def\xmax{7.5} \def\ymin{-6.5} \def\ymax{4.5}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0 2 x mul 3 div sub 1 sub}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=1pt,linestyle=solid]{-8}{8}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-8}{8}{\F}
\uput[0](4.2,-3.5){$\mathscr C_f$}
\endpsclip
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\uput[dl](4.5,4){\small $\Delta$}
\end{pspicture*}
\end{center}
}

\vspace{0.5cm}
\setcounter{Acti}{2}
\Act{Soient les suites $(u_n)$, $(v_n)$, $(w_n)$  et $(t_n)$ définies sur $\N$ par :
$$u_n=2n+3 \qquad \qquad v_n=5 \times 0.8^n \qquad \qquad w_n=5 \times (-0.8)^n \qquad \text{ et } \qquad 
\left\{\begin{array}{l}
t_0=4 \\ t_{n+1}= t_n-3
 \end{array}\right.
$$
Comparer pour tout $n\in\N$ les termes suivants :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
  \item $u_{n+1}$ et $u_n$.
 \item $v_{n+1}$ et $v_n$.
 \item $w_{n+1}$ et $w_n$.  
\item $t_{n+1}$ et $t_n$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
}


\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-0.50)(7,7)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1cm}
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(7,7)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(7,7)
\pscustom[linewidth=0.04]
{
\newpath
\moveto(0,1)
\curveto(0,1)(0.25,0.1)(0.5,1.)
\curveto(0.6,1.7)(1,2)
\curveto(1.1,2.1)(1.4,4.4)(1.5,4.5)
\curveto(1.6,4.4)(1.7,4)(2,3.5)
\curveto(2.5,2.75)(2.75,3.8)(3,4)
\curveto(3.5,4.2)(3.7,4.3)(4,4.5)
\curveto(4.5,4.2)(4.8,4.5)(5,5)
\curveto(5.2,5.5)(5.5,6.5)(6,6)
}
\end{pspicture} 
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\Expl{
Graphiquement, cela se traduit ainsi : 
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=0.7cm , yunit=10cm}
\begin{pspicture*}(0,0.95)(25.1,1.8)
\def\xmin{-1} \def\xmax{25} \def\ymin{1} \def\ymax{1.8}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1.5}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{25}{\F}
\def\G{1.55}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{25}{\G}
\def\H{1.45}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{25}{\H}
\pscustom[fillstyle=hlines,hatchwidth=0.3pt,hatchsep=12pt,hatchcolor=gray,linestyle=solid]
{
\psplot{0}{25}{\G}
\psplot{25}{0}{\H}
}
\psdot(1,1)
\psdot(2,1.75)
\psdot(3,1.33)
\psdot(4,1.625)
\psdot(5,1.4)
\psdot(6,1.58)
\psdot(7,1.42)
\psdot(8,1.56)
\psdot(9,1.44)
\psdot(10,1.55)
\psdot(11,1.45)
\psdot(12,1.54)
\psdot(13,1.46)
\psdot(14,1.53)
\psdot(15,1.47)
\psdot(16,1.53125)
\psdot(17,1.471)
\psdot(18,1.527)
\psdot(19,1.473)
\psdot(20,1.525)
\psdot(21,1.476)
\psdot(22,1.522)
\psdot(23,1.478)
\psdot(24,1.52)
\psdot(25,1.48)
\psdot(26,1.519)
\uput[ur](-0.7,1.48){$\ell$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=black](10,0)(10,1.53)
\psline[linecolor=black]{<->}(1,1.45)(1,1.5)
\psline[linecolor=black]{<->}(1,1.5)(1,1.55)
\uput[ul](1,1.5){$\varepsilon$}
\uput[ul](1,1.45){$\varepsilon$}
\uput[ur](10,1.3){$10$ est le rang à partir duquel tous les termes}
\uput[ur](10,1.2){de la suite sont dans la bande hachurée dépaisseur choisie}
 \uput[ur](5,1.7){Illustration avec la suite définie pour tout $n\geq 1$ par $u_n=\dfrac{3n+(-1)^n}{2n}$ }
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=0.2,Ox=0,Oy=1]{->}(0,1)(\xmax,\ymax)
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{itemize}
\item Le graphique permet de conjecturer que la suite $(u_n)$ converge vers $\ell= \dots\dots$\\
\item Ici on a choisi $\varepsilon = \dots\dots \dots\dots$ et on a trouvé que pour $N=\dots\dots\dots\dots$, tous les termes de la suite $(u_n)$ 
étaient dans l'intervalle $]\dots\dots\dots\dots ; \dots\dots\dots\dots [$ pour $n\geq \dots\dots$.\\
\item Si on avait choisi $\varepsilon = 0.1$, on aurait trouvé que pour $N=\dots\dots\dots\dots$, tous les termes de la suite $(u_n)$
étaient dans l'intervalle $]\dots\dots\dots\dots; \dots\dots\dots\dots[$ pour $n\geq \dots\dots$.\\
\item Si on avait choisi $\varepsilon = 0.04$, on aurait trouvé que pour $N=\dots\dots\dots\dots$, tous les termes de la suite $(u_n)$
étaient dans l'intervalle $]\dots\dots\dots\dots; \dots\dots\dots\dots[$ pour $n\geq \dots\dots$.
\end{itemize}
}\\

\setcounter{Acti}{1}
\Act{
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$.\\
La suite $(u_n)$ est définie par $u_0=3$ et pour tout $n\geq 0$ on a $u_{n+1}=f(u_n)=\sqrt{u_n}$.\\
\textbf{Partie A : Tracer les premiers termes sur l'axe des abscisses}
\begin{enumerate}
 \item Tracer soigneusement la courbe $\mathscr C$ représentant $f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ sur $[0;3]$ 
dans un repère orthonormé avec pour unité 5 cm.
\item \begin{enumerate}
 \item Placer $u_0$ sur l'axe des abscisses. Placer $u_1=f(u_0)$ sur l'axe des ordonnées.
 \item Placer le point $A_1$ de $\Delta$ d'ordonnée $u_1$. Quelle est son abscisse ?\\
Placer alors $u_1$ sur l'axe des abscisses.
\item Sachant que $u_2=f(u_1)$, expliquer comment construire $u_2$ sur l'axe des abscisses. Le construire.
\end{enumerate}
\item Construire ainsi, pas à pas, sur l'axe des abscisses, les premiers termes de la suite jusqu'à $u_5$.
 \item Comment se poursuivrait le tracé si on pouvait agrandir le graphique ?\\
 Emettre des conjectures sur le comportement de la suite $(u_n)$.
%Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation de $(u_n)$ et sur sa limite éventuelle ?
\end{enumerate}
\textbf{Partie B : Influence du premier terme}
\begin{enumerate}
 \item Sur votre calculatrice, afficher de même les premiers termes de la suite $(v_n)$ définie par $v_0=0.1$ et 
pour tout $n$, $v_{n+1}=f(v_n)$.\\
\textit{Dans }\fbox{\textbf{Fenêtre}}, \textit{choisir $X$ et $Y$ entre 0 et 1.}
\item Emettre des conjectures sur le comportement de la suite $(v_n)$.
\end{enumerate}
}

\vspace{2cm}

\setcounter{Acti}{3}
\Act{Soient les suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ définies sur $\N$ par :
$$u_n=\dfrac1n \qquad \qquad v_n=n^2-3 \qquad \qquad w_n=(-1)^n$$
\begin{enumerate}
 \item Etudier le sens de variation de chacune de ces suites.
 \item %Calculer pour chacune des suites les termes de rang $100$, $1000$, $10^6$ et $10^{6}+1$.\\
Conjecturer graphiquement le \og comportement à l'infini \fg de ces suites.
\item \begin{enumerate}
       \item Déterminer un entier $p$ tel que pour tout entier $n\geq p$, on ait $0 \leq u_n \leq 10^{-6}$.
\item Peut-on faire de même en remplaçant $10^{-6}$ par n'importe quel réel $\varepsilon >0$ ?
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item Déterminer un entier $p'$ tel que pour tout entier $n\geq p'$, on ait $v_n \geq 10^{10}$.
\item Peut-on faire de même en remplaçant $10^{10}$ par n'importe quel réel $M$ ?
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
}


%\Act{
%Soit $(u_n)$ une suite et $p<q$ deux entiers naturels. 
%\begin{enumerate}
% \item  Combien de termes comporte les sommes suivantes : 
%\begin{enumerate}
% \begin{multicols}{4}
%\item   $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5}u_k$ 
% \item $\displaystyle\sum_{k=0}^{5}u_k$ 
%  \item $\displaystyle\sum_{k=1}^{p}u_k$ 
% \item $\displaystyle\sum_{k=0}^{p}u_k$ 
% \end{multicols}
%\end{enumerate}
% \item \begin{enumerate}
% \item Conjecturer intuitivement le nombre de terme de la somme $\displaystyle\sum_{k=14}^{25}u_k$
%\item  Réécrire cette somme  sous la forme  $\displaystyle\sum_{k=1}^{\dots}u_{k+\dots}$
% \item En déduire son nombre de termes. Votre intuition était-elle bonne ?
%\item Comment retrouver le nombre de termes de cette somme à partir des indices de départ et d'arrivée ?
%\end{enumerate}
% \item Combien de termes contient la somme $\displaystyle\sum_{k=p}^{q}u_k$  ?
%\end{enumerate}
%}  

\end{document}

 