\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 4}
\newcommand{\Ch}{Vecteurs et droites}
\newcommand{\Cl}{1SSI}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=2cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 
\debutSsCadreCha

\Act{\textbf{Rappels et colinéarité}\\
Dans Géogébra, on a créé la figure suivante (montrée au vidéo-projecteur, la figure est distribuée aux élèves).
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-14,-7)(13,7)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-14,-7)(13,7)
\psset{algebraic=true,dotstyle=x,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-14,-7)(13,7)
\psline{->}(2,2)(10,6)
\psline{->}(8,-6)(12,-4)
\psline{->}(1,0)(-3,-2)
\psline{->}(-4,2)(-13,-2.5)
\psline{->}(-6,4)(-2,6)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2,2)
\rput[bl](1.6,2.2){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](10,6)
\rput[bl](10.07,6.11){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](8,-6)
\rput[bl](7.78,-5.7){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](12,-4)
\rput[bl](12.07,-3.8){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,0)
\rput[bl](1.09,0.12){\blue{$E$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-3,-2)
\rput[bl](-3.19,-1.8){\blue{$F$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-4,2)
\rput[bl](-3.92,2.12){\blue{$G$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-13,-2.5)
\rput[bl](-12.85,-3){\blue{$H$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-6,4)
\rput[bl](-5.85,3.5){\blue{$I$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-2,6)
\rput[bl](-1.85,5.5){\blue{$J$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Caractérisation de vecteurs}
\begin{enumerate}
        \item Que possèdent en commun les vecteurs créés ?
 \item Que possèdent en plus les vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{GH}$ ?\\
  Et les vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{CD}$ ?\\
  Que dire des vecteurs $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{IJ}$ ?\\
 Quel quadrilatère est alors un parallélogramme ?
\item Quel mot traduit le fait que des vecteurs aient la même direction ?\\
\textit{Regarder dans Géogébra la relation entre deux vecteurs de la figure de même direction.}
\item Ecrire les égalités vectorielles qui existent entre $\overrightarrow{AB}$ et chacun des autres vecteurs.
       \end{enumerate}
\item \textbf{Coordonnées de vecteurs}
\begin{enumerate}
 \item Que représente les coordonnées de chacun des vecteurs créés que Géogébra inscrit dans sa colonne de gauche ?
 \item Comment peut-on les retrouver pour chaque vecteur à partir des coordonnées de ses points extrêmes ?
\item Ecrire sous la forme de système les égalités vectorielles de la question 1.d.
\item Que cela signifie-t-il sur les coordonnées des vecteurs ?
\end{enumerate}
\item \textbf{Application}\\
Les vecteurs suivants sont-ils colinéaires ? Si oui, préciser le coefficient de colinéarité :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
  \item $ \vec u \left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array}\right) \quad \text{ et } \quad \vec v \left(\begin{array}{c} 3\\12 \end{array}\right) $
 \item $ \vec w \left(\begin{array}{c} 5\\3 \end{array}\right) \quad \text{ et } \quad \vec z \left(\begin{array}{c} -6 \\-4 \end{array}\right) $
 \item $ \overrightarrow{Lolo} \left(\begin{array}{c} -12 \\ 4 \end{array}\right) \quad \text{ et } \quad \overrightarrow{N\'{e}n\'{e}} \left(\begin{array}{c} 135\\-45 \end{array}\right) $
 \item $ \overrightarrow{Fabrice} \left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \end{array}\right) \quad \text{ et } \quad \overrightarrow{Cl\'{e}ment} \left(\begin{array}{c} -2 \\ \dfrac43 \end{array}\right) $
\end{multicols}
\end{enumerate}
\item \textbf{Condition nécessaire et suffisante}\\
On veut s'affranchir de la recherche du coefficient de colinéarité $k$ et trouver un test numérique simple pour 
prouver la colinéarité de deux vecteurs.\\
Soient $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs non nuls, dont on connait les coordonnées respectives 
$\left(\begin{array}{c} x \\y \end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{c} x'\\ y' \end{array}\right)$.
\begin{enumerate}
 \item \underline{Condition nécessaire} : on suppose que $\vec u $ et $\vec v$ sont colinéaires.\\
Traduire ce que cela signifie à l'aide des coordonnées de ces vecteurs.\\
Montrer qu'en combinant les égalités obtenues, on obtient :\\
Si $\vec u $ et $\vec v $  sont colinéaires, alors $xy'-yx'=0$.
\item \underline{Condition suffisante} : on suppose que l'on a l'égalité $xy'-yx'=0$.\\
Comme $\vec u$ est non nul, l'une de ses coordonnées est non nulle, par exemple son abscisse $x$. 
Posons alors $k=\dfrac{x'}{x}$ (si $x$ est nul, on prendra alors $k=\dfrac{x}{x'}$ et la méthode restera la même).\\
Exprimer alors $y'$ en fonction de $y$.\\
Que peut-on alors dire sur les coordonnées des deux vecteurs ? Conclure.
\item \textit{Cas particulier} : Que peut-on dire du vecteur $\vec 0$ ? Vérifier que la condition fonctionne aussi avec ce vecteur.
\end{enumerate}
\item \textbf{Application}\\
Dire si les vecteurs suivants sont colinéaires, en utilisant la condition nécessaire et suffisante démontrée ci-dessus.
\begin{enumerate}
 \begin{multicols}{2}
 \item $ \overrightarrow{Wanda} \left(\begin{array}{c} 4\\-9 \end{array}\right) \quad \text{ et } \quad \overrightarrow{Nouki} \left(\begin{array}{c} 3.5 \\ -7.8 \end{array}\right) $
 \item $ \overrightarrow{Ana} \left(\begin{array}{c}6.4 \\3.1 \end{array}\right) \quad \text{ et } \quad \overrightarrow{Gui} \left(\begin{array}{c} 22.4 \\ 10.85 \end{array}\right) $
 \item $ \overrightarrow{Dounia} \left(\begin{array}{c}\dfrac12 \\ -6 \end{array}\right)\quad \text{ et } \quad \overrightarrow{Nejema} \left(\begin{array}{c} -\dfrac53 \\ 20 \end{array}\right) $ 
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

%\newpage
\vspace{0.1cm}
\Act{\textbf{Décomposition de vecteur}
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Lecture.}\\
Dès lors que l'on choisit deux vecteurs non colinéaires du plan, on crée un moyen de repérer tous les autres vecteurs
de ce plan : on a choisi une base.\\
On considère les deux figure suivantes :
\begin{multicols}{2}
 \begin{center}
  Figure 1 \\
\newrgbcolor{zzzzzz}{0.6 0.6 0.6}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.65cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(1,0.5)(13.5,7)
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-0--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--8--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-0--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-8--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-16--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-24--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-32--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-40--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-48--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-56--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-64--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-72--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--1-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--2-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--3-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--4-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--5-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--6-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--7-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--8-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--9-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--10-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--11-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--12-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-80--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-88--8*x)/4}
\psline[linecolor=red,linewidth=1.8pt]{->}(2,2)(4,2)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.8pt]{->}(1.5,3)(2,4)
\psline[linecolor=blue]{->}(5,6)(9,6)
\psline[linecolor=blue]{->}(8.5,3)(6.5,5)
\psline[linecolor=blue]{->}(9.5,3)(8.5,1)
\psline[linecolor=blue]{->}(3,6)(3,4)
\psline[linecolor=blue]{->}(10.5,5)(13,6)
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-96--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-104--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--8--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--16--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--24--8*x)/4}
\rput[bl](2.6,2.22){$\vec u$}
\rput[bl](1.,3.3){$\vec v$}
\rput[bl](6.74,6.16){$\vec w_1$}
\rput[bl](7.54,4.26){$\vec w_4$}
\rput[bl](9.1,1.52){$\vec w_2$}
\rput[bl](3.12,5.24){$\vec w_5$}
\rput[bl](11,5.58){$\vec w_3$}
\end{pspicture*}\\
Figure 2 :\\
\newrgbcolor{zzzzzz}{0.6 0.6 0.6}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(3,-4)(10,4)
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-0--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--8--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-0--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-8--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-16--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-24--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-32--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-40--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-48--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-56--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-64--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-72--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--1-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--2-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--3-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--4-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--5-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--6-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--7-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--8-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--9-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--10-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--11-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--12-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-80--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-88--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-96--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-104--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--8--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--16--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--24--8*x)/4}
\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{->}(4,0)(3.73,0.54)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{->}(7.5,-3)(8.5,-1)
\psline[linecolor=blue]{->}(5,2)(5.5,1)
\psline[linecolor=blue]{->}(6.5,3)(4.02,3)
\psline[linecolor=blue]{->}(5.5,-1)(7,0)
\rput[bl](4.22,0){$\vec v$}
\rput[bl](7.62,-2){$\vec u$}
\rput[bl](5.34,1.7){$\vec w_7$}
\rput[bl](4.94,3.22){$\vec w_9$}
\rput[bl](5.94,-1.4){$\vec w_8$}
\end{pspicture*}
 \end{center}
\end{multicols}
Ecrire chaque vecteur $\vec w_i$ sous la forme d'une somme vectorielle du type : $\vec w_i =  \spadesuit \vec u +\clubsuit \vec v$
(où le coeur et le trèfle désignent des réels à déterminer). 
\item \textbf{Utilisation de la décomposition.}
\begin{enumerate}
 \item Construire un parallélogramme $ABCD$.\\
Placer les points $I$ et $J$ tels que $\overrightarrow{BI}=\dfrac12 \overrightarrow{AB}$ et 
$\overrightarrow{AJ}=2\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{CD}$.
\item On désire prouver l'alignement des points $I$, $J$ et $C$ à l'aide de relations vectorielles.
\begin{enumerate}
 \item Exprimer $\overrightarrow{AC}$ dans la base $\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AD}\right)$ et montrer
que $\overrightarrow{AI}=\dfrac32\overrightarrow{AB}$ et que $\overrightarrow{AJ}=3\overrightarrow{AD}$.
\item En déduire l'expression des vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IC}$ dans la base 
$\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AD}\right)$.
\item En comparant les deux composition obtenues, prouver que les vecteurs  $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IC}$ 
sont colinéaires. Conclure.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\end{document}

 