\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Classe de $T^{\text{ale}}$ S }
\author{C. Aup\'erin}
\date{2010-2011}

\newcommand{\ch}{Objectif BAC}	
\newcommand{\Ch}{R.O.C}	
\newcommand{\Cl}{Terminale S}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
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\begin{document}

\pagestyle{styleCha}
\lhead{\ch}
\rhead{\Ch}
\hrule
\begin{huge}
\vspace{1cm}
R.O.C : Restitution Organisée des Connaissances\\
\\
\begin{center}\Cl\\
\textit{Extrait d'annales} \end{center}
\vspace{1cm}
\end{huge}
\hrule
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages


\tableofcontents 
\thispagestyle{empty}
\clearpage


\section{Géométrie}
\subsection{Nombres Complexes}


\Rqs{
\item Pour les ROC sur les nombres conjugués, utiliser les écritures algébriques est souvent une bonne méthode.
\item Pour les ROC sur les interprétations géométriques, cela s'avèrent en général inutile et compliqué.
}


\Cadre[Formules sur le conjugué]{\textbf{Prérequis}
\\
Soit $z$ un nombre complexe tel que $z = a + b\text{i}$ où $a$ et $b$ sont deux nombre réels.
 \\
On note $\overline{z}$, le nombre complexe défini par $\overline{z} = a - b\text{i}$.
\\
\textbf{Questions}
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tous nombres complexes $z$ et $z',~ \overline{z \times z'} = \overline{z} \times \overline{z'}$. 
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, et tout nombre complexe $z,~ \overline{z^n} = \left(\overline{z} \right)^n$.
\end{enumerate}}

\Dem{\begin{enumerate}
\item \textbf{Idée : 
Calculer \textcolor{red}{séparément}, en \textcolor{red}{notation algébrique}, les deux membres de l'égalité.
}\\

Notons $z=a+ib$ et $z'=c+id$ avec $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre réels. Alors :
$$ \overline{z \times z'} = \overline{(a+ib)(c+id)}=\overline{ac-bd+i(bc+ad)}=ac+bd-i(bc+ad)$$
D'autre part, $$ \overline{z} \times \overline{z'}=(a-ib)(c-id)=ac-bd-i(bc+ad) $$
Donc on a bien $\overline{z \times z'} = \overline{z} \times \overline{z'}$.\\


\item \textbf{Idée : Faire une \textcolor{red}{récurrence}.}\\

\textbf{Initialisation} : Pour $n=1$, il est évident que $\overline{z^1} = \overline{z}= \left(\overline{z} \right)^1$.\\

\textit{Remarque : on vient égalément de démontrer que la propriété pour $n=2$.}\\

\textbf{Hérédité} : 
Supposons qu'il existe un $n\geq 1$ tel que $ \overline{z^{n}} = \left(\overline{z} \right)^{n}$, on a alors :
$$\overline{z^{n+1}}=\overline{z^{n}\times z}=  \overline{z^{n}} \times \overline{z}=\left(\overline{z} \right)^{n}\times \overline{z}=\left(\overline{z} \right)^{n+1}$$
La propriété est héréditaire et initialisée.\\

\textbf{Conclusion} : Pour tout $n\geq 1$ on a $\overline{z^n} = \left(\overline{z} \right)^n$.
\end{enumerate}}

\newpage
\Cadre[Nature d'un nombre complexe et module]{\begin{enumerate}
\item Démontrer qu'un nombre complexe $z$ est imaginaire pur si et seulement si $\overline{z} =  -z$.
\item Démontrer qu'un nombre complexe $z$ est réel si et seulement si $\overline{z}= z$.
\item Démontrer que pour tout nombre complexe $z$, on a l'égalité : $z\overline{z} = |z|^2$.
\end{enumerate}}

\Dem{\begin{enumerate}
\item[1. \textbf{et 2.}] \textbf{Idées : 
\begin{itemize}
 \item Calculer en \textcolor{red}{notation algébrique $z+\overline{z}$} et \textcolor{red}{$z-\overline{z}$}.
 \item \textcolor{red}{Traduire} sur l'expression algébrique le fait que $z$ soit imaginaire pur ou réel.
\end{itemize}
}

\textit{Remarque : L'implication est évidente et pourrrait se faire sans la deuxième idée, mais la démarche présentée ici permet de montrer l'équivalence demandée.}
\\

 Notons $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ deux réels. Ainsi : 
$$z+\overline{z}=a+ib+a-ib=2a\quad  \text{ et } \quad z-\overline{z}=a+ib-(a-ib)=2ib$$
 On en déduit immédiatement que :
$$ z \text{ est imaginaire pur} \Longleftrightarrow a=0\Longleftrightarrow z+\overline{z}=0\Longleftrightarrow \overline{z}=-z$$
$$ \text{$z$ est réel}\Longleftrightarrow b=0\Longleftrightarrow z-\overline{z}=0\Longleftrightarrow z=\overline{z}$$

\item[\textbf{3.}] \textbf{Idée : Utiliser les \textcolor{red}{notations algébriques}.}
$$z\overline{z}=(a+ib)(a-ib)=a^2-iab+iab-i^2b=a^2+b^2=|z|^2$$
\end{enumerate}
}
\newpage
\Cadre[Formules sur le module]{
\emph{Pr\'erequis :  le module d'un nombre complexe $z$, not\'e $|z|$, v\'erifie $|z|^2 =z\overline{z}$ o\`u $\overline{z}$ est le conjugu\'e de $z$.}\\
D\'emontrer que :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  pour tous nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$,
~ $| z_{1} \times z_{2}| =| z_{1}| \times | z_{2}|$.
\item[$\bullet~$] pour tout nombre complexe $z$ non nul, 
$\left|\dfrac{1}{z}\right|  = \dfrac{1}{|z|}$.
\end{itemize}
}

\Dem{\textbf{Idée : aucune, on applique le prérequis à $z_1z_2$ et à $\dfrac{1}{z}$.}
\begin{itemize}
 \item 
Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes. On a
\begin{eqnarray*}
| z_{1} \times z_{2}|^2 & = & z_1z_2 \times \overline{z_1z_2} \quad \text{d'après le prérequis}\\ 
&=& z_1\overline{z_1} \times z_2\overline{z_2} \\
&=& |z_1|^2|z_2|^2
\end{eqnarray*}
Comme le module d'un nombre complexe est positif, on a $|z_1z_2|=|z_1||z_2|$.
\item  
Soit $z$ un nombre complexe. On a 
\begin{eqnarray*}
\left| \dfrac{1}{z} \right|^2 & = & \dfrac{1}{z} \times \overline{\dfrac{1}{z}} \quad \text{ d'après le prérequis}\\ 
&=& \dfrac{1}{z} \times \dfrac{1}{\overline{z}} ~=~ \dfrac{1}{z\overline{z}} ~=~ \dfrac{1}{|z|^2} ~=~ \left(\dfrac{1}{|z|}\right)^2
\end{eqnarray*}
Comme le module d'un nombre complexe est positif, on a $\left|\dfrac{1}{z}\right|  = \dfrac{1}{|z|}$.
\end{itemize}
}

\newpage
\Cadre[Interprétation de l'argument d'un quotient]{
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$.\\
On prend comme prérequis les résultats suivants :
\begin{itemize}
 \item si $z$ et $z'$ sont deux nombres complexes non nuls, alors : $\arg(zz') = \arg(z)+\arg(z')$ à $2k\pi$ près, 
avec $k$ entier relatif ;
\item pour tout vecteur $\vec w$ non nul d’affixe $z$, on a : $\arg(z) = (\vec u ; \vec w)$ à $2k\pi$ près, 
avec $k$ entier relatif.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
 \item Soit $z$ et $z'$ des nombres complexes non nuls, démontrer que :
$$\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)= \arg(z) - \arg(z') ~\text{ à }~ 2k\pi ~\text{ près, avec } ~k ~\text{ entier relatif.}$$
 \item Démontrer que si $A$, $B$ et $C$ sont trois points du plan, deux à deux distincts, d'affixes respectives $a,~b,~c$,
on a 
$$\left(\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AC}}\right) = \text{arg}\left(\dfrac{c - a}{b - a} \right) \quad [2\pi]$$ 
\end{enumerate}
}

\Dem{
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Idées : 
\begin{itemize}
 \item Ecrire \textcolor{red}{$~\dfrac{z}{z'}=z\times \dfrac{1}{z'}~$} pour appliquer le premier prérequis.
 \item Appliquer ce résultat quand \textcolor{red}{$z=z'$} pour démontrer 
\textcolor{red}{$\arg\left(\dfrac{1}{z}\right)=-\arg(z) \quad [2\pi]$}.\\
\end{itemize}
}

D'après le premier prérequis, pour tous $z$, $z'$ on a : 
$$\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\arg\left(z\times \dfrac{1}{z'}\right)=\arg(z) + \arg\left(\dfrac{1}{z'}\right) 
\quad [2\pi]$$
En particulier, si $z=z'$ on a :
\begin{eqnarray*}
\arg\left(\dfrac{z}{z}\right) & = & \arg(z)+\arg\left(\dfrac{1}{z}\right) \quad [2\pi] \\
\iff \arg(1) & = & \arg(z)+\arg\left(\dfrac{1}{z}\right) \quad [2\pi] 
\end{eqnarray*}
Comme $\arg(1)=0 ~[2\pi]$, on vient de montrer que pour tout $z$ on a :
$\qquad \arg\left(\dfrac{1}{z}\right)=-\arg(z) \quad [2\pi] $

Finalement, en revenant à notre première égalité pour tous $z$, $z'$,  on a : $$\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z') ~[2\pi]$$

\item \textbf{Idées : 
\begin{itemize}
 \item Introduire $\vec u$ dans $ \left(\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AC}\right)$ grâce à la \textcolor{red}{relation de Chasles} pour appliquer le deuxième prérequis.
 \item Utiliser ce que l'on a démontré en 1.
\end{itemize}
}
\begin{eqnarray*}
 \left(\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AC}\right) &=& \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{u}\right)+\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AC}\right) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \text{(Chasles)}\\
&=& -\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AB}\right)+\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AC}\right)\\
  &=&-\arg\left(z_{\overrightarrow{AB}}\right) + \arg\left(z_{\overrightarrow{AC}}\right) \qquad \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\text{(deuxième prérequis)}\\
&=&-\text{arg}(b - a)+\text{arg}(c - a) = \text{arg}\left(\frac{c-a}{b-a}\right)\qquad [2\pi] \qquad\qquad \text{(d'après le 1.)}
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
}

\newpage
\Cadre[Formules sur le module et l'argument]{\begin{minipage}{1\textwidth}\textbf{Prérequis} : On rappelle les deux résultats suivants :\\
\textbf{i.}  Si $z$ est un nombre complexe non nul, on a l'équivalence suivante :
\[\left\{\begin{array}{lcl}
|z|&=&r\\
\text{arg}~z &=& \theta~[2\pi]\\
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{lcl}z&=&r(\cos \theta + \text{i}\sin \theta)\\
r & > & 0\\ \end{array}\right.\]
\textbf{ii.} Pour tous nombres rels $a$ et $b$ :
\[\left\{\begin{array}{l cl}
\cos (a + b)&=&\cos a\cos b - \sin a\sin b\\
\sin (a + b)&=&\sin a\cos b + \sin b \cos a\\
\end{array}\right.\]
\end{minipage}
Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls.
Démontrer les relations :
\[\left|zz'\right|  = \left|z\right|\left|z'\right|\qquad ~\text{et } \qquad \arg\left(zz'\right) = \text{arg}\left(z) + \text{arg}(z'\right)~[2\pi]\]}

\Dem{\textbf{Idées :
\begin{itemize}
 \item Calculer \textcolor{red}{$zz'$} en \textcolor{red}{notation trigonométrique} 
 \item Utiliser le deuxième prérequis pour en déduire le module et l'argument de ce nombre.\\
\end{itemize}
}

\textit{Remarque : on peut aussi revenir aux écritures algébriques, mais c'est plus lourd, ou encore utiliser
la formule  $|z|^2=z\overline{z}$ appliquée à $zz'$.}\\

D'après le premier prérequis, on peut écrire $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ et $z'=r'(\cos\theta'+i\sin\theta')$,  alors 
$$zz'=rr'[(\cos\theta\cos\theta'-\sin\theta\sin\theta')+i(\sin\theta\cos\theta'+\cos\theta\sin\theta')]$$ 
D'après le deuxième prérequis, on a alors :
$$zz'=rr'(\cos(\theta+\theta')+i\sin(\theta+\theta'))$$
Ainsi, nous arrivons aux résultats : 
$$|zz'|=rr'=|z||z'| \qquad \text{ et } \qquad \arg(zz')=\theta + \theta' = \arg(z)+\arg(z') \quad[2\pi]$$
}

\newpage
\Cadre[Ecriture complexe de la rotation]{Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$.\\
Pour $M \neq \Omega$, on rappelle que le point $M'$ est l'image du point $M$ par la rotation $r$ de centre $\Omega$ et d'angle de mesure $\theta$ si et seulement si:
\[
\left\{
\begin{array}{rclc}
\Omega M'&=&\Omega M & (1)\\
\left(\overrightarrow{\Omega M}~;~\overrightarrow{\Omega M'}\right)&=&\theta \text{ à }2k\pi\text{ près }(k\in\Z) &(2)
\end{array}
\right.
\]
\begin{enumerate}
\item Soient $z$, $z'$ et $\omega$ les affixes respectives des points $M$, $M'$ et $\Omega$.
\\
Traduire les relations (1) et (2) en termes de modules et d'arguments.
\item En déduire l'expression de $z'$ en fonction de $z$, $\theta$ et $\omega$
\end{enumerate}}

\Dem{
\begin{enumerate}
\item \textbf{Idée : aucune, il suffit de connaître ses formules}\\

La relation (1) se traduit par  $|z'-\omega|=|z-\omega|$. \\

La relation (2) se traduit par : $\arg\left(\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}\right)=\theta \quad [2\pi]$.\\

\item \textbf{Idée :
En déduire \textcolor{red}{$\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}$} sous \textcolor{red}{forme exponentielle}.
}\\

\textit{Remarque : Attention à bien répondre à la question posée : on veut $z'$ en fonction de $z$, $\theta$ et $\omega$.
}
\begin{multicols}{2}
On a $ \left|\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}\right|= \dfrac{|z'-\omega|}{|z-\omega|}=1$.\\
 De plus, $\arg\left(\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}\right)=\theta \quad [2\pi]$ .
\end{multicols}

Donc le nombre complexe $\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}$ peut s'écrire : $\qquad \dfrac{z'-\omega}{z-\omega}=e^{i\theta}~$.\\

On en déduit alors que : $\quad z'-\omega= e^{i\theta}(z-\omega)~$, \\

Ce qui équivaut à : $\qquad \quad ~ ~ z'=e^{i\theta}(z-\omega)+\omega~$.
\end{enumerate}
}

\newpage
\Cadre[Ecriture complexe de la rotation]{On suppose connus les résultats suivants :
\begin{enumerate}
\item Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes $z_{A},~z_{B}$  et $z_{C}$ trois points $A,~ B$ et $C$.
\\
Alors $\left|\dfrac{z_{B} - z_{C}}{z_{A} - z_{C}}  \right|= \dfrac{CB}{CA}~$ et $~\arg\left(\dfrac{z_{B} - z_{C}}{z_{A} - z_{C}}  \right) = \left(\overrightarrow{CA},~\overrightarrow{CB} \right) \quad (2\pi)$.
\item 	Soit $z$ un nombre complexe et soit $\theta$ un réel :
\\
$z = \text{e}^{\text{i}\theta}$  si et seulement si  $|z| =1~$ et $~\arg(z) = \theta + 2k\pi$, où $k$ est un entier relatif.
\end{enumerate}
\emph{Démonstration de cours} :  démontrer que la rotation $r$ d'angle $\alpha$ et de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ est la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que
\[z' - \omega = \text{e}^{\text{i}\alpha}(z - \omega).\]}

\Dem{
\textbf{Idées : 
\begin{itemize}
 \item Rappeler les \textcolor{red}{propriétés de la rotation}.
 \item En déduire \textcolor{red}{$\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}$} sous \textcolor{red}{forme exponentielle}.\\
\end{itemize}
}
On sait que si $M'$ est l'image de $M$ par la rotation r, alors : 
$$\Omega M=\Omega M'\Longleftrightarrow \dfrac{\Omega M}{\Omega M'}=1\Longleftrightarrow \dfrac{|z'-\omega|}{|z-\omega|}=1 \iff \left|\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}\right|=1$$
De plus on sait que : 
$$ \left(\overrightarrow{\Omega M'},~\overrightarrow{\Omega M} \right) =\theta \quad (2\pi) \iff 
 \arg\left(\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}  \right) = \theta \quad (2\pi)$$
Par conséquent le nombre complexe $\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}$ a pour module $1$ et pour argument $\theta$, on 
peut donc écrire, en utilisant la forme exponentielle, que : $$ \dfrac{z'-\omega}{z-\omega}=e^{i\theta}$$
On en déduit alors que : $z'-\omega= e^{i\theta}(z-\omega)$
}

\newpage
\subsection{Espace (Produit Scalaire et Barycentre)}
\Cadre[Equation d'une sphère de centre et de rayon donnés]{
Soit $\mathscr S$ la sphère de centre $\Omega(x_0;y_0;z_0)$ et de rayon $r$, démontrer que $\mathscr S$ admet une équation de la forme :
$$ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2$$
}

\Dem{
\textbf{Idée : aucune, il suffit de traduire l'appartenance d'un point $M$ à $\mathscr S$ en termes de distance, puis de coordonnées.}\\

 $$M(x;y;z)\in \mathscr S\Longleftrightarrow \Omega M^2=r^2\Longleftrightarrow  (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2$$
}

\Cadre[Equation cartésienne d'un plan]{
On considère l'espace muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.\\
Montrer l'équation cartésienne d'un plan dont on connaît un vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$ et un point $A(x_0;y_0;z_0)$ est de la forme :
$$ ax+by+cz+d=0$$
}

\Dem{\textbf{Idées :
\begin{itemize}
 \item Remarquer qu'un point $M$ appartient à $\mathscr P$ si et seulement si \textcolor{red}{$\overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=0$},
 \item Traduire cela en termes de \textcolor{red}{coordonnées}.\\
\end{itemize}
}

\textit{Remarque : Trouver une équation d'un objet signifie trouver une condition nécessaire et suffisante sous forme 
d'une égalité, sur les coordonnées d'un point pour qu'il y appartienne.}\\

Pour tout point $M$ de l'espace on a :
\begin{eqnarray*}
M(x;y;z)\in P & \Longleftrightarrow & \overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=0 \\
& \iff &  a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0 \\
&\Longleftrightarrow &  ax+by+cz-ax_0-by_0-cz_0=0
\end{eqnarray*}
En posant $d=-ax_0-by_0-cz_0$ on obtient que 
$$M(x,y,z) \in \mathscr P \iff ax+by+cz+d=0$$ 
}

\newpage

\Cadre[Lieu géométrique]{
On considère trois points A, B et C de l'espace et trois réels $a, b$ et $c$ de somme non nulle.
 
Démontrer que, pour tout réel $k$ strictement positif, l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que 
$\|a \vect{M\text{A}} + b \vect{M\text{B}} + c \vect{M\text{C}}\| = k$ est une sphère dont le centre est le 
barycentre des points A, B et C affectés des coefficients respectifs $a,\, b$ et $c$.
}

\Dem{\textbf{Idée : aucune, il suffit d'introduire le \textcolor{red}{barycentre} suggéré}\\

Soit $G$ le barycentre des poitns $(A,a)$, $(B,b)$ et $(C,c)$ (il exsite car $a+b+c \neq 0$.\\
Alors
\begin{eqnarray*}
 \|a \vect{M\text{A}} + b \vect{M\text{B}} + c \vect{M\text{C}}\| &=& 
\| a\left(\vect{MG}+\vect{GA}\right)+b\left( \vect{MG}+\vect{GB} \right) + c\left( \vect{MC}+\vect{CM} \right)\| \\
&=& \| (a+b+c)\vect{MG} + a\vect{GA} + b\vect{GB}+c\vect{GC} \| \\
&=& \| (a+b+c)\vect{MG} \| \qquad \text{ car $G$ est le barycentre de } ~(A,a)~, ~(B,b)~ ,~(C,c)\\
&=& (a+b+c)MG
\end{eqnarray*}
Ainsi, l'ensemble des points $M$ tels que $\|a \vect{M\text{A}} + b \vect{M\text{B}} + c \vect{M\text{C}}\| = k$
est l'ensemble des points $M$ situé à la distance $\dfrac{k}{a+b+c}$ de $G$ (ceci existe car $a+b+c \neq 0$.\\
Il s'agit de la sphère de centre $G$ et de rayon $\dfrac{k}{a+b+c}$.
}


\newpage
\Cadre[Distance d'un point à un plan]{
Soit $a, b, c$ et $d$ des réels tels que $(a,~b,~c) \neq (0,~0,~0)$.
Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$.

On considère le point $I$ de coordonnées $\left(x_{1},~ y_{1} ,~z_{1}\right)$ et le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées 
$(a,~b,~c)$.

Le but de cette partie est de démontrer que la distance de $I$ au plan $\mathcal{P}$ est égale à 
$\dfrac{\left|ax_{1} + by_{1} + cz_{1} + d\right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

\begin{enumerate}
\item  Soit $\Delta$ la droite passant par $I$ et orthogonale au plan $\mathcal{P}$.\\
Déterminer, en fonction de $a,~ b,~ c,~ x_{1},~ y_{1}$ et $z_{1}$, un système d'équations paramétriques de $\Delta$.
\item On note $H$ le point d'intersection de $\Delta$ et $\mathcal{P}$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'il existe un réel $k$ tel que $\vect{IH} = k\vect{n}$.
		\item Déterminer l'expression de $k$ en fonction de $a,~ b,~  c,~ d,~ x_{1},~ y_{1}$ et $z_{1}$.
		\item En déduire que $IH = \dfrac{\left|ax_{1} + by_{1} + cz_{1} + d\right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Dem{
\begin{enumerate}
\item \textbf{Idées : 
\begin{itemize}
 \item Expliquer pourquoi un point $M \in \Delta$ si et seulement s'il existe $~t \in \R~$ tel que \textcolor{red}{$~\vect{IM} = t \vect{n}~$}, 
 \item Traduire cela en termes de \textcolor{red}{coordonnées}.\\
\end{itemize}
}

On sait que $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan $P$, donc $\vect n$ est un vecteur directeur de $\Delta$. \\
Ainsi un point $~M(x~;~y~; ~z) \in \Delta~$ si et seulement s'il existe $~t \in \R~$ tel que $~\vect{IM} = t \vect{n}~$.\\ 
En termes de coordonnées, cela donne : 
\[ \left\{\begin{array}{l c l}
x - x_{I}&=&t \times a\\
y - y_{I}&=&t \times  b \\
z - z_{I}&=& t \times c\\
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&x_{I} +  at\\
y  &=& y_{I} +  bt \\
z  &=& z_{I} +  ct\\
\end{array}\right.\]
Une \'equation param\'etrique  de la droite $\Delta$ est donc $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&x_{I} +  at\\
y  &=& y_{I} +  bt \qquad (t \in\R)\\
z  &=& z_{I} +  ct\\
\end{array}\right.$.

\item $H$ est un point de $\Delta$, donc il v\'erifie lui aussi la relation de colin\'earit\'e :
\[ \vect{IH} = k \vect{n},~\text{avec}~k \in \R.\]

\item \textbf{Idée : \textcolor{red}{Traduire $H = \Delta \cap \mathscr P$} par un \textcolor{red}{système} d'inconnue $k$ à résoudre.}\\

$H = \Delta \textcolor{red}{\cap} \mathscr P$ donc ses coordonnées vérfient $\left\{\begin{array}{l}
x_{H} =x_{I} +  ak\\
y_{H} = y_{I} + bk\\
z_{H}  = z_{I} + ck\\
ax_H + by_H + cz_{H} + d = 0\\
\end{array}\right.$ 
\begin{eqnarray*}
 \text{On en déduit que} &: & a(x_{I} +  ak) + b(y_{I} + bk) + c(z_{I} + ck) + d = 0 \\
 &\iff & k\left(a^2 + b^2 + c^2\right) + ax_{I} + by_{I} + cz_{I} + d = 0 \\
&\iff &  k = - \dfrac{ax_{I} + by_{I} + cz_{I} + d}{a^2 + b^2 + c^2} \quad 
\text{(car $a,~b$ et $c$ ne sont pas simultan\'ement nuls)}
\end{eqnarray*}

\item D'après le 2a., on a :
$$IH = |k||\vect{n}| =  \dfrac{\left|ax_{I} + by_{I} + cz_{I} + d\right|}{a^2 + b^2 + c^2} \times\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \dfrac{\left|ax_{I} + by_{I} + cz_{I} + d\right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$
\end{enumerate}
}

\newpage
\Cadre[Distance d'un point à un plan]{
Soit $A$ le point de coordonnées $(x_A;y_A;z_A)$ et $\mathscr P$ le plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ où
 $a$, $b$ et $c$ sont des réels qui ne sont pas tous nuls.
Montrer que la distance du point $A$ au plan $\mathscr P$ est donné par :
$$ d(A;\mathscr P)=\dfrac{\mid ax_A+by_A+cz_A+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
}

\Dem{
\textbf{Idées : 
\begin{itemize}
 \item Introduire le \textcolor{red}{projeté orthogonal} $H$ de $A$ sur $\mathscr P$, ainsi qu'un \textcolor{red}{vecteur normal} $\vect n $ de $\mathscr P$.
 \item Calculer \textcolor{red}{$\left|\vect{AH}\cdot \vect n\right|$} de \textcolor{red}{deux manières différentes} :
\begin{itemize}
 \item[$\bullet$] En remarquant que $\vect{AH}$ et $\vect n$ sont \textcolor{red}{colinéaires}.
 \item[$\bullet$] En remarquant que les \textcolor{red}{coordonnées} de $H$ vérifient l'équation de $\mathscr P$.\\
\end{itemize}
\end{itemize}
}

\textit{Remarque : on peut aussi refaire la démonstration précédente à partir du 2.}\\

Notons $H(x_H ; y_H ; z_H)$ le projeté orthogonal de $A$ sur $P$.\\
Nous savons que le vecteur $\vec{n}(a;b;c)$ est normal à $P$.\\

Donc les vecteurs $\vec{n}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont colinéaires.\\
Autrement dit, il existe un réel $t$ tel que : 
$$ \overrightarrow{AH}=t\vec{n}$$

Par conséquent $$\left| \overrightarrow{AH}\cdot \vec{n}\right|=| AH \times ||\vect n || \times \underbrace{\cos\left(\vect{AH}~,~\vect{n}\right)}_{\pm 1}| = AH\times \left|\left|\vec{n}\right|\right|$$

De plus, $H\in P$ donc on a 
$$~ax_H+by_H+cz_H+d=0~ \iff ax_H+by_H+cz_H  = -d$$
Ce qui entraîne :
\begin{eqnarray*}
\left| \overrightarrow{AH}\cdot \vec{n}\right| &=& \left|a(x_H-x_A)+b(y_H)-y_A)+c(z_H-z_A) \right|\\
 &=& | ax_H+by_H+cz_H -x_A-y_A-z_A |\\
 & = & |-d -ax_A-by_A-cz_A |\\
&=& |ax_A+by_A+cz_A+d|
\end{eqnarray*}

Au final : $$ AH\times \left|\left|\vec{n}\right|\right|=\left|ax_A+by_A+cz_A+d\right|$$

$$\Longleftrightarrow AH=\dfrac{\left|ax_A+by_A+cz_A+d\right|}{\left|\left|\vec{n}\right|\right|}=\dfrac{\left|ax_A+by_A+cz_A+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
}


\newpage
\section{Analyse}

\subsection{Suites}

\Cadre[Convergence de deux suites adjacentes]{Démontrer à l'aide de la définition et des deux propriétés ci-dessous que si 
$\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même limite.\\
\textit{\textbf{Définition}} : Deux suites sont adjacentes lorsque l'une est croissante, l'autre est décroissante et la 
différence des deux converge vers $0$.\\
\textit{\textbf{Propriété}} : Si deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes avec 
$\left(u_{n}\right)$ croissante et $\left(v_{n}\right)$ décroissante alors pour tout entier naturel 
$n,~ v_{n} \geqslant u_{n}$.\\
\textit{\textbf{Propriété}} : Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.}

\Dem{\textbf{Idées :
\begin{itemize}
 \item Remarquer que pour tout $n$ on a \textcolor{red}{$ u_0\leq u_n\leq v_n\leq v_0$} pour utiliser la deuxième propriété.
 \item Etudier la \textcolor{red}{limite de la différence}.\\
\end{itemize}
 }

On considère deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ adjacentes, avec $(u_n)$ croissante et $(v_n)$ décroissante.\\
La première propriété implique que pour tout $n$ on a : $ \quad  u_0\leq u_n\leq v_n\leq v_0$.\\

Ainsi, $(u_n)$ est une suite croissante majorée par $v_0$ : elle converge vers un réel $l$.\\
De même, $(v_n)$ est une suite décroissante et minorée par $u_0$ : elle converge vers un certain réel $l'$.\\

Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} (v_n-u_n) = l'-l$.
Mais d'après la définition donnée, on a $\lim\limits_{n \to +\infty} (v_n-u_n)=0$.\\

Par unicité de la limite, on trouve  $\quad l'-l=0 \iff l'=l$. \\
Donc les suites convergent vers la même limite.
}



\Cadre[Divergence vers $+\infty$ d'une suite croissante non majorée]{
\textbf{Prérequis} : définition d'une suite tendant vers plus l'infini.
\\
\og \emph{une suite tend vers $ + \infty $
 si, pour tout réel $A$, tous les termes de la suite sont, à partir d'un certain rang, supérieurs à $A$} \fg.
 \\
Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non majorée tend vers $ + \infty $.}

\Dem{\textit{Remarque : il s'agit de montrer que lorsqu'une suite est croissante et non majorée, pour n'importe quel 
nombre, on peut trouver un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont supérieurs à ce nombre.}\\

\textbf{Idées : 
\begin{itemize}
 \item \textcolor{red}{Poser $A$} un nombre quelconque.
 \item Traduire la \textcolor{red}{non majoration} de $(u_n)$ par rapport à ce $A$, puis sa \textcolor{red}{croissance},
 \item \textcolor{red}{Conclure} grâce à la définition.\\
\end{itemize}
}

Soit $A$ un nombre réel quelconque et $(u_n)$ une suite croissante non majorée. \\

Puisque $(u_n)$ n'est pas majorée, il existe un certain entier, disons $N$, tel que : $\quad  u_N\geq A$\\
Puisque $(u_n)$ est croissante, alors pour tout $n\geq N$ on a : $\quad  u_n\geq u_{N}\geq A$.\\

Ainsi pour tout réel $A$, tous les termes de $(u_n)$ sont, à partir d'un certain rang $N$, 
supérieurs à $A$. \\
Par définition, nous pouvons conclure que $(u_n)$ tend vers $+\infty$.
}

\subsection{Exponentielle}

\Cadre[Solutions de l'équation différentielle $y'=ay$, où $a\in\R$]{On suppose connu le résultat suivant :\\
La fonction $x \mapsto  \text{e}^x$ est l'unique fonction $\varphi$ dérivable sur $\R$ telle que $\varphi' = \varphi$, et $\varphi(0) = 1$.
\\
Soit $a$ un réel donné.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{ax}$ est solution de l'équation $y' = ay$.
		\item Soit $g$ une solution de l'équation $y'= ay$. Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)  = g(x)\text{e}^{-ax}$. Montrer que $h$ est une fonction constante. 
		\item  	En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $y' =  ay$.
	\end{enumerate}}
	
\Dem{
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{Idée : aucune, il suffit de comparer $f'(x)$ et $af(x)$.}\\

		Pour tout $x\in\R$, on a $$ f'(x)=ae^{ax}=af(x)$$
		Par conséquent $f$ est solution de l'équation $y'=ay$.\\

		\item \textbf{Idée : Montrer que pour tout $x \in\R$, on a \textcolor{red}{$h'(x)=0$} en utilisant la définition de $g$.}\\

		Pour tout $x\in\R$, on a :
\begin{eqnarray*}
 h'(x) & = & g'(x)e^{-ax}+g(x)\times (-a)e^{-ax} \quad \text{(dérivée du produit de $g(x)$ et de $e^{-ax}$)}\\
& = & e^{-ax}\left(g'(x)-ag(x)\right) \\
& = & e^{-ax}\times 0 \qquad\qquad\qquad \text{ car $g$ est solution de } y'=ay\\
&= & 0
\end{eqnarray*}
	Par conséquent, $h$ est une fonction constante.\\

		\item \textbf{Idée : aucune, il suffit de conclure.}\\

D'après la question précédente si $g$ est une solution de $y'=ay$ alors, 
pour tout $x\in\R$ :
$$g(x)e^{-ax}=K \Longleftrightarrow g(x)=Ke^{ax}$$
Les solutions de l'équation $y'=ay$ avec $a$ un réel donné sont donc les fonctions de la forme $x \mapsto Ke^{ax}$ où $K\in\R$.
	\end{enumerate}}
	
\newpage
\Cadre[Solution de l'équation différentielle $y'=ay+b$]{
 On utilisera le résultat suivant : les solutions de l'équation différentielle $y'= a y$ où $a \in \R$ sont les fonctions $g$ définies sur $\R$ par $g(x) = K\text{e}^{ax}$ où $K \in  \R$.

Le but de cette partie est de déterminer les solutions de l'équation différentielle (E) $y'= ay + b$  où $a \in \R^{*}$ et $b \in \R$.
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)= -\dfrac{b}{a}$ est une solution de (E). 
\item Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. Démontrer l'équivalence suivante : $f$ est solution de (E) $\iff f - u$ est solution de l'équation différentielle $y'= a y$. 
\item En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E).
\end{enumerate}
}


\Dem{	\begin{enumerate}
		\item \textbf{Idée : aucune, il suffit de calculer \textcolor{red}{séparemment} $u'(x)$ et $au(x)+b$.}\\

Pour tout $x\in\R$, on a $\quad  u'(x)=0 \quad $ et $\quad au(x)+b=a\times \left(-\dfrac{b}{a}\right)+b=0$.\\ 
		
Par conséquent $u$ est solution de l'équation $y'=ay+b$.\\

		\item \textbf{Idée : Procéder par \textcolor{red}{équivalences} et utiliser le fait que 
\textcolor{red}{$u'=au+b$}.}
\begin{eqnarray*}
\text{$f$ est solution de } (E) & \iff &  f'= af+b\\
&\Longleftrightarrow & f'-u'=af+b-u'\\
&\Longleftrightarrow & (f-u)'=af+b-(au+b) \qquad \text{puisque} u'=au+b\\
&\Longleftrightarrow & (f-u)'=a(f-u)\\
&\Longleftrightarrow & \text{$f-u$ est solution de l'équation différentielle $y'=a y$}
\end{eqnarray*}
		
\item \textbf{Idée : aucune, il suffit d'appliquer le prérequis pour trouver l'\textcolor{red}{expression de $f-u$} 
puis de \textcolor{red}{$f$}.}
\begin{eqnarray*}
\text{$f$ est solution de } y'=ay+b & \iff &\text{$f-u$ est solution de l'équation différentielle $y'=ay$}\\
& \iff & (f-u)(x)=K\mathrm{e}^{a x} \text{ où } K\in\R \text{ d'après le prérequis}\\
& \iff & f(x)=K\mathrm{e}^{a x}+u(x) = K\mathrm{e}^{a x} -\dfrac{b}{a}
\end{eqnarray*}
Les solutions de $(E)$ sont donc les fonctions de la forme $x \mapsto K\mathrm{e}^{a x} -\dfrac{b}{a}$ où $K\in\R$.
\end{enumerate}
}

\newpage
\Cadre[Equation différentielle]{\textsc{Pr\'e-requis :}\\
Les solutions de l'\'equation diff\'erentielle $y'=-\lambda y$ sont 
les fonctions $x\mapsto C\mathrm{e}^{-\lambda x}$ o\`u $C$ est une 
constante r\'eelle.\\
Le but de cette question est de d\'emontrer l'existence et l'unicit\'e de la solution $z$ de 
l'\'equation diff\'erentielle (E'$_{\lambda}$)~:
$$z'=-(\lambda z+ 1) \text{ telle que } z(0) = 1$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f$ définie sur $\R$ par $\quad  f(x)=-\dfrac{1}{\lambda} \quad $
est solution de $\quad z'=-(\lambda z+1)$.
\item Montrer que $z$ est solution de $z'=-(\lambda z+1)$ est équivalent à $z-f$ est solution de l'équation différentielle $y'=-\lambda y$.
\item En déduire l'ensemble des solutions $z$ de l'équation différentielle $z'=-(\lambda z+1)$.
\item En déduire l'existence et l'unicité de la solution de (E'$_{\lambda}$) dont on donnera l'expression $z_0$
\end{enumerate}
}

\Dem{\begin{enumerate}
\item \textbf{Idée : aucune, il suffit de calculer \textcolor{red}{séparemment} $f'(x)$ et $-(\lambda f(x)+1)$.}\\
Pour tout $x\in\R$ on a $\quad f'(x)=0\qquad \text{et}\qquad -(\lambda f(x)+1)=-\left(\lambda \times \dfrac{-1}{\lambda}+1\right)=0$.\\

Par conséquent, $f'=-(\lambda f+1)$ et  $f$ est solution de $z'=-(\lambda z+1)$.\\

\item \textbf{Idée : Procéder par \textcolor{red}{équivalences} et utiliser le fait que \textcolor{red}{$f'=-(\lambda f+1)$}.}
\begin{eqnarray*}
\text{$z$ est solution de } z'=-(\lambda z+1) & \iff &  z'=-(\lambda z+1) \\
&\Longleftrightarrow & z'-f'=-(\lambda z+1)-f'\\
&\Longleftrightarrow & (z-f)'=-(\lambda z+1)-[-(\lambda f+1)] \qquad \text{puisque} f'=-(\lambda f+1)\\
&\Longleftrightarrow & (z-f)'=-\lambda z -1 +\lambda f + 1\\
&\Longleftrightarrow &  (z-f)'=-\lambda(z- f)\\
&\Longleftrightarrow & \text{$z-f$ est solution de l'équation différentielle $y'=-\lambda y$}
\end{eqnarray*}
\item \textbf{Idée : aucune, il suffit d'appliquer le prérequis pour trouver l'\textcolor{red}{expression de $z-f$} puis de \textcolor{red}{$z$}.}
\begin{eqnarray*}
\text{$z$ est solution de } z'=-(\lambda z+1) & \iff &\text{$z-f$ est solution de l'équation différentielle $y'=-\lambda y$}\\
& \iff & (z-f)(x)=C\mathrm{e}^{-\lambda x} \text{ où } C\in\R \text{ d'après le prérequis}\\
& \iff & z(x)=C\mathrm{e}^{-\lambda x}+f(x) = C\mathrm{e}^{-\lambda x} -\dfrac{1}{\lambda}
\end{eqnarray*}
Les solutions de $z'=-(\lambda z+1)$ sont donc les fonctions de la forme $x \mapsto C\mathrm{e}^{-\lambda x} -\dfrac{1}{\lambda}$ où $C\in\R$.\\

\item \textbf{Idée : Trouver $z_0$ en utilisant sa forme générale et la \textcolor{red}{condition initiale}.}\\
L'éventuelle solution $z$ de (E'$_{\lambda}$) est donc de la forme $x \mapsto C\mathrm{e}^{-\lambda x} -\dfrac{1}{\lambda}$ où $C\in\R$.\\
On sait de plus que l'on doit avoir  $\quad z(0)=1 \iff  C-\dfrac{1}{\lambda}=1\Longleftrightarrow C=1+\dfrac{1}{\lambda}$.\\
Ainsi (E'$_{\lambda}$) admet une unique solution qui est 
$$ z_0(x)=\left(1+\dfrac{1}{\lambda}\right)\mathrm{e}^{-\lambda x}+\dfrac{1}{\lambda}$$
\end{enumerate}}



\newpage
\Cadre[Propriétés de la fonction exponentielle]{
On supposera connus les résultats suivants :
\begin{itemize}
 \item $e^0=1$
 \item Pour tous réels $x$ et $y$, $e^x \times e^y = e^{x+y}$
\end{itemize}
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que, pour tout réel $x$, $e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$
 \item Démontrer que, pour tout réel $x$ et pour tout entier naturel $n$, $(e^x)^n=e^{nx}$
\end{enumerate}
}

\Dem{
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Idée : Appliquer le deuxième prérequis à $x$ et \textcolor{red}{$y=-x$}.}\\

Pour tout réel $x$, d'après le deuxième prérequis on a :
$$ e^x \times e^{-x} = e^{x-x}=e^0=1$$
On en déduit immédiatement $e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$.\\

 \item \textbf{Idée : Faire une \textcolor{red}{récurrence}.}\\

\textbf{Initialisation : } pour $n=0$.\\
On a $(e^x)^0=1$ et $e^{0 \times x}=e^0=1$.\\
Donc $(e^x)^0=e^{0 \times x}$ et la propriété est initialisée.\\

\textbf{Hérédité :} On suppose qu'il existe un $n$ tel que $(e^x)^n=e^{nx}$. Montrons alors que $(e^x)^{n+1}=e^{(n+1)x}$.\\
\begin{eqnarray*}
(e^x)^{n+1}&=& (e^x)^n \times e^x \\
&=& e^{nx} \times e^x \qquad \text{d'après l'hypothèse de récurrence}\\
&=& e^{nx+x}  \qquad \text{d'après le prérequis}\\
&=& e^{(n+1)x}  
\end{eqnarray*}
La propriété est héréditaire.\\

\textbf{Conclusion : } La propriété est vraie pour tout $n$.


\end{enumerate}

}


\newpage
\Cadre[Croissance comparée]{
L'objet de cette question est de d\'emontrer que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 
+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$.\\
On suppose connu les résultats suivants :
\begin{itemize}
 \item la fonction exponentielle est dérivable sur $\R$ et est égale à sa dérviée ;
 \item $e^0=1$
 \item pour tout réel $x$, on a $e^x > x$
 \item Soient deux fonctions $\phi$ et $\psi$ définies sur $[A; + \infty[$ où $A$ est un réel positif.\\
Si pour tout $x$ de $[A;+\infty[$, $\psi(x) \leq \phi(x)$ et si $\lim\limits_{x \to + \infty} \psi(x)=+\infty$ alors $\lim\limits_{x \to + \infty} \phi(x)=+\infty$
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ d\'efinie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) =\mathrm{e}^x-\dfrac{x^2}{2}$.\\
Montrer que pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[$, $g(x)\geqslant 0$. 
\item En d\'eduire que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$
\end{enumerate}}

\Dem{\begin{enumerate}
\item \textbf{Idée : Dresser le \textcolor{red}{tableau de variations} de $g$.}\\

Pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[$ on a : $\quad  g'(x)=e^x-\dfrac{2x}{2}=e^x-x$.\\
D'après le troisième prérequis, on a donc $g'(x) > 0$ pour tout $x \in\R$. \\

De plus $g(0)=e^0-0=1$. D'où le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /0.5,$g’(x)$/0.5,$g$/1}{$0$, $+\infty$}% 
\tkzTabLine{ , + , }% 
\tkzTabVar{ -/$1$,+/  } 
\end{tikzpicture} 
\end{center}

Ainsi pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[$, $ g(x)\geq 0$.\\

\item \textbf{Idée : \textcolor{red}{Transformer l'inégalité du 1.} pour utiliser le dernier prérequis.}\\

Pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[$ : 
$$ g(x)\geq 0 \iff e^x\geq \dfrac{x^2}{2} \iff \dfrac{e^x}{x}\geq \dfrac{x}{2} \quad  \text{ car } x>0$$
Or $\lim\limits_{x \to + \infty} \dfrac{x}{2} = +\infty$.\\

D'après le dernier prérequis, on a donc $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$.
\end{enumerate}
}

\newpage
\Cadre[Croissance comparée]{
 Montrer que pour tout $x\in\R$ on a $e^x>x$.
}
 
\Dem{\textbf{Idée :  Dresser le \textcolor{red}{tableau de variations} de la fonction $f$ définie sur $\R$ par \textcolor{red}{$f(x)=e^x-x$}.}\\

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=e^x-x$$
$f$ est une fonction dérivable sur $\R$ et $f'(x)=e^x-1$\\
$f'(x)=0\Longleftrightarrow e^x=1\Longleftrightarrow e^x=e^0\Longleftrightarrow x=0$
\begin{center}
\begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /1,$f’(x)$/1,$f$/2}{$ -\infty$,$0$,$+\infty $}% 
\tkzTabLine{ , - , z , + , }% 
\tkzTabVar{+/ $ $ , -/$1$ , +/$ $ } 
\end{tikzpicture} 
\end{center}
Par conséquent $f(x)> 0$ pour tout $x\in\R$ i.e :
$$ e^x-x>0 \Longleftrightarrow e^x>x$$
}

\Cadre[Croissance comparée]{
On suppose connu le résultat suivant : 
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = +\infty$.

Démontrer que : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{-x} = 0.$
}

\Dem{\textbf{Idée : Ecrire $x\text{e}^{-x}$ en fonction de $\dfrac{e^x}{x}$.}\\

Pour tout $x>0$ on a $\quad x\text{e}^{-x} = \dfrac{x}{e^x}=\dfrac{1}{\frac{e^x}{x}}$.\\

Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$. \\
Par conséquent on a  :
$$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} xe^{-x}=\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{1}{\frac{e^x}{x}}=0$$
}


\newpage
\subsection{Logarithme népérien}

\Cadre[Propriétés du logarithme népérien]{\textbf{Pr\'erequis :}
On rappelle que pour tout $a>0$ et pour tout $b>0$ on a :
$$ \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b).$$
Utiliser le r\'esultat pr\'ec\'edent pour d\'emontrer que
\[
\ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=-\ln(b) \qquad \textrm{ et que }\qquad\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)
\]
}


\Dem{\textbf{Idée : Appliquer le prérequis à $a$ et \textcolor{red}{$b=\dfrac{1}{a}$} et écrire \textcolor{red}{$\dfrac{a}{b}=a\times \dfrac{1}{b}$}.}\\

En particulier, pour $b=\dfrac1a$ on a :
\begin{eqnarray*}
&&\ln \left(a \times\dfrac{1}{a}\right)=\ln a+\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)\\
&\Longleftrightarrow & \ln(1)=\ln(a)-\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)\\
& \iff & 0= \ln(a)-\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)\\
& \iff &\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)=\ln(a)
\end{eqnarray*}
On en déduit :
$$ \ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln\left(a\times \dfrac{1}{b}\right)=\ln a +\ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=\ln a-\ln b$$
}

\Cadre[Propriété du logarithme népérien]{
On suppose connue la propri\'et\'e :\\
 \og  Pour tout couple $(x~;~ y)$ de nombres r\'eels strictement positifs, on a \\$\ln (xy) = \ln (x)+ \ln (y)$. \fg\\
  En d\'eduire que, pour tout nombre r\'eel $m$ strictement positif, on a \\$\ln \left(\sqrt{m}\right) = \dfrac{1}{2}\ln(m)$.
}

\Dem{\textbf{Idée : Ecrire \textcolor{red}{$m=\sqrt{m} \times \sqrt{m}$}.}\\

Pour réel $m$ strictement positif, on a :
\begin{eqnarray*}
\ln (m) &=& \ln\left(\sqrt{m} \times \sqrt{m}\right) \\
&=& \ln \left(\sqrt{m}\right) + \ln \left(\sqrt{m}\right) \qquad \text{d'après le prérequis}.\\
&=& 2\ln \left(\sqrt{m}\right)
\end{eqnarray*}
On en déduit que pour tout $m>0$ on a : $\quad \ln \left( \sqrt{m} \right)= \dfrac{1}{2}\ln (m)$.
}
\Cadre[Croissance comparée]{
Prérequis : on rappelle que : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$.

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.
\item  En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x^n} =0$.
\end{enumerate}
}

\Dem{\begin{enumerate}
      \item \textbf{Idée : \textcolor{red}{Poser $X=\ln(x)$}.}\\

Pour tout $x>0$, on pose $X=\ln(x) \iff e^X=x$. \\

Alors quand $x$ tend vers $+ \infty$, $X$ tend aussi vers $+\infty$.\\

Ainsi $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x}=\displaystyle\lim_{X \to + \infty} \dfrac{X}{e^X} = 0$ d'après le prérequis.\\

\item \textbf{Idée : aucune, il suffit d'utiliser ce qui précède (attention à l'initialisation cependant).}\\

Si $n=1$, on a déjà démontré le résultat. \\
Si $n>1$ :
$$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x^n}=\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x}\times \dfrac{1}{x^{n-1}}$$
Comme $n>1 $ on a $ n-1 > 0 $ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x^{n-1}}=0$.\\
Finalement on trouve :
$$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x^n}=0 \times 0 = 0$$
     \end{enumerate}
}

\newpage
 
\Cadre[Croissance comparée]{On rappelle que la fonction $\ln$ est définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$, positive sur  $[1~;~+\infty[$, et vérifie :  
\[\left\{ \begin{array}{l}
\ln 1 = 0\\
\text{Pour tous réels strictement positifs}~x~\text{et}~y,~~\ln (xy)  = \ln x + \ln y\\
\text{Pour tout réel strictement positif} x, ~\left[\ln (x)\right]' = \dfrac{1}{x}\\
\ln (2) \approx 0,69~\text{à}~10^{-2}~\text{près}
\end{array}\right.\]
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $~ f(x) = \sqrt{x} -  \ln x.$
	\begin{enumerate}
		\item Etudier les variations de $f$ et en déduire que $f$ admet un minimum sur $]0~;~+\infty[$.
		\item En déduire le signe de $f$ puis que, pour tout $x > 1,~  0 < \dfrac{\ln x}{x} < \dfrac{\sqrt{x}}{x}$.
		\item En déduire que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.
             \end{enumerate}
\item Soit $n\in\N^*$. 
On considère la fonction $f_{n}$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $~ f_{n}(x) = \dfrac{\ln x}{x^{\frac{1}{n}}}.$\\
En utilisant la question 1., déterminer, si elle existe, la limite en $+ \infty$ de la fonction $f_{n}$.
\end{enumerate}}

\Dem{\begin{enumerate}
\item \textbf{Idée : aucune.}
	\begin{enumerate}
		\item 
La fonction $f$ est dérivable sur $]0~;~ +\infty[$ comme différence de fonctions dérivables. \\
On a : $\quad f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{2x}$ qui est du signe du numérateur puisque $x > 0$.
\\

D'où le tableau de variations suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /0.5,$f’(x)$/0.5,$f$/1.5}{$0$,$4$,$+\infty $}% 
\tkzTabLine{ , - , z , + , }% 
\tkzTabVar{+/ $ $ , -/$2-\ln(2)$ , +/$ $ } 
\end{tikzpicture} 
\end{center}

Il en résulte que $f$ a un minimum pour $x = 4$ et $f(4) = \sqrt{4} - \ln 4 =2 - 2\ln 2 \approx 0,62$.

\item D'après le tableau, il est clair que pour tout $x \in ]0~;~+ \infty[$ on a 
$$~f(x)>0 \iff \sqrt{x} -  \ln x >0 \iff \sqrt{x} >  \ln x 
\stackrel{x>0}{\iff} \dfrac{\sqrt{x}}{x} > \dfrac{\ln x}{x}$$
Comme de plus $x>1$, on a $\ln(x)>0$, et pour tout $x>1$, on obtient que $0 < \dfrac{\ln x}{x} < \dfrac{\sqrt{x}}{x}$.

\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\sqrt{x}}{x}= \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{\sqrt{x}} = 0$\\ 
D'après le \og théorème des \og gendarmes \fg{} on a donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.
             \end{enumerate}
\item \textbf{Idée : \textcolor{red}{Poser $X=x^{\frac{1}{n}}$}.}\\
Pour $x>0$, on pose $X=x^{\frac{1}{n}} \iff x=X^n~$. On a alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} X = + \infty~$ et :
$$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f_{n}(x) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x^{\frac{1}{n}}} 
= \displaystyle\lim_{X \to + \infty} \dfrac{\ln  \left(X^{n}\right)}{X} 
= \displaystyle\lim_{X \to + \infty} \dfrac{n\ln (X)}{X} 
= \displaystyle\lim_{X \to + \infty} n\dfrac{\ln X}{X} = n \times 0 = 0$$ 
\end{enumerate}
}

\Cadre[Dérivée de la fonction $\ln$]{
On suppose connues la dérivée de la fonction exponentielle et la formule de dérivation de $u \circ v$ 
ainsi que ses conditions d'utilisation.
 
On suppose savoir que la fonction $\ln$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ et que 
pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$ on a : exp$(\ln x) = x$.
 
A partir de ces quatre arguments, montrer que la dérivée de la fonction $\ln$ est la fonction définie sur 
$]0~;~+ \infty[$ qui \`a $x$ associe $\dfrac{1}{x}$. 
}

\Dem{\textbf{Idée : Faire le lien entre les quatre arguments et les remettre dans l'ordre.}\\

Pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$ on a : $\quad \exp(\ln x) = x$.\\

Or la fonction $\ln$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[~$. On note $\left(\ln(x)\right)'$ cette dérivée encore inconnue.\\
De plus, on sait que la fonction exponentielle est dérivable sur $\ln\left(]0;+\infty[\right)=\R$ et $\left(\exp(x)\right)'=\exp(x)$.\\

On peut donc appliquer la formule de dérivation de $u \circ v$ avec $u(x)=\exp(x)$ et $v(x)=\ln(x)$. \\

Pour tout $x \in ]0;+\infty[$ on a :
\begin{eqnarray*}
(u\circ v)'(x)=v'(x) \times u'[v(x)] & \iff &\left(\exp(\ln x)\right)' = 1 \\
&\iff & \left(\ln(x)\right)' \times \exp\left(\ln(x)\right)=1 \\
& \iff & \left(\ln(x)\right)' \times x = 1  \\
&\iff & \left(\ln(x)\right)' =\dfrac{1}{x}. 
\end{eqnarray*}
}

\newpage
\subsection{Intégration}

\Cadre[Conservation de l'ordre]{On supposera connus les résultats suivants : 
\\
Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~ b]$ avec $a < b$.
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si $u \geqslant  0$ sur $[a~;~ b]$ alors $\displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x \geqslant  0$.
\item[$\bullet~$] Pour tous réels $\alpha$ et $\beta,~ \displaystyle\int_{a}^b [\alpha u(x) + \beta v(x)]\:\text{d}x = \alpha \displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x+ \beta \displaystyle\int_{a}^b v(x)\:\text{d}x$.
\end{itemize}
Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ avec $a < b$ et si,\\
 pour tout $x$ de $[a~;~ b],~ f(x) \leqslant g(x)$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \leqslant  \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x$.}
 
 
 \Dem{\textbf{Idée : Appliquer les prérequis à la fonction \textcolor{red}{$(g -  f)$} .}\\

Pour tout $x$ de $[a~;~b],~f(x) \leqslant g(x) \iff g(x) - f(x) \geqslant 0$.\\
Comme de plus $f$ et $g$ sont continues sur $[a~;~b]$ on a $g - f$ est continue sur $[a~;~b]$.\\

On peut alors appliquer le premier prérequis à $u=g-f$. On obtient :
$\displaystyle\int_{a}^b \left(g(x) -  f(x) \right)\:\text{d}x \geqslant 0$ .\\

Or $\displaystyle\int_{a}^b \left(g(x) -  f(x)\right)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x 
 - \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \qquad $ d'après le deuxième prérequis.\\

Finalement on a : $\displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x  - \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \geqslant 0 ~\iff ~\displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x \geqslant \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x$.}

\Cadre[IPP]{Soit $I$ un intervalle de $\R$. \\
Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues, dérivables sur $I$ telles que $u'$ et $v'$ soient continues sur $I$.\\
Rappeler et démontrer la formule d'intégration par parties sur un intervalle $[a~;~b]$ de $I$.}

\Dem{\textbf{Idée : \textcolor{red}{Intégrer} membre à membre la formule : \textcolor{red}{$(uv)'=u'v + v'u$} sur $[a;b]$.}\\

On sait que pour tout $t\in [a;b]$ on a :
$$ (uv)'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t)$$
En intégrant membre à membre, sur le segment $[a;b]$, on obtient :
$$ \int_a^b (uv)'(t)dt=\int_a^b u'(t)v(t)+u(t)v'(t)dt$$
Or, une primitive de $(uv)'$ est par définition $(uv)$. Ainsi :
$$ [u(t)v(t)]_a^b=\int_a^b u'(t)v(t)dt+\int_a^b u(t)v'(t)dt \iff \int_a^b u(t)v'(t)dt=[u(t)v(t)]_a^b-\int_a^b u'(t)v(t)dt $$}

\newpage

\section{Probabilités}
\subsection{Probabilités discrètes}

\Cadre[Formule des probabilités totales]{
\textbf{Prérequis :} On rappelle que deux événements $A$ et $B$ sont indépendants pour la probabilité $p$ si et seulement 
si : $$p( A \cap  B) = p(A) \times p(B)$$
Soient $A$ et $B$ deux événements associés à une expérience aléatoire 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $p(B) = p(B \cap A)+ p\left(B \cap \overline{A}\right)$. 
	\item Démontrer que, si les événements $A$ et $B$ sont indépendants pour la probabilité $p$, alors les événements $\overline{A}$ et $B$ le sont également. 
	\end{enumerate}}
	
	\Dem{\begin{enumerate}
		\item \textbf{Idée : Ecrire \textcolor{red}{$B=(B \cap A) \bigcup  (B \cap \overline{A})$} (réunion \textcolor{red}{disjointe}).}\\

		On a $B = (B \cap A) \bigcup  (B \cap \overline{A})$, et il s'agit d'une réunion disjointe, par conséquent :
		$$ p(B)= p(B\cap A)+p(B\cap \overline{A})$$

	\item \textbf{Idée : Montrer que \textcolor{red}{$p(\overline{A}\cap B)=p(B)p(\overline{A})$}.}\\

D'après le $1.$ on a : $~ p(B)= p(B\cap A)+p(B\cap \overline{A})  \iff  p(\overline{A}\cap B)=p(B)-p(A\cap B)$. \\
D'où :
\begin{eqnarray*}
p(\overline{A}\cap B) = p(B)-p(A)p(B) \quad \text{ car $A$ et $B$ sont indépendants}\\
&=&p(B)(1-p(A))\\
& =& p(B)p(\overline{A})
\end{eqnarray*}
	\end{enumerate}
}

\Cadre[Coefficients binomiaux]{
\emph{On rappelle que si $n$ et $p$ sont deux nombres entiers naturels tels que $p \leqslant  n$ alors} $\displaystyle\binom{n}{p} = \dfrac{n!}{p!(n - p)!}$.
\\
Démontrer que pour tout nombre entier naturel $n$ et pour tout nombre entier naturel $p$ tels que 
$1 \leqslant p \leqslant n$ on a : $$\displaystyle\binom{n}{p} = \displaystyle\binom{n-1}{p-1} + \displaystyle\binom{n-1}{p}$$}

\Dem{\textbf{Idée : aucune, il suffit de compter (et savoir trouver un dénominateur commun ...)}
\begin{eqnarray*}
\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}&=&\dfrac{(n-1)!}{(p-1)!(n-p)!}+\dfrac{(n-1)!}{p!(n-1-p)!}
= \dfrac{(n-1)!p+(n-1)!(n-p)}{p!(n-p)!}\\\\
&=&\dfrac{(n-1)!\big(p+n-p\big)}{p!(n-p)!} = \dfrac{n!}{p!(n-p)!}=\binom{n}{p}  
\end{eqnarray*}
}

\subsection{Probabilités continues}

\Cadre[Loi exponentielle]{On rappelle que pour tout $t \geqslant  0, ~P(X \leqslant  t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$.
 \\
La fonction $R$ définie sur l'intervalle $[0~ ;~+\infty[$ par $R(t)= P(X> t)$ est appelée fonction de fiabilité.
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que pour tout $t \geqslant 0$ on a $R(t) = \text{e}^{- \lambda t}$.
\item  Démontrer que la variable $X$ suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c'est-à-dire que pour tout réel $s\geqslant 0$, la probabilité conditionnelle $P_{X > t}(X > t + s)$ ne dépend pas du nombre $t \geqslant 0$.
\end{enumerate}}

\Dem{
\begin{enumerate}
\item \textbf{Idée : Utiliser \textcolor{red}{$P(X>t)=1-P(X\leq t)$}.}\\

$\forall t \in \R~$, on a :
$$ R(t)=P(X>t)=1-P(X\leq t)=1- \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x=
1-\left[-e^{-\lambda x}\right]_0^t=1+\left(e^{-\lambda t}-1\right)= \text{e}^{- \lambda t}$$

\item \textbf{Utiliser la \textcolor{red}{formule de probabilité conditionnelle} et le fait que \textcolor{red}{$(X>t)\bigcap (X>t+s)= (X>t+s)$}.}\\

Soit $s$ un réel strictement positif on a :
$$ P_{X>t}(X>t+s)=\dfrac{P\big((X>t)\bigcap (X>t+s)\big)}{P(X>t)}=\dfrac{P(X>t+s)}{P(X>t)}=\dfrac{e^{-\lambda (t+s)}}{e^{-\lambda t}}=e^{-\lambda s}=P(X>s)$$
ce qui ne dépend pas du nombre $t$. \\
Ainsi $X$ suit bien  une loi de durée sans vieillissement.
\end{enumerate}}

\end{document}