\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{R\'evision}
\newcommand{\Ch}{Sur tout le programme}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
\newcommand{\num}{5}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}

 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutExoCha

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Les exos
\noindent \textbf{\textsc{Antilles-Guyane (sept 2010) : } Fonctions et intégrales \hfill 6 points}\\ %Antilles Sept 2010
On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 
\[f(x) =  x +  \dfrac{\ln x}{x}.\]
Le but du problème est l'étude de cette fonction et le calcul d'une aire.\\
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal 
\Oij{} d'unité graphique 3~cm.\\ 
\textbf{I - Etude d'une fonction auxiliaire}

On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par  

\[g(x) = x^2 + 1 - \ln x.\]
 
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de $g$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
\item En déduire le signe de $g$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
\end{enumerate}
\textbf{II - Etude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath et tracé de sa courbe représentative} \boldmath $\mathcal{C}$ \unboldmath 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite en $0$ de la fonction $f$. Quelle est l'interprétation graphique de ce résultat ? 
\item Déterminer la limite en $+ \infty$ de $f$ puis montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. 
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $]0~;~+ \infty[$. 
\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$. 
\item Déterminer le point A de la courbe $\mathcal{C}$ en lequel la tangente $\mathcal{T}$ est parallèle à la droite $\mathcal{D}$. 
\item Dans le repère \Oij{} tracer les droites $\mathcal{D}$  et $\mathcal{T}$ et la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\textbf{III - Calcul d'une aire}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \dfrac{\ln x}{x}\:\text{d}x = \dfrac{1}{2}.$

\item En déduire l'aire de la région du plan délimitée par les droites d'équation $x = 1,$
$x = \text{e}$, l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}$. On exprimera cette aire en cm$^2$. Hachurer cette région sur le graphique. 
\end{enumerate} 
\vspace{0.5cm}
\textbf{\textsc{Antilles-Guyane (sept 2010) : } Vrai-Faux de géométrie \hfill 4 points} 
 
\textbf{L'exercice comporte quatre propositions indépendantes.}
 
\textbf{Indiquer pour chacune d'elles si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse choisie.}

 
\begin{enumerate}
\item L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ du plan complexe rapporté au repère orthonormé \Ouv, vérifiant $|z - 2| = |z - 2\text{i}|$ est la droite d'équation $y = x$. 
\item  Si A, B et C sont trois points deux à deux distincts du plan complexe d'affixes $a,~b$ et $c$ 	vérifiant $\dfrac{b - a}{c - a} = - 3$ alors A, B et C	sont alignés. 
\item L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk. 

La droite de l'espace passant par le point B de coordonnées (2~;~3~;~4) et admettant le vecteur $\vect{u}(1~;~2~;~3)$ comme vecteur directeur a pour représentation paramétrique :
 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& t+1\\ 
y&=&2t+1\\
z&=&3t+ 1
\end{array} \right. \quad  t \in \R.\]
\item L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk.
 
La sphère de centre A(1~;~1~;~1) et de rayon $10$ est tangente au plan $\mathcal{P}$ d'équation $x + y + z - 1 = 0$. 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{\textsc{Antilles-Guyane (sept 2010) : } Suites arithmétiques, géométriques \hfill 5 points}


On considère la suite de nombres réels $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par : 

\[u_{0} = - 1,~ u_{1} = \dfrac{1}{2}~ \text{et, pour tout entier naturel} ~n,~ u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_{n}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{2}$ et en déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ n'est ni arithmétique ni géométrique. 
\item On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ :
 $v_{n} = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}.$
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $v_{0}$. 
		\item Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$. 
		\item En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$. 
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item On définit la suite $\left(w_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ : $w_{n}   = \dfrac{u_{n}}{v_{n}}$
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $w_{0}$. 
		\item En utilisant l'égalité $u_{n+1} = v_{n} + \dfrac{1}{2}u_{n}$,  exprimer $w_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ et de $v_{n}$. 
		\item En déduire que pour tout $n$ de $\N,~ w_{n+1} = w_{n} + 2$. 
		\item Exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n} = \dfrac{2n- 1}{2^n}.$
  
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose : $S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \cdots	+ u_{n}$. 
 
Démontrer par récurrence que pour tout $n$ de $\N$ : 
$S_{n} = 2 - \dfrac{2n + 3}{2^n}.$

\end{enumerate}

\noindent\textbf{\textsc{Antilles-Guyane (sept 2010) : } Probabilités conditionnelles, loi binomiale \hfill 4 points}
 
\noindent\textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés seront donnés à \boldmath$\np{0,0001}$\unboldmath~ près.}

 
\noindent Lors d'une épidémie chez des bovins, on s'est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle.
 
\noindent Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d'animaux dont 1\:\% est porteur de la maladie. \\
On obtient les résultats suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85\:\% des cas ; 
\item[$\bullet~$] si un animal est sain, le test est négatif dans 95\:\% des cas.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

 
On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d'utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie.
 
On note :

\setlength\parindent{15mm}
\begin{description}
\item[ ] M l'événement : \og l'animal est porteur de la maladie \fg{} ;
\item[ ] T l'événement : \og le test est positif \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée. 
\item Un animal est choisi au hasard. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité qu'il soit porteur de la maladie et que son test soit positif ? 
		\item  Montrer que la probabilité pour que son test soit positif est $0,058$.
 	\end{enumerate} 
\item Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour qu'il soit porteur de la maladie ? 
\item On choisit cinq animaux au hasard. La taille de ce troupeau permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d'assimiler les tirages à des tirages avec remise. On note X la variable aléatoire qui, 
aux cinq animaux choisis, associe le nombre d'animaux ayant un test positif. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? 
		\item Quelle est la probabilité pour qu'au moins un des cinq animaux ait un test positif ?
	\end{enumerate} 
\item Le coût des soins à prodiguer à un animal ayant réagi positivement au test est de 100~euros et le coût de l'abattage d'un animal non dépisté par le test et ayant développé la maladie est de \np{1000}~euros. 
On suppose que le test est gratuit.
 
D'après les données précédentes, la loi de probabilité du coût à engager par animal subissant le test est donnée par le tableau suivant :


\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Coût& $0$& 100 &\np{1000}\\ \hline 
Probabilité &\np{0,9405} &\np{0,0580} &\np{0,0015}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire associant à un animal le coût à engager. 
		\item Un éleveur possède un troupeau de 200~bêtes. Si tout le troupeau est soumis au test, quelle somme doit-il prévoir d'engager ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 


\vspace{0,5cm}


\textbf{\textsc{Polynésie (sept 2010) : } Vrai-Faux sur suites et intégrales \hfill 3 points}
 

\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.}

 
\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(t_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : 

\[t_{0} = 0~\text{et pour tout entier naturel}~n,~t_{n+1} = t_{n} +  \dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)}.\]
	
\textbf{Proposition 1} : Pour tout entier naturel $n,~t_{n} = \dfrac{n}{n+1}$. 
  
\item  On considère trois suites $\left(u_{n}\right),~\left(v_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ définies sur $\N$ telles que :

\[\text{pour tout entier naturel}~n,~ u_{n} \leqslant w_{n} \leqslant v_{n}.\]
 
\textbf{Proposition 2} : Si les suites $\left(u_{n}\right)$et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes alors la suite $\left(w_{n}\right)$ est convergente.
 
\item  Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies et continues sur l'intervalle [0~;~1].
 
\textbf{Proposition 3} : Si $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x$ alors $f = g$ sur l'intervalle [0~;~1]. 

\end{enumerate} 

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Amérique du Sud (nov 2010) : } Probabilités conditionnelles, test \hfill 5 points}
 
Un internaute souhaite faire un achat par l'intermédiaire d'internet. Quatre sites de vente, un français, un allemand, un canadien et un indien présentent le matériel qu'il souhaite acquérir. 
L'expérience a montré que la probabilité qu'il utilise chacun de ces sites vérifie les conditions suivantes (les initiales des pays désignent les événements \og l'achat s'effectue dans le pays \fg) :
 
\[P(F) = P(A),\quad  P(F) = \dfrac{1}{2}P(C)\quad  \text{et}~~ P(C) = P(I).\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les quatre probabilités $P(F),~P(A),~P(C)$ et $P(I)$. 
\item Sur chacun des quatre sites, l'internaute peut acheter un supplément pour son matériel. Ses expériences précédentes conduisent à formuler ainsi les probabilités conditionnelles de cet événement, noté $S$ :
 
\[P_{F}(S) = 0,2\quad;\quad P_{A}(S) = 0,5\quad ;\quad P_{C}(S) = 0,1\quad ;\quad P_{I}(S) = 0,4\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $P(S \cap A)$.
		\item Montrer que $p(S) = \dfrac{17}{60}$. 
		\item L'internaute a finalement acheté un supplément. Déterminer la probabilité qu'il l'ait acheté sur le site canadien.
	\end{enumerate} 
\item Sur \np{1000}~internautes ayant acheté ce matériel, on a établi la statistique suivante :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
					&\begin{tabular}{c}Sites\\ européens\\ \end{tabular}&Site canadien 	&Site indien\\ \hline 
\begin{tabular}{c}Effectif \\d'acheteurs\\ \end{tabular}& 335 			&310			& 355\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item On note respectivement $f_{1},~f_{2}$ et $f_{3}$ les fréquences associées aux effectifs précédents. On pose :
		 
$d^2 = \displaystyle\sum_{k=1}^{k=3} \left(f_{k} - \dfrac{1}{3}\right)^2$. Calculer $d^2$ puis $\np{1000}d^2$. 
		\item On simule \np{3000} fois l'expérience consistant à tirer un nombre au hasard parmi $\{1~;~2~;~3\}$ avec équiprobabilité. 
Pour chacune de ces simulations on obtient une valeur de $\np{1000}d^2$. Voici les résultats : 
		
\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.5}
{\footnotesize\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Minimum &Premier décile &Premier quartile&Médiane &Troisième quartile
&Neuvième décile&Maximum\\ \hline 
\np{0,0005}& \np{0,0763} &\np{0,2111} &\np{0,48845} &\np{0,9401} &\np{1,5104} &\np{5,9256}\\ \hline
\end{tabularx}}

\medskip
 
Au risque 10\,\%, peut-on considérer que le choix d'un site européen, nord-américain ou asiatique se fait de manière équiprobable ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Nouvelle-Calédonie (nov 2010) : } Fonctions et intégrales\hfill 6 points}

\medskip

Soit $\varphi$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ par 

\[\varphi(x) = 1 + x^2 -  2x^2 \ln x. \]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Etudier le sens de variation de la fonction $\varphi$
 sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$. 
		\item Calculer $\varphi(\text{e})$. Démontrer que l'équation $\varphi(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [1~;~e]. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$. 
		\item Déterminer le signe de $\varphi(x)$ suivant les valeurs de $x$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{1 + x^2}.\]

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que pour tout $x \geqslant 1$ on a : $f'(x) = \dfrac{\varphi(x)}{x\left(1 + x^2 \right)^2}$. 
		\item  Déduire de la question 1. le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$. 
		\item  Démontrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ on a : 

\[0  \leqslant  f(x) \leqslant  \dfrac{\ln x}{x^2}.\] 
		\item  En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. 
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item A l'aide d'une intégration par parties, montrer que $\displaystyle\int_{1}^{\text{e}}  \dfrac{\ln x}{x^2}\:\text{d}x = 1 - \dfrac{2}{\text{e}}$. 
		\item On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$, dans un repère orthonormé \Oij{} d'unité graphique 1~cm.
		 
Soit $\mathcal{A}$ l'aire exprimée en cm$^2$ du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \text{e}$.
 
Déterminer un encadrement de $\mathcal{A}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  fin Nouvelle--Calédonie novembre 2010 %%%%%%%%%%%%

\vspace{0,5cm}


\textbf{\textsc{ Nouvelle-Calédonie (mars 2011) : } Equation différentielles \hfill 5 points}
 
Un cycliste roule sur une route descendante rectiligne et très longue. On note $v(t)$ sa vitesse à l'instant $t$, où $t$ est exprimé en secondes et $v(t)$ en mètres par seconde.
 
On suppose de plus que la fonction $v$ ainsi définie est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
 
Un modèle simple permet de considérer que la fonction $v$ est solution de l'équation différentielle :

\[10v'(t) + v(t) = 30.\]  

Enfin, on suppose que, lorsque le cycliste s'élance, sa vitesse initiale est nulle, c'est-à-dire que $v(0)= 0$.
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $v(t) = 30\left(1 - \text{e}^{- \dfrac{t}{10}}\right)$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item D\'eterminer le sens de variation de la fonction $v$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
		\item Déterminer la limite de la fonction $v$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate} 
\item On considère, dans cette situation, que la vitesse du cycliste est stabilisée lorsque son accélération $v'(t)$ est inférieure à 0,1 m.s$^{-2}$. 
Déterminer, à la seconde près, la plus petite valeur de $t$ à partir de laquelle la vitesse du cycliste est stabilisée. 
\item  La distance $d$ parcourue par ce cycliste entre les instants $t_{1}$, et $t_{2}$ est donnée par $d = \displaystyle\int_{t_{1}}^{t_{2}} v(t)\:\text{d}t$. 
 
Calculer la distance parcourue par ce cycliste pendant les 35 premières secondes. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}


\textbf{\textsc{ Nouvelle-Calédonie (mars 2011) : } Suites convergentes \hfill 5 points}
  
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite d\'efinie par 	$\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}& =& 1\\
u_{n+1}&=&u_{n}- \ln \left(u_{n}^2 + 1\right)~ \text{pour tout entier naturel}~ n.
\end{array}\right.$

	 
\textbf{Partie A}

 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x)= x - \ln \left(x^2 + 1\right).\] 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = x$. 
\item Etudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~1]$.

En déduire que si $x \in [0~;~1]$ alors $f(x) \in [0~;~1]$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant  0,~ u_{n} \in [0~;~1]$. 
\item Etudier le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. Déterminer sa limite. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}
 

\textbf{\textsc{ Amérique du nord (mai 2011) : Probabilités continues} \hfill 4 points}

 
\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

 
\begin{center}	 	 
\textbf{Partie A}
\end{center} 
Une salle informatique d'un établissement scolaire est équipée de 25 ordinateurs dont 3 sont défectueux. Tous les ordinateurs ont la même probabilité d'être choisis.
 
On choisit au hasard deux ordinateurs de cette salle.
 
Quelle est la probabilité que ces deux ordinateurs soient défectueux ?

\begin{center}	 	 
\textbf{Partie B }
\end{center}
 
La durée de vie d'un ordinateur (c'est-à-dire la durée de fonctionnement avant la première panne), est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda > 0$.
 
Ainsi, pour tout réel $t$ positif, la probabilité qu'un ordinateur ait une durée de vie inférieure à $t$ années, notée $p(X \leqslant t)$, est donnée par : 
$p(X \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x$. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\lambda$ sachant que $p(X > 5) = 0,4$. 
\item Dans cette question, on prendra $\lambda = 0,18$.
 
Sachant qu'un ordinateur n'a pas eu de panne au cours des 3 premières années, quelle est, à $10^{-3}$ près, la probabilité qu'il ait une durée de vie supérieure à 5 ans ? 
\item Dans cette question, on admet que la durée de vie d'un ordinateur est indépendante de celle des autres et que $p(X > 5) = 0,4$. 
	\begin{enumerate}
		\item On considère un lot de 10 ordinateurs.
		 
Quelle est la probabilité que, dans ce lot, l'un au moins des ordinateurs ait une durée de vie supérieure à 5 ans ? On donnera une valeur arrondie au millième de cette probabilité. 
		\item Quel nombre minimal d'ordinateurs doit-on choisir pour que la probabilité de l'événement \og l'un au moins d'entre eux a une durée de vie supérieure à 5 ans \fg{} soit supérieure à $0,999$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Amérique du nord (mai 2011) :} Fonctions, intégrales et suites \hfill 6 points}

\medskip

\begin{center}	 	 
\textbf{Partie A}
\end{center}
 
On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = \text{e}^x - x - 1.\]
 
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de la fonction $g$. 
\item Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
\item En déduire que pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[,\: \text{e}^x - x > 1$. 
\end{enumerate}

\begin{center}	 	 
\textbf{Partie B }
\end{center}
On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~1] par 

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^x - 1}{\text{e}^x - x}.\] 
 
La courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal est donnée en annexe.
 
Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.

On admet que $f$ est strictement croissante sur [0~;~1]. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x$ de [0~;~1], $f(x) \in [0~;~1]$. 
\item Soit (D) la droite d'équation $y = x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x$ de [0~;~1], $f(x) - x = \dfrac{(1 - x)g(x)}{\text{e}^x - x}$. 
		\item Etudier la position relative de la droite (D) et de la courbe $(\mathcal{C})$ sur [0~;~1].
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive de $f$ sur [0~;~1]. 
		\item Calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite (D) et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\begin{center}	 	 
\textbf{Partie C}
\end{center}

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}&=&\dfrac{1}{2}\\
u_{n+1}&=&f\left(u_{n}\right), \quad \text{pour tout entier naturel}\,n.
\end{array}\right.\]
 
\begin{enumerate}
\item Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de construction. 
\item Montrer que pour tout entier naturel $n,\, \dfrac{1}{2} \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$. 
\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite. 
\end{enumerate}


\begin{center}\textbf{ANNEXE}

\emph{Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve}

\vspace{0.5cm}
\psset{unit=8cm}
\begin{pspicture}(-0.05,-0.05)(1.25,1.15)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](1.2,0){$x$}\uput[l](0,1.1){$y$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.71828 x exp 1 sub 2.71828 x exp x sub div}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=20,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(1.25,1.15)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.05,-0.05)(1.25,1.15)
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\textbf{\textsc{ Amérique du Sud (nov 2009) :} Fonctions et intégrales \hfill 6 points}

\noindent Le but de cet exercice est de d\'eterminer une valeur approch\'ee \`a $10^{-2}$ pr\`es
de l'int\'egrale~:
\[I=\int_0^1\left(\dfrac{\text{e}^{-x}}{2-x}\right)\text{d}x\]
\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item \'Etudier les variations de la fonction $f~:x\longmapsto f(x)=\dfrac{\text{e}^{-x}}{2-x}$
		sur l'intervalle $[0~;~1]$.
		\item Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~1]$, on a 
		$\dfrac{1}{\text{e}}\leqslant f(x)\leqslant \dfrac{1}{2}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Soit $J$ et $K$ les int\'egrales d\'efinies par 
	$J=\int_0^1(2+x)\text{e}^{-x}\text{d}x$ et $K=\int_0^1x^2f(x)\text{d}x$.
	\begin{enumerate}	
		\item Au moyen d'une int\'egration par parties, prouver que $J=3-\dfrac{4}{\text{e}}$.
		\item Utiliser un encadrement de $f(x)$ obtenu pr\'ec\'edemment pour d\'emontrer
		que $\dfrac{1}{3\text{e}}\leqslant K\leqslant \dfrac{1}{6}$.
		\item D\'emontrer que $J+K=4I$.
		\item D\'eduire de tout ce qui pr\'ec\`ede un encadrement de $I$, puis donner une valeur
		approch\'ee \`a $10^{-2}$ pr\`es de $I$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}
