\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{R\'evision sur les complexes}
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\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}

 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutExoCha

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Les exos

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}\\ %Métro Sept 2010

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv.
 
\begin{enumerate}
\item On considère le point I d'affixe i et le point A d'affixe $z_{\text{A}} = \sqrt{3} + 2\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point A appartient au cercle $\Gamma$ de centre le point I et de rayon 2.
		 
Sur une figure (unité graphique 1~cm), qu'on complètera au fur et à mesure de l'exercice, placer le point I, tracer le cercle $\Gamma$, puis construire le point A. 
		\item On considère la rotation $r$ de centre le point I et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
		 
Démontrer que le point B image du point A par la rotation $r$ a pour affixe $z_{\text{B}} = -1 + \text{i}\left(\sqrt{3} + 1\right)$.

Justifier que le point B appartient au cercle $\Gamma$. 
		\item Calculer l'affixe du point C symétrique du point A par rapport au point I. 
		\item Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
On considère les points E et F tels que : $\vect{\text{AE}} = \vect{\text{IB}}$ et $\vect{\text{AF}}  = \vect{\text{BI}}$.
 
Que peut-on conjecturer pour les droites (BF) et (CE) ?

Valider cette conjecture à l'aide d'une démonstration. 
\end{enumerate}


\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}\\ %Polynésie Sept 2010
 

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv{} (unité : 1~cm).
 
On fera une figure que l'on complètera au fur et à mesure des questions.

\medskip
 
On considère les points A, B, S et $\Omega$ d'affixes respectives $a = -2 + 4\text{i},~b = -4 + 2\text{i},$

$s = -5 + 5\text{i}$ et $\omega = -2 + 2\text{i}$.

\medskip
 
Soit $h$ l'homothétie de centre S et de rapport $3$.
 
On appelle C l'image du point A par $h$ et D l'image du point B par $h$. 


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'écriture complexe de $h$. 
		\item Démontrer que le point C a pour affixe $c = 4 + 2\text{i}$ et que le point D a pour affixe $d=-2-4\text{i}$.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le  rayon. 
\item  Démontrer que la droite (S$\Omega$) est la médiatrice du segment [AB]. 
\item  Soit P le milieu du segment [AC]. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe $p$ du point P. 
		\item Démontrer que $\dfrac{\omega - p}{d - b} = - \dfrac{1}{2}\text{i}$. 
En déduire une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{BD}}~;~\vect{\text{P}\Omega}\right)$. 
		\end{enumerate}
\item Soit Q le milieu du segment [BD].
 
Que représente le point $\Omega$ pour le triangle PQS ?  
\end{enumerate} 

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}\\ %Nvelle-Calédonie Nov 2010

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.

On considère les points A, B et C d'affixes respectives 

\[z_{\text{A}} = -2\text{i},\quad  z_{\text{B}} = -\sqrt{3} + \text{i}~~ \text{et}~~ z_{\text{C}} = \sqrt{3} + \text{i}.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Ecrire $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ sous forme exponentielle. 
		\item En déduire le centre et le rayon du cercle $\Gamma$ passant par les points A, B et C. 
		\item Faire une figure et placer le point A, tracer le cercle $\Gamma$ puis placer les points B et C.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Ecrire le quotient $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}$ sous forme algébrique puis sous forme exponentielle. 
		\item En déduire la nature du triangle ABC .
	\end{enumerate} 
\item On note $r$ la rotation de centre A et d'angle mesurant $\dfrac{\pi}{3}$~radians. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point O$'$, image de O par $r$, a pour affixe  $- \sqrt{3} - \text{i}$. 
		\item Démontrer que les points C et O$'$ sont diamétralement opposés sur le cercle $\Gamma$. 
		\item Tracer l'image $\Gamma'$ du cercle $\Gamma$ par la rotation r. 
		\item Justifier que les cercles $\Gamma$ et $\Gamma '$ se coupent en A et B.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble $(E)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que 
		
		\[|z| = \left|z + \sqrt{3} + \text{i}\right|.\] 
		\item Montrer que les points A et B appartiennent à $(E)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}\\ % Reunion Sept 2010

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} ; unité graphique: 4~centimètres.
 
On considére la transformation $f$ du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que

\[ z' = \dfrac{\sqrt{2}}{2}(-1 + \text{i})z.\] 
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la transformation $f$ est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle. 
\item On définit la suite de points $\left(M_{n}\right)$ de la façon suivante : $M_{0}$ est le point d'affixe $z_{0} = 1$ et, pour tout 
nombre entier naturel $n,~ M_{n+1} = f\left(M_{n}\right)$. On note $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$. 
 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout nombre entier naturel $n,~z_{n} = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{3 n \pi}{4} \right)}$. 
		\item Construire les points $M_{0},~M_{1},~M_{2},~M_{3}$ et $M_{4}$.
		\item  Montrer que pour tout nombre entier naturel $n$, les points $M_{n}$ et $M_{n+8}$ sont confondus.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} 

Prouver que les triangles $M_{0}M_{1}M_{2}$ et $M_{7}M_{0}M_{1}$ ont la même aire. Préciser la valeur exacte de cette aire.
\end{enumerate}












 
\end{document}
