
\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Annales pour r\'eviser}
\newcommand{\Ch}{$\C$, Probas, \'equa diff, int\'egrales et suites}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
\newcommand{\num}{}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutDmCorrectionCha

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Les exos
\textit{Ce qui est en italique a été rajouté pour vous préparer davantage au DS ...}\\

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} % Metro Sept 2009 (modifié sur la pré-fin)
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item 
F$_{1}$ désigne l'événement : \og le pneu provient du fournisseur 1 \fg.

D désigne l'événement : \og le pneu présente un défaut \fg.

On a l'arbre suivant :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{F$_{1}$}\taput{0,3}}
	{\TR{$\overline{\text{D}}$}\taput{0,8}
	\TR{D}\tbput{0,2}
	}
\pstree{\TR{F$_{2}$}\taput{0,4}}
	{\TR{$\overline{\text{D}}$}\taput{0,95}
	\TR{D}\tbput{0,05}
	}
\pstree{\TR{F$_{3}$}\tbput{0,3}}
	{\TR{$\overline{\text{D}}$}\taput{0,85}
	\TR{D}\tbput{0,15}
	}
}
\end{center}

\bigskip

D'après le théorème des probabilités totales :

$p\left(\overline{\text{D}}\right) = p\left(\text{F}_{1} 
\cap \overline{\text{D}}\right) + p\left(\text{F}_{2} \cap \overline{\text{D}}\right) +
 p\left(\text{F}_{3} \cap \overline{\text{D}}\right)$ soit 

$p\left(\overline{\text{D}}\right) = 0,3 \times 0,8 + 0,4 \times 0,95 + 0,3
 \times 0,85 = 0,24 + 0,38 + 0,255 = 0,875$.
\item 
%Sachant que le pneu choisi est sans défaut, quelle est la probabilité qu'il provienne du deuxiéme fournisseur ? On donnera la valeur arrondie du résultat é 10$^{-3}$.
On a $p_{\overline{\text{D}}}\left(\text{F}_{2}\right) = \dfrac{p\left(\overline{\text{D}} \cap \text{F}_{2} \right)}{p\left(\overline{\text{D}} \right)} = 
\dfrac{p\left(\text{F}_{2}\right) \times p_{\text{F}_{2}}\left(\overline{\text{D}} \right)}{p\left(\overline{\text{D}} \right)} = \dfrac{0,4 \times 0,95}{0,875} = \dfrac{0,38}{0,875} \approx 0,434$.

\end{enumerate}

\item 
%Le réparateur choisit dix pneus au hasard dans son stock. On suppose que le stock de pneus est suffisamment important pour assimiler ce choix de dix pneus é un tirage avec remise de dix pneus.\\
%Quelle est alors la probabilité qu'au plus un des pneus choisis présente un défaut ? On donnera la valeur arrondie é 10$^{-3}$.
Soit $Y$ la variable aléatoire donnant le nombre de pneus sans défaut. Alors $Y$ suit une loi binomiale de probabilité 
$0,875$ avec $n = 10$, puisque les expériences sont indépendantes.
\begin{enumerate}
 \item La probabilité cherchée est donc égale à :

$p(Y=9)=\binom{10}{9}\times 0.875^9 \times 0.125^1=10 \times 0.875^9 \times 0.125 \simeq 0.376$
 \item On cherche la probabilité qu'il y ait 0 ou 1 pneu avec défaut, soit, 9 ou 10 pneus sans défaut :
\begin{eqnarray*}
p(\text{Y}\geqslant 9) &=& p(\text{Y} = 9) + p(\text{Y} = 10) \\
&=&\displaystyle\binom{10}{9} \times 0,875^9 \times 0,125^1 +\binom{10}{10}\times 0,875^{10} 
\times 0,125^0\\
&=& 10 \times 0,875^9  \times 0,125 +0,875^{10} 
\approx{0,639} 
\end{eqnarray*}
%au millième près
\item On cherche $n$ tel que $p(\text{Y} \geqslant 1) \geqslant 0.999$. Pour cela, on résout :
\begin{eqnarray*}
 p(\text{Y} \geqslant 1) \geqslant 0.999 &\iff & 1-p(\text{Y}=0) \geq 0.999 \\
&\iff & 1-\binom{n}{0} \times 0.875^0 \times 0.125^{n} \geq 0.999\\
&\iff & 1-0.125^n \geq 0.999\\
&\iff& 0.001 \geq 0.125^n \\
&\iff & \ln(0.001) \geq n\ln(0.125) \\
& \iff & \dfrac{\ln(0.001)}{\ln(0.125)} \leq n 
\end{eqnarray*}
Or $\dfrac{\ln(0.001)}{\ln(0.125)} \simeq 3.3$ donc le réparateur doit choisir au moins $4$ pneus.
\end{enumerate}
\item %On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de kilométres parcourus par un pneu, sans crevaison. On fait l'hypothése que X suit une loi exponentielle de paramétre $\lambda$.

%On rappelle que, pour tout nombre réel $k$ positif : $P(X\leqslant k) = \int_{0}^k \lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\text{ d}x$


\begin{enumerate}
\item %Montrer que $P(500\leqslant X\leqslant 1000) =\mathrm{e}^{-500\lambda}-\mathrm{e}^{\nombre{1000}\lambda}$.
On a $p(500 \leqslant X \leqslant 1000) = \displaystyle\int_{0}^{1000}\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\:
\text{d}x - \displaystyle\int_{0}^{500}\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x = 
\displaystyle\int_{500}^{1000}\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x = \left[-\text{e}^{-\lambda x} 
\right]_{500}^{1000} \\
= - \text{e}^{-1000\lambda} - \left(-\text{e}^{-500\lambda} \right) = 
\text{e}^{-500\lambda} - \text{e}^{-1000\lambda}$.
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, méme incompléte, ou d'initiative méme non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.\\

%La probabilité que le pneu parcoure entre 500 et \nombre{1000} kilométres sans crevaison étant égale é $\dfrac{1}{4}$, déterminer la valeur arrondie é $10^{-4}$ du paramétre $\lambda$.
On a donc $p(500 \leqslant X \leqslant 1000) = \dfrac{1}{4} \iff \text{e}^{-500\lambda} - 
\text{e}^{-1000\lambda} = \dfrac{1}{4}$.

On pose $x = \text{e}^{-500\lambda}$, l'équation à résoudre s'écrit alors 
$$x - x^2 = \dfrac{1}{4} \iff x^2 - x + \dfrac{1}{4} = 0 \iff \left(x - \dfrac{1}{2} \right)^2  = 
0 \iff x - \dfrac{1}{2} = 0 \iff x = \dfrac{1}{2}$$
(on pouvait aussi utiliser le $\Delta$ pour résoudre cette équation).\\
Il reste à résoudre :
$\text{e}^{-500\lambda} = \dfrac{1}{2}$.\\
Or : $\text{e}^{-500\lambda} = \dfrac{1}{2} \iff  -500\lambda = \ln \left(\dfrac{1}{2}\right) \iff -500\lambda = - \ln 2 \iff \lambda = 
\dfrac{\ln 2}{500}\approx \nombre{0,00138} \approx \nombre{0,0014}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} % Amerique du sud nov 2007

\begin{enumerate}
\item $z_{\text{E}'} = \dfrac{1}{2}\left(- \text{i} + \dfrac{1}{- \text{i}}\right) = 
\dfrac{1}{2}\left(- \text{i} + \dfrac{1\times \text{i}}{-\text{i} \times \text{i}}\right)= \dfrac{1}{2}\left(- \text{i} + \dfrac{\text{i}}{1}\right)= 0.$

E a donc pour image O.
\item $M' = M \iff z = \dfrac{1}{2}\left(z + \dfrac{1}{z}\right) \iff 2z = z + \dfrac{1}{z} \iff z=\dfrac{1}{z} \iff z^2 = 
1 ~\text{ et }~ z \neq 0 \iff z = 1~\text{ ou }~z = -1$.\\
Les points égaux à leur image sont donc les points d'affixe $1$ et $-1$.
\item Soit $M(z)$ avec $z \neq 0,~z \neq 1,~z \neq -1$.
	\begin{enumerate}
		\item 
$z'+1=\dfrac{1}{2}\left(z + \dfrac{1}{z}\right) + 1 = \dfrac{z^2 + 1 + 2z}{2z}=\dfrac{(z+1)^2}{2z}$\\
$z'-1=\dfrac{1}{2}\left(z + \dfrac{1}{z}\right) - 1 = \dfrac{z^2 + 1 + 2z}{2z}=\dfrac{(z - 1)^2}{2z}$.\\
Donc $\dfrac{z'+1}{z'-1}=\dfrac{(z+1)^2}{2z}\times \dfrac{2z}{(z-1)^2}=
\left(\dfrac{z + 1}{z - 1}\right)^2.$
		\item On traduit les longueurs en termes de module :\\
$ \dfrac{M'\text{B}}{M'\text{A}}
=\dfrac{\left|z' + 1 \right|}{\left|z' - 1 \right|} 
=\left|\dfrac{z'+ 1}{z' - 1} \right| = 
\left|\left(\dfrac{z + 1}{z - 1}\right)^2 \right|$
d'après la question précédente.\\
Donc $\dfrac{M'\text{B}}{M'\text{A}}
=\left|\dfrac{z + 1}{z - 1} \right|^2
=\left(\dfrac{\left|z + 1 \right|}{\left|z - 1 \right|}\right)^2 
= \left( \dfrac{M\text{B}}{M\text{A}}\right)^2.$ 
		
On traduit les angles en termes d'argument :\\
$\left(\vect{M'\text{A}},\vect{M'\text{B}}\right) = 
\left(\vect{\text{A}M'},\vect{\text{B}M'}\right)
=\arg\left(\dfrac{z'+1}{z' - 1}\right)
=\arg \left(\left(\dfrac{z + 1}{z - 1}\right)^2\right) \quad[2\pi]$ d'après la question différente.\\
Donc $\left(\vect{M'\text{A}},\vect{M'\text{B}}\right) 
=2 \arg \left(\dfrac{z + 1}{z - 1}\right)
=2\left(\vect{\text{A}M},\vect{\text{B}M} \right) 
=2\left(\vect{M\text{A}},\vect{M\text{B}} \right) \quad[2\pi]
$
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{Un point appartient à la médiatrice d'un segment si et seulement si il est à égale
distance des extrémités de ce segment.} Donc \\
 $M \in \Delta \iff M\text{A} = M\text{B} \iff \dfrac{M\text{B}}{M\text{A}} = 1$. \\
D'après la question précédente, comme les distances sont positives, on a  : 
$$M \in \Delta \iff \dfrac{M'\text{B}}{M'\text{A}}=1
\iff M'\text{B} = M'\text{A} \iff M' \in \Delta.$$
\item ~
$\bullet~$ Si $M$ appartient au cercle de diamètre [AB] et $M \neq $ A et $M \neq$ B, alors 
 $\left(\vect{M\text{A}},\vect{M\text{B}} \right) = \dfrac{\pi}{2} \quad [\pi].$\\
(On doit considérer les cas où $M=A$ et $M=B$ à part, car sinon l'angle considéré n'existe pas ...)
 
Donc d'après la question précédente $\left(\vect{M'\text{A}},\vect{M'\text{B}} \right) = 
\pi \quad [2\pi]$, et les points A, B et $M'$ sont alignés ou encore $M' \in (\text{AB}).$ 
On peut même préciser que $M' \in ]\text{AB}[$.

$\bullet~$ Si $M=  \text{A}$ alors $M' = \text{A}$ d'après la question 2.\\
De m\^eme si $M=  \text{B}$ alors $M' = \text{B}$.\\

Finalement, dans tous les cas : si $M$ appartient à $\Gamma$, 
alors $M' \in (\text{AB})$.

		 \item Inversement, tout point $M'$ de (AB) a une affixe réelle $\alpha$. $M' $ a 
au moins un antécédent d'affixe $z \neq 0$ par $f$ si, et seulement si : 
\[\dfrac{1}{2}\left(z + \dfrac{1}{z} \right) = \alpha \iff  2\alpha z = z^2 + 1 \iff z^2 - 2\alpha z  + 1 = 0.\]
Comme $\Delta = 4\alpha^2 - 4$ cette équation admet au moins une solution complexe, non nulle.

Conclusion : tout point de (AB) a au moins un antécédent par $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}\\ % Pondichéry Avril 2010

\textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances}

\medskip

$f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ donc $g - f$ est 
continue sur $[a~;~b]$.\\
Pour tout $x$ de $[a~;~b],~f(x) \leqslant g(x) \iff g(x) - f(x) \geqslant 0$ \\
Donc $\displaystyle\int_{a}^b \big(g(x) -  f(x)\big)\:\text{d}x \geqslant 0$ d'après le deuxième résultat donné.\\
De plus d'après le premier résultat, on a :
$\displaystyle\int_{a}^b \big(g(x) -  f(x)\big)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x  - 
\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x$.\\
Finalement on a  $\displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x  - \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \geqslant 0  
\iff \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x \geqslant \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x$.
\quad CQFD
\medskip

\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[,~f_{1}(x) = \ln(1 + x)$.
		
On a $\displaystyle\lim_{x\to + \infty} 1+x = + \infty$ ; \\
On pose $ X = 1 + x$, alors $\displaystyle\lim_{x\to + \infty}f_1(x)=\displaystyle\lim_{X\to + \infty} \ln X = + \infty$.\\
Donc 
$\displaystyle\lim_{x\to + \infty} f_1(x) = + \infty$.
		\item  $f_1$ est la composée de deux fonctions :
		
$x \longmapsto  1 + x$ continue et dérivable sur $[0~;~+\infty[$, à valeurs dans $[1~;~+ \infty[$ et

$x \longmapsto \ln x$, continue et dérivable sur $[1~;~+\infty[$,

donc $f_1$ est continue et dérivable sur $[0~;~+\infty[$.
		
On a $f'_{1}(x) = \dfrac{1}{x + 1}$
 
Donc pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[,~f'_{1}(x) > 0$ et $f_1$ est strictement croissante sur
 $[0~;~+\infty[$.
		\item  $I_1=\displaystyle\int_{0}^1 \ln(1+x) \:\text{d}x $ . On ne sait pas primitiver $\ln$, donc on est contraint
de choisir : \\
$\begin{array}{l @{\quad}  l}
u(x) = x & \mathbf{u'(x) = 1}\\
\mathbf{v(x) = \ln(1 + x)} & v'(x) = \dfrac{1}{x + 1}
\end{array}$

$u$ et $v$ sont continues et dérivables sur $[0~;~+\infty[$, de m\^eme que $u'$ et $v'$ donc 

$I_{1} = \big[ u(x) v(x)\big]_{0}^1 - \displaystyle\int_{0}^1 u(x)v'(x)\:\text{d}x=
\big[x \ln (x + 1)\big]_{0}^1 - \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{x}{x + 1}\:\text{d}x $

$I_1=  \ln (2)-0 - \displaystyle\int_{0}^1 \bigg( 1-\dfrac{1}{1+x} \bigg) \:\text{d}x $

$I_1= \ln 2  - \big[x - \ln(1+x) \big]_0^1= \ln 2 - \big(1-\ln(2)-(0-0)\big) = 2\ln(2) -1$
		
$I_1=\displaystyle\int_{0}^1 f_1(x) \:\text{d}x$ et 		
$f_1$ est continue sur $[0~;~1]$ donc $I_{1}$ est l'aire algébrique (en unité d'aires) du domaine limité 
par l'axe des abscisses, les droites d'équation $x = 0,$
$x = 1$ et la courbe représentative de $f_1$.
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $I_n=\displaystyle\int_{0}^1 f_n(x) \:\text{d}x$.
Pour tout $x$ de $[0~;~1]$ on a :
\begin{eqnarray*}
&& 0 \leqslant x^n \leqslant 1\\
&\iff& 1 \leqslant 1 + x^n \leqslant 2\\
&\iff & \ln 1 \leqslant \ln \left(1 + x^n\right) \leqslant \ln 2 \text{ car la fonction ln est strictement croissante sur } ]0~;~+\infty[\\
&\iff& 0 \leq f_n(x) \leq \ln(2)
\end{eqnarray*}

Comme la fonction $f_{n}$ est continue sur $[0~;~1]$ (comme composée de fonctions continues)
 et que pour tout $x$ de $[0~;~1],$ on a $ 0 \leqslant f_{n}(x) \leqslant \ln 2$, 

on en déduit que  pour tout entier naturel non nul $n$ :
$~\displaystyle\int_{0}^1 0 \:\text{d}x \leqslant I_{n} \leqslant \displaystyle\int_{0}^1 \ln 2 \:\text{d}x$

Or $\displaystyle\int_{0}^1 0 \:\text{d}x =0~$ et  $~\displaystyle\int_{0}^1 \ln 2 \:\text{d}x = \big[\ln(2)x\big]_0^1 = \ln(2)~$. Donc :
$~0 \leqslant I_{n} \leqslant \ln 2$.

		\item $I_{n+1}-I_n = \displaystyle\int_{0}^1 \ln\left(1+x^{n+1}\right)\:\text{d}x -  \displaystyle\int_{0}^1  \ln\left(1+x^n\right) \bigg)\:\text{d}x =
 \displaystyle\int_{0}^1 \bigg(\ln\left(1+x^{n+1}\right) - \ln\left(1+x^n\right) \bigg)\:\text{d}x
=\displaystyle\int_{0}^1 \ln\left(\dfrac{1+x^{n+1}}{1+x^n}\right) \:\text{d}x$

Or, pour tout $x$ de $[0~;~1]$ on a
\begin{eqnarray*}
&& 0 \leqslant x \leqslant 1\\
&\iff& 0 \leqslant x^{n+1}  \leqslant x^n ~(\text{en multipliant par } x^n \geq 0)\\
& \iff & 1 \leqslant 1 + x^{n+1}  \leqslant 1 + x^n
\end{eqnarray*}
Donc $\dfrac{1+x^{n+1}}{1+x^n} \leq 1 \iff \ln\left(\dfrac{1+x^{n+1}}{1+x^n}\right) \leq 0 
\iff\displaystyle\int_{0}^1 \ln\left(\dfrac{1+x^{n+1}}{1+x^n}\right) \:\text{d}x \leq 0
\iff I_{n+1}-I_n \leq 0$

Donc $I_{n + 1} \leqslant I_{n}$ et la suite $\left(I_{n}\right)$ est décroissante.
		\item  La suite $\left(I_{n}\right)$  est décroissante et minorée par $0$. Elle est donc 
convergente vers un nombre positif.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  $g$ est la différence de deux fonctions continues dérivables sur $[0~;~+\infty[$ 
donc $g$ est continue et dérivable
sur $[0~;~+\infty[$ et $g'(x) = \dfrac{1}{x + 1} - 1 = \dfrac{- x}{x + 1}$.
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[espcl=6]{$x$/0.7, Signe\\de $ g'(x) $/1, Variations\\ de $g$/1.5} {$0$  ,  $+\infty$}%
  \tkzTabLine {z,-,}%
  \tkzTabVar { +/ $0$, -/ }
  \end{tikzpicture}
\end{center}
Donc $g$ est strictement décroissante sur $[0~;~+\infty[$.
		\item D'après le tableau précédent, on voit clairement que
 $g$ est strictement négative sur $]0~;~+\infty[$ et $g(0)=0$.
		
Si $x\geq 0$  alors pour tout entier naturel $n$ non nul, $x^n \geq 0$.\\
D'après ce qui précède on a alors $g\left(x^n\right) \leqslant 0 \iff \ln \left(1 + x^n\right) - x^n \leqslant 0$ soit 
$\ln \left(1 + x^n\right) \leqslant x^n$.
		\item  Les fonctions $f _{n}$ et $x \longmapsto x^n$ sont continues sur 
$[0~;~+\infty[$ et pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[$ on a : 
\begin{eqnarray*}
&& 0 \leqslant \ln \left(1 + x^n\right) \leqslant x^n \\
&\iff  & \displaystyle\int_{0}^1 0 \: \text{d}x \leqslant I_{n} \leqslant \displaystyle\int_{0}^1 x^n\:\text{d}x\\ 
& \iff & 0 \leqslant I_{n} \leqslant \left[\dfrac{x^{n+1}}{n + 1}\right]_{0}^1\\
&\iff & 0 \leqslant I_{n} \leqslant \dfrac{1}{n + 1} 
\end{eqnarray*}
Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{n + 1} = 0$
 d'après le théorème des gendarmes, on a : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}I_{n} = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\textbf{\textsc{Exercice 4 : Modèle de Verhulst - Loi logistique continue} \hfill 5 points}% Costantini

%On repique des plants de 10 cm de haut sous une serre. On sait que la taille maximale
%de ces plantes est de 1 m. On note $f(t)$ la taille, en m, d'un plant après $t$ jours. On a donc $f(0)=0.1$.\\
%Le modèle de Verhulst consiste à considérer que la vitesse de croissance de la plante 
%évolue suivant la relation  $\quad f'(t)=af(t)\big(1-f(t)\big) \quad$ où $a$ est une constante 
%dépendant des conditions expérimentales.\\
%Autrement dit, $f$ est une solution sur $\R^{+}$ de l'équation différentielle :
%$$(E_1) \, : \, y'=ay(1-y)$$
\begin{enumerate}
 \item %On pose pour tout $t\in \R^+$ : $\quad z(t)=\dfrac{1}{f(t)}$.\\
%Démontrer que la fonction $f$ satisfait aux conditions (E$_{1}$) si et seulement si la 
%fonction $z$ satisfait aux conditions
$z=\dfrac{1}{f}$ donc $z'=-\dfrac{f'}{f^2}$. Et donc pour tout $t\in \R^+$ on a 
\begin{eqnarray*}
 & (\text{E}_{2})& \left\{\begin{array}{l c l}
 z'(t) &=&	 - az(t)  + a~ \\
z(0)& =&10\\
\end{array}\right.
\iff   \left\{\begin{array}{l c l}
-\dfrac{f'(t)}{f^2(t)}=-a\dfrac{1}{f(t)}+a~ \\\\
\dfrac{1}{f(0)}=10\\ 
             \end{array}\right.
\iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
-f'(t)&=&-af(t)+af^2(t)~ \\
f(0)&=&0.1\\ 
             \end{array}\right.\\
&\iff& 
\left\{\begin{array}{l c l}
-f'(t) &=& af(t)\left(-1+f(t)\right)~ \\
f(0) & = & 0.1 \\ 
             \end{array}\right.
 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
 f'(t) &=& -af(t)(-1+f(t)) ~ \\
f(0)& =&0.1\\
\end{array}\right. \\\\
&
\iff& 
\left\{\begin{array}{l c l}
 f'(t) &=&	 af(t)(1-f(t)) ~ \\
f(0)& =&0.1\\
\end{array}\right.  
\end{eqnarray*}
\item % Donner les solutions de l'équation différentielle $y' = - ay	+ a$ 
%et en déduire l'expression de la fonction $z$, puis celle de la fonction $f$.
Les solutions de l'équation différentielle $y'=-ay+a$ sont les fonctions $y$ de la forme :
$$y(t)=Ke^{-ax}-\dfrac{a}{-a}=Ke^{-ax}+1 \text{ avec } K \in\R$$
On en déduit que $z(t)=Ke^{-ax}+1$. Or $z(0)=10 \iff K+1=10 \iff K=9$.\\
Donc $z(t)=9e^{-ax}+1$ et $f(t)=\dfrac{1}{9e^{-ax}+1}$.
\item %On observe qu'au bout de 15 jours, la plante mesure 19 cm. 
%Calculer $a$ (arrondir à $10^{-2}$ près).
On sait donc que 
\begin{eqnarray*}
 f(15)=0.19 &\iff &\dfrac{1}{9e^{-15a}+1}=0.19\\
&\iff& 9e^{-15a}+1=\dfrac{1}{0.19} \\
&\iff & 9e^{-15a}=\dfrac{1}{0.19}-1=\dfrac{0.81}{0.19}=\dfrac{81}{19} \\
&\iff & e^{-15a}=\dfrac{81}{19} \times \dfrac{1}{9} = \dfrac{9}{19}\\
&\iff & -15a=\ln\left(\dfrac{9}{19}\right)\\
&\iff & a = -\dfrac{1}{15}\ln\left(\dfrac{9}{19}\right) \simeq 0.05
\end{eqnarray*}
\item %Etudier la limite de $f$ en $+\infty$ et préciser son sens de variation.
%\item Représenter graphiquement la fonction $f$
On sait que $a>0$ donc
$$\lim\limits_{x \to + \infty}f(x)=\lim\limits_{x \to + \infty} \dfrac{1}{9e^{-ax}+1}=\lim\limits_{x \to + \infty} \dfrac{1}{1}=1$$
Rq : Le signe de $a$ est important pour répondre !
\item %Au bout de combien de jours, la plante dépassera-t-elle 90 cm de haut ? 
On cherche $x$ tel que :
\begin{eqnarray*}
 f(x)\geq 90 &\iff& \dfrac{1}{9e^{-ax}+1} \geq 0.9  \\
& \iff & \dfrac{1}{0.9} \geq 9e^{-ax}+1 \\
&\iff & \dfrac{10}{9}-1 \geq 9e^{-ax}\\
&\iff & \dfrac{1}{9} \geq 9e^{-ax}\\
& \iff & \dfrac{1}{9}\times \dfrac{1}{9} \geq e^{-ax}\\
& \iff & \dfrac{1}{81} \geq e^{-ax} \\
&\iff & -\ln(81) \geq -ax\\
& \iff & \dfrac{1}{a}\ln(81) \leq x ~\text{ car } a>0 \text{ donc } -a<0 
\end{eqnarray*}
Or $\dfrac{1}{a}\ln(81) \simeq 88.2$.\\
Donc on trouve que la plante dépassera $90$cm au bout de 89 jours.		
\end{enumerate}


\textbf{\textsc{Exercice 5 : QCM à justifier !} \hfill 5 points}% Liban Juin 2010
 
\begin{enumerate}
\item Une urne contient une boule blanche et deux boules noires. On effectue $10$~tirages successifs 
d'une boule avec remise (on tire une boule au hasard, on note sa couleur, on la remet dans l'urne
et on recommence).

\medskip

\textbf{Proposition 1 :} \og La probabilité de tirer exactement 3 boules blanches est

$3 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^3  \times  \left(\dfrac{2}{3}\right)^7$. \fg \quad \textbf{FAUX}

Il s'agit d'un schéma de Bernoulli : on renouvelle 10 fois de manière indépendante une expérience à
deux issues consistant à tirer un boule dans une urne contenant 3 boules dont une blanche. 
La probabilité de tirer une blanche est de 1/3. On appelle X la variable aléatoire donnant  le nombre de 
boules blanches obtenues à l'issue des 10 expériences. X suit une loi binomiale de paramètres $(10;1/3)$. 
$p(X=3)=\displaystyle{10 \choose 3} \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^3  \times  
\left(\dfrac{2}{3}\right)^7$ et $\displaystyle{10 \choose 3}\ne 3$.

\item Une variable aléatoire $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda  (\lambda > 0$).

On rappelle que pour tout réel $a > 0 : p(X \leqslant a) = \displaystyle\int_{0}^a \lambda 
\text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t$.

\textbf{Proposition 2 :} \og Le réel $a$ tel que $p(X > a) = p(X \leqslant a)$ est égal à
 $\dfrac{\ln 2}{\lambda}$. \fg \quad \textbf{VRAI}

Pour tout réel $a > 0 : p(X \leqslant a) = \displaystyle\int_{0}^a \lambda 
\text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t=\left[\text e^{-\lambda t}\right]_0^a=1-\text e^{-\lambda a}$, \\
$p(X > a)=1- p(X \leqslant a) = \text e^{-\lambda a} $.

L'équation $p(X > a) = p(X \leqslant a)$ est équivalente à :\\
 $1-\text e^{-\lambda a}=\text e^{-\lambda a} \iff \text e^{-\lambda a}=\dfrac 12 \iff
 -\lambda a=-\ln(2) \iff a=\dfrac{\ln(2)}{\lambda}$


\item  Soit le nombre complexe $z = 1- \text{i}\sqrt{3}$.

\textbf{Proposition 3 :} \og Si l'entier naturel $n$ est un multiple de 3 alors $z^n$ est un réel. 
\fg \textbf{VRAI}

On utilise la forme exponentielle : $z=1-\text i \sqrt 3 = r\text e^{\text i \theta}$ où \\
 $r=|z|=\sqrt{1+3}=2$ \\
et $\theta$ est tel que $\cos(\theta)=\dfrac 12$ et 
$\sin(\theta)=-\dfrac{\sqrt 3}2$, donc $\theta = -\dfrac {\pi}{3}$. \\
D'où $z=2\text e^{-i\dfrac{\pi}3}$ et pour tout entier naturel $n$, 
$z^n=2^n\text e^{-\text i\dfrac{n\pi}3}$. \\
Si $n$ est multiple de 3, il s'écrit sous la forme $3k$ où
 $k$ est un entier naturel. On obtient alors $z^n=2^n\text e^{-\text i k\pi} = \pm 2^n \in \R$

\item On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, 
le point A d'affixe $a = 2 - \text{i}$ et le point B d'affixe $b = \dfrac{1 + \text{i}}{2}a$.
    

\textbf{Proposition 4 :} \og Le triangle OAB est rectangle isocèle. \fg \quad \textbf{VRAI}
 
Soit $Z= \dfrac{z_A-z_B}{z_O-z_B}= \dfrac{a-b}{-b}$.\\
On sait que $Arg(Z)=(\overrightarrow{\text{BO}},\overrightarrow{\text{BA}})$ 
et que $|Z|=\dfrac{\text{BA}}{\text{BO}}$.\\
    $b= \dfrac{1 + \text{i}}{2}(2-\text i)=\dfrac{2-\text{i}+2\text{i}+1}{2}=\dfrac 32 + \dfrac 12\text i$, \\
Donc 
$a-b=2-\text i -\dfrac 32 - \dfrac 12\text i= \dfrac 12- \dfrac32 \text i$.\\
D'où $Z=\dfrac{1-3\text i}{2} \times \dfrac{-2}{3+\text i}=-\dfrac{1-3\text i}{3+\text i}=-\dfrac{(1-3\text i )(3-\text i)}{9+1}=-\dfrac{3-\text i -9\text i -3}{10}=\text i$
\\
     $Z$ est de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 
Donc $(\overrightarrow{\text{BO}},\overrightarrow{\text{BA}}) = \dfrac{\pi}2$ et $\text{BA}=\text{BO}$. 
Le triangle ABO est donc isocèle rectangle de sommet B.

\item Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, à
 tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle 
que $z' = \dfrac{- 10}{\overline{z}}$ où $\overline{z}$ désigne le  nombre conjugué de $z$.

\textbf{Proposition 5 :} \og Il existe un point $M$ tel que O, $M$ et $M'$ ne sont pas alignés. \fg 
\quad \textbf{FAUX}

Pour tout point M d'affixe $z$ non nulle, on a :\\
$(\overrightarrow{OM} ; \overrightarrow{OM'})=\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\arg\left(\dfrac{z\overline{z}}{-10}\right) \quad[2\pi]$
\\
Or $z\overline{z} \in \R$ donc $(\overrightarrow{OM} ; \overrightarrow{OM'})=0 \quad [2\pi]$ et les points O, M et M' sont alignés.

\end{enumerate}


\end{document}

