
\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Annales pour r\'eviser}
\newcommand{\Ch}{$\C$, Probas, \'equa diff, int\'egrales et suites}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
\newcommand{\num}{10}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutDmCha

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Les exos
\textit{Ce qui est en italique a été rajouté pour vous préparer davantage au DS ...}\\

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} % Metro Sept 2009 (modifié sur la pré-fin)

Un réparateur de vélos a acheté 30~\% de son stock de pneus à un premier fournisseur, 40~\% à un deuxième et le reste à un troisième.\\
Le premier fournisseur produit 80~\% de pneus sans défaut, le deuxième 95~\% et le troisième 85~\%. 
\begin{enumerate}
\item Le réparateur prend au hasard un pneu de son stock.
\begin{enumerate}
\item  Construire un arbre de probabilité traduisant la situation, et montrer que la probabilité que ce pneu soit sans 
défaut est égale à 0,875.
\item Sachant que le pneu choisi est sans défaut, quelle est la probabilité qu'il provienne du deuxième fournisseur ? 
On donnera la valeur arrondie du résultat à 10$^{-3}$.
\end{enumerate}
\item Le réparateur choisit dix pneus au hasard dans son stock. On suppose que le stock de pneus est suffisamment important 
pour assimiler ce choix à un tirage avec remise de dix pneus.
\begin{enumerate}
 \item \textit{Calculer la probabilité qu'exactement neuf pneus choisis soient sans défaut ?}
 \item Quelle est alors la probabilité qu'\textbf{au plus} un des pneus choisis présente un défaut ? On donnera la valeur arrondie à 10$^{-3}$.
 \item \textit{Quelle est le nombre minimal de pneus que le réparateur doit choisir pour que la probabilité qu'au moins un pneu choisi ne présente
aucun défaut soit supérieure à $0.999$ ?}
\end{enumerate}
\item On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de kilomètres parcourus par un pneu, sans crevaison. On fait l'hypothèse 
que X suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.\\
On rappelle que, pour tout nombre réel $k$ positif : $P(X\leqslant k) = \int_{0}^k\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\text{ d}x$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $P(500\leqslant X\leqslant 1000) =\mathrm{e}^{-500\lambda}-\mathrm{e}^{-\nombre{1000}\lambda}$.

\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplête, ou d'initiative même non fructueuse, 
sera prise en compte dans l'évaluation}.\\
La probabilité que le pneu parcoure entre 500 et \nombre{1000} kilomètres sans crevaison étant égale à $\dfrac{1}{4}$, déterminer 
la valeur arrondie à $10^{-4}$ du paramètre $\lambda$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} % Amerique du sud nov 2007

 
Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

\emph{On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure.}

Soit $f$ l'application qui à tout point $M$ de P d'affixe non nulle $z$ associe le point $M'$ d'affixe :
\[ z'= \dfrac{1}{2}\left(z + \dfrac{1}{z}\right).\]
\begin{enumerate}
\item Soit E le point d'affixe $z_{\text{E}} = - \text{i}$. Déterminer l'affixe du point E$'$, image de E par $f$
\item  Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $M'= M$ \textit{(l'ensemble des points \textbf{invariants} par $f$)}.
\item  On note A et B les points d'affixes respectives $1$ et $-1$.

Soit $M$ un point distinct des points O, A et B.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $0,~ 1$ et $-1$, on a :
\[\dfrac{z' + 1}{z' - 1} = \left(\dfrac{z + 1}{z - 1} \right)^2.\]

		\item  En déduire une expression de $\dfrac{M'\text{B}}{M'\text{A}}$	en fonction de	$\dfrac{M\text{B}}{M\text{A}}$ 
puis une expression de l'angle $\left(\vect{M'\text{A}},~\vect{M'\text{B}}  \right)$ en fonction de 
l'angle $\left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}}  \right)$
	\end{enumerate}
\item 	Soit $\Delta$ la médiatrice du segment [AB]. Montrer que si $M$ est un point de $\Delta$ distinct du point O, alors $M'$ est un
 point de $\Delta$.
\item  Soit $\Gamma$ le cercle de diamàtre [AB].
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que si le point $M$ appartient à $\Gamma$ alors le point $M'$ appartient à la droite (AB).
		\item  Tout point de la droite (AB) a-t-il un antécédent par $f$ ?
	 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}\\ % Pondichéry Avril 2010
 \textbf{Partie A - Restitution organisée de connaissances :}\\
Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$ et $f$ et $g$ deux fonctions continues sur l'intervalle $[a~;~b]$. On suppose connus les 
résultats suivants : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 	$\displaystyle\int_{a}^b \left[f(t) + g(t)  \right]\:\text{d}t =  \displaystyle\int_{a}^b f(t)\:\text{d}t + \displaystyle\int_{a}^b g(t)\:\text{d}t$. 
\item[$\bullet~$] Si pour tout $t \in [a~;~b],~ f(t) \geqslant 0$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(t)\:\text{d}t \geqslant  0$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Montrer que : si pour tout $t \in [a~;~b],~ f(t) \leqslant g(t)$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(t)\:\text{d}t \leqslant \displaystyle\int_{a}^b g(t)\:\text{d}t$.

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Soit $n$ un entier naturel non nul. On appelle $f_{n}$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $f_{n}(x) = \ln \left(1 + x^n\right)$

et on pose $I_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 \ln \left(1 + x^n\right)\:\text{d}x$.
 
On note $\mathcal{C}_{n}$ la courbe représentative de $f_{n}$ dans un repère orthonormal \Oij.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f_{1}$ en $+ \infty$. 
		\item Etudier les variations de $f_{1}$ sur $[0~;~+\infty[$. 
		\item A l'aide d'une intégration par parties, calculer $I_{1}$ et interpréter graphiquement le résultat. 
 
(Pour le calcul de $I_{1}$ on pourra utiliser le résultat suivant :

 pour tout $x \in [0~;~1],~ \dfrac{x}{x + 1} = 1 - \dfrac{1}{x + 1}$) 
		\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$, on a $0 \leqslant I_{n} \leqslant \ln 2$. 
		\item  Etudier les variations de la suite $\left(I_{n}\right)$ 
		\item  En déduire que la suite $\left(I_{n}\right)$ est convergente.
	\end{enumerate} 
\item Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $g(x) = \ln (1  + x) - x$.
	\begin{enumerate}
		\item Etudier le sens de variation de $g$ sur $[0~;~ +\infty[$. 
		\item En déduire le signe de $g$ sur $[0~;~ +\infty[$. 
Montrer alors que pour tout entier naturel $n$ non nul, et pour tout $x$ réel positif, on a 
\[\ln \left(1 + x^n\right) \leqslant  x^n.\]
 
		\item  En déduire la limite de la suite $\left(I_{n}\right)$.  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\textbf{\textsc{Exercice 4 : Modèle de Verhulst - Loi logistique continue} \hfill 5 points}% Costantini

On repique des plants de 10 cm de haut sous une serre. On sait que la taille maximale
de ces plantes est de 1 m. On note $f(t)$ la taille, en m, d'un plant après $t$ jours. On a donc $f(0)=0.1$.\\
Le modèle de Verhulst consiste à considérer que la vitesse de croissance de la plante 
évolue suivant la relation  $\quad f'(t)=af(t)\big(1-f(t)\big) \quad$ où $a$ est une constante dépendant des conditions expérimentales.\\
Autrement dit, $f$ est une solution sur $\R^{+}$ de l'équation différentielle :
$$(E_1) \, : \, y'=ay(1-y)$$
\begin{enumerate}
 \item On pose pour tout $t\in \R^+$ : $\quad z(t)=\dfrac{1}{f(t)}$.\\
Démontrer que la fonction $f$ satisfait aux conditions (E$_{1}$) si et seulement si la 
fonction $z$ satisfait aux conditions
\[(\text{E}_{2}) \left\{\begin{array}{l c l}
 z'(t) &=&	 - az(t)  + a~ \text{pour tout nombre réel}~ t~ \text{positif ou nul,}\\
z(0)& =&10\\
\end{array}\right.\] 
\item Donner les solutions de l'équation différentielle $y' = - ay	+ a$ 
et en déduire l'expression de la fonction $z$, puis celle de la fonction $f$.
\item On observe qu'au bout de 15 jours, la plante mesure 19 cm. 
Calculer $a$ (arrondir à $10^{-2}$ près).
\item Etudier la limite de $f$ en $+\infty$ et préciser son sens de variation.
%\item Représenter graphiquement la fonction $f$.
\item Au bout de combien de jours, la plante dépassera-t-elle 90 cm de haut ? 

		
\end{enumerate}


\textbf{\textsc{Exercice 5 : QCM à justifier !} \hfill 5 points}% Liban Juin 2010
 
\begin{enumerate}
\item Une urne contient une boule blanche et deux boules noires. On effectue $10$~tirages successifs d'une boule avec remise 
(on tire une boule au hasard, on note sa couleur, on la remet dans l'urne 
et on recommence).

\medskip
 
\textbf{Proposition 1 :} \og La probabilité de tirer exactement 3 boules blanches est 
$3 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^3  \times  \left(\dfrac{2}{3}\right)^7$. \fg
 
\item Une variable aléatoire $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda  (\lambda > 0$).
 
On rappelle que pour tout réel $a > 0 : p(X \leqslant a) = \displaystyle\int_{0}^a \lambda \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t$.
 
\textbf{Proposition 2 :} \og Le réel $a$ tel que $p(X > a) = p(X \leqslant a)$ est égal à $\dfrac{\ln 2}{\lambda}$. \fg
 
\item  Soit le nombre complexe $z = 1- \text{i}\sqrt{3}$.
 
\textbf{Proposition 3 :} \og Si l'entier naturel $n$ est un multiple de 3 alors $z^n$ est un réel. \fg
 
\item On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, le point A d'affixe $a = 2 - \text{i}$ et 
le point B d'affixe $b = \dfrac{1 + \text{i}}{2}a$. 

\textbf{Proposition 4 :} \og Le triangle OAB est rectangle isocèle. \fg
 
\item Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle on associe 
le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = \dfrac{- 10}{\overline{z}}$ où $\overline{z}$ désigne le  nombre conjugué de $z$.
 
\textbf{Proposition 5 :} \og Il existe un point $M$ tel que O, $M$ et $M'$ ne sont pas alignés. \fg 

\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}


\end{document}

