
\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Devoir Commun}
\newcommand{\Ch}{}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
\newcommand{\num}{5}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutSansCha

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Les exos

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} % Amerique du Nord, juin 2005

\textbf{Commun à tous les candidats}
\medskip

On dispose d'un dé cubique équilibré dont une face porte le numéro 1, deux faces portent le numéro 2 et trois faces portent le numéro 3.


On dispose également d'une urne contenant dix boules indiscernables au toucher, portant les lettres L, O, G, A, R, I, T, H, M, E 
(soit quatre voyelles et six consonnes).

Un joueur fait une partie en deux étapes :

Première étape : il jette le dé et note le numéro obtenu.

Deuxième étape :

\setlength\parindent{5mm}  
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  si le dé indique 1, il tire au hasard une boule de l'urne. Il gagne la partie si cette boule porte une voyelle 
et il perd dans le cas contraire.
\item[$\bullet~$] 	si le dé indique 2, il tire au hasard et simultanément deux boules de l'urne. Il gagne la partie si chacune 
de ces deux boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.
\item[$\bullet~$] 	si le dé indique 3, il tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne. Il gagne la partie si chacune 
de ces trois boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

A la fin de chaque partie, il remet dans l'urne la ou les boules tirée(s).

On définit les événements suivants :
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
 D$_{1}$ : \og le dé indique 1 \fg{}\\
D$_{2}$ : \og le dé indique 2 \fg \\
D$_{3}$ : \og le dé indique 3 \fg{} \\
 G : \og la partie est gagnée \fg.
\end{center}
\end{multicols}
A et B étant deux événements tels que $p$(A) $\neq 0$, on note $p_{\text{A}}(\text{B})$ la probabilité de B sachant que A est réalisé.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les probabilités $p_{\text{D}_{1}}(\text{G}),~ p_{\text{D}_{2}}(\text{G})$,  
et $p_{\text{D}_{3}}(\text{G})$

		\item Montrer alors que $p$(G) = $\dfrac{23}{180}$.
	\end{enumerate}
\item Un joueur a gagné la partie. Calculer la probabilité qu'il ait obtenu le numéro 1 avec le dé.
\item Un joueur fait six parties. Calculer la probabilité qu'il en gagne exactement deux et en donner une valeur arrondie  à
 $10^{-2}$ près.

Quel nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilité d'en gagner au moins une soit supérieure  à 0,9 ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} %Liban Juin 2006

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv.

On prendra 2~cm pour unité graphique.

Soit A le point d'affixe i et B le point d'affixe 2.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme algébrique de l'affixe du point B$_{1}$ image de B par l'homothétie de centre A et de
rapport $\sqrt{2}$.
		\item Déterminer la forme algébrique de l'affixe du point B$'$ image de B$_{1}$ par la rotation de centre A et d'angle
$\dfrac{\pi}{4}$.

Placer les points A, B et B$'$.
\end{enumerate}
\item On appelle $f$ la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$,
associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que

\[ z' = (1 + \text{i})z + 1.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que B a pour image B$'$ par $f$.
		\item Montrer que A est le seul point invariant par $f$ (c'est-à-dire tel que $z'=z$).
		\item Etablir que pour tout nombre complexe $z$ distinct de i,~
$\dfrac{z' - z}{\text{i} - z} = - \text {i}$.

Interpréter ce résultat en termes de distances puis en termes d'angles.

En déduire une méthode de construction de M$'$ à partir de $M$, pour $M$ distinct de A.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner la nature et préciser les éléments caractéristiques de l'ensemble $\Sigma_{1}$  des
points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vérifie $|z - 2| = \sqrt{2}$.
		\item Démontrer que $z' - 3-2\text{i} =  (1 + \text{i})(z -2)$.
		
En déduire que si le point $M$ appartient à $\Sigma_{1}$, alors son image $M'$ par $f$ appartient à un cercle $\Sigma_{2}$, 
dont on précisera le centre et le rayon.
		\item Tracer $\Sigma_{1}$ et $\Sigma_{2}$ sur la même figure que A, B et B$'$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} %Liban Juin 2006

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A : Etude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) =x \ln (x +1).\]

Sa courbe représentative $(\mathcal{C})$ dans un repère orthogonal \Ouv{} est donnée en annexe.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
		\item L'axe des abscisses est-il tangent à la courbe $(\mathcal{C})$ au point O ?
	\end{enumerate}
\item On pose I $ = \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{x^2}{x + 1}\:\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer trois réels $a,~b$ et $c$ tels que, pour tout $x \neq - 1,$

\[\dfrac{x^2}{x + 1} = ax + b + \dfrac{c}{x + 1}.\]

		\item En déduire $I=-\dfrac{1}{2}+\ln(2)$.
	\end{enumerate}
\item A l'aide d'une intégration par parties et du résultat obtenu à la question 2, calculer, en unités d'aires, 
l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$ et les droites d'équations \\ $x =0,~ x = 1$ et $y = 0$.
%\item Montrer que l'équation $f(x) =0,25$ admet une seule solution sur l'intervalle [0~;~1]. On
%note $\alpha$ cette solution. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Etude d'une suite}

\medskip

La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie sur $\N$ par $u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 x^n
 \ln (x + 1)\:\text{d}x$.\\
%\begin{enumerate}
%\item  
Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.

La suite $\left(u_{n}\right)$ converge-t-elle ? \textit{(On ne demande pas de déterminer l'éventuelle limite)}
%\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $0 \leqslant u_{n} \leqslant \dfrac{\ln 2}{n + 1}$.

%En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
%\end{enumerate}

\begin{center}

\textbf{Annexe} \end{center}


\begin{center}\textbf{Représentation graphique de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath \textbf{obtenue à l'aide d'un tableur} 

\bigskip

\textbf{Courbe}  \boldmath $(\mathcal{C})$ \unboldmath

\bigskip

\psset{xunit=3.5cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(3.2,5.2)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(3,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(3.2,5.2)
\uput[d](3.2,0){$x$} \uput[l](0,5.2){$y$}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3}{x 1 add ln x mul}
\qdisk(0,0){1.5pt} \qdisk(3,4.15888){1.5pt} 
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}


\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} %Metro Juin 2005 6 points

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \dfrac{3\text{e}^{\frac{x}{4}}}{2+ \text{e}^{\frac{x}{4}}}.\]

\begin{enumerate}\item[a.] Démontrer que $f(x) = \dfrac{3}{1 + 2\text{e}^{-\frac{x}{4}}}$.

\item[b.] Etudier les limites de la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.

\item[c.] Etudier les variations de la fonction $f$.

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a étudié en laboratoire l'évolution d'une population de petits rongeurs. La taille de la population, au temps $t$, 
est notée $g(t)$. On définit ainsi une fonction $g$ de l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ dans $\R$. La variable réelle $t$ désigne le 
temps, exprimé en années. L'unité choisie pour $g(t)$ est la centaine d'individus. Le modèle utilisé pour décrire cette 
évolution consiste  à prendre pour $g$ une solution, sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, de l'équation différentielle 

\[(\text{E}_{1}) y' = \dfrac{y}{4}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation différentielle (E$_{1}$).
		\item Déterminer l'expression de $g(t)$ lorsque,  à la date $t = 0$, la population comprend 100 rongeurs, 
c'est-à-dire $g(0) =1$.
		\item Après combien d'années la population dépassera-t-elle 300 rongeurs pour la première fois ?
	\end{enumerate}

\item En réalité, dans un secteur observé d'une région donnée, un prédateur empêche une telle croissance en tuant une certaine 
quantité de rongeurs. On note $u(t)$ le nombre des rongeurs vivants au temps $t$ (exprimé en années) dans cette région, et 
on admet que la fonction $u$, ainsi définie, satisfait aux conditions :

\[(\text{E}_{2}) \left\{\begin{array}{l c l}
 u'(t) &=&	 \dfrac{u(t)}{4} - \dfrac{\left(u(t)\right)^2}{12}~ \text{pour tout nombre réel}~ t~ \text{positif ou nul,}\\
u(0)& =&1.\\
\end{array}\right.\]
 
 où $u'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $u$.
 
	\begin{enumerate}
		\item On suppose que, pour tout réel positif $t$, on a $u(t) > 0$. On considère, sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$, 
la fonction $h$ définie par $h = \dfrac{1}{u}$. Démontrer que la fonction $u$ satisfait aux conditions (E$_{2}$) si et seulement si la 
fonction $h$ satisfait aux conditions

\[(\text{E}_{3}) \left\{\begin{array}{l c l}
 h'(t) &=&	 - \dfrac{1}{4}h(t)  + \dfrac{1}{12}~ \text{pour tout nombre réel}~ t~ \text{positif ou nul,}\\
h(0)& =&1.\\
\end{array}\right.\] 
 
où $h'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $h$.
		\item Donner les solutions de l'équation différentielle $y' = - \dfrac{1}{4}y	+ \dfrac{1}{12}$ et en déduire 
l'expression de la fonction $h$, puis celle de la fonction $u$.
		\item Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population étudiée lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{document}
