
\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitres 1 \`a 6}
\newcommand{\Ch}{Commun}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
\newcommand{\num}{4}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutDsCha

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Les exos

\textbf{\textsc{ Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  \emph{Dans cette question, il est demandé au candidat d'exposer des connaissances}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. Soit $R$ la rotation du plan de centre $\Omega$, d'affixe $\omega$ et d'angle de mesure $\theta$. L'image par $R$ d'un point du plan est donc définie de la manière suivante :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $R(\Omega) =  \Omega$
\item  pour tout point $M$ du plan, distinct de $\Omega$, l'image $M'$ de $M$ est définie par $\Omega M' = \Omega M$ et $\left(\vect{\Omega M},~\vect{\Omega M'}\right) = \theta \quad [2\pi]$.\\
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On rappelle que, pour des points $A$ et $B$ d'affixes respectives $a$ et $b$,~ $AB =  |b-a |$ et 
$\left(\vect{u},~\vect{AB}\right) = \text{arg}(b - a)\quad [2\pi]$.

\emph{Question :} Montrer que les affixes $z$ et $z'$ d'un point quelconque $M$ du plan et de son image $M'$ par la rotation $R$, sont liées par la relation

\[z' - \omega = \text{e}^{\text{i}\theta} (z -\omega).\]

\item  On considère les points I et B d'affixes respectives $z_{\text{I}} = 1 + \text{i}$ et $z_{\text{B}} =  2 + 2\text{i}$. Soit $R$ la rotation de centre B et d'angle de mesure $ \dfrac{\pi}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'écriture complexe de $R$.
		\item Soit A l'image de I par $R$. Calculer l'affixe $z_{\text{A}}$ de A.
		\item 	Montrer que O, A et B sont sur un même cercle de centre I. En déduire que OAB est un
	triangle rectangle en A. Donner une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right)$.
		\item 	En déduire une mesure de l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{OA}}\right)$.
	\end{enumerate}
\item  Soit $T$ la translation de vecteur $\vect{\text{IO}}$. On pose A$' = T$(A).
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'affixe $z_{\text{A}'}$ de A$'$.
		\item 	Quelle est la nature du quadrilatère OIAA$'$ ?
		\item 	Montrer que $- \dfrac{\pi}{12}$ est un argument de $z_{\text{A}'}$.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}
 
\newpage



\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]- 1~;~ + \infty[$ par :

\[f (x) = x - \dfrac{\ln (1 + x)}{1 + x}.\]
La courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ est donnée sur l'annexe ci-contre que l'on complètera et que l'on rendra avec la copie.

\medskip

\textbf{Partie A : étude de certaines propriétés de la courbe} \boldmath $\mathcal{C}$\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f '(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$.
\item  Pour tout $x$ de l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$, on pose $N(x) = (1+x)^2 - 1 + \ln (1 +x)$.

Vérifier que l'on définit ainsi une fonction strictement croissante sur $]- 1~;~+ \infty[$.

Calculer $N(0)$. En déduire les variations de $f$.
\item  Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = x$.
Calculer les coordonnées du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$.
\end{enumerate}
 
 \medskip
 
\textbf{Partie B : étude d'une suite récurrente définie à partir de la fonction}\boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que si $x \in [0~;~4]$, alors $f(x) \in [0~;~ 4]$.
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par :

\[\left\{\begin{array}{l cl}
 u_{0}& =&4 ~\text{et}\\
 u_{n+1} &=&f\left(u_{n}\right)~ \text{pour tout}~ n~ \text{de}~ \N.\\
\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item Sur le graphique de l'annexe 2, en utilisant la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$, placer les points de $\mathcal{C}$ d'abscisses $u_{0}~, u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$.
		\item Démontrer que pour tout $n$ de $\N$ on a :  $u_{n} \in [0~;~ 4]$.
		\item Etudier la monotonie de la suite $\left(u_{n}\right)$.
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On désigne par $\ell$ sa limite.
		\item Utiliser la partie A pour donner la valeur de $\ell$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE}

\bigskip

\emph{A compléter et à rendre avec la copie}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\psset{unit=1.45cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(6,5.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-2,-1)(6,5.5)
\psgrid[gridcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange](-2,-1)(6,5)
\uput[dr](1,0){1} \uput[dl](0,1){1} \uput[dl](0,0){O}
\uput[d](6.2,0){$x$} \uput[r](0,5.5){$y$}
\uput[dr](5.4,5){$\mathcal{C}$} \uput[ul](5,5){$\mathcal{D}$}
\psline(-1,-1)(5.5,5.5)
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{-0.76}{5.7}{x 1 x add ln 1 x add div sub}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace*{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère l'équation différentielle 

\[(\text{E}) :\quad  y' + y = \text{e}^{-x}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $u$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par $u(x) = x\text{e}^{-x}$ est une solution de l'équation différentielle (E). 
\item On considère l'équation différentielle (E$'$) :  $y' + y = 0$. Résoudre l'équation différentielle (E$'$). 
\item Soit $v$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. Montrer que la fonction $v$ est une solution de l'équation différentielle (E) si et seulement si la fonction $v - u$ est solution de l'équation différentielle (E$'$). 
\item En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E). 
\item Déterminer l'unique solution $g$ de l'équation différentielle (E) telle que $g(0) = 2$.
\end{enumerate}

\newpage
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}\\
\noindent \textbf{Commun à tous les candidats}\\

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
\[f(x) = \ln \left(1 +\text{e}^{-x}\right) + \dfrac{1}{3}x.\] 
  
La courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal est donnée en  annexe.
 
Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. 
	\item Montrer que la droite (D) d'équation $y = \dfrac{1}{3}x$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$. Tracer (D).
	\item Etudier la position relative de (D) et de $(\mathcal{C})$. 
	\item Montrer que pour tout réel $x,~ f(x) = \ln \left(\text{e}^x + 1\right) -\dfrac{2}{3}x$. 
	\item En déduire la limite de $f$ en $-\infty$. 
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
		
	Montrer que pour tout $x$ réel, $f'(x) =  \dfrac{\text{e}^x - 2}{3\left(\text{e}^x + 1\right)}$. 
	\item En déduire les variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item On note (T) la tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0$.\\
 Calculer le coefficient directeur de (T) puis construire (T) sur le graphique. 
\end{enumerate}

\begin{center}

\textbf{ANNEXE}

\bigskip

\emph{A compléter et à rendre avec la copie}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\psset{xunit=1.125cm,yunit=2.25cm}
\begin{pspicture*}(-5.333,-0.666)(5.333,3.333)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5.333,-0.833)(5.333,3.333)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=3,griddots=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-5.333,-0.666)(5.333,3.333)
\multido{\r=-0.8333+0.16667}{26}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](-5.333,\r)(5.333,\r)}
\uput[u](5.2,0){$x$} \uput[l](0,3.2){$y$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-5.333}{5.333}{1 2.71828 x neg  exp add ln 1 3 div x mul add}
\uput[u](4,1.4){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}

\end{center}




\end{document}
