  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 5 : Fonctions exponentielles }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 6\texttt{apmep}}
\rhead{Exponentielle-équation différentielle}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Devoir Surveillé 4}




\Exop{
\begin{center}\textbf{PARTIE A.}\end{center}
La température de refroidissement d'un objet fabriqué industriellement est une fonction $f$ du temps $t$.
\\
$f$ est définie sur l'ensemble des nombres réels positifs et vérifie l'équation différentielle:
\[f'(t)+\dfrac12f(t)=10.\]
La température est exprimée en degrès Celsius (\degres C) et le temps $t$ en heures.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $f(t)$ pour $t\geqslant 0$, sachant que pour $t=0$, la température de l'objet est 220~\degres~C.
\item On pourra admettre désormais que la fonction $f$ est définie sur $\R^+$ par 
\[f(t)=200\text{e}^{-\frac{t}{2}}+20.\]
On note $\mathscr{C}$ sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère orthogonal; les  unités graphiques sont 2~cm pour une heure en abscisse et 1~cm pour vingt degrès Celsius en ordonnée.
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de la fonction $f$ sur $\R^+$.
\item Etudier la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.\\
En déduire l'existence d'une asymptote $\mathscr{D}$ à la courbe $\mathscr{C}$ en $+\infty$.
\item  Construire $\mathscr{D}$ et $\mathscr{C}$ sur l'intervalle $[0~;~7]$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Utiliser le graphique pour déterminer une valeur approchée, en heures et minutes, du moment où la température de l'objet est 50~\degres~C. On laissera apparents les traits de construction.
\item Retrouver ce résultat par le calcul.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}\textbf{PARTIE B.}\end{center}
On considère la suite de terme général $d_{n}=f(n)-f(n+1)$ où $n\in\mathbb{N}$. $d_{n}$ représente l'abaissement de température de l'objet entre l'heure $n$ et l'heure $n+1$.
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer des valeurs approchées au dixième de $d_{0}$, $d_{1}$ et $d_{2}$.
		\item Quelle est la limite de $d_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$~?
	\end{enumerate}
\item Déterminer la plus petite valeur de l'entier $n$ à partir de laquelle l'abaissement de temprature est inférieur à 5~C.
\end{enumerate}}



\end{document}