\documentclass[a4paper,10.5pt,french]{article}
\linespread{1.1}

\title{Classe de $T^{\text{ale}}$ S }
\author{C. Aup\'erin}
\date{2010-2011}

\newcommand{\ch}{Chapitre 9}
\newcommand{\Ch}{Int\'egrales}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
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\setcounter{NumLecon}{6}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}



\debutExoCha

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} % Métropole juin 2009
  
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ par 
\[f(x) = \ln \left(1 + x\text{e}^{-x}\right).\]
 On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$. 
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. 
La courbe $\mathcal{C}$ est représentée en annexe 1 (à rendre avec la copie). 

\medskip

\textbf{PARTIE I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$. 
\item  Justifier que pour tout nombre réel positif $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de $1- x$. 
\item  Etudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE II}

\medskip

Soit $\lambda$ un nombre réel strictement positif. On pose $\mathcal{A}(\lambda) = \displaystyle\int_{0}^{\lambda}   f(x)\:\text{d}x$. 
On se propose de majorer $\mathcal{A}(\lambda)$ à l'aide de deux méthodes différentes. 

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Première méthode} 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter, sur l'annexe jointe (à rendre avec la copie), la partie du plan dont l'aire en unité d'aire, 
est égale à $\mathcal{A}(\lambda)$. 
	\item  Justifier que pour tout nombre réel $\lambda$ strictement positif, $\mathcal{A}(\lambda) \leqslant 	
\lambda \times f(1)$.
	\end{enumerate} 
	
\item \textbf{Deuxième méthode} 

	\begin{enumerate}
		\item Calculer à l'aide d'une intégration par parties $\displaystyle\int_{0}^{\lambda} x\text{e}^{-x}\:\text{d}x$ en 
fonction de $\lambda$. 
	\item On admet que pour tout nombre réel positif $u,~ \ln (1 + u ) \leqslant  u$.
	 
Démontrer alors que, pour tout nombre réel $\lambda$ strictement positif,

 $\mathcal{A}(\lambda) \leqslant  - \lambda \text{e}^{- \lambda} - \text{e}^{- \lambda} + 1$. 
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Application numérique}

Avec chacune des deux méthodes, trouver un majorant de $\mathcal{A}(5)$, arrondi au centième. 
Quelle méthode donne le meilleur majorant dans le cas où $\lambda = 5$ ? 
\end{enumerate} 
\begin{center}
 

\psset{xunit=1.7cm,yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.6)(6,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1,-0.6)(6,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} 
\uput[u](3,0.15){$\mathcal{C}$} \uput[d](1.3,0){$\lambda$}
\psline(1.3,-0.02)(1.3,0.02)\uput[d](1.3,0){$\lambda$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=6000,linewidth=1pt]{0}{6}{x 2.71828 x exp div  1 add ln}
\end{pspicture}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} % Liban Juin 2010
 
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Restitution organisée de connaissances On supposera connus les résultats suivants :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $\text{e}^0 = 1$. 
\item[$\bullet~$] Pour tous réels $x$ et $y,~ \text{e}^{x} \times  \text{e}^{y} =  \text{e}^{x + y}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que pour tout réel $x,~\text{e}^{-x} = \dfrac{1}{\text{e}^{x}}$. 
\item  Démontrer que pour tout réel $x$ et pour tout entier naturel $n,~ \left(\text{e}^{x}\right)^n = \text{e}^{nx}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : 

\[u_{n} = \int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}}\:\text{d}x.\] 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $u_{0} + u_{1} = 1$. 
		\item  Calculer $u_{1}$. En déduire $u_{0}$.
	\end{enumerate}
	 
\item Montrer que pour tout entier naturel $n, u_{n} \geqslant  0$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} + u_{n} = \dfrac{1 - \text{e}^{-n}}{n}$. 
		\item  En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n} \leqslant  \dfrac{1 - \text{e}^{-n}}{n}$.
	\end{enumerate}
	 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\end{enumerate}


\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} % Polynésie sept 2008

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
\[f(x) =  \ln \left(\text{e}^x + 2\text{e}^{-x}\right).\]

La courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ dans un repére orthogonal est donnée en annexe.

\medskip

 \textbf{Partie A - étude de fonction}~\boldmath $f$. \unboldmath

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x,~ f(x) = x + \ln \left(1 + 2\text{e}^{-2x}\right)$.\\
On admet que, pour tout réel $x,~ f(x) = -x +  \ln \left(2 + \text{e}^{2x}\right)$.

\item 	Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ et montrer que la droite (d) d'équation $y = x$ est asymptote à $(\mathcal{C})$.\\
Etudier la position relative de $(\mathcal{C})$ et de (d).
\item 	Calculer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$ et montrer que la droite (d$'$) d'équation $y = -x +  \ln 2$ est asymptote à
 $(\mathcal{C})$.

\item 	Etudier les variations de la fonction $f$.

Montrer que le minimum de la fonction $f$ est égal à $\dfrac{3}{2}\ln 2$.

\item 	Tracer les droites (d) et (d$'$) sur la feuille annexe.
\end{enumerate}

\medskip

 \textbf{Partie B - Encadrement d'une intégrale.}
 
On pose $I =  \displaystyle\int_{2 }^3 [f(x) - x]\:\text{d}x$.

\begin{enumerate}
\item Donner une interprétation géométrique de $I$.
\item 	Montrer que, pour tout $X \in [0~; ~+\infty[,~ \ln(1  + X) \leqslant  X$.
\item 	En déduire que $0 \leqslant I \leqslant \displaystyle\int_{2 }^3  2\text{e}^{-2x}\:\text{d}x$ et 
donner un encadrement de $I$ d'amplitude 0,02.
\end{enumerate}

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-6,0)(6,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-6,0)(6,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-6,0)(6,6)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} 
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot{-5.3}{6}{2.71828 x exp 2 2.71828 x exp div  add ln} 
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
 \bigskip
 
 \textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances}
 
 \medskip 

On supposera connus les résultats suivants : 

Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~ b]$ avec $a < b$.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si $u \geqslant  0$ sur $[a~;~ b]$ alors $\displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x \geqslant  0$.
\item[$\bullet~$] Pour tous réels $\alpha$ et $\beta,~ \displaystyle\int_{a}^b [\alpha u(x) + \beta v(x)]\:\text{d}x = \alpha \displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x+ \beta \displaystyle\int_{a}^b v(x)\:\text{d}x$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~ b]$ avec $a < b$ et si, pour tout 
$x$ de $[a~;~ b],~ f(x) \leqslant g(x)$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \leqslant  \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x$. 


 \textbf{Partie B}
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~1]$ par $f(x) = \text{e}^{-x^2}$  et on définit la suite 
$\left(u_{n}\right)$ par : 

\[\left\{\begin{array}{l}
u_{0} =\int_{0}^1f(x)\:\text{d}x= \int_{0}^1 \text{e}^{-x^2}\:\text{d}x\\ 
\text{pour tout entier naturel}~ n~ \text{non nul},~ u_{n} = \int_{0}^1 x^n f(x)\:\text{d}x = \int_{0}^1 x^n \text{e}^{-x^2}\:\text{d}x\\
\end{array}\right.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~1],~ \dfrac{1}{\text{e}} \leqslant  f(x) \leqslant  1.$ 
	\item En déduire que  $\dfrac{1}{\text{e}} \leqslant u_{0} \leqslant  1$.
	\end{enumerate} 
\item Calculer $u_{1}$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant  u_{n}$. 
	\item Etudier les variations de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
	\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
	\end{enumerate} 
\item	
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n} \leqslant  \dfrac{1}{n+1}$. 
	\item  En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 6 points} % Centre étrangers 2009
 
Soit $n$ un entier naturel.

On note $f_{n}$, la fonction d\'efinie sur l'ensemble $\R$ des nombres r\'eels par :
\[f_{n}(x) = \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}}.\]
On note $\mathcal{C}_{n}$ la courbe représentative de $f_{n}$ dans un repère orthogonal \Oij. Les courbes $\mathcal{C}_{0},~\mathcal{C}_{1},~\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{3}$ sont représentées ci-dessous : 

\bigskip

\psset{unit=5.8cm}
\begin{pspicture}(-0.6,-0.1)(1.5,1.1333)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.6,-0.1)(1.5,1.01333)
\multido{\d=-0.5+0.0625}{33}{\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](\d,-0.1)(\d,1)}
\multido{\d=-0.1+0.08333}{14}{\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](-0.5,\d)(1.5,\d)}
\uput[d](1.5,0){$x$} \uput[l](0,1.01){$y$}  \uput[r](0,1){1}
\uput[d](-0.5,0.4){$\mathcal{C}_{0}$}\uput[d](-0.5,0.65){$\mathcal{C}_{1}$}
\uput[d](-0.4,0.9){$\mathcal{C}_{2}$}\uput[d](-0.3,1){$\mathcal{C}_{3}$}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue]{-0.5}{1.5}{1 1 2.71828 x neg exp add div}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=green]{-0.5}{1.5}{2.71828 x neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
\psplot[plotpoints=5000,linestyle=dashed]{-0.4}{1.5}{2.71828 x 2 mul  neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
\psplot[plotpoints=5000,linestyle=dotted,linewidth=1.5pt]{-0.25}{1.5}{2.71828 x 3 mul  neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
\end{pspicture}


\begin{center} \textbf{Partie A :} \emph{Quelques propriétés des fonctions $f_{n}$ et des courbes} $\mathcal{C}_{n}$ \end{center}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ les courbes $\mathcal{C}_{n}$ ont un point A en commun. On préciser ses coordonnées. 
\item Etude de la fonction $f_{0}$
 
	\begin{enumerate}
		\item étudier le sens de variation de $f_{0}$. 
	\item Préciser les limites de la fonction $f_{0}$ en $- \infty$ et $+ \infty$. Interpréter graphiquement ces limites.
	\item   Dresser le tableau de variation de fonction $f_{0}$ sur $\R$.
	\end{enumerate} 
	
\item Etude de la fonction $f_{1}$
 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f_{0}(x) =  f_{1}(-x)$ pour tout nombre réel $x$. 
	\item En déduire les limites de la fonction $f_{1}$ en $- \infty$ et $+ \infty$, ainsi que son sens de variation. 
	\item Donner une interprétation géométrique de 3. a. pour les courbes $\mathcal{C}_{0}$ et $\mathcal{C}_{1}$.
	\end{enumerate}
	
\item  Etude de la fonction $f_{n}$ pour $n \geqslant  2$ 
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que pour tout entier naturel $n \geqslant 2$ et pour tout nombre réel $x$, on a : 
		\[f_{n}(x) = \dfrac{1}{\text{e}^{nx} + \text{e}^{(n - 1)x}}.\]

	\item  Etudier les limites de la fonction $f_{n}$ en $- \infty$ et en $+ \infty.$ 
	\item  Calculer la dérivée $f_{n}'(x)$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f_{n}$ sur $\R$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{Partie B :} \emph{étude d'une suite liée aux fonctions} $f_{n}$ \end{center} 

On pose, pour tout entier naturel $n ~~ :\quad  u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1  f_{n}(x)\:\text{d}x$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ puis montrer que $u_{0} + u_{1} = 1$. En déduire $u_{0}$.
\item Démontrer que, pour tout entier $n~~ : 0 \leqslant  u_{n} \leqslant  \displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{-nx}\:\text{d}x$. 
\item Calculer l'intégrale : $\displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{-nx}\:\text{d}x$. En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est 
convergente et préciser sa limite. 
\end{enumerate}


\end{document}

