\documentclass[a4paper,10.5pt,french]{article}
\linespread{1.1}

\title{Classe de $T^{\text{ale}}$ S }
\author{C. Aup\'erin}
\date{2010-2011}

\newcommand{\ch}{Chapitre 8}
\newcommand{\Ch}{Probabilit\'es Discr\`etes (variables al\'eatoires)}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

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\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2.5cm}

\setcounter{NumLecon}{6}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}



\debutExoCha


\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} %Antilles-Guyane Juin 2008


\medskip

On dispose de deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$ contenant des boules indiscernables au toucher.

\medskip

$U_{1}$ contient $k$ boules blanches ($k$ entier naturel supérieur ou égal à $1$) et $3$ boules noires.
 
$U_{2}$ contient $2$ boules blanches et une boule noire.

\medskip

On tire une boule au hasard dans $U_{1}$ et on la place dans $U_{2}$. On tire ensuite, au hasard, une
boule dans $U_{2}$. L'ensemble de ces opérations constitue une épreuve.

\medskip

On note $B_{1}$ (respectivement $N_{1}$) l'événement \og on a tiré une boule blanche (resp. noire)
dans l'urne $U_{1}$ \fg.

On note $B_{2}$ (respectivement $N_{2}$) l'événement \og on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l'urne $U_{2}$ \fg.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  \item  Recopier et compléter par les probabilités manquantes l'arbre ci-dessous :
		
\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$B_{1}$}\taput{\ldots}}
	  { 
		  \TR{$B_{2}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$N_{2}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{$N_{1}$}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{$B_{2}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$N_{2}$}\tbput{\ldots} 
	  }	
}
\end{center}
\bigskip

	\item  Montrer que la probabilité de l'événement $B_{2}$ est égale à
$\dfrac{3k +6}{4k +12}$.
\end{enumerate}

\textbf{Dans la suite on considère que} \boldmath$k = 12$.\unboldmath
 
\textbf{Les questions 2 et 3 sont indépendantes l'une de l'autre et peuvent être traitées dans n'importe quel ordre.}
\item Un joueur mise $8$~euros et effectue une épreuve.

Si, à la fin de l'épreuve, le joueur tire une boule blanche de la deuxième urne, le joueur reçoit $12$~euros.

Sinon, il ne reçoit rien et perd sa mise.
Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain du joueur, c'est-à-dire la différence entre la somme reçue et la mise.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que les valeurs possibles de $X$ sont $4$ et $-8$.
		\item  Déterminer la loi de probabilité de la variable $X$.
		\item  Calculer l'espérance mathématique de $X$.
		\item  Le jeu est-il favorable au joueur ?
	\end{enumerate}
\item Un joueur participe $n$ fois de suite à ce jeu.

Au début de chaque épreuve, l'urne $U_{1}$ contient $12$ boules blanches et $3$ noires, et l'urne $U_{2}$ contient $2$ boules blanches et 1 noire.

Ainsi, les épreuves successives sont indépendantes.

Déterminer le plus petit entier $n$ pour que la probabilité de réaliser au moins une fois l'événement $B_{2}$ soit supérieure ou égale à
 $0,99$.
\end{enumerate}




\end{document}

