\documentclass[a4paper,10.5pt,french]{article}
\linespread{1.1}

\title{Classe de $T^{\text{ale}}$ S }
\author{C. Aup\'erin}
\date{2010-2011}

\newcommand{\ch}{Chapitre 8}
\newcommand{\Ch}{Probabilit\'es Discr\`etes}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2.5cm}

\setcounter{NumLecon}{6}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}



\debutExoCha

\Exop{
Prschtr, le champion syldave de danse sous-marine nocturne en scaphandre de 150 kg est inquiet avant la finale. 
Trois de ses figures l'inquiètent. La probabilité de  réussir la première est de 0,95, la deuxième de 0,93 et la 
troisième de 0,9.\\
On suppose que le moral de Prschtr est à toute épreuve et les réussites de ses figures sont indépendantes.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que Prschtr réussisse ses trois figures ?
\item Quelle est la probabilité d'en manquer une seule ? D'en manquer deux ? De manquer les trois ?
\item Dresser alors le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ donnant le nombre de sauts 
réussis. Calculer $E(X)$ et $\sigma(X)$.
\item Manquer la première figure fait perdre 0,2 point et la deuxième ou la troisième 0,1 point. Les pénalités 
s'ajoutent.
Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire Y donnant le total des points de pénalités ? 
Calculer $E(Y)$ et $\sigma(Y)$.
\end{enumerate}
}


\Exop{
Simplet, Goldorak et Monica Bellucci reviennent de la forêt avec trois paniers contenant respectivement 1, 2 et 3 
champignons. Dans chaque panier, il y a un champignon vénéneux.\\
On choisit un des trois paniers au hasard, et dans ce panier on goûte un des champignons choisi lui aussi au 
hasard. 
Quelle est la probabilité de se tordre de douleur puis de succomber dans d’atroces souffrances quelques minutes 
après ?\\
Un élève syldave qui passait par là a choisi un panier au hasard puis un champignon dans ce panier. 
On constate qu’il se tord de douleur puis succombe dans d’atroces souffrances : quelle est la probabilité qu’il 
ait goûté un champignon venant du panier de Monica Bellucci ?
}

\Exop{Pour réussir une carrière politique en Corrèze, il faut une implantation locale. Dans cette perspective, un jeune énarque
décide d’acquérir un château corrézien. Pour se faire connaître, il hante les commices agricoles du département. Il a ainsi deux
chances sur trois d’être élu député. Si, par dessus le marché, il touche le derrière des vaches, cette probabilité passe à trois
chances sur quatre. Il y a trois chances sur cinq pour que, son conseiller en communication lui ayant refilé le tuyau, il touche
le derrière des vaches.
\begin{enumerate}
 \item Calculer la probabilité pour qu’il soit élu député. 
\item Il est député. Calculer la probabilité pour qu’il ait touché le derrière des vaches.
\end{enumerate}
}



\Exop[Polynésie juin 2010  \hfill 3 points]{
Des robots se trouvent au centre de gravité O d'un triangle de sommets S, I et X.
 
Chacun se déplace en trois étapes successives de la manière suivante :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  A chaque étape, il passe par l'un des trois sommets S, I et X puis il rejoint le point O ; 
\item les robots sont programmés de telle sorte que, lors d'une étape, la probabilité de passer par le sommet S 
est égale à celle de passer par le sommet X et la probabilité de passer par le sommet S est le double de celle 
de passer par le sommet I ; 
\item les différentes étapes sont indépendantes les unes des autres ; 
\item on ne tient pas compte des passages par O.
\end{itemize}}
\begin{center}
\textbf{Partie A - Un seul robot} \end{center}
 Un seul robot se trouve au point O.
 \begin{enumerate}
\item Démontrer qu'à chaque étape, la probabilité que le robot passe par le sommet I est égale à $\dfrac{1}{5}$. 
\item On note E l'événement : 
 \og au cours des trois étapes, le robot passe successivement par les 3 sommets S, I et X dans cet ordre \fg.
  
Démontrer que la probabilité de E est égale à $\dfrac{4}{125}$. 
\item On note F l'événement : 
\og au cours des trois étapes, le robot passe exactement par les 3 sommets S, I et X dans un ordre quelconque \fg.
 
Déterminer la probabilité de F.
\end{enumerate}
\begin{center}
\textbf{Partie B - Plusieurs robots} \end{center} 
Des robots se trouvent au point O, leurs déplacements étant indépendants les uns des autres.
 
Quel nombre minimal $n$ de robots doit-il y avoir pour que la probabilité de l'événement : 
\og au moins l'un des robots passe successivement par les sommets S, I et X dans cet ordre \fg{} soit 
supérieure ou égale à 0,99 ?


\Exop[La Réunion Juin 2002 \hfill 4 points]{
Dans un lot de 100 pièces toutes de même apparence, ont été 
mélangées  60 pièces équilibrées et 40 truquées. 

La probabilité d'apparition de \og PILE \fg{} lors d'un jet d'une 
pièce truquée	est $\dfrac{3}{4}$.

La probabilité d'apparition de \og PILE \fg{} lors d'un jet d'une 
pièce équilibrée est $\dfrac{1}{2}$.

On suppose que les différents lancers dont il sera question dans
 la suite sont indépendants les uns des autres.
 
La probabilité d'un événement A est notée $p$(A). On désigne par
 $\overline{\text{A}}$ l'événement con\-traire  de A.
 
La probabilité conditionnelle de A sachant que l'événement B est
 réalisé est notée $p$(A/B).
 
\emph{Les résultats  seront donnés sous forme de fractions
 irréductibles.} }
\begin{enumerate} 
\item On prend une pièce au hasard et on la lance : 

 soit T l'événement : \og la pièce est truquée \fg{},

 soit P l'événement : \og on obtient PILE \fg{} .
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité d'obtenir \og Pile \fg{} (on pourra s'aider d'un
 arbre).
		\item Quelle est la probabilité que la  pièce soit truquée sachant que 
l'on a obtenu \og PILE \fg{} ?
	\end{enumerate}
\item On prend une pièce au hasard et on la lance quatre fois.
\begin{itemize}
\item  si au cours des quatre lancers on obtient quatre fois \og Pile \fg{},
on  décide d'éliminer la pièce,
\item   dans le cas contraire, on décide de conserver la pièce.
\end{itemize}
On note E l'événement  \og la pièce est éliminée \fg{}.
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est la probabilité que la pièce soit  éliminée  sachant qu'elle est équilibrée ?
		\item Quelle est  la probabilité que la pièce soit conservée sachant
 qu'elle est truquée ?
		\item Quelle est la probabilité d'avoir pris une pièce équilibrée et
 de l'avoir éliminée ou d'avoir pris une piéce truquée et de l'avoir 
 conservée ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\Exop[Amérique du Sud Nov 2004 \hfill 5 points]{
Une urne contient 4~boules rouges et 2~boules noires indiscernables au 
toucher. }

\begin{enumerate}
\item On effectue au hasard un tirage sans remise de deux 
boules de l'urne. 

On note A$_{0}$ l'événement ; \og on n'a obtenu aucune boule noire \fg{} ; 

On note A$_{1}$ l'événement : \og on a obtenu une seule boule noire \fg{} ; 

On note A$_{2}$ l'événement : \og on a obtenu deux boules noires \fg. 

Calculer les probabilités de A$_{0}$,~ A$_{1}$ et A$_{2}$. 
\item Après ce premier tirage, il reste donc 4 boules dans l'urne. 

On effectue à nouveau au hasard un tirage sans remise de deux boules de l'urne. 

On note B$_{0}$ l'événement : \og on n'a obtenu aucune boule noire au tirage n$\up{o}~ 2$ \fg 

On note B$_{1}$ l'événement : \og on a obtenu une seule boule noire au tirage n$\up{o}~ 2$ \fg

On note B$_{2}$ l'événement : \og on a obtenu deux boules noires au tirage n$\up{o}~ 2$ \fg 

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $p_{\text{A}_{0}}(\text{B}_{0}),~ 
p_{\text{A}_{1}}(\text{B}_{0})$ et $p_{\text{A}_{2}}(\text{B}_{0})$. 
		\item En déduire $p(\text{B}_{0})$. 
		\item Calculer $p(\text{B}_{1})$ et $p(\text{B}_{2})$. 
		\item On a obtenu une seule boule noire lors de ce second tirage. 
Quelle est la probabilité d'avoir obtenu une seule boule noire lors du 
premier ? 
	\end{enumerate} 

\item On considére l'événement R : \og il a fallu exactement les deux tirages pour que les deux boules noires soient extraites de l'une \fg. 

Montrer que $p(\text{R}) = \dfrac{1}{3}$. 
\end{enumerate} 


\Exop[La Réunion juin 2010 \hfill 4 points]{
\textbf{Partie I}

On dispose d'un dé cubique $A$ parfaitement équilibré possédant une face verte, deux faces noires et trois 
faces rouges.

Un jeu consiste à lancer deux fois de suite et de manière indépendante ce dé. On note à chaque lancer la 
couleur de la face obtenue.

On note $V_1$, $N_1$ et $R_1$ (respectivement $V_2$, $N_2$ et $R_2$) la couleur obtenue au premier 
(respectivement second) jet.
 
Dans cet exercice, tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité pour qu'à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues soient noires. 
\item Soit l'év\`enement C : \og à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues sont de la même couleur \fg.
 
Démontrer que la probabilité de l'événement C est égale à $\dfrac{7}{18}$. 
\item Calculer la probabilité pour qu'à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues soient de couleurs 
différentes. 
\item A l'issue d'un jeu, sachant que les deux faces obtenues sont de la même couleur, quelle est la 
probabilité pour que les deux faces obtenues soient vertes ?
\end{enumerate}
}

\textbf{Partie II :}

\medskip
 
On dispose d'un second dé cubique $B$ équilibré présentant quatre faces vertes et deux faces noires. 
Le nouveau jeu se déroule de la manière suivante : on lance le dé B ;

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] si la face obtenue est verte, on lance à nouveau le dé $B$ et on note la couleur de la face 
obtenue; 
\item[$\bullet~$] si la face obtenue est noire, on lance le dé $A$ et on note la couleur de la face obtenue.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire un arbre de probabilités traduisant cette situation. 
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir une face verte au deuxième lancer, 
sachant que l'on a obtenu une face verte au premier lancer?
	\end{enumerate} 
\item Montrer que la probabilité d'obtenir deux faces vertes est égale à $\dfrac{4}{9}$. 
\item Quelle est la probabilité d'obtenir une face verte au deuxième lancer ? 
\end{enumerate}


\Exop[Nouvelle-Calédonie Nov 2009\hfill 5 points]{
Dans un zoo, l'unique activité d'un manchot est l'utilisation d'un bassin aquatique équipé d'un toboggan et 
d'un plongeoir.

On a observé que si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu'il le reprenne est $0,3$.

 Si un manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu'il le reprenne est $0,8$.
 
Lors du premier passage les deux équipements ont la même probabilité d'être choisis.
  
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère l'événement : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $T_{n}$ : \og le manchot utilise le toboggan lors de son $n$-ième passage. \fg 
\item $P_{n}$ : \og le manchot utilise le plongeoir lors de son $n$-ième passage. \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On considère alors la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par : 
$u_{n} = p\left(T_{n}\right)$ 
où $p\left(T_{n}\right)$ est la probabilité de l'événement $T_{n}$.
}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner les valeurs des probabilités $p\left(T_{1}\right),~ p\left(P_{1}\right)$ et 
des probabilités conditionnelles $p_{T_{1}}\left(T_{2}\right),~ p_{P_{1}}\left(T_{2}\right)$. 
		\item  Montrer que $p\left(T_{2}\right) = \dfrac{1}{4}$. 
		\item  Recopier et compléter l'arbre suivant :
\begin{center} 
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
	\pstree{\TR{$T_{n}$}\taput{$u_{n}$}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$T_{n+1}$}\taput{$\ldots$}
\TR{}~[tnpos=r]{$P_{n+1}$}\tbput{$\ldots$}
 		}
	\pstree{\TR{$P_{n}$}\tbput{$\ldots$}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$T_{n+1}$}\taput{$\ldots$}
 \TR{}~[tnpos=r]{$P_{n+1}$}\tbput{$\ldots$}
 		}
}
\end{center} 
		\item Démontrer que pour tout entier $n \geqslant 1,~ u_{n+1} = 0,1 u_{n} + 0,2$. 
		\item A l'aide de la calculatrice, émettre une conjecture concernant la limite de la 
suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant  1$ par:  
\[v_{n} = u_{n} - \dfrac{2}{9}.\]
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{10}$. 
Préciser son premier terme.
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction 
de $n$. 
		\item Calculer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Ce résultat permet-il de valider 
la conjecture émise en 1. e. ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


\Exop[Centre Etrangers Juin 2008\hfill 4 points]{

Le secteur de production d'une entreprise est composé de 3 catégories de personnel :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] les ingénieurs ;
\item[$\bullet~$] les opérateurs de production ;
\item[$\bullet~$] les agents de maintenance.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Il y a 8\:\% d'ingénieurs et 82\:\% d'opérateurs de production. Les femmes représentent 50\:\% des 
ingénieurs, 25\:\% des agents de maintenance et 60\:\% des opérateurs de production.}


\textbf{I. Partie A}

\medskip
 
Dans cette partie, on interroge au hasard un membre du personnel de cette entreprise.
On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] M l'événement : \og le personnel interrogé est un agent de maintenance \fg ;
\item[$\bullet~$] O l'événement: \og le personnel interrogé est un opérateur de production \fg;
\item[$\bullet~$] I l'événement: \og le personnel interrogé est un ingénieur \fg;
\item[$\bullet~$] F l'événement: \og le personnel interrogé est une femme \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  Construire un arbre pondéré correspondant aux données.
\item  Calculer la probabilité d'interroger:
	\begin{enumerate}
		\item  un agent de maintenance ;
		\item une femme agent de maintenance ; 
		\item une femme,
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{II. Partie B}

\medskip
 
Le service de maintenance effectue l'entretien des machines, mais il est appelé aussi à intervenir en cas de panne. Pour cela une alarme est prévue ; des études ont montré que sur une journée :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] la probabilité qu'il n'y ait pas de panne et que l'alarme se déclenche est égale à $0,002$ ;
\item[$\bullet~$] la probabilité qu'une panne survienne et que l'alarme ne se déclenche pas est égale à $0,003$ ;
\item[$\bullet~$] la probabilité qu'une panne se produise est égale à $0,04$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note:

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] A l'événement : \og l'alarme se déclenche \fg ;
\item[$\bullet~$] B l'événement : \og une panne se produit \fg ;
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que la probabilité qu'une panne survienne et que l'alarme se déclenche est égale à $0,037$.
\item  Calculer la probabilité que l'alarme se déclenche.
\item  Calculer la probabilité qu'il y ait une panne sachant que l'alarme se déclenche.
\end{enumerate}



\Exop[Asie Juin 2010 \hfill 4 points]{
Avant le début des travaux de construction d'une autoroute, une équipe d'archéologie préventive procéde à 
des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain.
 
Lorsque le $n$-ième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif.
 
L'événement : \og le $n$-ième sondage est positif \fg{} est noté $V_{n}$, on note $p_{n}$ la probabilité de 
l'événement $V_{n}$. 

L'expérience acquise au cours de ce type d'investigation permet de prévoir que: 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à $0,6$ d'être aussi positif; 
\item[$\bullet~$] si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à $0,9$ d'être aussi négatif. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On suppose que le premier sondage est positif, c'est-à-dire : $p_{1} = 1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités des événements suivants : 
	\begin{enumerate}
		\item A : \og les 2\up{e} et 3\up{e} sondages sont positifs \fg{} ; 
		\item B : \og les 2\up{e} et 3\up{e} sondages sont négatifs \fg.
	\end{enumerate} 
\item Calculer la probabilité $p_{3}$ pour que le 3\up{e} sondage soit positif. 
\item $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
 
Recopier et compléter l'arbre ci-dessous en fonction des données de l'énoncé : 

\medskip

\begin{center}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\Tdot\taput{$p_{n}$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$V_{n+1}$}\taput{\psframe(0.7,0.4)}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{V_{n+1}}$}\tbput{\psframe(0.7,-0.4)}
 		}
	\pstree{\Tdot\tbput{$1 - p_{n}$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$V_{n+1}$}\taput{\psframe(0.7,0.4)}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{V_{n+1}}$}\tbput{\psframe(0.7,-0.4)}
 		}
}
\end{center}

\medskip

\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, établir que : $p_{n+1} = 0,5p_{n} + 0,1$. 
\item On note $u$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_{n} = p_{n} - 0,2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $u$ est une suite géométrique, en préciser le premier terme et la raison. 
		\item Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Calculer la limite, quand $n$ tend vers $+ \infty$, de la probabilité $p_{n}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
}



\end{document}

