\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.1}

\title{Classe de $T^{\text{ale}}$ S }
\author{C. Aup\'erin}
\date{2010-2011}

\newcommand{\ch}{Chapitre 8}
\newcommand{\Ch}{Probabilit\'es discr\`etes}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
 


 

\setcounter{NumLecon}{7}
\debutCha{Caverne.eps}{Faites le mur}{Banksy}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore 
(Sonic Youth)}{Faites le mur ! est un film (?) ou un documentaire (documenteur !) réalisé par Banksy, sorti en salle le
 15 décembre 2010. Thierry Guetta, un commerçant français excentrique, documentariste amateur vivant à Los Angeles, présenté dans
 le film comme le cousin de l'artiste Space Invader, aurait amassé une considérable archive d'interviews et d'action de Zevs, 
Shepard Fairey, André etc. A mesure qu'il filme de manière compulsive la nouvelle génération de l'art urbain, son obsession pour 
Banksy, le célèbre pochoiriste britannique se fait plus dévorante. Ils se rencontrent enfin. Banksy incite Guetta - au vu de la 
médiocrité de ses productions audiovisuelles - à se tourner vers l'art urbain. C'est alors que naît l'artiste Mr Brainwash.}{1}{1}
\setcounter{NumLecon}{7}
\TITRE{garde.eps}{0.7}

\begin{abstract}
Historiquement, les calculs de probabilités ont été tout d'abord
utilisées pour étudier l'argent que pouvaient espérer gagner les
princes au jeu. Elles servent à construire des modèles pour décrire des expériences aléatoires telles que : 
le numéro obtenu en lançant un dé, la face obtenue en
lançant une pièce, la main obtenue dans un jeu de cartes, le tirage du loto, etc.

De nos jours et à niveau plus élevé, ces calculs sont abondamment utilisés en physique,
en chimie, en biologie, en économie, en démographie, etc. Ils  permettent de \og prévoir \fg\, des événements (en probabilité, ce qui n'est donc pas forcément certain), tels que le temps qu’il fera, la croissance de la
population, l’évolution des maladie, l’espérance du temps d’attente d’un bus, l’espérance de vie
suivant certains paramètres, etc.

Malgré
tout, le vocabulaire employé reste lié au jeu.
\end{abstract}

\section{Rappels}

\subsection{Modéliser une expérience aléatoire}

\Act{\\
Une expérience aléatoire consiste à choisir un nombre entre 1 et 10, faire la division euclidienne de ce nombre par 3 et
regarder le reste obtenu. 
Proposer une modélisation de cette expérience.
}

Lors de la \textit{modélisation} d'une expérience aléatoire, on est amené à choisir successivement :
\begin{itemize}
 \item Un univers
 \item Des parties de cet univers
 \item Une loi de probabilité sur cet univers.\\
\end{itemize}

\Defc{\begin{itemize}
       \item Un des r\'esultats possibles d'une exp\'erience al\'eatoire est appel\'e \textbf{\'eventualit\'e}, 
\textbf{événement élémentaire} ou encore \textbf{issue}.
\item L'ensemble de toutes les issues possibles \textit{a priori} d'une expérience aléatoire est appelé \textbf{univers}. 
On a pour habitude de noter cet ensemble $\Omega$.
\item Lorsque $\Omega$ est un ensemble fini, on appelle \textbf{cardinal} son nombre d'éléments, noté $Card(\Omega)$ 
ou $\#\Omega$.
\item Une partie de $\Omega$ est appel\'e \textbf{\'ev\'enement}. C'est un sous-ensemble constitu\'e d'issues de l'univers.
      \end{itemize}
}

\Expl{
On lance une pièce de monnaie et on s'intéresse à la face obtenue : $\Omega=\{P,F\}$ et $\#\Omega=2$\\
Remarquons que rien n'empêche d'ajouter l'issue \og Tranche \fg\, à cet univers. 
C'est à l'énoncé de définir l'univers. En l'absence d'indication, on considère tacitement qu'il s'agit de 
l'univers usuellement utilisé dans telle ou telle situation.
}

\Expls{
\begin{itemize}
 \item On lance un dé à $6$ faces et on regarde la face obtenue : $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$ et $\#\Omega=6$.
 \item On lance un dé à $6$ faces on regarde si le numéro obtenu est pair ou impair : 
$\Omega=\{P,I\}$ et $\#\Omega=2$.\\
On remarque que l'univers dépend de l'observation qui est faite.
\item On lance deux dés et on fait le produit $P$ des nombres obtenus :\\
$ \Omega_P=\{1;2;3;4;5;6;8;9;10;12;14;15;16;18;20;24;25;30;36\}$
et $\#\Omega=19$.\\
La partie $A=\{6,12,18,24,30,36\}$ de l'univers est un événement qui peut se décrire par la phrase : \og Obtenir un multiple de 6 \fg.
\end{itemize}
}

\Expls{
Il existe aussi des expériences aléatoires qui comportent une infinité d'issues :
\begin{itemize}
 \item Choisir au hasard un entier naturel $\Omega = \N$ (ce type d'ensemble est dit \textit{infini dénombrable})
 \item Choisir au hasard un réel entre 0 et 1 : $\Omega=[0;1]$ (\textit{infini non dénombrable})
 \item Choisir un nombre premier au hasard : $\Omega=\{\text{Nombres premiers}\}$ (\textit{infini dénombrable})
\end{itemize}
}

\textit{Dans tout ce chapitre, on considère désormais expérience aléatoire d'univers fini $\Omega$ (avec $\#\Omega=n$).
}\\

\Defc{Une loi de probabilité $P$ sur $\Omega$ est une application $P$ de allant l'ensemble des parties de $\Omega$ à valeurs dans $[0;1]$, et qui 
vérifie les conditions :
\begin{itemize}
 \item $P(\Omega)=1$
 \item $ P(A\cup B)=P(A)+P(B) $ pour toutes parties $A$ et $B$ \textbf{disjointes} de $\Omega$ (ie pour tous événements $A$ et $B$ \textbf{incompatibles})
\end{itemize}
}

\Rqs{
\item L'univers peut contenir des événements impossibles, à partir du moment où l'on définit la loi $P$ telle que leur probabilité
soit nulle.
\item Dans ce chapitre, nous n'allons considérer que des cas \og discrets \fg\,, ie où $\Omega$ est dénombrable.\\
Dans le cas où $\Omega$ est un intervalle de
temps par exemple, on ne peut pas dénombrer ces parties et la modélisation est
différente. On parle alors de probabilité « continue ». Dans ces cas là, un événement de
probabilité nulle (improbable) n’est pas forcément impossible...
\item \underline{Loi des Grands Nombres} :\\
Quand on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire pouvant conduire à des issues
$\omega_1, \omega_2, \dots , \omega_n$ la fréquence de réalisation de chaque événement élémentaire
$\{\omega_i\}$ se stabilise aux environs d’un nombre $p_i$ compris entre 0 et 1.
Ce nombre peut être considéré comme la probabilité de réalisation de l’événement $\{\omega_i\}$ 
}

\Expl{Modéliser l'expérience suivante : \og On lance deux pièces de monnaie et l’on note les faces obtenues. \fg
}

\Ptec{
La probabilité $P(A)$ d'un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent.
}

\Dem{Cela se déduit de la définition, grâce à la deuxième condition, puisqu'un événement est la réunion de ses événements
élémentaires, qui sont deux à deux disjoints.}

\Expl{Dans l'exemple précédent, calculer la probabilité de l'événement $A$ : \og Obtenir au plus une fois pile \fg\,.
}

\Propc[Conséquences directes]{Pour tous événements $A$ et $B$ de $\Omega$ on a :
\begin{itemize}
 \item  $P(\emptyset)=0$
 \item $P(\overline{A})=1-P(A)$
 \item $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$
\end{itemize}
}


\newcolumntype{C}[1]{>{\center}m{#1}}
\Dem{
Commençons par un rapide rappel sur le langage ensembliste.
\begin{center}
\begin{tabular}{|C{4cm}|C{4cm}|C{4cm}|C{4cm}|}
 \hline \textbf{Réunion de $A$ et $B$ :}  & \textbf{Intersection de $A$ et $B$ : }
	& \textbf{Complémentaire de $A$ :}  & \textbf{ $A$ et $B$ sont disjoints} : \tabularnewline
$A\cup B$ & $A\cap B$  & $\overline{A}$ &  $A\cap B = \emptyset$ \tabularnewline\hline
\begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.5,0.2) circle (1cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.5,-0.1) circle (0.8cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)} 
\draw[color=black,fill=yellow] \cercleA; 
\draw[color=black,fill=yellow] \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB;
\draw[color=black] \cercleO; 
\node at (-1,1) {$\Omega$};
\node at (-0.9,0) {$B$};
\node at (0.7,0.7) {$A$};
\end{tikzpicture} 
& \begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.50,0.2) circle (1cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.5,-0.1) circle (0.8cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)}
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleO; 
\begin{scope} 
\clip \cercleA; 
\draw[color=black,fill=red] \cercleB; 
\end{scope} 
\node at (-1,1) {$\Omega$};
\node at (-0.9,0) {$B$};
\node at (0.7,0.7) {$A$};
\end{tikzpicture}
 &\begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.50,0.2) circle (1cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)}
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleO; 
\draw[color=black,fill=blue!50] \cercleO; 
\begin{scope} 
\clip \cercleA; 
\draw[color=black,fill=white] \cercleO; 
\end{scope} 
\node at (-1,1) {$\Omega$};
\node at (0.7,0.7) {$A$};
\node at (-0.9,-0.5) {$\overline{A}$};
\end{tikzpicture}
 & \begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.6,0.5) circle (0.9cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.7,-0.7) circle (0.7cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)}
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleO; 
\node at (-1,1) {$\Omega$};
\node at (-0.9,-0.5) {$B$};
\node at (0.7,0.9) {$A$};
\end{tikzpicture}
\tabularnewline\hline
 \end{tabular}
\end{center}
\begin{itemize}
\item  $$1=P(\Omega)=P(\emptyset \cup \Omega) = P(\emptyset) + P(\Omega) = P(\emptyset) +  1 $$
D'où $P(\emptyset) =0$.
 \item $$1=P(\Omega)=P(A \cup \overline{A})=P(A)+P(\overline{A})$$
D'où $P(\overline{A})=1-P(A)$
 \item Tout repose sur ces découpages en événements disjoints deux à deux :
\begin{multicols}{2}
   $$ A =  \left( A\setminus B \right)\cup \left(A \cap B  \right)$$
$$ B =  \left( B\setminus A \right)\cup \left(A \cap B  \right)$$
$$A \cup B =  \left( A\setminus B \right)\cup \left(A \cap B  \right) \cup \left( B \setminus A \right)$$
\begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.5,0.2) circle (1.2cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.5,-0.3) circle (1cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)} 
\draw[color=black,fill=red] \cercleA; 
\draw[color=black,fill=yellow] \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleO; 
\node at (-1,1) {$\Omega$};
\node at (-0.8,-0.75) {$B\setminus A$};
\node at (0.7,0.7) {$A\setminus B $};
\begin{scope} 
\clip \cercleA; 
\draw[color=black,fill=orange] \cercleB; 
\end{scope} 
\node at (-0.1,-0.1) {$A\cap  B $};
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB;
\end{tikzpicture} 
\end{multicols}
\end{itemize}
}
\DemS{
Ainsi 
\begin{eqnarray*}
P(A) + P(B) - P(A\cup B) & = & P\bigg(\left( A\setminus B \right)\cup \left(A \cap B  \right)\bigg) + P\bigg( \left( B\setminus A \right)\cup \left(A \cap B  \right) \bigg) - P(A\cap B)\\
& = &  P\bigg(A\setminus B \bigg)+ P\bigg(A \cap B  \bigg) + P\bigg( B\setminus A \bigg)+P\bigg(A \cap B  \bigg) - P(A\cap B)\\
& = & P\bigg(A\setminus B \bigg)+ P\bigg(A \cap B  \bigg) + P\bigg( B\setminus A \bigg)\\
& = & P \bigg(\left( A\setminus B \right)\cup \left(A \cap B  \right) \cup \left( B \setminus A \right) \bigg) \\
& = & P(A\cup B)
\end{eqnarray*}
D'où $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$
}

\Expl{Dans l'exemple précédent, calculer $P(\overline{A})$.
}

\Expl{Dans une classe, $10\%$ des élèves jouent d’un instrument à cordes, $20\%$
jouent d’un instrument à vent et $5\%$ jouent d’un instrument à corde et d’un instrument à vent. On
choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité qu’il joue d’un instrument à cordes ou à vent ?
}

\Expl{Dans un club, plusieurs activités sont proposés dont le tir à l'arc et le golf. Parmi les $50$ adhérents, $30$ pratiquent le tir à l'arc, $18$ le golf et $6$ les deux sports. Quelle est la probabilité pour qu'un adhérent choisi au hasard :
\begin{enumerate}
\item pratique le tir à l'arc ? le golf ?
\item pratique l'un au moins des deux sports ?
\item ne pratique ni le tir à l'arc, ni le golf ?
\end{enumerate}}

\subsection{Une loi particulière}

\Defc{Lorsque l'on affecte la même probabilité à toutes les issues d'une expérience aléatoire, on dit qu'il y a \underline{équiprobabilité} ou que 
l'on a choisi une loi  \underline{équirépartie}. }

\Ptec{Lorsque la loi de probabilité est équirépartie, la probabilité d'un événement $A$ est :
$$ P(A)=\dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues possibles}}=\dfrac{\text{Card} A}{\text{Card} \varOmega}$$}

\Expl{
On lance deux fois de suites un dé équilibré.
\begin{enumerate}
 \item Représenter dans un tableau toutes les issues possibles.
 \item Calculer la probabilité des événements :
\begin{itemize}
 \item A : \og Obtenir un double \fg
 \item B : \og Obtenir deux numéros consécutifs \fg 
 \item C : \og Obtenir au moins un six \fg
 \item D : \og Obtenir une somme supérieure strictement à 7 \fg
\end{itemize}
\end{enumerate}
}

\Att{Si on considère que l'univers est l'ensemble des sommes possibles (et non les couples de numéros), alors la loi n'est plus équiprobable}

\Expl{
On lance quatre fois de suite une pièce de monnaie équilibrée.\\
Quel est l'événement le plus probable : \begin{itemize}
                                         \item A : \og Obtenir 2 piles et 2 faces \fg
					 \item B : \og Obtenir 3 piles et 1 face ou 3 faces et 1 pile \fg ?
                                        \end{itemize}
}

\Rq{
Si le dé (ou la pièce) est truqué alors on n’a plus l’équiprobabilité. L’énoncé fournit la loi de probabilité.
}

\Rq{
Notons bien que dans certaines situations, l’expression « au hasard » mérite d’être expliquée.\\
Imaginons que l’on dispose de deux bancs ayant chacun deux places $(pl_1 , pl_2)$ et  $(pl_3 , pl_4)$.
On suppose que toutes les places sont vides sauf la place $pl_4$. Arrive une personne à qui
on demande de s’asseoir \og au hasard \fg\,.. Quelle est la probabilité que les deux personnes soient
assises sur le même banc ?\\
\textit{Modèle 1} : on choisit une place équiprobablement parmi les 3. La probabilité est alors de $\dfrac{1}{3}$.\\
\textit{Modèle 2} : on choisit un banc équiprobablement parmi les deux. La probabilité est alors $\dfrac{1}{2}$.\\
\textbf{Moralité} : les énoncés sont toujours suffisamment précis pour ne pas vous donner de choix à
faire. Cependant, de votre côté, quand vous écoutez des statistiques utilisant les probabilités,
faites attention aux conclusions que tirent les journalistes, qui n’y connaissent rien ! On peut
faire dire à peu près n’importe quoi aux probabilités suivant les choix de modèle.
}


\subsection{Variable aléatoire : rappels}
\Act{
L'éducation coûte trop cher. Afin de réaliser des économies, le
gouvernement syldave  a décidé de se passer à la fois de
correcteurs et d'élèves. Tout est simulé dans les bureaux du
ministère, le but étant d'obtenir une moyenne nationale
satisfaisante à présenter aux investisseurs étrangers qui se
rueront en Syldavie pour profiter d'une main d'\oe uvre aussi
qualifiée.\\
 Le candidat virtuel jette un dé virtuel~: s'il sort un 6, il a 20, s'il
tombe sur un autre numéro pair il a 10, s'il tombe sur un numéro
impair, il a 5.\\
Quelle moyenne nationale peut \textsl{espérer} obtenir le
ministre~? Cette moyenne est-elle une moyenne~? Cette moyenne
sera-t-elle effectivement atteinte~?\\\\
Les derniers syldaves touchant  un salaire pour leur travail
coûtent encore trop cher aux entreprises. Un nouveau système de
rémunération a donc été mis au point par l'ancien ministre de
l'éducation syldave installé aujourd'hui au ministère des
finances.\\
Pour garder son emploi, le salarié doit chaque mois verser 1000
neurones à l'entreprise puis doit lancer un dé. S'il sort un 6, il
touche 3000 neurones~: les 1000 versés au départ par le salarié
plus 2000 versés par l'entreprise. Dans les autres cas,
l'entreprise garde les 1000 neurones.\\
Quelle salaire un employé peut-il espérer toucher~?\\
Que se passera-t-il si l'entreprise propose 5000 neurones au lieu
des 2000~? Et si elle propose 1\,000\,000\,000 de neurones avec un
dé à 100 faces pour un versement initial de 1\,000\,000 de
neurones~?
}

\Defc{On appelle \textbf{variable aléatoire} toute fonction de $\Omega$ dans $\R$, notée en général $X$.\\
Autrement dit, définir une variable aléatoire sur $\Omega$ c'est à associer un réel à chaque éventualité.
}

\Rq{
 Soit $x_i$ le réel associé à l'issue $\omega_i$ de l'univers. On note $(X=x_i)$ l'événement \og la variable 
aléatoire $X$ prend la valeur $x_i$ \fg 
}

\Expl{On lance trois pièces de monnaie, que l'on numérote $1$ ; $2$ et $3$. Le jeu qui consiste à gagner $1$ $\euro$ chaque fois que $F$ apparaît et à perdre $1$ $\euro$ chaque fois que $P$ apparaît\newline
La fonction $X$ qui, à chaque issue, associe le gain (positif ou négatif) correspondant, est une variable aléatoire sur $\Omega$.}

\Defc[Proposition (Admise)]{La \textbf{loi de probabilité} d'une variable aléatoire $X$ est la fonction de $\R$ dans $[0;1]$,
qui à chaque $x_i$ associe le nombre $P(X=x_i)$.
}

\Rqs{\item Il s'agit bien d'une probabilité sur $X(\Omega)$.
\item On représente cette loi à l'aide du tableau ci-dessous :
\begin{table}[h]
\center
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{2cm}|}
\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} Valeurs $x_i$ & $x_1$ & $x_2$ & $\dots$ & $x_m$  & Total \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $P(X=x_i)$ & $ p_1$ & $ p_2 $ & $ \dots $ & $ p_m $  & $1$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\textit{Nous utiliserons désormais toutes ces notations.}}

\Expl{Dans l'exemple ci-dessus, la loi de probabilité du gain $X$ est résumée dans le tableau suivant :}
\begin{table}[h]
\center
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{2cm}|}
\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} gain $x_i$ & $-3$ & $-1$ & $1$ & $3$  & Total \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $P(X=x_i)$ & $ \dfrac{1}{8}$ & $ \dfrac{3}{8} $ & $ \dfrac{3}{8} $ & $ \dfrac{1}{8} $  & $1$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}



\Defc{L'espérance mathématique de $X$ est le nombre $E(X)$ définie par : 
$$ E(X)=\ds\sum_{i=1}^mx_i\times p(X=x_i)= p_1x_1+p_2x_2+\dots +p_mx_m $$
La variance de $X$ est le nombre $V(X)$ définie par : 
$$ V(X)=\ds\sum_{i=1}^m [x_i-E(X)]^2 p(X=x_i) =[x_1-E(X)]^2p_1+\dots +[x_m-E(X)]^2p_m$$
L'écart-type de $X$ est le nombre $\sigma(X)$ définie par : 
$$ \sigma(X)=\sqrt{V(X)}$$}

\Rqs{
\item On a choisi d'utiliser les carrés pour la variance de manière arbitraire pour ne pas avoir de problèmes de signes ; 
on aurait pu choisir une autre méthode, mais celle-ci a l'avantage de rappeler la distance euclidienne bien connue.
La variance est en ce sens homogène au carré d'une distance. L'écart-type définit donc une distance proprement 
dite.
\item Lorsque $X$ représente le gain du joueur à un jeu de hasard,
$E(X)$ représente le gain moyen qu’il peut espérer par partie, lorsqu’on joue un grand nombre de fois. 
L’écart type est une caractéristique de la dispersion des valeurs de $X$ .
}

\Rq{Vous pouvez obtenir ces valeurs très facilement à l'aide de vos calculatrices. Il suffit de rentrer les valeurs prises par la variable
aléatoire en liste 1, et les probabilités en liste 2.
}

\Expl{Dans l'exemple précédent et calculer l'espérance, la variance et l'écart-type. Interpréter vos résultats.}

\Expl{Même question pour les deux exemples de l'activité.}

\Ptec{
L'espérance est linéaire : $E(aX+b)=aE(X)+b$ et $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$\\
On en dédut la formule : $V(X)=E(X^2)-\left(E(X)\right)^2$
} 

\Exop{
Prschtr, le champion syldave de danse sous-marine nocturne en scaphandre de 150 kg est inquiet avant la finale. 
Trois de ses figures l'inquiètent. La probabilité de  réussir la première est de 0,95, la deuxième de 0,93 et la 
troisième de 0,9.\\
On suppose que le moral de Prschtr est à toute épreuve et les réussites de ses figures sont indépendantes.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que Prschtr réussisse ses trois figures ?
\item Quelle est la probabilité d'en manquer une seule ?
\item D'en manquer deux ?
\item De manquer les trois ?
\item Dresser alors le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ donnant le nombre de sauts 
réussis. Calculer $E(X)$ et $\sigma(X)$.
\item Manquer la première figure fait perdre 0,2 point et la deuxième ou la troisième 0,1 point. Les pénalités 
s'ajoutent.\\
Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire Y donnant le total des points de pénalités ? 
Calculer $E(Y)$ et $\sigma(Y)$.
\end{enumerate}
}

\section{Conditionnement}

\subsection{Probabilité conditionnelle}
\Act{
Une enquête est effectuée auprès des 100 éléves d'un lycée syldave concernant le temps de travail hebdomadaire et 
le sexe des éléves.\\
On a obtenu le tableau suivant 
\begin{center}
\begin{tabular}{|C{4cm}|C{4cm}|C{4cm}|}
\hline
\backslashbox{sexe}{travail} & $< $ 5 minutes & $\geq$ 5 minutes \tabularnewline
\hline
filles & 20 & 15 \tabularnewline
\hline 
garçons & 60 & 5\tabularnewline
\hline
\end{tabular} 
\end{center}
Soit $T$ l'ensemble de ceux qui travaillent plus de 5 minutes par semaine et $G$ l'ensemble des garçons. \\
On suppose les éléves syldaves indiscernables à la vue, l'ouïe, le goût, le toucher et l'odorat.
\begin{enumerate}
 \item Calculer la probabilité que l'éléve prélevé travaille plus de 5 minutes.
 \item Calculer la probabilité pour que ce soit un garçon.
 \item Calculer la probabilité pour que l'éléve prélevé 
soit un garçon qui travaille plus de 5 minutes.
 \item Maintenant, \textbf{parmi les garçons}, on en choisit un au hasard. \\
\textit{L'univers a donc changé, mais pas les 
propriétés du tirage, ce qui assure encore l'équiprobabilité.}\\
Calculer la probabilité pour que ce garçon  travaille plus de 5 minutes.\\
\textit{On dit que c'est \textbf{la probabilité conditionnelle de T sachant G} qu'on note $P_G(T)$}
 \item Conjecturer une formule liant $P(G)$, $P(T \cap G)$ et $P_T(G)$ 
\end{enumerate}
}

\Defc[Proposition (Admise)]{
Soient $A$ et $B$ deux événements d'un univers $\Omega$ muni d'une probabilité $P$, avec $P(B)\neq0$. \\
\textbf{La probabilité de \textit{A} sachant \textit{B}} est définie par $$P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$$
}

\Rqs{
\item Il s'agit bien d'une probabilité sur $\Omega$.
 \item On utilisera tout autant cette formule sous la forme : $P(A\cap B)=P(B)P_B(A)=P(A)P_A(B)$
}

\Defc{Des événements non vides $A_1$, $A_2$, \dots, $A_k$ forment une \textbf{partition} de $\Omega$ s'ils sont deux à deux disjoints
et que leur réunion forme $\Omega$.}

\Rq{
Cela revient à découper $\Omega$ en morceaux disjoints $A_1$, $A_2$, ... , $A_k$,
}

\Expls{
Séparer une classe en un groupe fille et un groupe garçon permet de réaliser une partition de la classe. \\
Séparer une classe en un groupe fille, un groupe garçon et un groupe d'abonnés au chasseur syldave ne permet 
pas de réaliser une partition car certains éléves peuvent appartenir à deux groupes en méme temps. \\
Séparer une classe en un groupe de porteurs de sandales avec chaussettes et
un groupe d'imitateurs du Schblurb syldave ne permet pas de réaliser une partition car certains éléves ne sont 
ni dans l'un ni dans l'autre groupe.
}

\Thc{
Soit $A_1$, $A_2$, ... , $A_k$, une partition de $Omega$ et $B$ un événement quelconque de $\Omega$. 
On a :
$$B=B\cap \Omega=B\cap \left(A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_k\right)=(B\cap A_1)\cup(B\cap A_2)\cup\cdots\cup(B\cap A_k)$$
Cette union étant disjointe, on a donc
$$P(B)=P(B\cap A_1)+P(B\cap A_2)+\cdots+P(B\cap A_k)$$
}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{partition.eps} 
\end{center}

\Expl{On considère les unres $U_1$, $U_2$ et $U_3$ contenant respectivement :
\begin{itemize}
 \item 1 boules rouge et 5 jaunes
 \item 3 rouges et 1 jaune
\item 1 rouge et 2 jaunes
\end{itemize}
On choisit une unrne au hasard et on tire une boule dans cette urne.\\
Quelle est la probabilité que la boule tirée soit jaune ?
}


\subsection{Application : Arbres de probabilité}
\Act{La partie précédente nous permet de retrouver toutes les formules sur les arbres vues et admises en première.\\
Une urne contient $8$ boules, $3$ rouges et $5$ vertes. On tire successivement et sans remise deux boules de l'urne. 
\begin{enumerate}
 \item Compléter l'arbre suivant, qui modélise l'expérience (chemins et probabilités correspondantes) : \\
\begin{center}
\begin{tikzpicture} 
[level 1/.style={level distance=2cm, 
sibling distance=3cm}, 
level 2/.style={level distance=2.5cm, 
sibling distance=1.5cm}] 
\node {} [grow'=right] 
child {node {\textcolor{red}{rouge}} 
child {node {\textcolor{red}{rouge}} 
node[right=1cm] {\og Obtenir $\dots\dots\dots\dots\dots\dots $ \fg } 
edge from parent node[above] {$\dots$} 
} 
child {node {\textcolor{green}{verte}} 
node[right=1cm] {\og Obtenir $\dots\dots\dots\dots\dots\dots $  \fg } 
edge from parent node[below] {$\dots$} 
} 
edge from parent node[above] {$\dots$} 
} 
child {node {\textcolor{green}{verte}} 
} 
; 
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item Calculer les probabilité des événements suivants :
\begin{itemize}
\item $A =$ \og Tirer deux boules rouges \fg
 \item $B=$ \og Tirer une boule rouge au deuxième tirage sachant que l'on en a tiré une au premier tirage \fg 
 \item $C=$ \og Tirer une boule rouge au deuxième tirage sachant que l'on a tiré une verte au premier  \fg
\item $D=$ \og Tirer une boule rouge au deuxième tirage \fg
\item $E=$ \og Tirer une boule rouge au premier tirage \fg
\item $F=$ \og Tirer deux boules de la même couleur \fg
 \item $G=$ \og Tirer au moins une boule verte ?
\end{itemize}
\end{enumerate}
}


\Cadre[Méthode]{
\textbf{Règle 1} : La somme des probabilités des branches partant d'un même n\oe ud est égale à 1.\newline
\textbf{Règle 2} : La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités des branches de ce chemin.\newline
\textit{Cela correspond à la probabilité de l'intersection des événements qui le composent.}\\
\textbf{Règle 3} : La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins réalisant à cet événement.}

\Rqs{
 \item La règle 1 provient de la définition d'une probabilité
 \item La règle 2 de la définition de la probabilité conditionnelle
 \item La règle 3 de la formule des probabilités totales.}

\Expl{
Sophie a mis des dragées dans une boîte, les unes contiennent une amande, les autres non. On sait que :
\begin{itemize}
 \item $30\%$ des dragées contiennent une amande.
 \item $40\%$ des dragées avec amandes sont bleues,, les autres sont roses ;
 \item $75\%$ des dragées sans amande sont bleues, les autres sont roses.
\end{itemize}
Sophie choisit au hasad une dragée dans la boîte. On admet que toutes les dragées ont la même probabilité d'être choisies. \\
On considère les  événements suivants :
\begin{itemize}
 \item A : \og la dragée choisie contient une amande \fg
\item B : \og la dragée choisie est bleue \fg
\end{itemize}
}
\begin{enumerate}
 \item Compléter l'arbre des fréquences donnée ci-dessous
\begin{center}
 \psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{\small $0.3$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$B$}\taput{\small $$0.4$$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{B}$}\tbput{\small $$\dots$$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$ \overline{A}$}\tbput{\small $$\dots$$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$B$}\taput{\small $$\dots$$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{B}$}\tbput{\small $$\dots$$}
}
}
\end{center}
\item Décrire l'événement $A\cap B$ par une phrase. Montrer que sa probabilité est égale à $0.12$.
\item Calculer la probabilité de l'événement B.
 \item Décrire par une phrase l'événement $A \cup B$ par une phrase, puis calculer sa probabilité.
\end{enumerate}


\Expls{
\begin{enumerate}
\item On lance un dé. Si le résultat est pair on tire un jeton d'une urne contenant 3 jetons (numérotés 1, 2 et 3). 
Quelle est la probabilité que la somme dé et du jeton éventuel soit égale à 5 ? 
\item Une urne contient 2 boules rouges et 3 boules blanches. On tire des boules de l'urne (sans remise) jusqu'à 
obtention d'une boule rouge. Quelle est la probabilité d'obtenir les 3 boules blanches ? 
\item Le lièvre et la tortue : on lance un dé. Si le 6 sort, le lièvre gagne, sinon la tortue avance d'une case. On 
continue jusqu'à ce qu'il y ait un gagnant en suivant les cases ci-dessous. Quelle est la situation la plus 
enviable : celle du lièvre ou de la tortue ? 
\end{enumerate}
}

\Expl{
Simplet, Goldorak et Monica Bellucci reviennent de la forêt avec trois paniers contenant respectivement 1, 2 et 3 
champignons. Dans chaque panier, il y a un champignon vénéneux.\\
On choisit un des trois paniers au hasard, et dans ce panier on goûte un des champignons choisi lui aussi au 
hasard. \\
Quelle est la probabilité de se tordre de douleur puis de succomber dans d’atroces souffrances quelques minutes 
après ?\\
Un élève syldave qui passait par là a choisi un panier au hasard puis un champignon dans ce panier. 
On constate qu’il se tord de douleur puis succombe dans d’atroces souffrances : quelle est la probabilité qu’il 
ait goûté un champignon venant du panier de Monica Bellucci ?
}

\Expl{Pour réussir une carrière politique en Corrèze, il faut une implantation locale. Dans cette perspective, un jeune énarque
décide d’acquérir un château corrézien. Pour se faire connaître, il hante les commices agricoles du département. Il a ainsi deux
chances sur trois d’être élu député. Si, par dessus le marché, il touche le derrière des vaches, cette probabilité passe à trois
chances sur quatre. Il y a trois chances sur cinq pour que, son conseiller en communication lui ayant refilé le tuyau, il touche
le derrière des vaches.
\begin{enumerate}
 \item Calculer la probabilité pour qu’il soit élu député. 
\item Il est député. Calulez la probabilité pour qu’il ait touché le derrière des vaches.
\end{enumerate}
}

\section{Indépendance}

\subsection{Evénements et variables aléatoires}
\Defc{
Deux événements $A$ et $B$ sont dits \textbf{indépendants} si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.
}

\Rqs{
\item Cela revient à dire que $P_A(B)=P(B)$ et $P_B(A)=P(A)$.
\item Dans ce cas, la réalisation de l'un n'a pas d'influence sur celle de l'autre.
\item Ne pas confondre incompatibles et indépendants !
 \item Retenez que la notion d'indépendance probabiliste est plus large que la notion intuitive. Simplement, 
avoir observé la réalisation de A ne modifie pas la probabilité d’une éventuelle réalisation de B.
}

\Expls{
\begin{itemize}
 \item $\Omega$ est indépendant de tout événement $A$, car $P(\Omega \cap A) = P(A) = P(A) \times 1 = P(A) \times P(\Omega)$.
 \item Montrer que deux événements incompatibles de probabilité non nulle ne sont pas indépendants.
\end{itemize}
}


\Defc{
Deux variables aléatoires $X$ et $Y$ sur un unviers $\Omega$ muni d'une loi $P$ sont dites indépendantes 
lorsque pour toute valeur $x_i$ prise par $X$ et pour toute valeur $y_j$ prise par $Y$, les événements $(X=x_i)$ et $(Y=y_j)$ sont indépendants, ie
$$P(X=x_i \text{ et } Y=y_j) = P(X=x_i) \times P(Y=y_j)$$
}

\Expl{On lance un dés parfaitement équilibré. On considère les variables aléatoires $X$ et $Y$ définies sur l'univers
par :
\begin{itemize}
 \item $X$ prend la valeur 1 si le résultat est pair, $-1$ sinon ;
 \item $Y$ prend la valeur 2 si le résultat est 2 ou 5, la valeur 1 sinon.
\end{itemize}
Les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes (à montrer)
}

\subsection{Répétition d'expériences indépendantes}

\Defc{
Des expériences aléatoires répétées sont indépendantes si le résultat de l'une d'entre elles n'a aucune influence sur le déroulement des autres.
}

\Ptec{Si on suppose que des expériences sont indépendantes, alors la probabilité d'une liste de résultats 
est égale au produit des probabilités de chacun des résultats.
}

\Expl{
On lance $n$ fois une pièce de monnaie équilibrée. Quelle est la probabilité de l'événement A : \og Obtenir au moins une fois Pile \fg \, ?
}

\Expl{On lance un dé $n$ fois. Comment choisir $n$ pour que la probabilité $p_n$ d’obtenir au moins un 6 au
bout de $n$ lancers soit supérieure à 0,95 ?\\
\textit{Indication : Considérer l'événement contraire.}
}

\Cexpl{
Les tirages du loto d’une semaine sur l’autre sont des expériences
aléatoires indépendantes. Par contre, un tirage en lui-même est une répétition d’expériences
aléatoires dépendantes, puisqu’il s’agit de tirages successifs dans une même urne sans remise.
}

\section{Loi de Bernoulli et loi Binomiale ?}


\end{document}