\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.1}

\title{Classe de $T^{\text{ale}}$ S }
\author{C. Aup\'erin}
\date{2010-2011}

\newcommand{\ch}{Chapitre 7}
\newcommand{\Ch}{Fonctions logarithmes et autres nouvelles fonctions}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
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\setcounter{NumLecon}{6}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}



\debutExoCha

\Exop[Exercice 1 : Antilles-Guyane 2010 \hfill 7 points]{
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{PARTIE A - Restitution organisée des connaissances}

\medskip
 
On suppose connues la dérivée de la fonction exponentielle et la formule de dérivation de $u \circ v$ ainsi que ses conditions d'utilisation.
 
On suppose savoir que la fonction ln est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ et que 
pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$ on a : exp$(\ln x) = x$.
 
A partir de ces quatre arguments, montrer que la dérivée de la fonction ln est la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ qui \`a $x$ associe $\dfrac{1}{x}$. 

\bigskip

\textbf{PARTIE B - étude de fonction}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) =  x +  \dfrac{\ln x}{x}.\]
 
Le but du problème est l'étude de cette fonction \textit{(et le calcul d'une aire)}.
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 3~cm.
 
\textbf{I - étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip
 
On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par  

\[g(x) = x^2 + 1 - \ln x.\]
 
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de $g$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
\item En déduire le signe de $g$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
\end{enumerate}

\textbf{II - étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath et tracé de sa courbe représentative} \boldmath $\mathcal{C}$ \unboldmath 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite en $0$ de la fonction $f$. Quelle est l'interprétation graphique de ce résultat ? 
\item Déterminer la limite en $+ \infty$ de $f$ puis montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. 
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $]0~;~+ \infty[$. 
\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$. 
\item Déterminer le point A de la courbe $\mathcal{C}$ en lequel la tangente $\mathcal{T}$ est parallèle à la droite $\mathcal{D}$. 
\item Dans le repère \Oij{} tracer les droites $\mathcal{D}$  et $\mathcal{T}$ et la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
 }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  fin Antilles septembre 2010 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage


\Exop[Exercice 3 : Réunion septembre 2010 \hfill 6 points]{

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour tout nombre réel $k$ strictement positif, on considère la fonction $f_{k}$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$   par

\[f_{k}(x) = \ln (x) - kx^2 + 1.\]

\medskip

\textbf{Partie A} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f_{k}$ en $0$. 
\item On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x} = 0$. 

Démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x^2} = 0$. 

En déduire la limite de la fonction $f_{k}$ en $+\infty$.  

\item  Montrer que, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, $ f'_{k}(x)  = \dfrac{1- 2kx^2}{x}$. 

\item Pour un nombre réel $k$ strictement positif : on donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $f_{k}$. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.5,3)
\psframe(7.5,3)
\psline(0,2)(7.5,2) \psline(1.5,0)(1.5,3)
\psline(1.6,0)(1.6,2)\psline(1.7,0)(1.7,2)
\uput[u](0.75,2){$x$} \uput[u](1.65,2){$0$} \uput[u](4.5,2){$\dfrac{1}{\sqrt{2k}}$} \uput[u](7.1,2){$+ \infty$}
\rput(0.75,1){$f_{k}(x)$}
\psline{->}(1.9,0.3)(3.8,1.7) \psline{->}(5.2,1.7)(7.1,0.3)
\uput[d](4.5,2){$\dfrac{1 - \ln (2k)}{2}$} 
\end{pspicture}
\end{center} 


Justifier les renseignements sur les variations de la fonction $f_{k}$ figurant dans ce tableau.
\item On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{k}$ représentative d'une fonction $f_{k}$ pour une certaine valeur du nombre réel $k$ strictement positif. Le point A$\left(1~;~\dfrac{1}{2}\right)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_{k}$. 

Quelle est la valeur du nombre réel $k$ correspondant ? Justifier la démarche. 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1,-2.5)(4,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-1,-2.5)(4,1)
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,0.5)(0,0.5)
\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,0.5){$\dfrac{1}{2}$}
\uput[ul](1,0.5){A} \uput[u](1.3,0.4){$\mathcal{C}_{k}$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.031}{3}{x ln 1 add x dup mul 2 div sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 }


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin La Réunion septembre 2010 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Métropole septembre 2010  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\Exop[Exercice 1 : Métropole 2010 \hfill 6 points]{
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[ f(x) = x (1 - \ln x).\]
 
La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ est donnée en annexe 1 (à rendre avec la copie). 

\medskip

\textbf{Partie 1 : étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Etudier le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$. 
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition. 
\item Déterminer la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On considère la tangente $\left(T_{a}\right)$ au point A de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $a$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, en fonction du nombre réel $a$, les coordonnées du point A$'$, point d'intersection de la droite $\left(T_{a}\right)$ et de l'axe des ordonnées. 
		\item Expliciter une démarche simple pour la construction de la tangente $\left(T_{a}\right)$. Sur l'annexe 1 (à rendre avec la copie) construire la tangente $\left(T_{a}\right)$ au point A placé sur la figure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center} 
\textbf{ANNEXE 1 (Exercice 1)\\ (à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm} 

\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1,-2.6)(5.25,2.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(-1,-2.6)(5.25,2.25)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0.01}{4.65}{x 1 x ln sub mul}
\uput[d](1.7,0){$a$}\uput[l](0,0.7979){$f(a)$} \uput[dl](0,0){O}\uput[ur](1.7,0.7979){A} \uput[ur](2.5,0.4){$\mathcal{C}$}
\psline[linestyle=dashed](1.7,0)(1.7,0.7979)(0,0.7979)
\end{pspicture}
\end{center}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle--Calédonie novembre 2010  %%%%%%%%%%%%%%%

\Exop[Exercice 1 : Nouvelle-Calédonie 2010 \hfill 7 points]{

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
 
\textbf{PARTIE B :}

\medskip

Soit $\varphi$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ par 

\[\varphi(x) = 1 + x^2 -  2x^2 \ln x. \]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item étudier le sens de variation de la fonction $\varphi$
 sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$. 
		\item Calculer $\varphi(\text{e})$. Démontrer que l'équation $\varphi(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [1~;~e]. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$. 
		\item Déterminer le signe de $\varphi(x)$ suivant les valeurs de $x$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{1 + x^2}.\]

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que pour tout $x \geqslant 1$ on a : $f'(x) = \dfrac{\varphi(x)}{x\left(1 + x^2 \right)^2}$. 
		\item  Déduire de la question 1. le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$. 
		\item  Démontrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ on a : 

\[0  \leqslant  f(x) \leqslant  \dfrac{\ln x}{x^2}.\] 
		\item  En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
}

\end{document}

