\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.1}

\title{Classe de $T^{\text{ale}}$ S }
\author{C. Aup\'erin}
\date{2010-2011}

\newcommand{\ch}{Chapitre 7}
\newcommand{\Ch}{Logarithme n\'ep\'erien et \linebreak[2] autres nouvelles fonctions}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
 

\setcounter{NumLecon}{7}
\debutCha{lemur.eps}{Faites le mur}{Banksy}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore 
(Sonic Youth)}{Faites le mur ! est un film (?) ou un documentaire (documenteur !) réalisé par Banksy, sorti en salle le
 15 décembre 2010. Thierry Guetta, un commerçant français excentrique, documentariste amateur vivant à Los Angeles, présenté dans
 le film comme le cousin de l'artiste Space Invader, aurait amassé une considérable archive d'interviews et d'action de Zevs, 
Shepard Fairey, André etc. A mesure qu'il filme de manière compulsive la nouvelle génération de l'art urbain, son obsession pour 
Banksy, le célèbre pochoiriste britannique se fait plus dévorante. Ils se rencontrent enfin. Banksy incite Guetta - au vu de la 
médiocrité de ses productions audiovisuelles - à se tourner vers l'art urbain. C'est alors que naît l'artiste Mr Brainwash.}{1}{1}
\setcounter{NumLecon}{7}
\TITRE{palestine.eps}{0.7}

\begin{abstract}
Très utile, le logarithme népérien permit aux mathématiciens de transformer les produits en sommes, simplifiant ainsi 
grandement les calculs. Mais ce n'est pas tout... \\
Comme souvent en mathématiques, un même objet  (ici le logarithme
népérien) peut être défini de différentes manières (nous en
verrons trois) en aboutissant malgré tout aux mêmes
propriétés~: le procédé de fabrication change, mais le produit
fini est le même.
\end{abstract}


\section{Diverses Présentations}
\subsection{Historique : transformant les produits en sommes}
 En STG, on présente le logarithme népérien historiquement, ie comme solution de l'équation fonctionnelle 
$$f(a\times b)=f(a)+f(b)$$
Au début du $XVII^{e}$ siècle, afin de faciliter les calculs auxquels étaient confrontés les astronomes,
navigateurs, financiers, etc,  les mathématiciens cherchèrent à
transformer les produits en sommes. Il est en effet plus aisé de calculer $113 + 254$ que $113 \times 254$. 
Cela revenait donc à rechercher les fonctions $f$ vérifiant $f(ab)=f(a)+f(b)$.\\
En 1614, John \textsc{Napier} (en français Jean Néper..)  établit des Tables de logarithmes 
(complétées au fil des ans par des mathématiciens). A partir de deux nombres $a$ et $b$ :
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
 \item on lit dans la table $\ln (a)$ et $\ln (b)$
 \item on calcule facilement $\ln (a)+ \ln (b)$ 
 \item on cherche dans la table quel logarithme vaut cette somme,
 \item on lit alors dans la table le nombre correspondant. Il s'agit de $ab$ !
\end{itemize}
$$\begin{array}{|c|c|} \hline
a & \ln(a) \\ \hline
3 &  1.09861 \\\hline
4 &  1.38629 \\\hline
\dots & \dots \\\hline
12 & 2.48490 \\\hline
\end{array}$$
\end{multicols}
C'est le début de la règle à calculs, très précise et permettant toutes sortes de calculs.
 
\subsection{Primitive de la fonction inverse}
 Avant 2005, on présentait en S le logarithme comme la primitive de la fonction inverse sur $\R^{+*}$.\\
En effet, on montrera que si la fonction inverse admet une primitive (elle est continue sur $\R^{+*}$, donc c'est bien le cas), alors cette fonction 
vérifie l'équation fonctionnelle de John.
 
\subsection{Réciproque de la fonction exponentielle}
 Désormais en S, on aborde la fonction logarithme comme la fonction \textit{réciproque} de la fonction exponentielle. \\

On se rappelle que la fonction $\exp$ est continue et strictement croissante de $\R$ dans $\R^{+*}$. \\
En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires, on sait alors que pour tout $y >0$, il existe un \textbf{unique} 
$x\in\R$, antécédent de $y$ par la fonction $\exp$, ie tel que $e^x=y$. On dit que la fonction exponentielle est une bijection de $\R$ dans $\R^{+*}$.\\
Grâce à l'unicité, on peut définir la fonction qui à $y$ associe $x$. On l'appelle fonction réciproque de l'exponentielle. Il s'agit aussi d'une bijection, mais de $\R^{+*}$ dans $\R$\\

\begin{center}
\begin{psmatrix}[mnode=circle]
$x=\ln(y)\in\R^{}$ &  & $y=e^x\in\R^{+*}$ 
\end{psmatrix}
\psset{arrows=->,shortput=nab}
\ncarc[arcangle=15]{1,1}{1,3}^{$\exp$}
\ncarc[arcangle=15]{1,3}{1,1}^{$\ln$}
\end{center}

\Rq{On a donc  $\forall y \in\R^{+*}, \qquad  e^x=y \Longleftrightarrow x=\ln y$}

\Defc[Propriété]{On appelle fonction \textbf{logarithme népérien} la fonction qui à 
tout $x>0$ associe l'unique solution de l'équation $e^t=x$, d'inconnue $t$. On note $t=\ln(x)$ et on a donc 
$$\forall x>0, \quad e^{\ln(x)}=x $$
La fonction $\ln$ est appelée fonction \textit{réciproque} de la fonction $\exp$.
}

\Rqs{
   \item Comme $x=e^t>0$, $\ln(x)$ n'a de sens que si $x>0$. La fonction $\ln$ est définie sur $\R^{+*}$ et à valeurs dans $\R$.
 \item Pour tout $x\in\R$, le nombre $\ln\left(e^x\right)$ est solution de $e^t=e^x \iff x=t=\ln\left(e^x\right)$. D'où $$\forall x\in\R, \quad \ln\left(e^x\right) = x$$
\item En particulier $\ln(e)=1$ et $\ln(1)=0$
\item Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs on a $\ln(a)=\ln(b) \iff a=b$
}

\Expls{
Trouver les ensemble de définition des fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x)=\ln(x+3)$ et $g(x)=\ln(x^2-x-2)$.\\
Résoudre $e^x=5$,  $\ln(x)=5$ et $ e^{e^x}=3$.\\
}


\Exos{1 à 4 p 147}

\section{Propriétés algébriques}

\Thc{La fonction $\ln$ transforme les produits en sommes, ie pour tout $a>0$ et $b>0$ on a :
$$ \ln ab=\ln a+\ln b$$ }

\Dem{La fonction exponentielle transforme les sommes en produits donc $ e^{\ln a+\ln b}=e^{\ln a}e^{\ln b}=ab$
En appliquant le logarithme à cette égalité on obtient :
$$ \ln a+\ln b=\ln ab$$ }

\Corc{Pour tous $a$ et $b$ strictement positif et pour $n\in\Z$ on a :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\ln \left(\dfrac{1}{b}\right)=-\ln b$
\item $ \ln \left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b$
\item $\ln \left(a^n\right)=n \ln (a)$
\item $\ln \sqrt{a}=\dfrac{1}{2}\ln a$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Dem{
\begin{enumerate}
\item D'après le théorème on a $\ln b+\ln \dfrac{1}{b}=\ln b \times \dfrac{1}{b}=\ln 1 = 0 $. D'où $\ln \left(\dfrac{1}{b}\right)=-\ln b$
 \item On a :
 $$  \ln \left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a+\ln \dfrac{1}{b}=\ln a-\ln b$$
 \item On veut déjà démontrer \og $\ln \left(a^n\right)=n \ln (a), \quad \forall n \in\N$ \fg.
 \begin{itemize}
\item \textit{Initialisation} : Pour $n=0$,  $\ln (a^0)=\ln 1=0$ et $0 \times \l(a) = 0$. Donc la propriété est vraie.
\item \textit{Hérédité} : On suppose qu'il existe un certain $n$  tel que $ \ln \left(a^n\right)=n \ln a$. \\
Regardons ce que vaut $\ln \left(a^{n+1}\right)$. On a :
\begin{eqnarray*}
\ln\left(a^{n+1}\right) & = & \ln \left(a^{n} \times a\right) \\
&=& \ln \left(a^{n}\right)+\ln a \qquad \text{d'après le théorème} \\
&=& n \ln a + \ln a \qquad \text{ d'après l'hypothèse de récurrence}\\
&=& (n+1)\ln(a) 
\end{eqnarray*}
La propriété est donc initialisée et héréditaire, par conséquent pour $n\in\N$ on a $\ln \left(a^n\right)=n \ln (a)$.\\
Si désormais $n<0$, alors $-n>0$ et : 
$$ \ln a^n=\ln\dfrac{1}{a^{-n}}=-\ln a^{-n}=-(-n\ln a)=n\ln a$$
\end{itemize}
\item $$ \ln \lambda= \ln \sqrt{\lambda} \sqrt{\lambda}= \ln \sqrt{\lambda}+\ln \sqrt{\lambda}=2\ln \sqrt{\lambda}\Longrightarrow\ln \sqrt{\lambda}=\dfrac{1}{2}\ln \lambda$$
\end{enumerate}}

\Expls{
\begin{enumerate}
\item Ecrire à l'aide de $\ln 2$ et $\ln 3$ les nombres $A=\ln 144$ et $B=\ln 81+\ln 3 \sqrt{3}$
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $\ln(5-x)>2\ln (x+1)$. \textit{Penser au domaine de validité}
\item Une voiture perd en moyenne $15\%$ de valeur en un an. Au bout de combien d'années a-t-elle perdu la moitié de sa valeur ?
\end{enumerate} }

\Exos{5 + 6 + 9 + 10 p 147 + 12 à 14 }


\section{Variations et courbe}

\subsection{Sens de variation}

\Thc{La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ i.e 
$$ 0< a < b \Longleftrightarrow \ln a <\ln b $$}

\Dem{
On sait que pour tous $a$ et $b$ strictement positifs on a $a=e^{\ln a} $ et $b=e^{\ln b} $. Donc :
\begin{eqnarray*}
&& 0< a< b  \\
&\Longleftrightarrow & 0 <e^{\ln a}<e^{\ln b}\\
&\Longleftrightarrow & \ln a <\ln b \qquad \text{car }e^A<e^B\Longleftrightarrow A<B
\end{eqnarray*} 
Ainsi nous venons de démontrer que le logarithme népérien est une fonction strictement croissante sur $]0;+\infty[$.}

\Expl{Résolvons l'inéquation suivante $ \ln (5-x)\leq \ln (3-2x)$
\begin{itemize}
\item \textit{Domaine de validité} : Cette équation est définie pour tout $x$ vérifiant 
$$\left\{\begin{array}{l}
 5-x>0     \\ 3-2x>0   
        \end{array}\right.
 \Longleftrightarrow 
\left\{\begin{array}{l}
      x<5 \\ x<\dfrac{3}{2}  
       \end{array}\right.
\iff x<\dfrac{3}{2}$$
\item \textit{Résolution} : Ainsi pour tout $x<\dfrac{3}{2}$ on a :
\begin{eqnarray*}
&& \ln (5-x)\leq \ln (3-2x) \\
&\Longleftrightarrow & 5-x\leq 3-2x\\
&\Longleftrightarrow & x\leq -2 \qquad \text{ ce qui est bien inférieur à } \dfrac{3}{2}
\end{eqnarray*}
L'ensemble des solutions $\mathscr S$ de $(I)$ est $ \mathscr S=]-\infty; -2]$
\end{itemize}
}

\Rq{On a alors $\ln x<0\Longleftrightarrow  \ln(x) < \ln(1) \iff x\in]0;1]$.
}

\Exos{16 à 19 p 148}

\subsection{Continuité et dérivabilité}

\Thc{La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur $]0;+\infty[$ et sa dérivée est :
$$ (\ln x)'=\dfrac{1}{x}$$ }

\Dem[Hors Programme]{Admettons dans un premier temps que
$\ln $ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et notons provisoirement
$\ln'$ sa dérivée.\\
Nous savons que $\exp(\ln x)=x$. En dérivant membre à membre on obtient 
$$\ln'(x)\times\exp(\ln x)=1 \iff \ln'(x) \times x = 1 \iff \ln'x=1/x$$
Pour démontrer que le logarithme népérien est dérivable sur $]0;+\infty[$ (ce qui impliquera qu'elle est continue sur $]0;+\infty[$), on procède en 2 étapes :
\begin{enumerate}
\item Montrons que $\ln$ est continue en $1$ i.e que $ \Lim{1}\ln x=\ln 1=0$.\\
Pour tout $x>-1$, on a 
$$e^x\geq x+1 \iff \ln(e^x) \geq  \ln(x+1) \iff  x \geq \ln(x+1) \iff X-1 \geq \ln(X)$$
en ayant posé $X=x+1$. Donc $0< \ln X\leq X-1 $ pour tout $X >0$.\\
D'après le théorème des gendarmes, on a alors $ \Lim{1}\ln x=0=\ln 1$.
Donc la fonction $\ln$ est continue en $1$.\\

\item Etudions $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\ln(a+h)-\ln a}{h}$ (on considère $h$ assez proche de $0$ pour que $\ln(a+h)$ soit défini).
$$\ln(a+h)-\ln a=\ln\left(\dfrac{a+h}{a}\right)=\ln\left(1+\dfrac{h}{a}\right)$$
Posons $H=\ln\left(1+\dfrac{h}{a}\right) \Longleftrightarrow e^H=1+\dfrac{h}{a}\Longleftrightarrow h=a(e^H-1)$.\\

La fonction $\ln$ étant continue en $1$, on a $\lim\limits_{h\to 0} H=\lim\limits_{h\to 0} \ln\left(1+\dfrac{h}{a}\right)=\ln(1)=0$. \\
D'où $$  \displaystyle \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\ln(a+h)-\ln a}{h}= \displaystyle \lim\limits_{H\to 0}\dfrac{H}{a(e^H-1)}$$
Or, $ \lim\limits_{H\to 0}\dfrac{e^H-1}{H}=1$. Donc $ \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\ln(a+h)-\ln a}{h} =\dfrac{1}{a} \times \dfrac{1}{1}= \dfrac{1 }{a}$.\\

La fonction  $\ln$  est donc dérivable en tout $a>0$ et son nombre dérivé est $\dfrac{1}{a}$.
\end{enumerate}}

\Rqs{
\item On retrouve de suite le sens de variation démontré précédemment.
 \item L'approximation affine de la fonction $h \mapsto \ln(1+h)$ au voisinage de $0$ est 
\begin{eqnarray*}
\ln(1+h) &\simeq & \ln(1) + h \ln'(1) \\
&\simeq &  0+ h \dfrac{1}{1} \\
\ln(1+h) &\simeq &  h 
\end{eqnarray*}
\item La tangente à la courbe représentative de la fonction $\ln$ au point $A(1;0)$ est la droite d'équation 
\begin{eqnarray*}
 T_1 : y & = & ln'(1)(x-1) + ln(1) \\
& = & 1(x-1)+0\\
 T_1 : y &= & x-1
\end{eqnarray*}
}


\Ptec{Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et strictement positive alors :
$$ (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$$}
\Dem{On sait que $$ (v\circ u)'=v'(u)\times u'$$
On applique ce résultat pour $v=\ln$.}

\Ptec{Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ qui ne s'annule pas sur $I$. Une primitive sur $I$ de la fonction
$\dfrac{u'}{u}$ est la fonction $ \ln |u|$}

\Dem{Comme $u$ est dérivable sur $I$, elle est continue sur $I$. De plus elle ne s'annule pas sur $I$ donc elle ne change pas de signe sur $I$.\\
On peut alors dériver $\ln|u|$ en considérant le cas $u >$ et le cas $u<0$.}


\Expls{
\begin{enumerate}
\item Déterminer les fonctions dérivées des fonctions définies par :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\ln(x^2-9)$ sur $]3;+\infty[$.
\item $g(x)=\ln\left(\dfrac{x-2}{x+2}\right)$ sur $]2;+\infty[$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Etudier le sens de variation de la fonction $f : x\longmapsto \dfrac{\ln (x)-1}{\ln (x)+1} $ sur l'intervalle $I=\left]\dfrac{1}{e};+\infty\right[$
\end{enumerate}}

\Exos{22 p 148}

\subsection{Limites}

\Thc{\textit{Limites aux bornes de son ensemble de définition $]0;+\infty[$}
$$ \Lim{+\infty}\ln x=+\infty\qquad \text{et}\qquad \Lim{0^+}\ln x=-\infty$$
Ainsi la représentation graphique de la fonction $\ln$ admet une asymptote verticale d'équation $x=0$ mais n'admet pas d'asymptote horizontale.}

\Dem{Soit $M\in\R^{+*}$. Posons $A=e^M$, comme la fonction $\ln $ est strictement croissante sur $\R^{+*}$ on a :
$$ \forall x>A\Longrightarrow \ln x>\ln A=M$$
Quelque soit le réel $M$, il existe un rang au delà duquel $\ln x\geq M$, ce qui prouve que $$ \Lim{+\infty}\ln x=+\infty$$
De plus, 
$$ \Lim{0^+}\ln x=\Lim{+\infty} \ln \dfrac{1}{x}=-\Lim{+\infty}\ln x=-\infty$$ }


\Expl{Déterminer les limites suivantes :
$$ \Lim{+\infty} \ln \left(\dfrac{3x^2+5}{x-1}\right) \qquad  \Lim{\pm\infty} \ln \left(\dfrac{3x+5}{x-1}\right) \qquad \Lim{1^+} \ln \left(\dfrac{3x^2+5}{x-1}\right)$$
}


\Thc[Autres limites faisant intervenir le logarithme népérien]{
\begin{enumerate}
\item $ \Lim{+\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0 \qquad $ et  $\qquad  \Lim{+\infty} \dfrac{\ln x}{x^n}=0$, avec $n\in\N^*$\\
\item $ \Lim{0^+} x\ln x=0 \qquad $ et $\qquad \Lim{0^+} x^n\ln x=0$, avec $n\in\N^*$\\
 \item $ \Lim{1} \dfrac{\ln x}{x-1}=1$
\end{enumerate}
}

\Rq{On retiendra qu'en $+\infty$ et en $0$, toute puissance de $x$ l'emporte sur $\ln(x)$.}

\Dem{
\begin{enumerate}
\item On pose $X=\ln(x)$. Lorsque $x$ tend vers $+\infty$, on a alors que $X$ tend vers $+\infty$ et 
$$ \Lim{+\infty} \dfrac{\ln x}{x}= \lim\limits_{X \to +\infty}\dfrac{X}{e^X} $$
Or $ \lim\limits_{X \to+\infty} \dfrac{e^X}{X}=+\infty\Longleftrightarrow \lim\limits_{X \to+\infty}\dfrac{X}{e^X}=0$. \quad 
Donc
$$ \displaystyle\lim\limits_{X\to+\infty}\dfrac{\ln X}{X}=0$$
On en déduit alors pour $n\geq 2$ que $$ \Lim{+\infty} \dfrac{\ln x}{x^n}=\Lim{+\infty} \dfrac{1}{x^{n-1}}\times \dfrac{\ln x}{x}=0\times 0 = 0$$
\item On pose $X=\dfrac{1}{x}$. Lorsque $x$ tend vers $0^+$ alors $X$ tend vers $+\infty$ et :
$$ \Lim{0^+} x\ln x=\lim\limits_{X\to +\infty}\dfrac{1}{X}\ln \dfrac{1}{X}=-\lim\limits_{X\to +\infty}\dfrac{\ln(X)}{X}=-0=0$$
On en déduit alors pour $n\geq 2$ que $$  \Lim{0^+} x^n\ln x= \Lim{0^+} x^{n-1}\times x\ln x=0 \times 0 = 0$$
\item  $ \Lim{1} \dfrac{\ln x}{x-1}=\Lim{1} \dfrac{\ln x-\ln 1}{x-1} = \ln'(1)=\dfrac{1}{1}=1$
\end{enumerate}}

\Expls{Déterminer les limites suivantes 
$$ \Lim{+\infty}\dfrac{\ln (x+1)}{x} \qquad \text{;}\qquad \Lim{+\infty} \dfrac{x}{x^2+1}\ln x \qquad ; \qquad \Lim{+\infty}\dfrac{\ln x}{ \sqrt{x} }$$}
$$\Lim{0^+} \sqrt{x}\ln x \qquad ; \qquad \Lim{0^+} \ln(x) \times \ln(1-x)$$
\Exos{23-24 p 148}

\subsection{Représentation graphique}
Les courbes $\mathscr C_{exp}$ et $\mathscr C_{\ln}$ sont symétriques par rapport à la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ (cf DM $7$), par conséquent, on peut tracer la courbe repr\'esentative de la fonction $\ln$ :

 \begin{center}
\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[espcl=6]{$x$/1, Signe\\de $ \dfrac{1}{x} $/2, Variation\\ de $\ln x$/2} {$0$  ,  $+\infty$}%
  \tkzTabLine {,+,}%
  \tkzTabVar {-/ $-\infty$ , + /$+\infty$ }
  \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.3} {$1$} {$0$}
  \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.7} {$e$} {$1$}
\end{tikzpicture}
\newline
\begin{center}
 \psset{xunit=2cm , yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-2.1,-1.5)(5,3.1)
\def\xmin{-2.10001} \def\xmax{5} \def\ymin{-1.5} \def\ymax{3.1}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](-2.20001,-1.6)(5.1,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.2cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=lightgray, subgriddiv=1](0,0)(-20,-15)(50,31)
\psset{xunit=2cm , yunit=2cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x ln}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.01}{5}{\F}
\def\G{x EXP}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{5}{\G}
\def\H{x}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{5}{\H}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\uput[dl](0.3,1){$M$}
\uput[dl](1.4,0){$M'$}
\psdot(2.718,1)
\uput[dl](3.5,1){$N(e;1)$}
\psdot(1,2.718)
\uput[dl](1.8,2.718){$N'(1;e)$}
\uput[l](4.9,1.9){$\mathscr C_{\ln}$}
\uput[dl](-1,0.6){$\mathscr C_{exp}$}
\pcline[linewidth=1pt]{<->}(-0.3,0.7)(0.3,1.3)
\pcline[linewidth=1pt]{<->}(0.7,-0.3)(1.3,0.3)
\psline[linestyle=dashed](2.718,1)(1,2.718)
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{center}

\Exos{Annales à trouver}

\newpage

\section{Autres nouvelles fonctions}
Dans cette partie, $a$ désigne un nombre réel strictement positif.

\subsection{Les fonctions \og logarithme \fg}

\Defc{On appelle logarithme de base $a$ la fonction, noté $\log_a$, définie sur $\R^{+*}$ par :
$$\log_a(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(a)}$$
}

\Rqs{
\item Ces fonctions ont les mêmes règles de calculs que pour le logarithme népérien. 
\item Elles sont aussi continues et dérivables sur $\R^{+*}$, puisqu'elles sont un multiple de la fonction $\ln$
\item La fonction logarithme en base $e$ correspond au logarithme népérien.
\item Ces fonctions permettent de simplifier des calculs. Grâce à elles, on sait que le plus grand nombre premier connu à ce jour ($2^{32582657}-1$) possède près de 10 
millions de chiffres !
 }


\subsection{Les fonctions \og exponentielles de base $a$ \fg}

\Defc{
On appelle fonction exponentielle de base $a$ la fonction, notée $\exp_a$, définie sur $\R$ par :
$$\exp_a(x)=e^{x\ln(a)}=e^{\ln(a^x)}=a^x$$ 
}

\Rqs{\item La relation $\ln(a^n)=n\ln(a)$ pour $n\in\Z$ se généralise à :
$\ln(a^x)=\ln\left(e^{x\ln(a)}\right)=x\ln(a)$ pour $x\in\R$
\item Pour $a=1$ on a $1^x = \exp_1(x)=e^{x \times \ln(1)} = e^{0} =1$ pour tout $x\in\R$
}

\Ptec{On retrouve les règles sur les exposants entiers. En effet, pour tous $a$, $b \in \R^{+*}$ et pour tous $x$, $y \in \R$ :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $a^{x+y}=a^xa^y$
\item $(a^x)^{x'}=a^{xx'}$
\item $(ab)^x=a^xb^{x}$
\item $a^{x-x'}=\dfrac{a^x}{a^{x'}}$
\item $ \left(\dfrac{a}{b}\right)^x=\dfrac{a^x}{b^x}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Dem{
On applique simplement la défintion et les propriétés des fonctions $\ln$ et exponentielle. Montrons les deux premiers pour exemple :
\begin{enumerate}
\item $ (a^x)^{x'}=\left(e^{x\ln a}\right)^{x'}=e^{x'x\ln a}=a^{xx'}$
\item $a^{x+x'}=e^{(x+x')\ln a}=e^{x\ln a+x'\ln a}=e^{x\ln a}e^{x'\ln a}=a^xa^{x'}$
\end{enumerate}}

\Expls{Simplifier
$$ \dfrac{2^{-3,1}2^{6,4}}{4^{3,05}} \qquad ; \qquad \left(a^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}} \qquad ; \qquad 3^{5,1}4^{-5,1}$$ 
}

\begin{Att}
{
On ne peut pas considérer des exposants réels pour des nombres négatifs ! 
Sinon, on arrive à montrer ce genre de chose \\
$$-1=(-1)^1=(-1)^{2\times \frac{1}{2}} = \left((-1)^2\right)^{\frac{1}{2}}=1^{\frac{1}{2}}=1 $$
}
\end{Att}

\Thc{La fonction $\exp_a$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$ on a :
$$\exp_a'(x)=(a^x)'=(\ln(a))a^x$$}

\Dem{
Cette fonction est une composée de fonction dérivable sur $\R$ donc elle l'est aussi. \\
De plus, elle est de la forme $e^u$.
}\\

\Corc{\begin{itemize}
       \item Si $a>1$ alors la fonction $\exp_a$ est strictement croissante sur $\R$.
 \item Si $0<a<1$ alors la fonction $\exp_a$ est strictement décroissante sur $\R$.
      \end{itemize}
}

\Dem{Pour tout réel $x$, $ a^x>0$. Et si $a>1$ on a $\ln(a) >0$, si $0<a<1$ on a $\ln(a) <0$.
}\\

\Propc{\begin{itemize}
       \item Si $a>1$ alors $\Lim{+\infty}a^x=+\infty \qquad $ et $\qquad \Lim{-\infty}a^x=0  $
 \item Si $0<a<1$ alors $\Lim{+\infty}a^x=0 \qquad $ et $\qquad \Lim{-\infty}a^x=+\infty  $
      \end{itemize}
}

\Dem{
\begin{itemize}
 \item Si $a>1$ alors $\ln(a) >0 $ donc $\Lim{+\infty}x\ln(a)=+\infty$ et $\Lim{+\infty}a^x=\Lim{+\infty}e^{x\ln(a)}=+\infty$\\
De même, $\Lim{-\infty}x\ln(a)=-\infty$ et $\Lim{-\infty}a^x=\Lim{-\infty}e^{x\ln(a)}=0$\\
\item Si $0<a<1$ alors $\ln(a) <0 $ donc $\Lim{+\infty}x\ln(a)=-\infty$ et $\Lim{+\infty}a^x=\Lim{+\infty}e^{x\ln(a)}=0$\\
De même, $\Lim{-\infty}x\ln(a)=+\infty$ et $\Lim{-\infty}a^x=\Lim{-\infty}e^{x\ln(a)}=+\infty$\\
\end{itemize}
}\\

\pagebreak[1]
Par conséquent :
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item  Si $0<\lambda<1$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[espcl=5]{$x$/1, Signe\\de $  f_\lambda'(x) $/2, Variation\\ de $ f_\lambda$/2} {$-\infty$  ,  $+\infty$}%
  \tkzTabLine {,-,}%
  \tkzTabVar {+/ $+\infty$ , - /$0$ }
  \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.3} {$0$} {$1$}
  \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.7} {$1$} {$\lambda$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item Si $\lambda>1$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[espcl=5]{$x$/1, Signe\\de $  f_\lambda'(x) $/2, Variation\\ de $ f_\lambda$/2} {$-\infty$  ,  $+\infty$}%
  \tkzTabLine {,+,}%
  \tkzTabVar {-/ $0$ , + /$+\infty$ }
  \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.3} {$0$} {$1$}
  \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.7} {$1$} {$\lambda$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\end{multicols}
Nous avons repr\'esent\'es les courbes des fonctions $f$, $g$, $h$, $j$ et $k$ respectivement pour $a=2$, $a=e$, $a=\frac{1}{2}$, 
$a=\dfrac{3}{2}$ et $a=\dfrac{2}{3}$. 
\begin{center}
%-------------- unités
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}

%-------------- (xmin,ymin)(xmax,ymax)
\def\xmin{-5}
\def\xmax{5}
\def\ymin{-1}
\def\ymax{10}
\begin{pspicture}(-5.1,-0.1)(5.1,10.1)


\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%-------------- [graduations]
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=2,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%-------------- grilles
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,griddots=2](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%-------------- repère Oij
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{i}$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}

%-------------- découpage de la boîte
\psclip{\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)}

\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{2 x exp}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-5}{5}{\F}
\def\G{0.5 x exp}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-5}{5}{\G}
\def\H{x EXP}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-5}{5}{\H}
\def\I{1.5 x exp}
\psplot[linecolor=green,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-5}{5}{\I}
\def\J{2 3 div x exp}
\psplot[linecolor=cyan,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-5}{5}{\J}
\uput[u](-1.8,8){$\textcolor{blue}{\mathscr{C}_h : x\mapsto 0.5^{x}}$}
\uput[u](3.8,6.5){$\textcolor{red}{\mathscr{C}_f: x\mapsto 2^{x}}$}
\uput[u](1,9.4){$\mathscr{C}_g : x\mapsto e^{x}$}
\uput[u](4.3,3){$\textcolor{green}{\mathscr{C}_j : x\mapsto \frac{3}{2}^{x}}$}
\uput[u](-4,2){$\textcolor{cyan}{\mathscr{C}_k : x\mapsto \frac{2}{3}^{x}}$}
\endpsclip

\end{pspicture}
\end{center}

\Expls{Résoudre $5^x-5^{1-x}=4$, $\qquad 2^{2x^2} \leq 2^{x+1}$, $\qquad 3\times 4^x +2 = 2^x$}

\subsection{Les fonctions puissances}


\Defc{Soit $\alpha$ un réel. On appelle fonction puissance la fonction $f_\alpha$ définie sur $]0;+\infty[$ qui a $x$ associe le réel $f_\alpha(x)=x^\alpha$}

\Rqs{\item Dans la pratique on note $f_\alpha(x)=e^{\alpha \ln x}$.
\item On note, du coup, la nécessité de définir la fonction sur  $]0;+\infty[$}

\Expl{$f_3(x)=x^3=e^{3\ln x}$ et $f_\pi(x)=x^\pi=e^{\pi\ln x}$}

\Thc{Les fonctions puissances sont dérivables sur $]0;+\infty[$ et $f_\alpha'(x)=\alpha x^{\alpha-1}$}
\Dem{$f_\alpha(x)=e^{\alpha \ln x}\Longrightarrow f_\alpha'(x)=\dfrac{\alpha}{x}e^{\alpha \ln x}=\dfrac{\alpha}{x}\times \alpha^x=\alpha x^{\alpha-1}$}

\Expl{$f_\pi(x)=\pi x^{\pi-1}$}

\Rq{$x\longmapsto e^{\frac{1}{n}}\ln x$ n'est pas définie en $0$ mais $\Lim{0} e^{\frac{1}{n}}\ln x=0$, la fonction admet donc un prolongement par continuité en $0$.
}
 

\Defc[Propriété]{Pour tout réel positif $a$ et pour entier naturel non nul $n$, il existe un unique réel positif $x$ tel que $x^n=a$.\\
Ce réel est noté $ \sqrt[n]{a}$ et s'appelle la racine n-ième du réel positif $a$. 
On a : $$ \sqrt[n]{0}=0\qquad \text{et, pour } a>0, \sqrt[n]{a}=a^{ \frac{1}{n}} $$ }

\Dem{
La fonction $x\mapsto x^n$ est continue et strictement croissante de $\R^+$ dans $\R^+$. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, 
il existe donc une unique solution à l'équation $x^n=a$ dans $[0;+\infty[$, notée $\sqrt[n]{a}$ par définition.\\
De plus si $a=0$, on a bien $0^n=0$. Donc $0$ est solution aussi. Par unicité, on a $\sqrt[n]{0}=0$.\\
Si $a>0$, on a aussi que $\left(a^{ \frac{1}{n}}\right)^n=a^{\frac{1}{n} \times n} = a^1=a$. Par unicité de la solution on a $\sqrt[n]{a}=a^{ \frac{1}{n}}$
}

\Expl{Simplifier l'écriture du réel $$ A= \sqrt[3]{162}\times \sqrt[4]{216}$$}

\Expl{\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f:x\longmapsto \sqrt[n]{x}$ sir $]0;+\infty[$.
\item Etudier les variations de la fonction $g:x\longmapsto \sqrt[3]{x^2-4}$ sur l'intervalle $[2;+\infty[$.
\end{enumerate}}

On a tracé les courbes des fonctions $f$, $g$, $h$, $j$ et $k$ respectivement pour
 $\alpha= 2$ (bleu), $\alpha=-1$ (rouge), $\alpha=0$ (vert) , $\alpha=1$ (cyan) et $\alpha=0.5$ (noir) : 

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=2cm , yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-0.6)(5.1,5.1)
\def\xmin{-1} \def\xmax{5} \def\ymin{-0.5} \def\ymax{5}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.1,-0.6)(5.1,5.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 2 exp}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{5}{\F}
\def\G{1 x div}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.001}{5}{\G}
\def\H{1}
\psplot[linecolor=green,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{5}{\H}
\def\I{x}
\psplot[linecolor=cyan,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.001}{5}{\I}
\def\J{x .5 exp}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{5}{\J}

\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=2,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\uput[u](1.5,4.5){$\textcolor{blue}{\mathscr{C}_f : x\mapsto x^{2}}$}
\uput[u](4.8,0.2){$\textcolor{red}{\mathscr{C}_g: x\mapsto x^{-1}}$}
\uput[u](4.5,2.2){$\mathscr{C}_k : x\mapsto x^{0.5}$}
\uput[u](4.5,1){$\textcolor{green}{\mathscr{C}_h : x\mapsto x^{0}=1}$}
\uput[u](4,4.5){$\textcolor{cyan}{\mathscr{C}_j : x\mapsto x^{1}=x}$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
%\section{D'autres logarithmes}

\Exos{??}

\end{document}