\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.1}

\title{Classe de $T^{\text{ale}}$ S }
\author{C. Aup\'erin}
\date{2010-2011}

\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Equations diff\'erentielles \linebreak[2] et fonction exponentielle}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
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\setcounter{NumLecon}{6}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\setcounter{NumLecon}{5}


\Cr{\item[I.3]Introduction de la fonction exponentielle par la méthode d'Euler}


\begin{enumerate}
\item \textit{L'importance d'une condition initiale}\\
Supposons qu'il existe une fonction $f$, non nulle, définie et dérivable sur $\R$ telle que :
$$ f'=f\text{ sur }\R$$
\begin{enumerate}
\item Soit $\lambda\in\R$. On pose $g=\lambda f$. Démontrer que : $$ g'=g  \text{ sur }\R$$
Conclure.
\item Soit $g$ une fonction vérifiant aussi $g'=g$ sur $\R$. \\
Montrer que $f+g$ vérifie la même condition. Conclure.
\item Supposons maintenant qu'il existe une fonction $f$, définie et dérivable sur $\R$ vérifiant les conditions :
$$(P) \left\{ \begin{array}{l} y'=y \\ y(0)=1  \end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $c$ définie sur $\R$ par  :
$$ c(x)=f(x)f(-x)$$
Montrer que $c$ est une fonction constante égale à $1$ sur $\R$.\\
En déduire que $f$ ne s'annule pas sur $\R$.
\item Démontrer que si $g$ est une fonction qui vérifie $(P)$ alors $g=f$.
 \footnote{On pourra considérer et dériver la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h=\dfrac{g}{f}$ }\\
Conclure.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\Rq{Dans cette partie on vient de démontrer que s'il existe une solution alors il en existe une infinité, puis en imposant une condition initiale (ici $f(0)=1)$ s'il existe une solution à notre équation alors elle est unique.}

Dans la suite, la fonction $f$ est l'unique solution \footnote{On suppose pour le moment qu'une telle fonction existe. La preuve rigoureuse de cette existence sera faite ultérieurement.} satisfaisant la condition $(P)$ i.e :

$$(P) \left\{ \begin{array}{l} f'=f \\ f(0)=1  \end{array} \right.$$

Nous allons maintenant essayer de tracer la représentation graphique de $f$ grâce à la méthode d'Euler.
\pagebreak
\begin{enumerate}
\item[2.] \textit{Vers la représentation graphique}\\
On rappelle que si $f$ est dérivable en $a$, alors pour des valeurs de $h$ proche de $0$ on a :
$$ f(a+h)\simeq f(a)+hf'(a)$$
Il s'agit d'une approximation affine de $f$, la méthode d'Euler repose sur cette approximation.
\begin{enumerate}
\item En utilisant les conditions satisfaites par $f$, démontrer par récurrence que pour tout $n\in\N$ on a :
$$ f(a+nh)\simeq (1+h)^n f(a)$$
\item On note $(u_n)$ la suite définie, sur $\N$, par :
$$ u_n=(1+h)^n f(a)$$
Démontrer que $(u_n)$ est géométrique et préciser sa raison.
\item Dans cette question, on suppose que $a=0$. On a donc :
$$ f(nh)\simeq (1+h)^n$$
\begin{enumerate}
\item On pose $x=nh$. Démontrer que pour $n$ assez grand :
$$ f(x)\simeq \left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n$$
\Rq{C'est cette suite $(u_n(x))$ définie par :$$ u_n(x)=\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n$$ que nous utiliserons pour montrer rigoureusement l'existence de la fonction exponentielle.}
\item A l'aide de la calculatrice, tracer les courbes des approximations de la fonction $f$ pour des valeurs de $n$ égales à $10$, $100$ et $1000$.
\item En prenant $n=1000$, donner une valeur approchée du nombre $f(1)\simeq \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$
\\
\Rq{Le nombre $f(1)$ est encore noté $e$. En fait on a : $$ e=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$$}

\textit{Conclusion} : Cette fonction $f$ vérifiant les conditions$$\left\{ \begin{array}{l} f'=f \\ f(0)=1  \end{array} \right.$$ est appelée \textbf{fontion exponentielle}. \\
On vient de voir à quoi ressemble sa représentation graphique. nous verrons, dans le cours, que cette fonction possède des propriétés remarquables notamment celle de transformer des \og somme \fg{} en \og produits \fg{}, i.e :
$$ \forall x\in\R,\qquad \forall y\in\R \quad : \quad f(x+y)=f(x)f(y)$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}